Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie

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1 Streuugsmaße Istitut für Geographie

2 Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel, auch auf eie etscheidede Nachteil higewiese: die Empfidlichkeit gegeüber Extremwerte. Dieser Aspekt muß och weiter verallgemeiert werde: Gleiche arithmetische Mittelwerte köe auf sehr uterschiedliche Häufigkeitsverteiluge eies Merkmals beruhe 2

3 Streuugswerte (Streuugsmaße) Befragug Nr. Befragug Nr. 2 Perso Durchschittsbewertug Strad/Wassersportagebot Perso Durchschittsbewertug Hotel/touristisches Agebot A,2 A 2,2 B,4 B 2,3 C,9 C 2,5 D 2,0 D 2,8 E 3,0 E 3,0 F 4, F 3, G 4,8 G 3,3 H 5,2 H 3,4 I 5,5 I 3,7 3

4 Streuugswerte (Streuugsmaße) 4

5 Streuugswerte (Streuugsmaße) Um eie gehaltvolle Beschreibug vo Merkmale i eier Stichprobe zu erhalte, beötigt ma daher ebe de Mittelwerte Agabe über die Streuug der Werte Streuugsmaße gebe Auskuft über die Homogeität oder Heterogeität der Atworte vo Probade bei eier Befragug, der Niederschlagsmessuge i eiem Gebiet etc. Diese Iformatio vermittel die Streuugs- oder Dispersiosmaße. Streuugswerte sid etspreched eie otwedige Ergäzug der Mittelwerte. Wie bereits bei de Mittelwerte sid Streuugswerte i ihrer Verwedbarkeit wieder abhägig vom Skaleiveau der Date 5

6 V V = max mi V Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Variatiosweite Die Variatiosweite V ist die Differez zwische dem größte (Maximum) ud dem kleiste Wert eier Verteilug (Miimum). Damit stellt sie die Spabreite dar, ierhalb derer die Merkmalsauspräguge (Werte) eies Merkmals i der Stichprobe variiere. Sie errechet sich, idem ma das Miimum vom Maximum abzieht. V = V V max mi Vorteil: leicht bestimmbar ud berechebar Nachteil: extrem Ausreißerempfidlich 6

7 Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Grudsatzproblem bei Streuugsmaße, die sich auf Abweichugsmessuge jedes eizele Wertes vom Mittelwert beziehe: Die Summe aller Abweichuge vom Mittelwert ist immer 0 Lösugsmöglichkeit i uterschiedliche Streuugsmaße: a) Werte als Beträge verreche b) Werte quadriere (ud ggf. wieder die Wurzel ziehe) 7

8 Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Durchschittliche Abweichug Die durchschittliche Abweichug e ist das arithmetische Mittel aus de Absolutbeträge der Abweichuge aller Meßwerte eier Verteilug vo ihrem arithmetische Mittelwert. (Clauß, Eber 985, S. 86). e e = = i= x i= i x x x 8

9 Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Variaz Die Variaz ist die Summe der Abweichugsquadrate (SAQ) aller Meßwerte eier Verteilug vo ihrem arithmetische Mittel, dividiert durch die Azahl der Messuge. Die Variaz eier Stichprobe wird mit s2 bezeichet (ach Clauß, Eber 985, S. 87) s 2 = i= ( x x) i 2 9

10 Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Stadardabweichug Die Stadardabweichug (mittlere quadratische Abweichug) ist die Quadratwurzel aus der Variaz. Sie wird als Kewert eier Stichprobe mit s bezeichet. s = i= ( x x) i 2 0

11 Streuugsmaße für metrisch skalierte Variable Stadardabweichug Vorteile der Stadardabweichug: Extremwerte ud Ausreißer i eier Stichprobe habe zwar eie gewisse, aber icht überdimesioale Eifluß auf das Streuugsmaß, die Stabilität dieses Streuugswertes ist also vergleichsweise hoch. alle Werte gehe gleichberechtigt i die Größe des Wertes ei (icht ur die Extrema, wie beispielsweise bei der Variatiosweite) sie ka im Rahme der aalytische Statistik weiter verwedet werde (Schätzstatistik, Prüfstatistik)