Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013 Lösungen 2. Übung (KW 17/18) Eistemperatur ) Verbundfenster )

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1 2. Übung (KW 17/18) Aufgabe 1 (T 1.5 Eistemperatur ) Eis (Masse m E ) wird in siedendes Wasser (Masse m W ) gebracht. Die Mischungstemperatur ist ϑ M. Als Kalorimeter dient ein Thermogefäß, dessen Wärmekapazität zu vernachlässigen ist. Welche Temperatur ϑ E hatte das Eis? c E = 2.09 kj kg 1 K, c W = 4.19 kj kg 1 K, q f = 332 kj kg 1 m E = 100 g, m W = 500 g, ϑ M = 69 C Aufgabe 2 (T 2.1 Verbundfenster ) Ein Verbundfenster der Fläche A besteht aus zwei Glasscheiben der Dicke d 1, zwischen denen sich eine Luftschicht befindet. Das Glas hat die Wärmeleitfähigkeit λ 1, die Luftschicht den Wärmedurchgangskoeffizienten k 2 (die Konvektion ist damit berücksichtigt). Die Wärmeübergangskoeffizienten sind innen α i (Zimmerluft ruhend) und außen α a (Außenluft leicht bewegt). Die Innentemperatur ist ϑ i, die Außentemperatur ϑ a. (a) Berechnen Sie die Heizleistung P, die erforderlich ist, um den Energieverlust, den der Wärmestrom durch das Fenster verursacht, zu ersetzen! (b) Welchen Wert P nimmt die erforderliche Heizleistung an, wenn das Fenster nur eine Scheibe der Dicke d 3 hat? A = 2 m 2, d 1 = 3.5 mm, d 3 = 5.4 mm, λ 1 = 0.85 W m 1 K 1, k 2 = 5.9 W m 2 K 1, α i = 12.5 W m 2 K 1, α a = 25 W m 2 K 1, ϑ i = 22 C, ϑ a = 10 C Aufgabe 3 (T 3.7 Kreisprozess ) Mit einem idealen Gas wird ein Kreisprozess ausgeführt, der sich aus folgenden Zustandsänderungen zusammensetzt, die in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen werden. 1. isobare Ausdehnung, 2. isotherme Zustandsänderung, 3. isochore Zustandsänderung. Stellen Sie den Prozess im p(v )-Diagramm und im p(t )-Diagramm dar! Welches Vorzeichen hat die vom Gas verrichtete Arbeit? Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 1 von 10

2 Aufgabe 4 (T 3.2 Luftblase ) In welcher Wassertiefe h eines Sees beträgt das Volumen einer aufsteigenden Luftblase ein Zehntel des Volumens, das sie beim Auftauchen an der Wasseroberfläche hat? (Kleine Luftblasen haben eine geringe Steiggeschwindigkeit und nehmen deshalb die Temperatur des umgebenen Wassers an, die sich mit der Wassertiefe ändert.) Luftdruck p 1 = 1024 hpa, Oberflächentemperatur ϑ 1 = 13 C, Tiefentemperatur ϑ 2 = 4 C, Dichte des Wassers ϱ W = 1000 kg m 3 Aufgabe 5 (T 3.4 Luftpumpe ) Eine Luftpumpe hat das Maximalvolumen V 1, das sich beim Ansaugen von Luft vom Druck p 1 und der Temperatur ϑ 1 füllt. Beim anschließenden Komprimieren öffnet sich das Ventil, wenn in der Pumpe der Druck den Wert p 2 erreicht hat (keine Wärmeabgabe an die Umgebung). (a) Welches Volumen V 2 hat in diesem Augenblick die eingeschlossene Luft? (b) Wie groß ist dann die Temperatur ϑ 2? (c) Welche Arbeit W wird an dem Gas bis zum Öffnen des Ventils verrichtet? (d) Wie groß ist die Masse m des Gases, das bei N Pumpstößen in den Schlauch befördert wird? (e) Was geschieht mit der von außen zugeführten Energie? V 1 = 250 cm 3, p 1 = 101 kpa, p 2 = 405 kpa, ϑ 1 = 20 C, M r = 29, κ = 1.40, N = 50 Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 2 von 10

3 Lösung zu Aufgabe 1 Wir betrachten die folgenden vier Teilprozesse: 1. Erhöhung der Temperatur des Eises von der Ausgangstemperatur T E auf die Schmelztemperatur T 0. Dabei nimmt das Eis die Wärmemenge Q 1 auf. 2. Schmelzen der kompletten Eismasse; beim Übergang von fest zu flüssig nimmt das Eis die Wärmemenge Q 2 auf. 3. Erhöhung der Temperatur des geschmolzenen Eises von der Schmelztemperatur T 0 auf die Mischtemperatur T M, wobei das geschmolzene Eis die Wärmemenge Q 3 aufnimmt. 4. Erniedrigung der Temperatur des siedenden Wassers von der Siedetemperatur T S auf die Mischtemperatur T M. Bei diesem Vorgang gibt das siedende Wasser die Wärmemenge Q 4 ab. Die einzelnen Wärmemengenbeiträge sehen im einzelnen wie folgt aus: Q 1 = m E c E (T 0 T E ) (1.1) Q 2 = m E q f (1.2) Q 3 = m E c W (T M T 0 ) (1.3) Q 4 = m W c W (T M T S ) (1.4) Wenn das Kalorimeter ordentlich wärmeisoliert ist, geht weder Wärme an die Umgebung verloren, noch wird Wärme von der Umgebung in das System Wasser/Eis transportiert. Mechanische Arbeit wird ebenfalls nicht verrichtet, also muss nach dem Energieerhaltungssatz die Summe aller Wärmemengenbeiträge gleich Null sein, was das Berechnen der gesuchten Temperatur gestattet: 0 = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 (1.1) (1.4) 0 = m E c E (T 0 T E ) + m E q f + m E c W (T M T 0 ) + m W c W (T M T S ) T E = T 0 + q f + c W (T M T 0 ) + m c c W (T M T S ) = K c E c E m E c E = ϑ E = 13.6 C. Lösung zu Aufgabe 2 (a) Aufgrund des Temperaturunterschiedes zwischen der Luft im Innenraum und der Luft außerhalb des Hauses (innen warm, außen kalt) findet Wärmetransport von innen nach außen statt, wobei der Wärmestrom durch die Gleichung Q = ka (ϑ i ϑ a ) (2.1) Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 3 von 10

4 k z 2 =[ 1 / m + } d 2/ / m ] { i 1 m 2 m 1 a 1 # i d 1 d 2 d 1 Temperatur # 1 # 2 # 3 # 4 # 5 #6 # a Luft innen Glas Luft zwischen Glas Glas Luft außen Ort gegeben ist. Der Wärmestrom ist proportional zum Temperaturunterschied und zur Querschnittsfläche A des Wärmeleiters (hier Querschnitt der Fensterscheibe), mit dem Wärmedurchgangskoeffizienten k als Proportionalitätsfaktor. In Analogie zur Elektrotechnik kann man einen Wärmewiderstand R = 1 definieren, mit dem die ka Gleichung (2.1) die Form ϑ = R Q annimt. Der Temperaturunterschied ϑ entspricht dem Spannungsabfall U am elektrischen Widerstand und der Wärmestrom Q entspricht der eletrischen Stromstärke I. Diese Analogie ist hilfreich, wenn man den Wärmetransport durch hintereinander geschaltete Wärmewiderstände betrachtet. In unserem Beispiel ist dies der Übergang von Innenluft zur inneren Scheibe (Widerstand R 1 ), der Durchgang durch die Scheibe (Widerstand R 2 ), der Übergang von der inneren Scheibe zur Luft zwischen den Scheiben (Widerstand R 3 ), der Durchgang durch die Luft zwischen den Scheiben (Widerstand R 4 ), Übergang von Luft zur äußeren Scheibe (Widerstand R 5 ), Durchgang durch diese Scheibe (Widerstand R 6 ) und schließlich der Übergang von der äußeren Scheibe zur Außenluft (Widerstand R 7 ). Wie in der Elektrotechnik addieren sich auch die Wärmewiderstände bei Serienschaltung, der Gesamtwärmewiderstand ergibt sich also zu 1 ka = R = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 + R 6 + R 7 = 1 α i A + d 1 λ 1 A + 1 α m A + d 2 λ 2 A + 1 α m A + d 1 λ 1 A + 1 α a A. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 4 von 10

5 Die Querschnittsfläche kürzt sich raus, wir erhalten also 1 k = 1 + d d 2 α i λ 1 α m + 1 λ 2 α }{{ m } 1 k 2 + d 1 λ α a. In der Aufgabe wurden die drei Widerstandsbeitrage zwischen den Scheiben zu einem Term zusammengefasst und mit k 2 bezeichnet. Für den Gesamtwärmedurchgangskoeffizienten errechnen wir schlielich [ 1 k = d ] 1 1 = 3.36 W m 2 s 1. α i α a k 2 λ 1 Damit die Temperatur im Innenraum konstant bleibt, muss die Heizleistung die abtransportierte Wärme ersetzen, die gesuchte Heizleistung ergibt sich also zu P = Q = ka(ϑ i ϑ a ) = 3.36 W m 2 s 1 2 m 2 32 K = 215 W. (b) Für eine einfache Fensterglasscheibe ergibt sich ein Übergangskoeffizient von k = und somit eine Heizleistung von [ 1 + d ] 1 = 7.91 W m 2 s 1 α i λ 1 α a P = 7.91 W m 2 s 1 2 m 2 32 K = 507 W, die Heizkosten würden sich also mehr als verdoppeln! Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 5 von 10

6 Lösung zu Aufgabe 3 p(v ) p(t ) Isotherme T = T1 p2 C Isochore V = V A Isotherme T = T 3 >T 2 p2 C Isochore V = VA Isotherme T = T 2 >T p1 A W<0 1. B Isobare p = p 1 Isotherme T = T 1 p1 A 1. B Isobare p = p1 VA VB V TA T1 T Der Kreisprozess setzt sich aus drei Teilprozessen zusammen, die wir im einzelnen diskutieren wollen. 1. Isobare Ausdehnung Das Gas dehnt sich bei konstantem Druck p = p 1 vom Volumen V A auf das Volumen V B > V A aus. Da in beiden Diagrammen der Druck als Ordinate aufgetragen ist, wird die isobare Zustandsänderung in beiden Diagrammen als horizontal verlaufende Linie dargestellt. Im p(v )-Diagramm ist sofort ersichtlich, dass der isobare Teilprozess von links nach rechts verläuft, schließlich vergrößert sich das Volumen bei der Ausdehnung. Um die Richtung im p(t )-Diagramm zu ermitteln, muss man herausfinden, wie sich die Temperatur in Abhängigkeit des Volumens bei einer isobaren Ausdehnung verhält. Dabei hilft die Idealgasgleichung pv = νrt. Wenn Druck p und Stoffmenge ν konstant bleiben, verhalten sich Volumen und Temperatur proportional zueinander, d. h. die Temperatur erhöht sich bei Expansion des Gases und erniedrigt sich bei Kompression. Weil sich unser Gas im ersten Teilprozess ausdehnt, muss sich dessen Temperatur erhöhen, die horizontale Isobare verläuft also auch im p(t )-Diagramm von links nach rechts. 1. Isotherme Zustandsänderung Die Temperatur bleibt konstant. Aus der Idealgasgleichung folgt, dass sich in diesem Fall Druck und Volumen umgekehrt proportional zueinander verhalten, p V 1, d. h. im p(v )-Diagramm entspricht die Isotherme einer Hyperbel. Folgen wir nun der Hyperpel nach links oben oder nach rechts unten? Die Antwort ergibt sich aus dem dritten Teilprozess, dort müssen wir per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zurückkehren, was nur dann funktioniert, wenn wir der Isothermen nach links oben folgen (Isochoren verlaufen im p(v )-Diagramm senkrecht, siehe nächsten Abschnitt). Im p(t )-Diagramm wird die Isotherme als senkrechte Gerade dargestellt, denn die Temperatur wird entlang der Abszissenachse aufgetragen. Ob man der senkrechten Isothermen nach unten oder nach oben folgen muss, ergibt sich aus der Forderung, dass man im dritten Teilprozess per isochorer Zustandsänderung zum Ausgangspunkt zuückkehren muss. Im Falle eines idealen Gases sind Isochoren im p(t )-Diagram stets Geraden durch den Nullpunkt (siehe nächsten Abschnitt). Um auf solch einer Isochoren zum Ausgangspunkt zurückkehren zu können, bleibt nichts Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 6 von 10

7 anderes übrig, als der Isothermen im zweiten Teilprozess nach oben zu folen. 3. Isochore Zustandsänderung Bei diesem letzten Teilprozess kehren wir bei konstant gehaltenem Volumen zum Ausgangspunkt zurück. Im p(v )-Diagramm werden Isochoren als senkrechte Geraden dargestellt, während sie sich im p(t )-Diagramm als durch den Nullpunkt verlaufende Geraden manifestieren. Letzteres erkennen wir anhand des Idealgasgesetzes, aus welchem bei konstanter Stoffmenge und konstantem Volumen die Proportionalität zwischen Druck und Temperatur folgt, p T. Mechanische Arbeit Die im p(v )-Diagramm vom Kreisprozess eingeschlossene Fläche entspricht der umgesetzten Arbeit. Je nachdem, in welchem Umlaufsinn die Fläche umlaufen wird, verrichtet das Gas positive Arbeit (Uhrzeigersinn) oder negative Arbeit (Gegenuhrzeigersinn). Man beachte, dass die von der Umgebung an dem Gas verrichtete Arbeit W den gleichen Betrag hat wie die Arbeit W, die das Gas verrichtet, aber entgegengesetztes Vorzeichen besitzt, W = W. Im konkreten Fall wird der Kreisprozess im p(v )-Diagramm gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, das Gas verrichtet also während eines Umlaufes insgesamt negative und die Umgebung verrichtet an dem Gas positive Arbeit. Lösung zu Aufgabe 4 Wenn man die Luft innerhalb der Blase näherungsweise als ideales Gas ansieht, so gilt die Idealgasgleichung, und für die beiden Situationen 1 (Oberfläche des Sees) und 2 (Tiefe h) können wir p 1 V 1 = N 1 k B T 1 (4.1) p 2 V 2 = N 2 k B T 2 (4.2) schreiben. Dabei wurde von der Annahme Gebrauch gemacht, dass die Luftblase langsam genug nach oben steigt und somit die Lufttemperatur innerhalb der Blase die Temperatur des umgebenen Wasser annimmt, welche nach oben hin größer wird. Wenn wir weiterhin annehmen, dass während des Aufsteigens der Luftblase weder im Wasser gelöste Luft in die Blase gelangt noch, dass Luftmoleküle aus der Blase ins Wasser diffundieren, dann bleibt die Anzahl der Moleküle in der Blase konstant, N 1 = N 2 und aus den Gleichungen (4.1) und (4.2) folgt durch Division p 2 p 1 V 2 V 1 = T 2 T 1 p 2 = V 1 V 2 T 2 T 1 p 1 = f T 2 T 1 p 1. (4.3) Da das Volumen der Luftblase in der Tiefe h auf ein zehntel ihres Volumens an der Seeoberfläche zusammenschrumpft, gilt f = 10. Die Temperaturen T 1 und T 2 sind gegeben, ebenso der Luftdruck p 1 an der Wasseroberfläche. Folglich ist p 2 via (4.3) vollständig bestimmt. Stellt sich noch die Frage, in welcher Wassertiefe der Druck p 2 herrscht. In der Wassertiefe h ergibt sich der Druck als Summe aus dem Luftdruck Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 7 von 10

8 an der Wasseroberfläche und dem Druck, den die Wassersäule der Höhe h aufgrund ihrer Gewichtskraft verursacht: p 2 = p 1 + p W = p 1 + F g A = p 1 + mg A = p 1 + ρv g A = p 1 + ρahg A = p 1 + ρgh p 2 = p 1 + ρgh h = p 2 p 1 ρg [ = 10 (4.3) = f T 2 T 1 p 1 p 1 ρg = ] ( )K ( )K 1 [ f T ] 2 p1 1 T 1 ρg 1024 hpa 10 3 kg m m s 2 = 90.6 N m 2 kg m s2 kg m 2 2 = 90.6 s kg s 2 = 90.6 m. Lösung zu Aufgabe 5 Es soll das Komprimieren von Luft in einer Luftpumpe untersucht werden. Als Randbedingung wird angenommen, dass die Stoffmenge des Gases konstant bleibt (Ventil bleibt geschlossen) und während des Vorganges keine Wärme an die Umgebung abgeführt wird. Die zweite Annahme ist in der Praxis nur näherungsweise erfüllt, denn eine Luftpumpe ist selten wärmeisoliert. Wenn jedoch der Kompressionsvorgang schnell genug erfolgt, so hat die Wärme keine Zeit, aus dem Gas durch die Zylinderwand nach außen zu gelangen, d. h. bei hinreichend schnellem Pumpem ist die Annahme einer adiabatischen Zustamdsänderung in guter Näherung gerechtfertigt. (a) Wir gehen von der Adiabatengleichung aus und formen nach dem Volumen um: = V 2 = p 1 V κ 1 = p 2 V κ 2 V 2 = ( p1 p 2 ( )1 101 kpa κ 250 cm 3 = 92.7 cm kpa (b) Wir wenden die Idealgasgleichung auf die Zustände 1 und 2 an, )1 κ V1 (5.1) p 1 V 1 = νrt 1 (5.2) p 2 V 2 = νrt 2 (5.3) und eliminieren durch Division die unbekannte Stoffmenge ν: T 2 = p 2V 2. T 1 p 1 V 1 Nach der Temperatur T 2 auflösen und das in (a) berechnete Volumen einsetzen führt zum gesuchten Ergebnis: T 2 = p 2V 2 (5.1) T 1 = p ( )1 ( ) 2 p1 κ 1 ( )1 ( )1 p1 p1 κ p1 κ 1 T1 = T1 = T 1 = K p 1 V 1 p 1 p 2 p 2 p 2 p 2 = ϑ 2 = C. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 8 von 10

9 (c) Die an dem Gas verrichtete Arbeit ergibt sich aus folgendem Integral: V 2 V 1 W = W = dv p(v ) = V 1 V 2 dv p(v ). (5.4) Zum Lösen dieses Integrals benötigen wir die Funktion p(v ). Diese ergibt sich aus der Adiabatengleichung, indem man diese auf den Anfangszustand (p 1, V 1, T 1 ) und einen beliebigen Zwischenzustand (p, V, T ) anwendet und nach p auflöst: pv κ = p 1 V1 κ p = p 1 V1 κ V κ. (5.5) Gleichung (5.5) wird in (5.4) eingesetz und das Integral gelöst: V 1 W = p 1 V1 κ dv V κ = p 1 V κ 1 V1 1 V κ+1 = p κ 1V1 κ+1 V 2 1 κ V 2 = p 1V1 1 V1 κ 1 [ ] V 1 κ 1 V 1 κ p 1 V 1 2 = 1 κ 1 κ (5.1) = p 1V 1 1 κ = 30.7 J. 1 { (p1 p 2 ) 1 κ } 1 κ [ 1 = p 1V 1 1 κ [ { V2 V 1 1 [ ] V 1 κ 1 V2 1 κ } 1 κ ] ( p1 p 2 ) 1 κ ] κ (d) Die Masse m N der Luft, welche nach N Pumpstößen in den Reifen befördert wird, ergibt sich aus der Masse m 1 für einen einzelnen Pumpstoß, indem man diese mit N multipliziert: m N = Nm 1. (5.6) Die Masse m 1 für einen einzelnen Pumpzyklus berechnen wir aus der Stoffmenge ν, die sich vor dem Öffnen des Ventils in der Pumpe befindet und der molaren Masse M m (Masse pro Stoffmenge): m 1 = νm m. (5.7) Die Stoffmenge ν erhält man durch Auflösen der Gleichung (5.2): (5.2) = ν = p 1V 1 RT 1. (5.8) Nun benötigen wir noch die molare Masse. Diese hängt mit der relativen Molekülmasse M r über folgende Gleichung zusammen 1 : M m = M r g mol 1. (5.9) 1 Dieser Zusammenhang ist kein Zufall, sondern die Konsequenz aus der Definition der Stoffmengeneinheit: Die Einheit mol wird gerade so definiert, dass die in ihr enthaltene Teilchenzahl eine Masse ergibt, deren Maßzahl in Gramm der relativen Teilchenmasse entspricht. Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> Seite 9 von 10

10 Schließlich setzen wir die Gleichungen (5.6), (5.7), (5.8) und (5.9) ineinander ein: m N (5.6) = Nm 1 (5.7) = NνM m (5.8) = N p 1V 1 RT 1 M m (5.9) = N p 1V 1 RT 1 M r g mol 1, was auf das Ergebnis führt. 101 kpa 250 cm 3 m 50 = J mol 1 K 1 29 g mol K = Pa (10 2 m) 3 J mol 1 g mol 1 = = 15.0 N m 2 m 3 N m g = 15.0 g Pa m3 J (e) In Teilaufgabe (c) wurde die von außen an dem Gas verrichtete Arbeit zu 30.7 J berechnet. Da keine Wärme abgeführt wird (adiabatischer Prozess), wird die gesamte Arbeit dazu verwendet, die Innere Energie des Gases zu erhöhen, was zu einem Anstieg der Temperatur von 20 C auf 163 C führt: U = Q W = Q + W = W > 0 = T = U m 1 c V > 0. g Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter Jens Patommel <patommel@xray-lens.de> 10