6 Gleichungen und Gleichungssysteme

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1 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion eines beliebigen Subtrahenden c 3.) a = b a. c = b. c Multiplikation mit einem Faktor c 0 4.) a = b a c = b c Division durch einen Divisor c 0 5.) a = b a 3 = b 3 Potenzieren mit ungeraden Exponenten 6.) a = b * a = b Kehrwertbildung ( falls beide Seiten 0 ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie Folgerungen ( ggf. mit Änderung der Lösungsmenge ) Bei Folgerungen können Lösungen hinzukommen, aber nicht verloren gehen. Daher ist einerseits für jede gefundene Lösung eine Probe erforderlich, ob sie wirklich Lösung ist. Andererseits kann man auf diese Weise alle Lösungen finden..) a = b a = b Quadrieren und Potenzieren mit geraden Exponenten.) a = b a. c = b. c Multiplikation mit dem Faktor c = 0 Beispiel: x = 4. 0 L = - ; 0 = 0 L = Bemerkung: Beim Multiplizieren einer Gleichung mit einem echenterm ist daher darauf zu achten, ob dieser echenterm = 0 ist. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie

2 Beispiel: 3x 4 - x = 0 x 3x 4 = x (.. ) 3x 4 = x x - 3x - 4 = 0-3 ( - 3 ) 4 3 = 5 = 4 / - Probe: x = 4 : = 0 : 3. ( -) 4 - ( -) = 0 f Es gilt also: L = 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 3 Beispiel: 3x 4 - x = 0. ( 3x 4 x ) = 0 für ( ) 3x 4 - x. ( 3x 4 x ) = 0 s.o. 3x 4 - x = 0 x = 4 / -? Zumindest für ist also auch bei dieser echnung eine Probe erforderlich. Probe für : 3. ( -) 4 - ( -) = 0 f Es gilt also auch hier: L = 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 4

3 Weitere äquivalente Gleichungsumformungen ( ebenfalls ohne Änderung der Lösungsmenge ) 7.) a = b 8.) a = b a = b a = b Quadrieren ( allgemein Potenzieren mit geraden Exponenten ), falls beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben. - Beispiel: x 5 = x (.. ) 7.) > 0 > 0 x 5 = x x 5 = x x 4 = x x = 43.) a = a Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 5 Fettnäpfchen beim Wurzelziehen Beispiel: ( x 3 ) = 4..? x 3 = Es gilt aber: L = - ; - 5 Gilt 4 = oder 4 = - oder 4 = - ;? Definition der Wurzel: a ist die nicht - negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Es gilt also: a ist nur definiert, wenn a > 0 ist. Wenn a definiert ist, gilt auch a > 0. 4 = x = x gilt nur für x > 0 x = x gilt für alle x ε Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 6 3

4 Beispiel: ( x 3 ) = 4.. ( x 3 ) = 4 x 3 = x 3 = 5 Bemerkungen:.) Um diese umständlichen Umformungen nicht bei jedem Wurzelziehen durchführen zu müssen, geht man folgendermaßen vor: 9.) x = a.. x = a.) Entsprechendes gilt für alle geraden Wurzeln. 3.) Für die dritte und alle ungeraden Wurzeln gilt hingegen allgemein: 0.) x 3 3 = a x = a Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 7 Definitionsbereich Der Definitionsbereich einer Gleichung ist die Menge all der reellen Zahlen, für die alle Terme der Gleichung definiert sind. Beim Umformen von Gleichungen können außer bei Folgerungen auch beim Vergrößern des Definitionsbereichs Scheinlösungen hinzukommen. Daher ist es beim Lösen von Gleichungen erforderlich, entweder den Definitionsbereich zu bestimmen und von allen gefundenen Lösungen zu prüfen, ob sie zum Definitionsbereich gehören, oder von allen gefundenen Lösungen zu prüfen, ob sie die Bedingungen des Definitionsbereich erfüllen. Bemerkung: Letzteres geschieht u.a. auch bei einer Probe. Wenn man also eine Probe macht (z.b. wegen einer Folgerung), ist keine gesonderte Betrachtung des Definitionsbereichs notwendig. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 8 4

5 Beispiel: x x - = 0 *. Methode: Bestimmung des Definitionsbereichs D Bedingung: x - 4 > 0 x - > 0 ( ) x > x < - D = * x - 4 = x - (.. ) > 0 > 0 x > x - 4 = x - x - x - 3 = 0 x = 3 - ε D = > ε D = > ( - ) 3 = Ergebnis: L = 3 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 9 Beispiel: x x - = 0 *. Methode: Überprüfen der Bedingung des Definitionsbereichs D Bedingung: x - 4 > 0 x - > 0 * x - 4 = x - (.. ) > 0 > 0 x - 4 = x - x - x - 3 = 0 - ( - ) 3 = x = 3 Bedingung für x = 3 : 3-4 > > 0 Bedingung für : ( -) - 4 > 0. ( -) - > 0 f Ergebnis: L = 3 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 0 5

6 Beispiel: x x - = 0 3. Methode: Probe * * x - 4 = x - x - 4 = x - x - x - 3 = 0 x = 3 - ( - ) 3 (.. ) = Probe für x = 3 : = 0 Probe für : ( -) ( -) - ( n. def. ) f Ergebnis: L = 3 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie Lösungsverfahren für bestimmte Formen von Gleichungen Eine Gleichung ist gelöst, wenn die Variable auf der einen Seite allein steht und auf der anderen Seite nicht vorkommt. Dies bedeutet also auch, dass die Variable nur einmal in der Gleichung auftritt. Gleichungen, in denen die Variable mehrfach auftritt, sind also nur dann lösbar, wenn sie so umgeformt werden können, dass die Variable nur einmal auftritt..) Polynomiale Gleichungen a) lineare Gleichungen a. x b = 0 x = - b a. x 3-5. x 4 = - 4. x. x - 5. x 4. x = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 6

7 b) quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen können durch quadratische Ergänzung oder direkt durch die sich daraus ergebenden Formeln gelöst werden. Beispiel 4x - 3x 48 = 0 x - 8x = 0 ( ) 8 x - 8x = - 8 ( ) ( x - 4 ) = 4 x - 4 = x - 4 = - x = 6 x = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 3 b) quadratische Gleichungen Um diese Umformungen nicht in jedem einzelnen Beispiel durchführen mel, mit der man die konkreten Beispiele einfacher lösen kann. zu müssen, führt man sie einmal allgemein durch und erhält so eine Fora. x b. x c = 0 : a x p. x q = 0 x px p ( ) = - q ( ) p p = b a ( x ) = - q p ( ) x p p = - q, q = c a p ( ) ( ) p p - q Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 4 7

8 b) quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen können also mit folgenden Formeln gelöst werden: x px q = 0 p ( p ) - q p = b a q = c a a. x b. x c = 0 x = - b b - 4. a. c. a Beispiel 4x - 3x 48 = 0 x = 3 ( - 3 ) = / 6 4x - 3x 48 = 0 x - 8x = ( ) - = / 6 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 5 c) kubische Gleichungen und Gleichungen vom Grad 4 a. x 3 b. x c. x d = 0 bzw. a. x 4 b. x 3 c. x d. x e = 0 Gleichungen vom Grad 3 oder 4 sind zwar noch allgemein lösbar. Die zugehörigen Formeln sind aber so kompliziert, dass wir sie nicht benutzen. d) Gleichungen vom Grad 5 und höher Gleichungen vom Grad 5 und höher sind nicht allgemein, sondern nur in Einzelfällen exakt lösbar. Wie die Gleichungen vom Grad 3 und 4 werden sie daher numerisch gelöst ( z.b. mit dem Newton- Verfahren, siehe. Semester ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 6 8

9 e) Lösbare Spezialfälle von polynomialen Gleichungen ab Grad 3 kein absoluter Summand. x 3 3. x 4. x = 0 x.(.x 3. x 4) = 0 x = 0. x 3. x 4 = x 5 3. x 4 4. x 3 = 0 x 3.(.x 3. x 4) = 0 x = 0. x 3. x 4 = 0... biquadratische Gleichungen. x 4 3. x 4 = 0. z 3. z 4 = 0 z = x. x 6 3. x 3 4 = 0. z 3. z 4 = 0 z = x Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 7.) Wurzelgleichungen Siehe obige Beispiele, z.b. zum Definitionsbereich 3.) Betragsgleichungen Beispiel: x = x - Die Variable x taucht in dieser Gleichung zweimal auf. Dies kann sich nur nach Auflösung der Betragsstriche ändern. Dies ist möglich mit der Formel x = x für x > 0 - x für x < 0 Ebenso gilt nämlich x = > x für x 0 - ( x ) für x < 0 Man kann also den Betrag auflösen, indem man x entweder durch x oder durch - ( x ) ersetzt. Dazu muss man aber das Vorzeichen von x kennen. Daher macht man eine Fallunterscheidung. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 8 9

10 Fall: x > 0 D = > - x = x - x = x - x - x - = 0 x = - ( - ) ε D = > - ε D = > - L = - ;. Fall: x < 0 D = < - x = x - - ( x ) = x - x = 0 ε D = < - ε D = < - x x = 0 L = - Ergebnis: L = L L = - ; Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 9 Formales Vorgehen bei Fallunterscheidungen Fallunterscheidungen werden in vielen verschiedenen Zusammenhängen benutzt, wenn die nächste Umformung von Voraussetzungen (z.b. dem Vorzeichen eines echenterms) abhängt, die nicht bekannt sind. Dabei ist zu beachten: Jeder der einzelnen Fälle hat einen eigenen Definitionsbereich. Die Lösungen der einzelnen Fälle sind nur dann wirklich Lösungen, wenn sie zum Definitionsbereich des jeweiligen Falles gehören, in dem sie als Lösung auftreten. Die Vereinigung der Definitionsmengen muss die Definitionsmenge der gegebenen Gleichung sein. Die Vereinigung der Lösungsmengen der einzelnen Fälle ist die Gesamtlösungsmenge. Die Untersuchung der einzelnen Definitionsbereiche kann dabei auf jede der drei bekannten Arten erfolgen: Definitionsbereich bestimmen oder Bedingungen prüfen oder Probe. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 0 0

11 Graphisches Lösungsverfahren Man setzt die beiden Seiten einer Gleichung jeweils mit y gleich, zeichnet die beiden Graphen und bestimmt die x - Koordinaten ihrer Schnittpunkte. Beispiel: x = x - y y = x - y = x - x L = - ; Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie Gleichungssysteme Gleichungssysteme werden gelöst, indem man durch geeignete Addition bzw. Subtraktion von Gleichungen, bzw. durch Auflösen einer der Gleichungen nach einer der Variablen und Ersetzen dieser Variablen in der / den anderen Gleichung(en) zu einer Gleichung mit nur einer Unbekannten umformt. Beispiel : x y = x - y = 4 Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man x = 6 x = 3 Durch Einsetzen dieses x-wertes in eine der beiden gegebenen Gleichungen ( z.b. in die erste ) erhält man 3 y = y = - Die Lösung des Gleichungssystem ist das Zahlenpaar bzw. der Punkt ( x / y ) = ( 3/ - ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie

12 Beispiel : x. y = x 4 x. y = y 6 y = x 4 x = 4 x Die erste Gleichung ist damit nach der Variablen y aufgelöst. Das Ergebnis wird nun in die zweite Gleichung eingesetzt: x 4 x. = 4 x x 6 4 x - 3 = x x - 3. x - 4 = 0-3 ( - 3 ) 4 3 = 5 = 4 / - Durch Einsetzen der Lösungen für x in eine der gegebenen Gleichungen erhält man z.b. für x = 4 : 4. y = 4 4 für : ( -). y = - 4 y = y = - 3 Die Lösungsmenge ist also L = ( 4/ ) ; ( - / - 3 ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 3 Graphisches Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit Unbekannten Jede gegebene Gleichung hat einen Graph. y Die Schnittpunkte der (beiden) Graphen entsprechen den Lösungen. Beispiel: x. y = x 4 x. y = y 6-4 x y = 4 x - 3 y = 6 x - L = ( - / - 3 ) ; ( 4/ ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.6 Folie 4

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