Grundbau und Bodenmechanik Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 1. G Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit. Inhaltsverzeichnis

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1 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik, Felsmechanik und Tunnelbau G Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit Inhaltsverzeichnis G. Allgemeiner Spannungszustand und Hauptspannungsrichtung G. Mohr scher Spannungskreis in beliebigen Spannungszuständen und Polkonstruktion 3 G.. Allgemeines 3 G.. Beispiel Polkonstruktion und Orientierung von Spannungsebenen 4 G.3 Mohr-Coulomb sche Bruchbedingung 5 G.4 Triaxialversuch 6 G.4. Allgemeines 6 G.4. Beispiel Auswertung eines Triaxialversuchs 8 G. Allgemeiner Spannungszustand und Hauptspannungsrichtung In Bild G- ist ein allgemeiner ebener Spannungszustand an einem differentiellen Element abgebildet, wobei Änderungen der Spannungen im Element (aus dem Übergang von Normalspannungen in Schubspannungen und infolge von Volumenkräften) außer Acht geblieben sind. In der Bodenmechanik werden dabei, im Gegensatz zu denen in der Mechanik üblichen Vorzeichenkonventionen, Druckspannungen als positiv angesetzt. Die Schubspannungen gegen den Uhrzeigersinn drehend (τ zx ) sind positiv definiert und die Schubspannungen im Uhrzeigersinn drehend (τ xz ) sind negativ definiert. Um das Momentengleichgewicht am Element zu erfüllen gilt τ zx = τ xz. Wird ein Schnitt durch das Element unter der Neigung α gelegt, können über die Summe der horizontalen und vertikalen Kräfte die Gleichungen für die Schubspannungen und Normalspannungen im Schnitt ermittelt werden: σ( α ) = ( σ τ( α ) = ( σ x x + σ σ z z ) ( σ x σ )sin( α ) + τ z )cos( α ) τ zx cos( α ) zx sin( α ) Anstelle der Schnittrichtung durch das Element, kann der Winkel α auch die Orientierung des Elements angeben. Am Element lassen sich dann immer gegengleiche Spannungspaare in Abhängigkeit vom Winkel α bestimmen. Bild G-: Allgemeiner Spanungszustand an differentiellem Element

2 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit Für jeden Spannungszustand gibt es eine Orientierung des Elements, bei der die Schubspannungen verschwinden und an der Schnittfläche bzw. der gedrehten Kante nur noch Normalspannungen wirken. Diese Orientierung kann über den Ansatz τ(α) = 0 bestimmt werden: τzx tan(α ) = ( σ σ x z ) Die Spannungen in dieser Orientierung bezeichnet man als Hauptspannungen σ und σ 3 (ebener Zustand), wobei gilt σ > σ 3. Die dritte Hauptspannung σ (σ σ σ 3 ) ist der Richtung senkrecht zur Betrachtungsebene zugeordnet. Im Hinblick auf Grenzzustände ist immer die Ebene maßgebend, in der die zwei am weitesten auseinander liegenden Hauptspannungen σ und σ 3 wirken. σ x + σ z σ = + ( σ x σ z ) + 4τzx ; σ σ + σ x z 3 = ( σ x σ z ) + 4 τ zx Die auftretenden Zahlenwerte der Spannungen an einem differentiellen Element sind also abhängig von der Orientierungsrichtung der Betrachtung des Elements. Die tensorielle Größe des Spannungszustands, in dem sich das Element befindet, ist jedoch unabhängig von der Orientierung. (vgl. Skript I..)

3 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 3 G. Mohr scher Spannungskreis in beliebigen Spannungszuständen und Polkonstruktion G.. Allgemeines Der Spannungszustand an einem differentiellen Element lässt sich mit Hilfe des Mohr'schen Spannungsdiagramms anschaulich darstellen. Das Diagramm bildet die Beziehung zwischen Schub- und Normalspannungen des Elements in Abhängigkeit von der Orientierung der Schnittfläche bzw. des differentiellen Elements ab. Dabei wird ein Spannungszustand als Kreis dargestellt (siehe Bild G-). Die Kreisgleichung lässt sich in Abhängigkeit von der Hauptspannung folgendermaßen formulieren: σ ( σ 443 Mittelpunkt 443 Radius + σ 3 ) + τ = ( σ σ3 ) τ τ ζη (α) τ ηζ (α) ζ z Pol Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung des Pols bietet sich, wenn der Winkel α einer Spannungsebene (Schnittebene) zur Bild 3: Polkonstruktion Hauptspannungsrichtung σ bekannt ist: Zunächst bestimmt man den Mohr schen Spannungskreis. Dann zeichnet man eine Gerade vom Mittelpunkt des Mohr schen Kreises, die um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn zur Hauptspannungsachse geneigt ist. Der Schnittpunkt mit dem Mohr schen Kreis gibt die Spannunτ ζη σ ζ τ ηζ ση σ η σ η (α) σ 3 σ ζ (α) M σ Bild G-: Mohr'scher Spannungskreis und Polkonstruktion r η x σ ζ τ ζη σ α τ xz Jeder Spannungskreis und somit auch jeder Spannungszustand ist über seinen sogenannten Pol definiert, mit dessen Hilfe sich die Spannungsgrößen für beliebige Orientierungen des differentiellen Elements bestimmen lassen. Um den Pol zu konstruieren benötigt man ein bekanntes Spannungsgrößenpaar τ / σ und die dazugehörige Orientierung. Zeichnet man die bekannten Spannungen als Spannungspunkt auf dem Mohr'schen Kreis ein und legt durch den Punkt eine Gerade parallel zu der dazugehörigen Spannungsebene (Schnittebene), so ist der zweite Schnittpunkt der Geraden mit dem Mohr'schen Spannungskreis der Pol (siehe Bild G-). Setzt man dies für beliebige andere Spannungsgrößenpaare fort, wird man feststellen, dass alle Geraden durch den Pol gehen.

4 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 4 gen in der Spannungsebene an. Der Pol kann dann entsprechend der obigen Beschreibung konstruiert werden (siehe Bild G-3). G.. Beispiel Polkonstruktion und Orientierung von Spannungsebenen An einem um 30 zur Horizontalen geneigten Element liegen Hauptspannungen σ = 00 kn/m und σ 3 = 50 kn/m an (siehe Bild G-4). Mit Hilfe des Mohr schen Spannungskreis soll die Orientierung des Elements gefunden werden, in der die größten Schubspannungen τ wirken. Zunächst wird der Mohr sche Spannungskreis konstruiert: M = ( σ + σ3 ) = ( ) = 5 kn/m r = ( σ σ3 ) = (00 50) = 75 kn/m Anschließend kann über die bekannten Richtungen der Hauptspannungen der Pol konstruiert werden. τ [kn/m ] τ max σ -τ max σ M 00 σ M σ 3 σ M τ max = 75 σ 3 σ 30 τ max σ M -τ max r M σ [kn/m ] τ max = -75 Pol Bild G-4: Beispiel Polkonstruktion Basierend auf dem Pol wird die Orientierung der Flächen mit den maximalen Schubspannungen gefunden, indem eine Gerade zwischen dem Pol und den Scheitelpunkten des Kreises gezogen wird. Es ergeben sich daraus zwei um ihr Vorzeichen verschiedene Werte für die maximalen Schubspannungen, die jeweils auf zueinander orthogonalen Flächen wirken: α = 75 und α = zur Horizontalen und τ max = ± 75 kn/m.

5 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 5 G.3 Mohr-Coulomb sche Bruchbedingung Coulomb entwickelte 773 auf Basis von Versuchsergebnissen einen Zusammenhang, der den Spannungszustand eines Bodens beim Bruch beschreibt: τ f = c' + σ' nf tan( ϕ' ) Die Formel beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen der auf einer Scherfuge übertragbaren Schubspannung und der auf ihr wirkenden Normalspannung. Dabei stellt c die Kohäsion und φ den Reibungswinkel dar. Die Beziehung verdeutlicht, dass im Boden nicht die maximalen Spannungswerte von τ und σ (effektive Spannungen) maßgebend für das Versagen sind, sondern das maximale Verhältnis τ / σ (siehe M.4..3). Mohr übertrug dieses Bruchkriterium auf den Mohr schen Spannungskreis. Für beliebige Spannungspaare Bild G-5: Mohr-Coulomb sche Bruchbedingung τ und σ stellt sich das Kriterium als Gerade im Spannungsdiagramm mit der Steigung φ dar, bezeichnet als die Schergerade (siehe Bild G-5). Spannungskreise, die die Schergerade tangieren, beschreiben Spannungszustände genau an der Versagensgrenze des Bodens. Das bedeutet: Spannungszustände deren Mohr sche Kreise über die Schergerade hinausgehen, sind physikalisch nicht möglich. Der Punkt, an dem der Mohr sche Spannungskreis die Gerade tangiert, gibt die Spannungen (τ f, σ nf ) in der Scherfuge des Bodens an, entlang der ein Probekörper, der mit den totalen (äußeren Spannungen) σ und σ 3 belastet wird, versagt. Die Mohr-Coulomb sche-bruchbedingung kann in Abhängigkeit von den Hauptspannungen in folgender Form geschrieben werden: σ' σ' 3 f + sin( ϕ' ) c' cos( ϕ' ) = + - sin( ϕ' ) σ' ( sin( ϕ' )) 3

6 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 6 G.4 Triaxialversuch G.4. Allgemeines Zur Ermittlung der Scherparameter φ und c ist in der Bodenmechanik der triaxiale Druckversuch (Triaxialversuch) weit verbreitet (DIN 837). Er wird an zylindrischen Bodenproben durchgeführt, die in den in Bild G-6 gezeigten Versuchsstand eingebaut werden. Die Proben werden im Allgemeinen bei konstant gehaltener radialer Spannung σ r = σ 3 durch Erhöhung der axialen Spannung σ a = σ abgeschert. Der Versuch wird in der Regel an mindestens drei gleichartigen Probekörpern bei verschiedenen Radialspannungen durchgeführt. Die Tangente an die Mohr schen Spannungskreise im Bruchzustand bildet die Schergerade aus der sich die Parameter c und φ ermitteln lassen. Triaxialversuche können auf verschiedene Weise durchgeführt werden, wobei sie im Regelfall stets vollständig wassergesättigt sind: CD-Versuch, konsolidiert dräniert: Die Probe wird bei einem bestimmten von allen n gleich groß wirkenden (isotropen) Zelldruck konsolidiert und danach bei offenem System abgeschert. Die Abschergeschwindigkeit muss so langsam sein, dass das Wasser abfließen oder nachströmen kann und keine Porenwasserdrücke entstehen (σ = σ). CU-Versuch, konsolidiert undräniert: Die Probe wird bei einem bestimmten isotropen Zelldruck konsolidiert und danach bei geschlossenem System schnell abgeschert. Der Porenwasserdruck wird gemessen (σ = σ - u). UU-Versuch, unkonsolidiert undräniert: Die Probe wird ohne Konsolidation bei geschlossenem System abgeschert. Die Porenwasserdrücke werden nicht gemessen. Mit diesem Versuch kann man die undränierte Scherfestigkeit c u bestimmen. Die Versuchsdurchführung im gesättigten Zustand bewirkt, dass Kapillareffekte wie die scheinbare Kohäsion ausgeschlossen werden. Der Versuchsablauf ist folgendermaßen:. Sättigung. Konsolidation (nur bei konsolidierten Versuchen) 3. Abschervorgang Stempel Scherfuge σ a = σ τ Versuch Schergerade Gummistrumpf Probekörper Zelldruckleitung σ' nf τ f σ r = σ 3 Versuch σ' Versuch 3 Porenwasserabfluss Bild G-6: Triaxialversuch Schergerade

7 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 7 Während der Versuchsdurchführung wird der Verlauf der axialen Stauchung ε über die Spannungen σ und σ 3 aufgezeichnet. Die Auswertung kann sowohl im Mohr schen Diagramm als auch in einem s-t-diagramm erfolgen, in dem die Scheitelpunkte der Mohr schen Spannungskreise mit den Koordinaten s = 0,5 (σ + σ 3 ) und t = 0,5 (σ σ 3 ) aufgetragen werden (siehe Bild G-7). Die Größe t stellt ein Maß für die deviatorische Belastung und die Größe s für die isotrope (hydrostatische) Belastung der Probe dar. Bild G-7: Versuchsauswertung Triaxialversuch Die effektiven Spannungspfade von τ max bei dränierten Versuchen haben immer eine Steigung von 45, da sie die Scheitelpunkte der Mohr schen Spannungskreise bei konstant gehaltenem σ 3 und steigendem σ verbinden. Die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Auswertungsmethoden sind folgendermaßen gegeben: sin( ϕ ' ) = tan( α' ) und b' c' =. cos( ϕ' )

8 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 8 G.4. Beispiel Auswertung eines Triaxialversuchs Die Versuchsergebnisse eines CD-Versuches liegen in Form eines t-ε -Diagramms vor (siehe Bild G-8). Die Bodenproben wurden mit den Konsolidationsspannungen 00 / 00 / 300 und 400 kn/m konsolidiert, bevor sie abgeschert wurden. Während des Versuchs ist leider die Information darüber verloren gegangen welcher der Spannungs-Stauchungsverläufe zu welcher Konsolidationsspannung gehört. Dies muss zunächst nachgetragen werden. Danach soll die Auswertung des Versuchs jeweils in einem s-t-diagramm und einem τ-σ -Diagramm erfolgen. 400 t max4 = t max3 = 300 t = (σ σ 3 )/ [kn/m ] Konsolidationsspannungen 400 kn/m 300 kn/m 50 t max = 5 00 t max = kn/m 00 kn/m ,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0, Bild G-8: Versuchsaufzeichnung ε = h/h 0 Aus der Versuchsaufzeichnung ergeben sich folgende maximale deviatorische Spannungen: t max = 50 kn/m t max = 5 kn/m t max3 = 300 kn/m t max4 = 375 kn/m

9 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 9 G.4.. Auswertung im τ-σ -Diagramm Aus den vorher bestimmten maximalen mittleren deviatorischen Spannungen t max können die jeweiligen maximal möglichen Hauptspannungen σ bei konstanter Hauptspannung σ 3 ermittelt werden und daraus wiederum die Mohr schen Spannungskreise (siehe Bild G-9). Versuch : t max = 50 kn/m => σ = = 400 kn/m M = 0,5 ( ) = 50 kn/m und r = t max = 50 kn/m Versuch : t max = 5 kn/m => σ = = 650 kn/m M = 0,5 ( ) = 45 kn/m und r = t max = 5 kn/m Versuch 3: t max3 = 300 kn/m => σ = = 900 kn/m M 3 = 0,5 ( ) = 600 kn/m und r 3 = t max3 = 300 kn/m Versuch 4: t max4 = 375 kn/m => σ = = 50 kn/m M 4 = 0,5 ( ) = 775 kn/m und r 4 = t max4 = 375 kn/m Bild G-9: Auswertung im τ-σ -Diagramm Aus der Auswertung mit dem τ-σ -Diagramm ergeben sich direkt die Scherparameter: und φ' = 5 c' = 48 kn/m

10 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 0 G.4.. Auswertung im s-t-diagramm Zunächst soll die Auswertung im s-t-diagramm erfolgen (Bild G-0): t = (σ σ 3 )/ [kn/m ] 400 t max4 = t max3 = t max = 5 00 α' = 3 t max = b' = Bild G-0: Auswertung im s-t- Diagramm s = (σ ' + σ 3 ')/ [kn/m ] Aus der Auswertung lassen sich die Parameter und α = 3 b = 44 kn/m bestimmen. Daraus können die Scherparameter des Bodens berechnet werden: φ' = arcsin(tan(α )) = arcsin(tan(3 )) = 5 c = b / cos(φ') = 44 / cos(5 ) = 48,5 kn/m Die leichte Abweichung bei der Kohäsion im Vergleich zur Auswertung mit dem τ-σ -Diagramm ist auf die Ablese- und Zeichengenauigkeit zurückzuführen.

11 Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit G.4..3 Ermittlung der Scherfugenrichtung Die Richtung in der eine Probe beim triaxialen Druckversuch relativ zur Richtung von σ versagt, ist die Richtung in der die Spannungen τ f und σ nf auf der Scherfuge wirken. Man kann diese Richtung über eine Polkonstruktion ermitteln. 300 τ [kn/m ] Probekörper σ = 400 kn/m σ' nf τf σ 3 = 00 kn/m 57,5 Die Größe von σ und die Orientierung der Fläche, auf die sie wirkt, sind aus den vorherigen Berechnungen für den Versuch bekannt. Somit kann der Pol konstruiert werden, indem eine Parallele zu Wirkungsfläche durch σ gezogen wird. Der Pol liegt demzufolge im Punkt (σ 3 /0). Die Position des Pols ist bei triaxialen Druckversuchen immer 00 τ f 00 c' = 48 Pol gleich (siehe Bild G-). Die Richtung der Scherfuge ist die Verbindung zwischen dem Tangentialpunkt der Schergerade und dem Pol. Es ergibt sich für den Versuch nach Bild G- eine Neigung der Scherfuge von α = 57,5. 57,5 σ' nf φ' = σ [kn/m ] Bild G-: Scherfugenrichtung über Polkonstruktion Das entspricht nach Rankine dem Winkel α = 45 + φ'/ hier α = / = 57,5. Bild G-: Versagensformen beim Triaxialversuch Gerade Scherfugen, die sich im triaxialen Druckversuch einstellen, werden immer diese Neigung haben. Jedoch können die Versagensformen eines Prüfkörpers unterschiedlich sein (siehe Bild G-). Bild G-3: Scherfugenrichtung