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1 Skript und Übungsaufgaben Die Satzgruppe des Pythagoras DER SATZ DES PYTHAGORAS DEFINITION UND BEWEIS AUFGABEN ZUM SATZ DES PYTHAGORAS MIT MUSTERLÖSUNGEN 5 DER KATHETENSATZ DES EUKLID 7 DEFINITION UND BEWEIS 7 AUFGABEN ZUM KATHETENSATZ DES EUKLID MIT MUSTERLÖSUNGEN 8 DER HÖHENSATZ DES EUKLID 10 DEFINITION UND BEWEIS 10 AUFGABEN ZUM HÖHENSATZ DES EUKLID MIT MUSTERLÖSUNGEN 11 Seite 1

2 / Der Satz des Pythagoras Definition und Beweis Die Voraussetzungen des Satzes sind: M u oh Im st e ne O ra u n W l s i d n a er s e ru hä se -A ck ltl rze bo! ic h. ich en Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b und der Hypotenuse c. Der Satz des Pythagoras lautet: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat ( a + b = c ). Oder geometrisch anschaulich: Die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten a + b ist gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse c : a + b = c Seite

3 Beweis: Die Fläche des großen äußeren Quadrats beträgt: ( a + b) Diese Fläche setzt sich zusammen aus dem vierfachen der Fläche des markierten Dreiecks und c. Da die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ( b) a + = 4 ab + und somit c a + ab beträgt, folgt: + ab + b = ab c mit der ersten binomischen Formel und Kürzen mit Nach Abziehen von ab auf beiden Seiten ergibt sich der Satz des Pythagoras: a + b = c Seite 3

4 Oder z.b alternativ: Anstelle eines großen äußeren Quadrats kann man auch ein kleines inneres Quadrat bilden: Wir betrachten das untere, von der Hypotenuse c gebildete Quadrat. Die Fläche setzt sich zusammen aus 4 mal der Fläche des Dreiecks inneren (grünen) Quadrats: ( ) b a. ab = 4 + b a Es ergibt sich: ( ) und somit: c a, b, c: 4 ab und der Fläche des kleinen, = ab + b ab + a nach der. binomischen Formel und Kürzen mit = a + b wegen ab ab = 0 a + b = c Seite 4

5 Aufgaben zum Satz des Pythagoras mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b und der Hypotenuse c. 1. Aufgabe: Berechne die fehlende Seite: a = 9, b = 3, c =? Es gilt a + b = c und somit = c. Quadrieren ergibt = c und somit 90 = c. Wurzelziehen ergibt dann c = 90 = 9 10 = 3 10 c = 4, b =, c =? Es gilt a + b = c und somit a + = 4. Quadrieren ergibt a + 4 = 16 und somit a = 1. Wurzelziehen ergibt dann a = 1 = 4 3 = 3. Aufgabe Ein quadratisches Schild mit einer Seitenlänge von 15 cm wird an zwei gegenüberliegenden Ecken befestigt. Wie weit liegen die Ecken voneinander entfernt? Gesucht wird die Hypotenuse. Die Katheten sind 15 cm lang. Es gilt a = + b c und somit Es folgt c = a = a = , 777 cm Seite 5 c 3. Aufgabe Wie weit ist der Punkt (,3) vom Ursprung des Koordinatensystems entfernt? Gesucht ist die Hypotenuse. Es gilt a + b = c und somit Quadrieren ergibt 3 c + =. + 4 = 13 = und somit folgt = 13 3, c Der Abstand beträgt 13 3, 606 c. a = wegen a = b.

6 4. Aufgabe Wie weit sind die Punkte A= (1,) B= (,1) voneinander entfernt? Gesucht ist die Hypotenuse c. Es gilt b y A y = 1= 1 und a x B x = 1= 1. Wegen = B = A a + b = c gilt = c und somit c = und c =. Die Entfernung der Punkte A= (1,) B= (,1) beträgt. Seite 6

7 / Der Kathetensatz des Euklid Definition und Beweis M u oh Im st e ne O ra u n W l s i d n a er s e ru hä se -A ck ltl rze bo! ic h. ich en Die Voraussetzungen des Satzes sind: Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. Der Punkt, den die Höhe h mit der Hypotenuse c gemeinsam hat, teilt dann c in die Abschnitte q, p. Der Kathetensatz lautet: Die Fläche des Quadrats über a ist gleich der Fläche des Rechtecks aus p und c ( a = pc ) und Die Fläche des Quadrats über b ist gleich der Fläche des Rechtecks aus q und c ( b = qc ). Beweis (mit dem Satz des Pythagoras): Es gilt dreimal der Pythagoras: I. a + b = c II. h + p = a III. h + q = b (alles rechtwinklige Dreiecke) Aus I folgt a = c b auf beiden Seiten b subtrahiert wegen p + q = c und III = ( p + q) (h + q ) = p + pq + q q h mit der 1. binomischer Formel wegen q q = 0 = p + pq h = p + pq (a p ) wegen II Auflösung der Klammer = p + pq a Seite 7

8 Es folgt: Es folgt: / a = p + pq auf beiden Seiten a addiert = p ( p + q) p ausgeklammert = pc wegen p + q = c a = pc nach Division mit. b = qc folgt analog. Aufgaben zum Kathetensatz des Euklid mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. 1. Aufgabe Gegeben sei ein Rechteck mit flächengleiches Quadrat. s1 = 4cm und s = cm. Verwandele das Rechteck in ein Setze q = s = cmund c = s1 = 4cm und konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Thales-Kreis: Seite 8

9 . Aufgabe Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge flächengleiches Rechteck. b = 4cm. Verwandele das Quadrat in ein Nehme die Seite b als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, A B, C : Seite 9

10 Der Höhensatz des Euklid Definition und Beweis Die Voraussetzungen des Satzes sind: Sei a,b,c ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. Der Punkt, den die Höhe h mit der Hypotenuse c gemeinsam hat, teilt dann c in die Abschnitte q, p. Der Höhensatz lautet: Die Fläche des Quadrats über h ist gleich der Fläche des Rechtecks aus p und q ( h = pq ). Beweis (mit dem Satz des Pythagoras): Es gilt dreimal der Pythagoras: I. a + b = c II. Aus II folgt Aus III folgt Es folgt Es folgt h h III. h = h + p = + q b (alles rechtwinklige Dreiecke) = a p auf beiden Seiten = b q auf beiden Seiten h q a p subtrahiert q subtrahiert = a + b p Addition beider Gleichungen h = = c p q wegen I = ( p + q) p q wegen p + q = c = p + pq + q p q erste binomische Formel = pq wegen q q = 0, p p = 0 pq beide Seiten durch geteilt Seite 10

11 Aufgaben zum Höhensatz des Euklid mit Musterlösungen a,b,c sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a,b, der Hypotenuse c und der Höhe h. 1. Aufgabe a = 6 cm, b = 5cm Bestimme c, h, p, q und die Fläche A Nach dem Satz des Pythagoras gilt a + b = c und somit c = = 661 5,71. ab 6 5 Die Fläche A beträgt A = = = 75cm. ab hq hp h( q + p) hc Mit der Fläche A bekommt man eine Beziehung für h : A = = + = = A 75 und damit h = = 5,834. c 5,71 Fehlen noch p, q : Mit Pythagoras h + q = a und Für p, q ergibt sich q = a h und p h = + p b. = b h mit 36 5,834 1, 401 q p 65 5,834 4, 31. Probe: c = p + q 5,71 4,31 + 1,40 = 5, 71 und h = pq : 5,834 4,31 1, 40 34,036 34,083. Aufgabe Verwandle das Rechteck a = 5 cm, b = cm in ein flächengleiches Quadrat. Seite 11

12 3. Aufgabe In einem rechtwinkligen Dreieck a, b, c hat die Projektion der Kathete a auf die Hypotenuse c 4 cm Länge und die Höhe h 5 cm. Berechne a, b, c, Fläche des Dreiecks. Es gilt p = 4 wegen der Projektion. h 5 Aus dem Höhensatz h = pq ergibt sich durch Umstellung q = = = 6, 5. p 4 Wegen c = p + q ist c = 4 + 6,5 = 10, 5. Mit dem Satz des Pythagoras gilt h + p = a = = 41 und so a = 41 6, 4. Nochmals der Pythagoras a + b = c ergibt b = c a 10,5 6,4 105,06 40,96 64, 1 und damit b 8. 6,4 8 Die Fläche: A = ab = 5, 6. Ergebnis: a 6,4; b 8; c = 10,5incm; A 5,6 cm Seite 1

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