(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen

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1 (Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (siehe auch bei den Aufgaben zu endlichen Automaten) 1) Eine Grammatik G sei gegeben durch: N = {S, A}, T = {a, b, c, d}, P = { (S, Sa), (S, ba), (A, ba), (A, c), (baa, bda) }. Beschreiben Sie die durch diese Grammatik definierte Sprache durch eine mengentheoretische Darstellung ihrer Wörter. 2) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b, c, d}, N = {S, A, B}, P = { (S, ba), (S, ab), (B, ab), (B, c), (A, ba), (A, d) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? (Geben Sie entweder eine mengentheoretische Darstellung an oder eine verbale Beschreibung). c) Geben Sie einen endlichen Automaten an, der die von dieser Grammatik erzeugte Sprache akzeptiert. 3) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b, c, d}, N = {S, A, B}, P = { (S, A), (S, B), (B, abb), (B, c), (A, baa), (A, d) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? (Geben Sie entweder eine mengentheoretische Darstellung an oder eine verbale Beschreibung). c) Zeichnen Sie den Syntaxbaum für das Wort aacbb. 4) Gegeben sei die Grammatik G = (N, T, P, S) mit N = {S}, T = {a, b} und dem Regelsystem P mit den Regeln: S a S a, S b S b, S aa, S bb a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Zeichnen Sie die Syntaxbäume falls möglich, sonst Begründung für x 1 = abbbba, x 2 = ababbaba, x 3 = aababb c) Beschreiben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache.

2 5) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b}, N = {S, A, B}, P = { (S, Aa), (A, Aa), (A, a), (A, Bb), (B, Bb), (B, b) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? (Vorsicht! Achten Sie genau darauf, wie oft a bzw. b vorkommen können. Es gibt zwei verschiedene Fälle.) c) Konstruieren Sie einen endlichen Automaten, der genau die Wörter der Sprache L(G) akzeptiert. 6) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b}, N = {S, A, B, C}, P = { (S, aa), (S, bb), (A, aa), (A, bb), (B, bb), (B, ac), (B, a), (C, ac), (C, bc), (C, a), (C, b) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? Geben Sie entweder eine mengentheoretische Darstellung an oder eine verbale Beschreibung. c) Geben Sie für die folgenden Wörter der Sprache die Syntaxbäume an: ba aaba bbaa d) Geben Sie einen endlichen Automaten an, der genau die von dieser Grammatik erzeugte Sprache akzeptiert. 7) Gegeben sei die folgende kontextfreie Grammatik G = ( N, T, P, S ) mit N = { <Var>,<Aus>,<Anw>,<Zuw> }, T = { a, b,c, +, -, ;, := } S = <Zuw> P = { (<Var>,a), (<Var>,b), (<Var>,c), (<Aus>,<Aus> + <Var>), (<Aus>,<Aus> - <Var>), (<Aus>,<Var> ), (<Zuw>,<Var> := <Aus>;) } Erklärung der Abkürzungen : Var = Variable, Zuw = Zuweisung, Aus = Ausdruck a) Aus welchen Wörtern besteht L(G)? Geben Sie eine verbale Beschreibung. b) Sind die folgenden Worte Elemente der zuvor definierten Sprache? Geben Sie eine kurze aber stichhaltige Begründung. a:= b + c

3 c:= a + a * b; c) Zeichnen Sie den Ableitungsbaum für a := a + b c; d) Führen Sie in die Regelmenge zwei neue Regeln ein, um den Inkrement- und den Dekrementoperator in die Sprache aufzunehmen. z.b. a := a++ ; b := c--; 9) Die Größe <Name> sei wie folgt beschrieben: 1. <Name> ist maximal 10 und minimal 6 Zeichen lang. 2. Die ersten 3 Zeichen von <Name> sind Buchstaben, die letzten 3 Zeichen gerade Dezimalzahlen (einschließlich Null). 3. Die Zeichen in der Mitte falls vorhanden können Buchstaben oder beliebige Ziffern sein. a) Entwerfen Sie einen erkennenden Automaten A, der syntaktisch richtige Namen erkennt. Zeichnen Sie das Zustandsdiagramm. b) Nennen Sie jeweils 2 Beispiele für x E L(A) bzw. x E L(A). 10) Gegeben sei die Grammatik G = ( N, T, P, S ) mit N = { S }, T = { a, b } und dem Regelsystem P : S ab, S SS, S asb a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? b) Zeichnen Sie die Syntaxbäume falls möglich, sonst Begründung für x1 = a 2 b 2 a 2 b 2, x2 = aababb, x3 = aabbab, x4 = babab 11) Gegeben sei ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat über dem Alphabet {0,1} mit dem Zustandsdiagramm 0,1 0 0, ,1 z0 z1 z2 z3 a) Welche Sprache akzeptiert dieser Automat? b) Geben Sie eine linkslineare Grammatik an, die diese Sprache erzeugt und keine überflüssigen Nichtterminale und/oder Regeln enthält.

4 13) Gegeben sei die Grammatik G = (N, T, P, S) mit N = {S}, T = {a,b} und dem Regelsystem P = { (S,ab), (S,SS), (S, asb) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Geben Sie zu jedem der folgenden Wörter über {a,b} den Ableitungsbaum an, falls das Wort zu L(G) gehört, oder begründen Sie, warum das Wort nicht zu L(G) gehört. x 1 = a 2 b 2 a 2 b 2, x 2 = aababb, x 3 = aabbab, x 4 = babab 14) Gegeben sei die folgende Grammatik: T = {0,1}, N = {S}, P = { S 00, S 11, S 0S0, S 1S1} a) Um welchen Typ von Grammatik handelt es sich? (Mit kurzer Begründung.) b) Beschreiben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache. c) Durch welche Art von Automat kann diese Sprache erkannt werden? (Mit kurzer Begründung.)

5 15) Gegeben sei der folgende endliche Automat: X = {a,b}, Z = {A, B, C, D}, z 0 = A, Z E = {B, C} a A b a B C b a D a,b b a) Geben Sie die von diesem Automaten erkannte Sprache an. b) Konstruieren Sie einen äquivalenten endlichen Automaten, der nur einen einzigen Endzustand besitzt. c) Geben Sie eine linkslineare Grammatik für die Sprache dieses Automaten an, die keine überflüssigen Nichtterminale und Regeln enthält. 16) Gegeben sei der folgende nicht-deterministische endliche Automat: X = {0,1}, Z = {A, B, C}, z 0 = A, Z E = {C} 0 0,1 A B C 1 0,1 0 a) Geben Sie die von diesem Automaten erkannte Sprache an. b) Konstruieren Sie mit dem in der Vorlesung behandelten Verfahren eine rechtslineare Grammatik für die Sprache dieses Automaten. c) Welche(s) Nichtterminal(e) und welche Regel(n) in dieser Grammatik sind überflüssig und können ersatzlos weggelassen werden (natürlich ohne die Sprache zu ändern)?

6 17) Gegeben sei die folgende Grammatik: T = {a,b}, N = {S}, P = { S Sab, S ab} a) Um welchen Typ von Grammatik handelt es sich? (Mit kurzer Begründung.) b) Beschreiben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache. c) Zeigen Sie, dass diese Sprache regulär ist, indem Sie entweder eine linkslineare oder eine rechtslineare Grammatik für die Sprache angeben. Eine -lineare Grammatik für diese Sprache ist: d) Von welcher Art Automat kann diese Sprache erkannt werden? 18) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a}, N = {S, A}, P = { (S, aa), (A, aaa), (A,a) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich (lt. Chomsky-Hierarchie)? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? Geben Sie entweder eine mengentheoretische Darstellung an oder eine verbale Beschreibung. c) Zeigen Sie, dass diese Sprache regulär ist, indem Sie entweder eine linkslineare oder eine rechtslineare Grammatik für die Sprache angeben. d) Von welcher Art Automat kann diese Sprache erkannt werden? 19) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b}, N = {S, A, B, C, D}, P = { (S, aa), (S, bc), (A, aa), (A, ab), (A, a), (B, ab), (B, a), (C, bd), (D, bc), (C, b) } a) Um welche Art von Grammatik handelt es sich (Chomsky-Hierarchie)? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? Geben Sie entweder eine mengentheoretische Darstellung an oder eine verbale Beschreibung. c) Geben Sie für die folgenden Wörter der Sprache alle möglichen Syntaxbäume an: bb aaa d) Ist die Grammatik G eindeutig oder mehrdeutig? (Kurze Begründung) e) Ist die Sprache L(G) inhärent mehrdeutig? (Kurze Begründung)

7 20) Konstruieren Sie eine rechts-lineare oder eine links-lineare Grammatik für die Sprache L = { a n b m ; n>1, m > 0} über dem Alphabet {a,b}. Eine - lineare Grammatik für diese Sprache ist: 21) Gegeben sei die folgende Grammatik: T = {0,1}, N = {S}, P = { S 00, S 11, S 0S0, S 1S1} a) Um welchen Typ von Grammatik handelt es sich? (Mit kurzer Begründung.) b) Beschreiben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache. c) Durch welche Art von Automat kann diese Sprache erkannt werden? (Mit kurzer Begründung.) 22) Die Grammatik G = (T, N, S, P) einer Sprache L(G) sei wie folgt definiert: T = {a, b}, N = {S}, P = { (S, asb), (S, bsa), (S, SS), (S, ba), (S, ab) } a) Um welche Art von Grammatik (im Sinne der Chomsky-Hierarchie) handelt es sich? b) Aus welchen Wörtern besteht die Sprache L(G)? (Am einfachsten ist sicher eine umgangssprachliche Beschreibung.) Hinweis: Es ist klar, dass alle Wörter der Sprache eine bestimmte Eigenschaft haben. Es braucht nicht gezeigt zu werden, dass alle Wörter mit dieser Eigenschaft tatsächlich erzeugt werden können. c) Geben Sie einen Ableitungsbaum für das Wort aabbba an. d) Zeigen Sie, dass die Grammatik mehrdeutig ist, indem Sie zwei verschiedene Ableitungsbäume für das Wort abab angeben. 23) Bei dieser Aufgabe brauchen Sie ausnahmsweise keine Begründungen anzugeben, außer wenn ich nicht innerhalb von 5 Sekunden sehen kann, dass die von Ihnen angegebene Sprache die geforderte Eigenschaft hat. Achtung: Die Antwort kann auch gibt es nicht oder ähnlich lauten! a) Geben Sie eine unendliche reguläre Sprache an. b) Geben Sie eine Sprache an, die von einem nicht-deterministischen endlichen Automaten erkannt werden kann, nicht aber von einem deterministischen endlichen Automaten. c) Geben Sie eine nicht-reguläre endliche Sprache an. d) Geben Sie eine nicht-reguläre kontextfreie Sprache an. e) Geben Sie eine nicht kontextfreie, kontextsensitive Sprache an.

8 f) Geben Sie eine Sprache an, die von einem nicht-deterministischen LBA erkannt werden kann, nicht aber von einem deterministischen LBA. 24) Vorwort wie bei Aufgabe 23. a) Geben Sie eine reguläre Sprache mit genau drei Wörtern über dem einelementigen Alphabet {a} an. b) Geben Sie eine Sprache an, die von einem nicht-deterministischen Kellerautomaten erkannt werden kann, nicht aber von einem deterministischen Kellerautomaten. c) Geben Sie eine Sprache an, die von einem deterministischen LBA erkannt werden kann, nicht aber von einem nicht-deterministischen LBA. (Achtung: genau lesen!) d) Geben Sie eine nicht kontextsensitive Typ-0-Sprache an (der Name der Sprache genügt.) e) Geben Sie eine endliche kontextfreie, nicht reguläre Sprache an. f) Geben Sie eine Sprache an, die von einer nicht-deterministischen Turing-Maschine erkannt werden kann, nicht aber von einer deterministischen Turing-Maschine. g) Geben Sie eine reguläre Sprache über dem Alphabet X = {0,1} mit genau drei Elementen an. 25) Geben Sie eine rechts- oder linkslineare Grammatik für die Sprache L = {a 2n+1 b a m ; n>1, m > 0} über dem Alphabet {a,b} an. 26) Geben Sie eine rechts- oder linkslineare Grammatik für die Sprache L = {a 2n b m ; n>1, m > 0} über dem Alphabet {a,b} an. 27) Vorwort wie bei Aufgabe 23. a) Geben Sie eine endliche reguläre Sprache an. b) Geben Sie eine endliche, kontextfreie, nicht reguläre Sprache an. c) Geben Sie eine unendliche, kontextfreie, nicht reguläre Sprache an. d) Geben Sie eine inhärent mehrdeutige reguläre Sprache an. e) Geben Sie eine inhärent mehrdeutige, kontextfreie, nicht reguläre Sprache an. f) Geben Sie eine kontextsensitive, nicht kontextfreie Sprache an. g) Geben Sie eine kontextsensitive Sprache an, die nicht von einem deterministischen LBA erkannt werden kann.

9 h) Geben Sie eine nicht kontextsensitive formale Sprache an (nicht notwendig in der Darstellung als eine Sprache). i) Geben Sie eine nicht entscheidbare, aber semi-entscheidbare Sprache an (nicht notwendig in der Darstellung als eine Sprache). j) Von welcher Sorte Automat kann die Sprache der Palindrome ungerader Länge über dem Alphabet {a} erkannt werden? k) Geben Sie eine semi-entscheidbare Sprache an, die nicht entscheidbar ist. 28) Zeigen Sie: Die Vereinigung zweier kontextfreier Sprachen über demselben Alphabet ist kontextfrei. Gehen Sie dazu wie folgt vor: Seien G 1 = (T, N 1, S 1, P 1) und G 2 = (T, N 2, S 2, P 2) kontextfreie Grammatiken über demselben Alphabet T, die die Sprachen L 1 bzw. L 2 erzeugen. Die Nichtterminalmengen N 1 und N 2 seien disjunkt (d.h. kein Nichtterminal einer der Grammatiken ist auch Nichtterminal der anderen Grammatik). Geben Sie explizit eine kontextfreie Grammatik für L 1 L 2 an. 29) Zeigen Sie, dass jede endliche Sprache regulär ist. Hinweis: Sie dürfen als bekannt voraussetzen, dass reguläre Mengen, reguläre Sprachen und die von endlichen Automaten erkannten Sprachen dasselbe sind. Suchen Sie sich also selbst aus, in welchem der drei Formalismen Sie den Beweis führen wollen. 30) Vorwort wie bei Aufgabe 23. a) Geben Sie zwei unendliche reguläre Sprachen über dem Alphabet X = {a} an. b) Geben Sie eine reguläre Sprache über dem Alphabet {a,b} an sowie eine Teilmenge dieser Sprache, die nicht regulär ist. c) Geben Sie eine nicht entscheidbare Sprache an (nicht notwendigerweise in der Form einer Sprache). d) Geben Sie eine entscheidbare Sprache an, die nicht semi-entscheidbar ist. 31) Gegeben sei die folgende Grammatik: T = {a,b}, N = {S,A,B,C,D,E}, S = S, P = { S Aa, A Bb, A b, B Aa, S Ca, C Da, D Ea, D a, E Ca }

10 a) Geben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache an. b) Konstruieren Sie einen endlichen Automaten, der diese Sprache erkennt. c) Die Zustandsmenge Z eines nicht-deterministischen endlichen Automaten habe n Elemente. Welche Zustandsmenge wird bei dem in der Vorlesung behandelten Verfahren für die Konstruktion eines äquivalenten deterministischen Automaten verwendet und wieviele Elemente hat diese? Zusatzaufgabe für x Zusatzpunkte: Falls Ihr Automat in Teil b) nicht-deterministisch ist: Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten an, der weniger Zustände hat als Ihr Automat in b). Falls Ihr Automat in Teil b) deterministisch ist: Konstruieren Sie mit dem in der Vorlesung behandelten Verfahren aus der Grammatik einen endlichen Automaten und vergleichen Sie dessen Anzahl der Zustände mit der Ihres Automaten in b). 32) Gegeben sei die folgende Grammatik: T = {a,b}, N = {S,A,B}, S = S, P = { S aa, A Sb, A b } a) Um welchen Typ von Grammatik handelt es sich? b) Geben Sie die von dieser Grammatik erzeugte Sprache an. c) Durch welche Art von Automat kann diese Sprache erkannt werden? 33) Zeigen Sie, dass die Vereinigung zweier kontextfreier Sprachen wieder kontextfrei ist. Hinweis: Am einfachsten ist es, den Beweis im Formalismus der formalen Sprachen zu führen, aber auch ein Beweis im Rahmen der Automatentheorie ist nicht schwierig.