12 Die komplexen Zahlen

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1 12 Die komplexen Zahlen 269 Motivation: Die Gleichung x 2 = 1 hat in R keine Lösung. Deshalb efinieren wir ie imaginäre Einheit i mit er Eigenschaft i 2 = 1. Ferner vereinbaren wir, ass mit ieser Zahl genauso gerechnet wir wie mit reellen Zahlen. Beispiel 12.1 a) (4 + 3i) + (2 i) = (4 + 2) + (3i i) = 6 + 2i. b) (4 + 3i) (2 i) = ( i) + 3i 2 + 3i ( i) = 8 4i + 6i 3 }{{} i 2 = i. = 1 Definition 12.1 Die Zahl z = a + ib mit a, b R heißt komplexe Zahl. Ist z = a + ib, so heißt a er Realteil von z, geschrieben a = Re z, un b heißt er aginärteil von z, geschrieben b = z. Die Menge er komplexen Zahlen bilet mit en Verknüpfungen +, einen Körper, as heißt, es kann mit en komplexen Zahlen gerechnet weren wie in R. Der Körper er komplexen Zahlen wir mit C bezeichnet. Bemerkung: Ist er aginärteil eine komplexen Zahl Null: z = a + 0i, so ist iese Zahl reell. Zeichnerisch stellt man ie komplexen Zahlen als Punkte in er komplexen Ebene ar. 1 + i2 i 3 + i 0 1 Re Die Aition von zwei komplexen Zahlen 5+0i kann als Vektoraition in er komplexen Ebene veranschaulicht weren. i 1+2i 6+2i 0 1 Re Die mit Re bzw. bezeichnete Koorinatenachse nennt man reelle bzw. imaginäre Achse.

2 270 Beispiel 12.2 a) (4 3i) (1 + 5i) = 3 8i. b) Die Gleichung z 2! = a = ( 1) ( a) mit a R hat in C immer zwei Lösungen, falls a 0: i) a > 0 : z 1,2 = ± a ii) a < 0 : z 1,2 = ±i a }{{} >0 (enn ( ±i a )2 = (±i) 2 ( a )2 = ( a) = a) Bemerkung 12.1 a) Das Wurzelzeichen war für reelle Zahlen aurch eineutig efiniert, ass festgelegt wure, ass a > 0 für a > 0 gelten soll. Bei komplexen Zahlen ist eine solche Festlegung nicht möglich, a es keine natürliche Definition von z > 0 bei komplexen Zahlen gibt. b) Die Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 0, wie sie in Abschnitt 1.3 eingeführt wuren, sin auch für komplexe Basen efiniert, un ie ort formulierten Regeln gelten auch für komplexe Basen. Für weitere Definitionen un Regeln, ie wir in iesem Abschnitt brauchen, wie etwa z n := 1 z n für n N, (z w)m = z m w m für m Z, (z w ) m = z w m für m Z (12.1) wure für reelle z un w ie allgemeine Potenzefinition (5.10) verwenet. Bei komplexen Größen z, w C brauchte man azu z.t. en Logarithmus von komplexen Zahlen, er uns bisher nicht zur Verfügung steht. Daher leiten wir iese Formeln ohne Verwenung von (5.10) her: z n := 1 ist eine sinnvolle Definition; enn ie formale Anwenung er Multiplaktionsregel zn (1.3) ergibt für n N: z n z n = z n n = z 0 = 1 = z n Für n N gilt: 1 z n. (z w) n = (z w) (z w) (z w) }{{} n mal (z w) n = = z } z {{ z} n mal 1 (z w) = 1 n z n w = 1 n z 1 n w = n z n w n, w } w {{ w} = z n w n, n mal

3 271 (z w) 0 = 1 = z 0 w 0, (z w ) n = z w z w z w }{{} n mal n mal {}}{ = zw + w + + w = z w n, (z w ) n = 1 (z w ) n = 1 z w n = z w n = z w ( n) un 3 (z w ) 0 = 1 = z w 0. Beispiel 12.3 Die Gleichung az 2 + bz + c = 0 mit a, b, c R hat folgene Lösungen z C (Mitternachtsformel): a) b 2 4ac > 0 : z 1,2 = b ± b 2 4ac 2a b) b 2 4ac = 0 : z 1 = z 2 = b 2a c) b 2 4ac < 0 : z 1,2 = b ± i 4ac b 2 Definition 12.2 Es sei z := a + ib. Dann heißt z := a ib ie konjugiert komplexe Zahl zu z. Ferner heißt z := a 2 + b 2 er Betrag von z. 2a z 1 i 0 z = a + ib z 1 Re z = a ib z 1 3 Eigentlich müsste man bei Aussage un Beweis er 3. Regel etwas sorgfältiger sein (vergl. (12.18), (12.19) un (12.20)). Für ie Anwenungen in iesem Abschnitt genügen aber iese saloppen Formulierungen.

4 272 Beispiel 12.4 a) z := 2 + 3i, z = 2 3i, z = = 13. b) Ist z = a reell, so gilt z = a = a. c) z z = (a + ib)(a ib) = a 2 (ib) 2 = a 2 i 2 b 2 = a 2 + b 2 = z 2 z z = z 2. ) (4 3i) (4 3i) = (4 3i) (4 + 3i) = 4 2 (3i) 2 = = 25. e) z + z = a + ib + a ib = 2 a = 2 Re z, z z = a + ib a + ib = 2i b = 2i z Bei einem Quotienten von zwei komplexen Zahlen macht man urch Erweiterung mit em konjugiert Komplexen es Nenners en neuen Nenner reell un kann so ie Division urchführen. Beispiel i 4 3i Für en Betrag gilt wie im Reellen: (1 + 5i)(4 + 3i) i(20 + 3) = = (4 3i)(4 + 3i) 25 = i z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 für z 2 0, (12.2) z 1 + z 2 z 1 + z 2 Erweiterung er Exponentialfunktion: Die in (11.8) angegebene Reihe für ie Exponentialfunktion ist auch für ann überall konvergent, wenn x R urch z C ersetzt wir. Also ist ie Exponentialfunktion urch e z := exp z := k=0 sinnvoll efiniert, wobei u.a. auch ie wichtige Eigenschaften z k k! = 1 + z + z2 2! + z3 3! + + zn n! + z C (12.3) e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, e z 2 = 1 e z 2 un ez 1 z 2 = e z 1 e z 2 = ez1 e z 2 für z 1, z 2 C (12.4) (vergl. (5.4) un (5.5)) erhalten bleiben. Ein anerer wichtiger Zusammenhang ergibt sich ebenfalls aus (12.3). Für ein reelles ϕ gilt nämlich: e iϕ (iϕ) k (iϕ) k (iϕ) k = = + k! k! k! k=0 k=0, k gerae k=0, k ungerae

5 = ν=0 (iϕ) 2ν (2ν)! + ν=0 = 273 (iϕ) 2ν+1 (2ν + 1)! = ν=0 ( 1) ν ϕ 2ν (2ν)! ν=0 + i (i 2 ) ν ϕ 2ν (2ν)! ν=0 + i ν=0 ( 1) ν ϕ 2ν+1. (2ν + 1)! (i 2 ) ν i ϕ 2ν+1. (2ν + 1)! Die beien letzten Reihen erkennen wir wieer als ie Taylorreihen für en Cosinus un en Sinus (vergl. (11.10) un (11.11)), un amit erhalten wir ie wichtige als Eulersche Relation bekannte Beziehung: e iϕ = cosϕ + i sin ϕ für ϕ R. (12.5) Bemerkung 12.2 a) Es gilt e 0i = cos 0+i sin0 = 1 = e 0 un arüberhinaus sogar für l Z Daraus folgt unmittelbar nach (12.4): e 2lπi = cos(2lπ) + i sin(2lπ) = 1 + i 0 = 1 (12.6) e iϕ ist also eine 2π perioische Funktion von ϕ R. b) Es gilt e z 1 für z / {2lπi l Z}. e iϕ+2lπi = e iϕ e 2lπi = e iϕ 1 = e iϕ. (12.7) c) Es gilt 1/e iϕ = e iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cosϕ i sin ϕ = e iϕ für ϕ R. ) Für α, ϕ R gilt: un amit, a e α > 0 ist, e α+iϕ = e α e iϕ = e α (cos ϕ + i sin ϕ) = e α cosϕ + ie α sin ϕ (12.8) e α+iϕ = e α cosϕ + i sin ϕ = e α cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = e α. (12.9) Insbesonere ist e iϕ = 1 für ϕ R, un ϕ R kann als Winkel intepretiert weren: e iϕ = cosϕ + i sin ϕ sin ϕ ϕ }{{} 0 cosϕ Re

6 274 Dabei ist er Winkel im Bogenmaß anzugeben; enn es ist z.b. e 90i = i un nicht = cos 90 + i sin 90 = i e) e iπ = cosπ + i sin π = 1 + i 0 = 1. f) e ikπ = ( e iπ) k = ( 1) k = 1 { +1 für k Z un k gerae für k Z un k ungerae Die Formel (12.9) bietet eine zweite für viele Anwenungen zweckmäßige Darstellungsmöglichkeit er komplexen Zahlen; enn für z 0 ist z/ z = z / z = 1 un amit kann z/ z urch e iϕ argestellt weren. Wir erhalten so ie Polararstellung ( ) z z = z z = re iϕ (= r cosϕ + ir sin ϕ) mit r = z. (12.10) Dabei ist auch r = z = 0 zugelassen, wobei ann aber ϕ beliebig gewählt weren könnte. Außerem ist wegen (12.7) ϕ für z 0 erst ann eineutig bestimmt, wenn wir uns auf ein Perioenintervall festlegen. Es gibt afür verschieene Möglichkeiten. Auf ie unten gewählte Umrechnungsformel passt as Intervall π < ϕ π. z r = z i b := z ϕ }{{} 0 1 Re a := Re z Aus en Beziehungen b = r sin ϕ 0 für 0 ϕ π, b = r sin ϕ < 0 für π < ϕ < 0 un a = r cos ϕ = r cos( ϕ) ergibt sich ann ie folgene Umrechnung auf Polararstellung: ( z := a + ib = r e iϕ (12.7) ) = r e i(ϕ+2 l π), l Z mit r = z = a 2 + b 2 un ϕ = { arccos(a/r) für b 0, arccos(a/r) für b < 0, (12.11)

7 275 wobei er arccos entsprechen er Auswertung in Rechnern Werte zwischen 0 un π annimmt. Der oben bestimmte Winkel ϕ liegt tatsächlich zwischen ( π) un π. Bei aneren Umrechnungsformeln erhält man u.u. einen aneren Bereich für ϕ. Beispiel 12.6 z 1 := 1 + 2i, z 2 := 1 + 2i, z 3 := 1 2i: r 1 = 5, b 1 = 2 0 ϕ 1 = arccos 1 5 = 1.11( = 63.4 ) r 2 = 5, b 2 = 2 0 ϕ 2 = arccos 1 5 = 2.03( = ) r 3 = 5, b 3 = 2 < 0 ϕ 3 = arccos 1 5 = 2.03( = ) Aus er Polararstellung kann man ann ie kartesische Darstellung leicht zurückgewinnen: 1 + 2i 1 1 2i i 0 1 z 1 = 5(cos i sin 1.11) = i z 2 = 5(cos i sin 2.03) = i z i = 5(cos( 2.03) + i sin( 2.03)) = i Re Mit en Rechenregeln für ie Exponentialfunktion folgt sofort: Satz 12.1 Es sei z 1 = r 1 e iϕ 1, z 2 = r 2 e iϕ 2. Dann gilt a) z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) (Beträge weren mult., Winkel aiert), b) z 1 z 2 = r 1e iϕ1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ) (Beträge weren iviiert, Winkel subtrahiert), c) Für m Z un z 1 0 gilt: z m 1 = rm 1 eimϕ 1 (Betrag hoch m, Winkel mit m multipliziert).

8 276 Bei er letzten Formel spielt ie Perioizität wegen m Z keine Rolle; enn es gilt, a mit m un l auch m l ganzzahlig ist: e im(ϕ 1+2lπ) = e imϕ 1 e 2mlπi = e imϕ 1. Beispiel 12.7 a) Sei a 0, a = r e iϕ. Die Gleichung z 2 = a besitzt ie zwei Lösungen z 1 = } r e iϕ/2 z 2 = r e i(ϕ+2π)/2 = r e iϕ/2 e iπ = z r e iϕ/2 1,2 = ± r e iϕ/2. b) Berechnung von hohen Potenzen komplexer Zahlen: ( (2 + 2i) /2 z = ( 1 3i) = e iπ/4) /2 e 16iπ/2 20 (2e 2iπ/3 ) 20 = = e i(4π ( 40π/3)) 2 20 e 2 20iπ/3 = 2 4 e 52iπ/3 = 16e 17iπ+i(π/3) = 16e 17iπ e i(π/3) = 16 ( 1) 17 e ( iπ/3 ( = 16 cos π 3 + i sin π ) ) 1 3 = i = 8 8 3i 2 Ermittlung er verweneten Polararstellungen: 2 + 2i = 2 3/2 e iπ/4 ; enn es gilt: r 1 := 2 + 2i = = 2 3 = 2 3/2 un (2 + 2i) = 2 0 ϕ 1 = arccos(2/2 3/2 ) = π/4 1 3i = 2 e 2iπ/3 ; enn es gilt: r 2 := 1 3i = ( 3) 2 = = 2 un ( 1 3i) = 3 < 0 ϕ 2 = arccos( 1/2) = 2π/3 Für ie Behanlung er Differentialgleichungen im nächsten Abschnitt brauchen wir schließlich noch ie Ableitungsformel t etλ = λe tλ, (12.12) ie für eine komplexe Konstante λ un eine reelle Variable t gültig ist, was am Besten über ie Exponentialreihe zu beweisen ist: t etλ = t (tλ) k = k! k=0 k=0 t k λ k t k! = λ k=1 t k 1 λ k 1 (k 1)! k 1=:l = λ l=0 t l λ l l! = λe tλ.

9 277 Außerem benötigen wir noch ie Beziehung e z = exp(re z i z) = exp(re z) exp( i z) = exp(re z) (cos( z) + i sin( z)) = exp(re z) (cos( z) i sin( z)) = exp(re z) (cos( z) + i sin( z)) = exp(re z) exp(i z) = exp(re z)) exp(i z) = e z (12.13) Bei er Herleitung er Formel wure neben er Eulerschen Relation (12.5) un er Formel (12.4) ie folgenen Regel benutzt: Für α R un z C gilt: Re (αz) = Re (α(re z + i z)) = Re (αre z + iα z)) = αre z (αz) = (α(re z + i z)) = (αre z + iα z)) = α z (12.14) Schließlich gilt bei komplexwertigen Funktionen einer reellen Veränerlichen: ( ) ( ) ( ) Re x f(x) = Re (Re f(x) + i f(x)) = Re x x Re f(x) + i f(x)) x ( ) x f(x) = Re f(x), x( ) = (Re f(x) + i f(x)) = x ( ) x Re f(x) + i f(x)) x = x f(x), (12.15).h. Realteilbilung un Ableitung sowie aginäteilbilung un Ableitung sin vertauschbar. Der nun folgene letzte Teil von Kapitel 12 wir im Sommersemester 2010 nicht in er Vorlesung un in er Übung behanelt un ist aher für ie Klausuren im 2. Halbjahr 2010 un im 1. Halbjahr 2011 nicht klausurrelevant. Die Umrechnung in ie Polararstellung erweist sich als besoners günstig bei er Bestimmung von Wurzeln aus einer komplexen Zahl. Wenn wir nämlich von er Polararstellung ausgehen, n erhalten wir für n N urch unkritisches Übertragen von (5.15): z = z 1/n = (re iϕ ) 1/n = r 1/n e iϕ/n. Wir müssen aber berücksichtigen, ass wir ϕ auf ein Perioenintervall festgelegt haben. Berücksichtigt man ie Perioizität von e iϕ, so erhält man für z 0 nicht eine Wurzel

10 278 sonern genau n verschieene Wurzeln, was wir urch einen Inex kennzeichnen: ( n ) z = ( z 1/n) ( (r = ) ) k k e iϕ 1/n := ( r e i(ϕ+2kπ)) 1/n k = r 1/n e i(ϕ+2kπ)/n = r 1/n e iϕ/n e 2ikπ/n, k = 0, 1,..., n 1, (12.16) wobei für ie konkrete Ausrechnung einer er letzten beien Ausrücke zur Auswahl steht. Dass ie genannten n Werte für k reichen, sieht man sofort, wenn man zu k ein ganzzahliges Vielfaches von n aiert: e i(ϕ+2(k+nl)π)/n = e i(ϕ+2kπ)/n e 2nlπi/n = e i(ϕ+2kπ)/n e 2lπi = e i(ϕ+2kπ)/n 1 = e i(ϕ+2kπ)/n für l Z. Nun ist aber ie in (12.16) benutzte Potenzierung einer komplexen Zahl mit einem Exponenten / Z eigentlich noch nicht erlaubt. Wir können mit Hilfe von (12.4) aber leicht klären, ass mit (12.16) tatsächlich alle Lösungen er Gleichung w n! = z erfasst sin: Wir prüfen azu, wann eine beliebige komplexe Zahl 0, ie wir urch wir urch w := 1/n e iϕ/n e 2ikπ/n, > 0, k R, arstellen können, eine Lösung er Gleichung w n! = z ist: Aus (12.4) folgt w n = ( 1/n) n ( e iϕ/n ) n ( e 2ikπ/n ) n = n/n e inϕ/n e 2iknπ/n = e iϕ e 2ikπ = z r e2ikπ = z = r k Z. Da wir oben gezeigt haben, ass man k noch weiter einschränken kann, erhalten wir, ass mit en (12.16) angegebenen komplexen Zahlen alle Lösungen von w n! = z erfasst sin. Beispiel 12.8 Es sollen ie ritten Wurzeln er komplexen Zahl ( 1 + 2i) bestimmt weren. Dazu brauchen wir ie bereits in Beispiel 12.6 bestimmte Polararstellung: 1 + 2i = 5 e 2.03i. Damit gilt ( i) k = ( 5) 1/3 e i(2.03+2kπ)/3 = 6 5 un wir erhalten ie rei Wurzeln: ( kπ cos + i sin 3 ( i) 0 = 1.31 (cos i sin 0.68) = i ) kπ, k = 0, 1, 2, 3

11 279 ( i) 1 = 1.31 (cos i sin 2.77) = i ( i) 2 = 1.31 (cos i sin 4.87) = i Wir führen jetzt analog zu (5.10) ie Potenzen ein, bei enen sowohl ie Basis als auch er Exponent eine komplexe Zahl ist: Für ie komplexe Zahl z = r exp(iϕ)(= exp(ln r) exp(iϕ) = exp(ln r+i(ϕ+k 2π)), r > 0, π < ϕ π, k Z, (12.17) efinieren wir (z w ) k := exp(w ln r + i (ϕ + k 2π) w), w C, k Z. (12.18) Es ist also nicht wie im Reellen z w eineutig zu efinieren, sonern man muss berücksichtigen, ass z = r exp(i(ϕ + k 2π)) für alle k Z gilt un erhält so u.u. unenlich viele Potenzen z.b. bei (z ) k := exp (3.12 ln r 1 + i (ϕ 1 + k 2π) 3.12) = exp(3.12 lnr 1 ) exp(3.12 i ϕ 1 ) exp(6.24kiπ), k Z, wobei z 1, r 1 un ϕ 1 ie Größen aus Beispiel 12.8 sin. Auch bei er Basis e müsste man ie Definition (12.18) anwenen, also (e w ) k := exp(1 w + i (0 + k 2π) w) = (exp w) exp(k 2π w), k Z. Die früher angegebene un allgemein übliche Gleichsetzung e w := exp w ist also eigentlich nicht korrekt. Trotzem weren wir sie in en nächsten Kapiteln, bei enen ie Mehreutigkeit ignoriert weren kann, verwenen. Bei ganzzahligen Exponenten m Z kann ie Mehreutigkeit ohnehin ignoriert weren: Für ie in er Polararstellung (12.17) gegebene komplexe Zahl z erhalten wir für m Z: (z m ) k := exp(m ln r+i (ϕ+k 2π) m) = exp(m ln r) exp(i m ϕ) exp(k m i 2π) = r m exp(i m ϕ) (r exp(iϕ)) (r exp(iϕ)) (r exp(iϕ)) = (r exp(iϕ)) }{{} m für m N m mal = r 0 exp(i 0 ϕ) = 1 = (r exp(iϕ)) 0 für m = 0 1 r m exp(i ( m) ϕ) = 1 r m (exp(i ϕ)) = 1 m (r exp(i ϕ)) = (r m exp(iϕ))m für ( m) N

12 280 für alle k Z,.h. (z m ) k ist von k unabhängig un stimmt mit er in Abschnitt 1.3 bzw. in (12.4) gegebenen Definition von z m überein. Mit er Potenzefinition (12.18) lassen sich soweit nicht schon geschehen ie in (5.15) gesammelten Potenzrechenregeln ins Komplexe übertragen: Für a := r exp(iϕ), r > 0, π < ϕ π un b := exp(iψ), > 0, π < ψ π erhalten wir (a z ) 0 (a w ) 0 = exp(z ln r + izϕ) exp(w ln r + iwϕ) = exp(z ln r + izϕ + w ln r + iwϕ) = exp((z + w) lnr + i(z + w)ϕ) = (a z+w ) 0 (a z ) 0 (b z ) 0 = exp(z ln r + izϕ) exp(z ln + izψ) = exp(z(ln r + ln ) + iz(ϕ + ψ)) = exp(z ln(r ) + iz(ϕ + ψ)) ((a b) z ) 0 für π < ϕ + ψ π = ((a b) z ) 1 für ϕ + ψ > π ((a b) z ) 1 für ϕ + ψ π (a z 1 ) 0 = exp(( z) ln r + i( z)ϕ) = exp( (ln r + iϕ)z) = exp((ln r + iϕ)z) 1 = (12.19) (a z ) 0 (a z ) 0 exp(z ln r + izϕ) = = exp(z ln r + izϕ (w ln r + iwϕ)) (a w ) 0 exp(w ln r + iwϕ) = exp((z w) lnr + i(z w)ϕ) = (a z w ) 0 (a z ) 0 exp(z ln r + izϕ) = = exp(z ln r + izϕ (z ln + izψ)) (b z ) 0 exp(z ln + izψ) = exp(z ln(r ) + iz(ϕ ψ)) ((a/b) z ) 0 für π < ϕ ψ π = ((a/b) z ) 1 für ϕ ψ > π ((a/b) z ) 1 für ϕ ψ π

13 281 Um eine Formel für (a z ) w herzuleiten, benötigen wir noch einen Zwischenschritt: Mit a := r exp(iϕ), r > 0, π < ϕ π un z = x + iy, x, y R gilt (a z ) 0 = exp(z ln r + izϕ) = exp(x ln r yϕ + i(y ln r + xϕ)) Allgemeinen ist (y ln r + xϕ) nicht im Intervall ( π, π], sonern in einem passen verschobenen Intervall,.h. es gibt eine ganze Zahl l, ie von a un z abhängt, mit π + 2lπ < y ln r + xϕ π + 2lπ. Damit erhalten wir ((a z ) w 0 ) l = exp ((x ln r yϕ + i(y lnr + xϕ))w) = exp((z ln r + izϕ)w) = exp(zw(ln r + iϕ)) = (a zw ) 0 (12.20)