Fluidmechanik Hydrostatik

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1 2.2 Druckmessung Druckbegriffe Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel Differenzdruckmessung Berücksichtigung des Temperatureinflusses Berücksichtigung der Luftfeuchte Drucksonden Schrägrohrmanometer Druckkräfte auf Begrenzungsflächen Bsp.: Kraft auf eine Absperrklappe Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen Stabilität Stabilität schwebender Körper Stabilität schwimmender Körper Fluide unter Beschleunigung Niveauflächen Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter Rotierende Flüssigkeiten Folie 1 von 33

2 2.2 Druckmessung Druckbegriffe Zustandsgröße Druck ist immer auf einen Referenzdruck bezogen Folie 2 von 33

3 Absolutdruck - p abs gegenüber Vakuum p abs p pvakuum 0 Relativdruck - p rel Druck gegenüber dem Luftdruck p 0 p G, rel p abs p Überdruck (h f > 0) Unterdruck (h f < 0 0 h f f g Differenzdruck - p Differenz zwischen zwei Drücken p 1 und p 2 p p 1 p 2 Folie 3 von 33

4 2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer Ziel Bestimmung des Kesseldrucks p G in der Höhe der Anschlußstelle Kräftegleichgewicht im Rohr ergibt mit G f p G p 0 f h f g Geringe Beeinflussung des Meßergebnisses durch Kapillarität im Rohr Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend groß wählen Folie 4 von 33

5 Bsp.: Einfluß der Kapillarität in einem Quecksilber U-Rohr Manometer D = 6 [mm] (Rohrinnendurchmesser) W = 140 [grd] (Randwinkel Hg/Glas) T = 20 [ C] (Temperatur) Hg/H20 = 0,380 [N/m] (Grenzflächenspannung) Hg/Luft = 0,470 [N/m] (Grenzflächenspannung) Wie groß ist der Meßfehler infolge der Kapillarität? Folie 5 von 33

6 2.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel Änderung des hydrostatischen Drucks ist in der Regel bei Gasen über die Behälterhöhe vernachlässigbar Druck im Kessel kann über die Höhe als konstant angenommen werden Gilt nicht bei Flüssigkeiten! Druck im Kessel bei h x p x p 0 Hg h g f y g Folie 6 von 33

7 2.2.4 Differenzdruckmessung Druckdifferenz p p 1 p2 aus Druckgleichgewicht bei A-A f Bei geringen Geschwindigkeiten (M < 0,3) kann bei Gasen die Dichte gegenüber der Flüssigkeit im Manometer vernachlässigt werden p Hg g h Hg Annahme: Im Rohr liegt eine quasi-eindimensionale Strömung vor, d.h. die Strömungsparameter ändern sich hauptsächlich in und nicht quer zur Strömungsrichtung: p p, p Wand 1 2 Folie 7 von 33

8 2.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses Temperaturbedingte Volumenänderung der Flüssigkeit im Manometer, z.b. Quecksilber T [ C] [kg/m³] Länge der Quecksilbersäule bei T = 0 C 4 L0 LT 1 181, 10 T L T [mm Hg] Länge bei Raumtemperatur T [ C] Näherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersäule L L 0 T T 8 Folie 8 von 33

9 2.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte Berechnung der Luftdichte: p R T Relative Luftfeuchte > 50% spezifische Gaskonstante R R mit R f Rt 287, 05 p R p d t 1, p 1 R p d R t R d 287, 05 J kg K spez. Gaskonstante von trockener Luft 461 J kg K spez. Gaskonstante von Wasserdampf relative Luftfeuchte p d Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft p Luftdruck d Folie 9 von 33

10 Sättigungsdampfdruck p d von Wasser in Luft - Dampftafel p p T d - Magnus-Formel d p d 17, 5043T 241, 2T 611, 213 e Pa, T [ C] Lufttemperatur Folie 10 von 33

11 2.2.7 Drucksonden Wanddruckmessung Statische Drucksonde Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr Folie 11 von 33

12 2.2.8 Schrägrohrmanometer Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers, Neigung des Meßschenkels führt zu einer Aufweitung der Skala, entsprechend sin, maßgebend ist lediglich die Differenz h in den Spiegelhöhen p 1 p 2 M h g M l sin g Folie 12 von 33

13 Bsp: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrägrohrmanometer und Prandtl-Rohr in der offenen Messstrecke eines Windkanals geg.: l = 100 mm Länge der aufgestiegenen Messflüssigkeit M = 800 kg/m³ Dichte der Messflüssigkeit, Alkohol = 30 grad Neigungswinkel des Manometers p 1 Gesamtdruck p 2 statischer Druck Tageswerte p = 720 mmhg Luftdruck T = 23 C Temperatur = 70 % rel. Feuchte ges.: Geschwindigkeit c [m/s] in der Messstrecke Folie 13 von 33

14 2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen Behälter ist bis zur Höhe H mit einem Fluid der Dichte gefüllt, an den Oberflächen und an den Außenseiten liegt der Umgebungsdruck p o an Folie 14 von 33

15 Bsp.: Kraft auf eine Absperrklappe h S1 = 5 m D = 1 m = 30 gard = 10 3 kg/m³ H = 7 m B = 10 m 1. Kraft F 1 auf die Absperrklappe? 2. Lage des Kraftangriffspunktes von F 1? 3. Drehmoment der Klappe bezüglich x-x? 4. Klappenlagerung bei x-x oder y-y? 5. Kraft F 2 auf die linke Wand? 6. Lage des Kraftangriffspunktes von F 2? Folie 15 von 33

16 2.2.9 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen Horizontale Komponente Folie 16 von 33

17 Vertikale Kraftkomponente F h für die durch die Kurve beschriebene Fläche Folie 17 von 33

18 Aufdruckkraft F h ' Flächenelement da' wird in der Tiefe h durch die Druckkraft df' belastet Folie 18 von 33

19 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen Folie 19 von 33

20 Stabilität Stabilität schwebender Körper F G > F A : Abtauchen F G = F A : Schwimmen F G < F A : Auftauchen S K S F Masseschwerpunkt des Körpers Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids Linie durch S F und S K : Schwimmachse Stabiles Gleichgewicht erfordert, daß S K unter S F liegt Folie 20 von 33

21 Stabilität schwimmender Körper Ausgangslage F G Gewichtskraft des Körpers, greift im Körperschwerpunkt S K an F A Gewichtskraft des verdrängten Fluides greift im Schwerpunkt S F des verdrängten Fluids an Schwimmfläche Verschneidung des Schwimmkörpers mit der Wasseroberfläche Folie 21 von 33

22 Auslenkung aus der Gleichgewichtslage - Körperschwerpunkt S K bleibt auf seiner Position - Volumen des verdrängten Fluids V F bleibt gleich, ändert aber seine Form - Schwerpunkt des verdrängten Fluids verschiebt sich von S F auf S F ' - F A und F G liegen nicht mehr beide auf der Schwimmachse Aufrichtendes Moment Folie 22 von 33

23 Berechnung der statischen Stabilität Metazentrum M - Schnittpunkt von Schwimmachse und Wirkungslinie der Auftriebskraft F A Metazentrische Höhe h M I - hm 0 e V F Trägheitsmoment I 0 - Trägheitsmoment der Schwimmfläche Stabilitätsbedingung - stabil: 0, a 0 h m - indifferent: h 0 - instabil: 0, a 0 m h m Folie 23 von 33

24 Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel 1 Seenotrettungskreuzer, 23m 2 Seenotrettungsboot, 8,3m 3 Patrouillenboot, 38m 4 Motoryacht 4a 100% Vorräte 4b 25% Vorräte 5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t 6 Gorch Fock 6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck 6b Rumpf ohne Aufbauten Folie 24 von 33

25 Bsp.: Stabilität eines Schiffsrumpfes Eingetauchter Bereich entspricht Halbellipse, Gesamtlänge des Schiffs: L ges.: Maximale Lage des Körperschwerpunkts über der Wasseroberfläche h SK bis Instabilität eintritt Hinweis: Flächenschwerpunkt einer Halbellipse h SF 4 b 3 Folie 25 von 33

26 2.4 Fluide unter Beschleunigung Niveauflächen Verbindungsflächen aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid bilden eine Niveaufläche - Niveaufläche steht immer senkrecht zu den vorliegenden Massekräften (Gravitation, Trägheit) - Freie Oberfläche bildet immer eine Niveaufläche (Isobarenfläche) - Wirkt nur Gravitation Niveaufläche = horizontale Ebene, bzw. Kugelfläche - Zusätzliche Trägheitskräfte Verschiebung der Niveaufläche Folie 26 von 33

27 2.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter Freie Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleunigungsvektor Neigungswinkel des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalen ergibt sich aus tan dz dr df df T G Trägheitskraft Gewichtskraft dm dm a g a g Folie 27 von 33

28 2.4.3 Rotierende Flüssigkeiten Gefäß rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Hochachse Spiegel sinkt zur Mitte hin ab Resultierende Kraft am Element dm ergibt sich aus Zentrifugalbeschleunigung df T und Erdbeschleunigung df G Winkel der Tangente an die Oberfläche: tan dz dr df df T G Trägheitskraft Gewichstkraft 2 dm r dm g 2 g r Parabelform der Oberfläche ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunigung vom Rotationsradius Folie 28 von 33

29 Bestimmung der Form der freien Oberfläche z = z(r) Folie 29 von 33

30 Druck auf den Behälterboden Parabolische Druckzunahme nach außen ist insbesondere für radial durchströmte Strömungsmaschinen von Bedeutung Radialverdichter Folie 30 von 33

31 Rotierende Flüssigkeit mit Deckel Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch die darüber liegende Flüssigkeitssäule hergestellt Deckel ersetzt in der Kräftebilanz das Fluidvolumen V A, Kraft F D auf Deckel = Gewicht des Volumens V A F m g g D V A Annahme: Volumen unter dem Deckel wird belüftet, d.h. Luftdruck im Inneren = Umgebungsdruck Folie 31 von 33

32 Bsp. Zentrifuge D = 32 cm (Innendurchmesser) z 0 = 8 cm (Füllhöhe) 1. Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeitsspiegel den Behälterboden? 2. Wie hoch steigt die Flüssigkeit in diesem Fall an der Wand des Behälters? Folie 32 von 33

33 Bsp. Zentrifuge mit belüftetem Kolben z R p p z 1 K In eine mit der Drehzahl n = 1 s -1 rotierende Zentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben K gesetzt. Der Kolben besitzt in der Mitte eine Belüftungsbohrung, d.h. an der Oberseite und an der nicht benetzten Unterseite des Kolbens herrscht der gleiche Luftdruck p. Berechnen Sie die Masse m K des Kolbens, wenn dieser auf einer Höhe z 1 = 1,0 m von der rotierenden Flüssigkeit getragen wird. r Behälterradius: Füllstand bei = 0: Dichte der Flüssigkeit: Umgebungsluftdruck: R = 1,0 m z 0 = 0,2 m FL = 10³ kg/m³ p = 10 5 Pa Folie 33 von 33