VORKURS MATHEMATIK FÜR INGENIEURE PD DR. SWANHILD BERNSTEIN, TU BERGAKADEMIE FREIBERG, WINTERSEMESTER 2007/08

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1 VORKURS MATHEMATIK FÜR INGENIEURE PD DR. SWANHILD BERNSTEIN, TU BERGAKADEMIE FREIBERG, WINTERSEMESTER 007/08 Inhaltsverzeichnis 1. Mengen 1.1. Mengenrelationen und -operationen 1.. Zahlenbereiche Intervalle Rechenregeln in R Betrage 5. Polynomdivision 5.1. Umformen von Bruchen 5.. Polynomdivision 7 3. Losen von Gleichungen Einfache Umformungen Was man nicht tun sollte Quadratische Gleichungen 9 4. Ungleichungen Einfache Ungleichungen Ungleichungen mit dem Absolutbetrag Systeme von Ungleichungen mit einer Unbekannten Ungleichungen in Veranderlichen Gleichungen Ungleichungen 1 6. Funktionen 6.1. Potenzen und Wurzeln Exponential- und Logarithmusfunktion 7 7. Goniometrie Sinusfunktion Nutzliche Formeln Weitere trigonometrische Funktionen Zusammenfassung: trigonometrische Funktionen Erganzung, Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus 34 1

2 SWANHILD BERNSTEIN 1. Mengen Was sind Mengen? Wir alle haben eine gewisse Vorstellung was Mengen sind. Eine mathematische Denition lautet wie folgt: Definition 1. Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung bestimmter, wohl unterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens mit gemeinsamen Eigenschaften zu einer Gesamtheit. Mengen werden gern grasch als " Kleckse\ (Venn-Diagramme) veranschaulicht. Man kann Mengen durch das Aufzahlen bzw. die Angabe ihrer Elemente M = {1,, } oder auch durch die Angabe der Eigenschaft(en) ihrer Elemente B = {r R : r < 0}, B ist die Menge aller reellen Zahlen r, die kleiner als Null sind.\ " beschreiben. Falls m eine Element der Menge M ist, so schreibt man m M, ist dagegen n kein Element von M, so schreibt man n M. Die leere Menge, ist die Menge, die keine Elemente enthalt. Sie wird mit bezeichnet Mengenrelationen und -operationen. Die wichtigsten Relationen (Beziehungen) zwischen Mengen sind die Gleichheit und das Enthaltensein. Definition. Zwei Mengen A und B heien gleich (A = B), wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist und umgekehrt. Die Menge A heit Teilmenge (Untermenge) einer Menge B bzw. A ist in der Menge B enthalten (A B), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Eine Menge A heit echte Teilmenge der Menge B (A B) wenn es wenigstens ein Element von B gibt, das nicht zu A gehort. Die wichtigsten Operationen mit Mengen sind die Vereinigung, der Durchschnitt und die Dierenz :

3 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 3 Definition 3. Unter der Vereinigung M zweier Mengen A und B (A vereinigt mit B) versteht man die Menge aller Elemente, die wenigstens einer der beiden Mengen A und B angehoren: M = A B := {x : x A oder x B}. Unter dem Durchschnitt M zweier Mengen A und B (A geschnitten mit B) versteht man die Menge aller Elemente, die zugleich beiden Mengen A und B angehoren: M = A B := {x : x A und x B}. Unter der Dierenz M zweier Mengen A und B (Dierenz(menge) von A und B) versteht man die Menge aller Elemente, die zu A, aber nicht zu B gehoren: M = A\B := {x : x A und x B}. Unter dem kartesischen Produkt M zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a A und b B : M = A B = {(a, b) : a A und b B}. A\B A B B\A

4 4 SWANHILD BERNSTEIN 1.. Zahlenbereiche. Wir bezeichnen die Zahlenbereiche wie folgt N = {1,, 3,...} Z = {..., 1, 0, 1,, 3,...} Menge der naturlichen Zahlen, = {z : z N oder z N oder z = 0} Menge der ganzen Zahlen, Q = {q : q = z, z Z, n N} n = {q : q ist eine endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl} Menge der rationalen Zahlen, R = {r : r ist eine endliche oder unendliche Dezimalzahl Menge der reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen Q und den irrationalen Zahlen R\Q. Von Bedeutung sind auerdem die folgenden Spezialfalle: N 0 = {0, 1,, 3,...} = {0} N, R + = {r R : r > 0}, R + 0 = {r R : r 0} Intervalle. Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen R : (a, b) = ]a, b[ = {x R : a < x < b} oenes Intervall, [a, b) = [a, b[ = {x R : a x < b} halboenes Intervall, (a, b] = ]a, b] = {x R : a < x b} halboenes Intervall, [a, b] = {x R : a x b} abgeschlossenes Intervall Rechenregeln in R. Fur beliebige reellen Zahlen a, b, c R gilt (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativitat der Addition a + 0 = a a + ( a) = 0 a + b = b + a Kommutativitat der Addition (a b) c = a (b c) Assoziativitat der Multiplikation a b = b a a (b + c) = a b + a c a 1 = a. Kommutativitat der Multiplikation Distributivgesetz

5 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 5 Fur alle reellen Zahlen a R mit a 0 gilt: 1.5. Beträge. a a 1 = a 1 a = 1. Definition 4. Zu a R heit der Betrag von a. a := { a, falls a 0, a, falls a < 0, Geometrisch bedeutet a b den (nichtnegativen) Abstand der reellen Zahlen a, b auf der Zahlengeraden. Eigenschaften: (1) a 0, fur alle a R, () a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist, (3) ab = a b, fur alle reellen Zahlen a, b (4) a + b a + b (Dreiecksungleichung)..1. Umformen von Brüchen. Bruche sind Ausdrucke der Gestalt a b. Polynomdivision Die Division durch Null ist nicht erklärt! mit i. Allg. reellen Zahlen a, b R und b 0. Oensichtlich ist a : b = a. Man kann Bruche bilden, deren Zahler oder Nenner b wiederum Bruche sind: a b c (b, c 0), Rechenregel fur Doppelbruche: Beweis: Anwenden von Potenzgesetzen: a b c d a b c (b, c 0), a a b c d = a d b c. b c, (b, c, d 0). d = a 1 b c 1 = a b 1 c d = a d 1 b 1 (c d 1 ) 1 = a b 1 c 1 d = ad(bc) 1 = ad bc. Bei Mehrfachbruchen muss der Hauptbruchstrich klar erkennbar sein, denn es ist i. Allg. a b c a b c (b, c 0),

6 6 SWANHILD BERNSTEIN zum Beispiel ist 1 4 = 4 = 8 aber 1 4 = 4 = 0, 5!! Man kann jeden Bruch a, b 0, mit einer reellen Zahl c 0 erweitern, d.h. Zahler b und Nenner werden mit c multipliziert, bzw. kurzen, d.h. Zahler und Nenner werden durch c dividiert, ohne seinen Wert zu verandern: a b = ac, b, c 0. bc Man beachte, dass man nur Faktoren aber keine Summanden k urzen kann. Denn: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Das Erweitern wendet man an, um mehrere Bruche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Denn man kann nur Bruche mit gleichem Nenner addieren oder subtrahieren: Beispiele: a b + c d = ad bd + cb db = = ad + cb =, b, d 0. db = = 13 6, + 1 = + 1 = 3, Fur a, b 0 ist: 5ab 40b 5b + 7a b 63ab 9ab = (5ab 40b )9a 5b 9a + 5(7a b 63ab ) 5 9ab = (5ab 40b )9a + ( 5(7a b 63ab )) 45ab = 5 9a b 9 40ab 5 7a b ab 45ab = ( )a b + ( )ab = 5 9(5 3)a b + 5 9(7 8)ab 45ab 45ab = 90a b 45ab 45ab = 45ab(a b) 45ab Man konnte aber auch anders vorgehen: = a b ( 1) = b a. 5ab 40b 5b(5a 8b) = = 5a + 8b und 7a b 63ab 9ab(3a 7b) = = 3a 7b 5b 5b 9ab 9ab 5ab 40b und damit + 7a b 63ab = 5a + 8b + 3a 7b = b a. 5b 9ab

7 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 7.. Polynomdivision. Manchmal ist aber gar nicht klar, ob man den Nenner ausklammern kann oder nicht. Hier hilft die Polynomdivision. Die Polynomdivision wird wie schriftliches Dividieren durchgefuhrt: Beispiele: Ist a 3 b 3 durch a b fur a b 0 teilbar? (a 3 b 3 ) : (a b) = a + ab + b a 3 a b a b b 3 a b ab ab b 3 ab b 3 Ja, es ist (a 3 b 3 ) : (a b) = a + ab + b. Ist 35a + 4ab 15ac + 4b 6bc durch 5a + b fur 5a + b 0 teilbar? 0 (35a + 4ab 15ac +4b 6bc) : (5a +b) = 7a + b 3c. 35a + 14ab 10ab 15ac 10ab + 4b 4b 15ac + 4b 6bc }{{} = 15ac 6bc 15ac 6bc 0 Ja, es ist (35a + 4ab 15ac + 4b 6bc) : (5a + b) = 7a + b 3c. Ist x + 8xy + 6y durch x + 4xy + 4y teilbar? (x + 8xy + 6y ) : (x + 4xy + 4y ) = x + 8xy + 8y y Nein, da bei der Division der Rest y ubrigbleibt, es gilt: (x + 8xy + 6y ) : (x + 4xy + 4y ) = x + 8xy + 6y x + 4xy + 4y = y x + 4xy + 4y. 3. Losen von Gleichungen Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.

8 8 SWANHILD BERNSTEIN 3.1. Einfache Umformungen. Beispiel: = 3 x = 3 x 3 = 1 x (x 0) x 3 = x ( 1) 3 = x. Man beachte, dass die erste Gleichung nur fur x 0 deniert ist. Alle angegeben Umformungen sind aquivalent, d.h. die Losungsmenge wird durch die Umformung nicht verandert. Achtung! Durch das Ausfuhren nicht denierter Operationen (Division durch Null, Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen, Logarithmieren negativer Zahlen) entstehen unsinnige Ergebnisse, obwohl das nicht unbedingt sichtbar sein muss! 3.. Was man nicht tun sollte. Beispiel: a = b a a = ab b a b = ab b (a + b)(a b) = b(a b) : (a b) a + b = b b a = 0 Das Ergebnis ist unsinnig! Der Fehler wird in der 4. Zeile begangen, wo durch Null dividiert wird, da a b = 0 fur a = b (Ausgangssituation) gilt! Beispiel: x = 3 Quadrieren x = 9 Oensichtlich ist das Ergebnis falsch, da 9 = 3 3 ist. Der Fehler entsteht dadurch, dass die Ausgangsgleichung x = 3 gar keine Losung besitzt, da x immer eine nichtnegative Zahl sein muss. Beispiel: x + 1 = 3 Quadrieren (x + 1) = 3 x + x + 1 = 3 3 x + x = 0 Die entstandene quadratische Gleichung wird nun gelost, man erhalt: x 1, = 1 ± 1 + = 1 ± 3. Oensichtlich erfullt x 1 = 1+ 3 die Ausganggleichung, x = 1 3 aber nicht, da = 3 3 ist.

9 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 9 Die Ursache liegt darin, dass beim Quadrieren die Losungsmenge verandert wird, da ( 3) = ( 3) = 3 ist. Die Gleichung (x + 1) = 3 ist namlich zu (x + 1) = x + 1 = 3 aquivalent. Bemerkung: Obwohl es den Anschein hat, dass das Quadrieren zur Bestimmung von Losungen ungeeignet ist, kommt man doch in vielen Fallen nicht umhin zu quadrieren, um die Losung zu erhalten. Man muss sich aber in so einem Fall ganz besonders uberlegen, was passieren kann und sollte auf alle Falle eine Probe machen Quadratische Gleichungen. Hier benotigt man die binomischen Formeln : (a + b) = a + ab + b, (a b) = a ab + b, a b = (a + b)(a b) Wurzelziehen. Man benutzt, dass a = b 0 aquivalent zu a = b ist und erhalt die beiden Losungen a 1 = b und a = b. Beispiel: (x + 3) = 5 Wurzelziehen x + 3 = 5 Es sind jetzt Falle zu unterscheiden: 1. Fall x + 3 0, dann ist x + 3 = x + 3 = 5 erfullt fur x =.. Fall x + 3 < 0, dann ist x + 3 = x 3 = 5 x = 8 erfullt fur x = 8. Die beiden Losungen der quadratischen Gleichung sind folglich x 1 = und x = Die quadratische Erganzung. Idee: Man wende die binomischen Formeln an und erhalte einen Ausdruck aus dem die Losung durch Wurzelziehen erhalten kann, d.h. bzw. x + Ax + B = x Cx + D = ( x + A ) A 4 + B ( x C ) C 4 + D. Beispiel: Man lose die Gleichung x + 6x + 1 = 4. Wir formen den Ausdruck x +6x+1 zunachst mit Hilfe der binomischen Formel so um, dass ein quadratischer Ausdruck entsteht: x + 6x + 1 = (x + 3) = (x + 3) 8,

10 10 SWANHILD BERNSTEIN dies setzen wir nun in die Gleichung ein: x + 6x + 1 = 4 (x + 3) 8 = 4 +8 (x + 3) = 4 Wurzelziehen x + 3 = Wir losen nun den Betrag auf und erhalten zwei Losungen: x + 3 = oder x 3 = und damit x 1 = 1 und x = Losungsformel. Mit Hilfe der quadratischen Erganzung kann man die folgende Losungsformel fur quadratische Gleichungen beweisen. Satz 1. Die quadratische Gleichung x + px + q = 0 mit p, q R hat fur ( p ) q < 0, keine reellwertige Losung, ( p ) q = 0, genau eine reellwertige Losung x = p ( p ) q > 0, zwei reellwertige Losungen x1/ = p ± ( p, ) q. Beweis: Wir formen zunachst x + px + q mittels der quadratischen Erganzung um: ( x + px + q = x + p ) ( p ) + q. Damit ergibt sich x + px + q = 0 ( x + p ) ( p ) ( p ) + q = 0 + q ( x + p ) ( p ) = q Wurzelziehen Ist ( p ) q < 0, so gibt es keine Losung, da man die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht ziehen kann. Ist ( p ) q 0, so betrachten wir zunachst den Fall ( ) p q = 0, d.h. x + p = 0 x + p = 0 x = p. Ist dagegen ( p ) q > 0, so ergibt sich beim Wurzelziehen ( x + p = p ) q. Gema der Auosung des Betrags erhalten wir nun zwei

11 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 11 Losungen, namlich x 1 = p + ( p ) q und x = p ( p ) q. Geometrische Interpretation: Dazu sind hier die Funktionen dargestellt worden: y = x + x + 1, y = x + x, y = x + x + 3, die eine (doppelte) reelle Nullstelle bei x = 1 besitzt, die zwei reelle Nullstellen bei x 1 = 1 3 und x = besitzt, die keine reelle Nullstelle besitzt Der Satz von Vieta. Mit Hilfe des Satzes von Vieta lassen sich Losungen raten. Satz. Sind x 1, x die beiden Losungen der quadratischen Gleichung x + px + q = 0, so gilt x 1 + x = p und x 1 x = q. ( p Beweis: Nach der Losungformel gibt es reellwertige Losungen x 1/ nur, wenn ) q 0 ist (der Fall nur einer reellwertigen Losung dabei fur x1 = x mit enthalten). In diesem Fall gilt x 1/ = p ± (p ) q. Oensichtlich ist dann x 1 + x = p (p ) + p (p ) q q = p

12 1 SWANHILD BERNSTEIN und ( x 1 x = p ) ( (p ) + q p ) (p ) q ( = p ) ( (p ) q = q ) Kubische Gleichungen. Die Gleichung 3. Grades bzw. kubische Gleichung lautet x 3 + ax + bx + c = 0, mit a, b, c R. Mit einem trickreichen Verfahren, dass auf Cardano zur uckgeht, kann man auch fur diese Gleichung explizite Losungsformeln angeben. Eine schone Darstellung dieser Formeln ndet man hier: Die kubische Gleichung hat immer mindestens eine reelle Losung, es konnen aber auch zwei (in diesem Fall ist eine der beiden reellen Losungen eine doppelte) oder maximal drei reelle Losungen sein. Geometrische Interpretation: Dazu sind hier die Funktionen dargestellt worden: y = x 3 x x + 5, die nur eine reelle Nullstellen besitzt, y = x 3 x x +, die 3 reelle Nullstellen besitzt, y = x 3 3x, die zwei reelle Nullstellen bei x = 1 (diese ist doppelt) und bei x = besitzt, y = x 3 x x 5, die nur eine reelle Nullstelle besitzt. Wir wollen uns mit der Losungsformel nicht weiter beschaftigen, was uns interessiert, ist wie man Losungen erraten kann. Dazu gehen wir davon aus, dass

13 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 13 c 1, c, c 3 R beliebige reelle Zahlen sind. Dann ist (x c 1 )(x c )(x c 3 ) = (x (c 1 + c )x + c 1 c )(x c 3 ) = = x 3 (c 1 + c + c 3 )x + (c 1 c 3 + c c 3 + c 1 c )x c 1 c c 3, d.h. eine Losung der kubischen Gleichung kann als Teiler des Absolutglied c der kubischen Gleichung erraten werden. Bemerkung: Es gibt nur fur Gleichungen bis maximal 4. Grades explizite Losungsformeln. Fur Gleichungen 5. oder hoheren Grades hat bereits Galois nachgewiesen, dass es keine Losungsformeln geben kann. Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x 3 6x +167x 38. Oensichtlich ist Teiler von 38, aber ist x = eine Losung von x 3 6x + 167x 38 = 0? Wir uberprufen dies durch einsetzen: = = 0. Folglich ist x = eine Nullstelle von x 3 6x + 167x 38. Die ubrigen Nullstellen werden nun durch abdividieren (Polynomdivision) des Terms x bestimmt: Wir haben folglich (x 3 6x +167x 38) : (x ) = x 4x x 3 x 4x + 167x 4x + 48x 119x x 38 0 x 3 6x + 167x 38 = (x )(x 4x + 119) Die anderen Nullstellen bestimmen wir nun aus der Losungformel fur die quadratische Gleichung bzw. durch quadratisches Erganzen: x 4x = 0 (x 1) = 0 (x 1) 5 = 0 +5 (x 1) = 5 Wurzelziehen x 1 = 5 und wir erhalten die beiden Losungen x = 17 und x = 7. Wie man leicht nachrechnet ist (x 7)(x 17) = x 4x Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x 3 1x + 47x 60. Oensichtlich ist Teiler von 60, aber ist x = eine Nullstelle von x 3 1x + 47x 60?

14 14 SWANHILD BERNSTEIN Wir uberprufen dies durch einsetzen: = = 6 0! Also ist x = keine Nullstelle. Versuchen wir es mit x = 3, durch einsetzen ergibt sich = = 0. Wir haben also eine reelle Nullstelle, namlich x = 3 gefunden. Die ubrigen Nullstellen wollen wir nun ebenfalls wieder durch Abdividieren ermitteln: Folglich ist (x 3 1x +47x 60) : (x 3) = x 9x + 0 x 3 3x 9x + 47x 9x + 7x 0x 60 0x 60 0 x 3 1x + 47x 60 = (x 3)(x 9x + 0) und wir bestimmen die beiden anderen Nullstellen durch quadratisches Erg anzen: x 9x + 0 = 0 ( x 9 ( ) 9 ) + 0 = 0 ( x 9 ( x 9 ) 1 4 = ) = 1 4 Wurzelziehen x 9 = 1 Die beiden anderen Nullstellen sind damit x = = 5 und x = 9 1 = 4. Wie man leicht nachrechnet ist x 3 1x + 47x 60 = (x 3)(x 4)(x 5). Beispiel: Man bestimme alle reellen Nullstellen von x 3 5x +9x 45. Oensichtlich teilt 5 die 45. Ist x = 5 eine Nullstelle? Einsetzen ergibt: = 0. Die erste Nullstelle ist also x = 5. Durch Abdividieren ergibt sich (x 3 5x +9x 45) : (x 5) = x + 9 x 3 5x 9x 45 9x 45 0 D.h. x 3 5x + 9x 45 = (x 5)(x + 9), da nun aber x + 9 = 0 keine reellwertigen Losungen besitzt, ist x = 5 die einzige reellwertige Nullstelle.

15 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE Ungleichungen 4.1. Einfache Ungleichungen. Beispiel: x + 5 < 9 +x 5 < x < x Man muss aber beim Umformen von Ungleichungen beachten, dass sich das Relationszeichen umkehren kann, z.b. ist 3 < 1 1 < 3. Wird also auf beiden Seiten mit einer negativen reellen Zahl multipliziert, so dreht sich das Relationszeichen um, auerdem ist 0 < a < b 1 b < 1 a und a < b < 0 1 b < 1 a. Andererseits ist < 5 1 < 1 5. Die Ursache fur diesen Sachverhalt liegt darin, dass sich das Relationszeichen bei der Anwendung einer monoton fallenden Funktion umkehrt, bei der Anwendung einer monoton steigenden Funktion jedoch nicht. Hieraus ergeben sich die folgenden Regeln, wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht, wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das Relationszeichen nicht, wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das Relationszeichen um, die Kehrwertbildung kann auf den Fall einer zweimaligen Multiplikation zuruckgefuhrt werden, wobei eine Fallunterscheidung durchzufuhren ist, ob der Ausdruck mit dem multipliziert wird positiv oder negativ ist. Die letzte Fall soll noch einmal erlautert werden: Beispiel: Man bestimme alle reellen x, die die Ungleichung 8 < 1 +6 erfullen. Wir x subtrahieren zunachst auf beiden Seiten der Ungleichung 6 und erhalten 14 < 1. x Da stets 1 0 gilt, mussen wir eine Fallunterscheidung vornehmen: x 1. Fall 14 < 1 < 0, d.h. x < 0 und die Multiplikation auf beiden Seiten mit x x

16 16 SWANHILD BERNSTEIN ergibt nun 14x > 1, nun wird auf beiden Seiten durch 14 < 0 dividiert, d.h. wir erhalten x < Fall 0 < 1, auch in diesem Fall ist 14 < 0 < 1! Hier folgt aus der Multiplikation mit x > 0 auf beiden Seiten der Ungleichung x > 0. x x Ergebnis: Fur alle x R mit x < 1 oder 0 < x ist 8 < Die Losungsmenge 14 x ist ( L =, 1 ) (0, ). 14 Beispiel: Man bestimme alle reellwertigen x, die die Ungleichung (3x 8)(x 3) 7(x 3) erfullen. Wir mochten auf beiden Seiten durch x 3 dividieren, dazu mussen wir aber eine Fallunterscheidung vornehmen je nachdem welches Vorzeichen x 3 hat. 1. Fall: x 3 > 0 x > 3 ergibt die Division durch x 3 auf beiden Seiten der Unlgeichung 3x 8 7 3x 15 x 5. D.h. wir haben eine Teillosungsmenge erhalten, namlich alle reellen x mit 3 < x 5. Nachster Fall ist. Fall: x 3 = 0 x = 3, da in der Ungleichung das Gleichheitszeichen zugelassen ist, ist x = 3 ebenfalls Losung. Der letzte Fall ist 3. Fall: x 3 < 0 x < 3, bei der Division durch x 3 dreht sich jetzt das Relationszeichen um und wir erhalten 3x 8 7 3x 15 x 5. Da x 5 der Voraussetzung x < 3 widerspricht, erhalten wir keine Losung. Folglich erfullen alle reellen x mit 3 x 5 die Ungleichung. Die Losungsmenge ist L = [3, 5]. 4.. Ungleichungen mit dem Absolutbetrag. Ungleichungen mit Betragen fuhren zu einer Fallunterscheidung: {x R : x < a} = {x R : x < a und x < a} = {x R : x < a} {x R : x < a}, (1) = {x R : 0 x < a} {x R : 0 x < a}. () bzw. {x R : x > a} = {x R : x > a oder x > a} = {x R : x > a} {x R : x > a} (3) Die entsprechenden Mengen sind hier noch einmal graphisch veranschaulicht. Als erstes der Fall x < a, wobei selbstverstandlich a > 0 sein muss, damit die Losungsmenge nicht leer ist.

17 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 17 f(x)= x f(x)=a { x IR: x < a } f(x) = -x f(x) = x f(x)=a { x IR: -x < a } { x IR: x < a } f(x)=a { x IR: 0 < -x < a } { x IR: 0< x < a } und zum anderen der Fall x > a, wobei hier, falls a 0 ist, alle reellen Zahlen Losung sind. f(x)= x f(x)=a {x IR: x > a} f(x) = -x f(x) = x f(x)=a f(x)=a { x IR: -x > a } { x IR: x > a } Beispiel: Man lose die Betragsungleichung x 1 < x. (4)

18 18 SWANHILD BERNSTEIN 1. Variante gema (1) und der Veranschaulichung mittels der roten Linien im Bild zum Fall x < a. Die Losungsmenge L setzt sich folglich aus zwei Teillosungsmengen L 1 und L zusammen, wobei L 1 die Losungsmenge von x 1 < x ist, d.h. x 1 < x ( x) 1 < x und damit ist L 1 = {x R : 1 < x}. Weiterhin ist L die Losungsmenge von (x 1) < x ist, d.h. (x 1) = x + 1 < x (+x) 1 < 3x : < x und somit L = {x R : 1 < x}. Wir erhalten deshalb fur die Losungsmenge L der 3 Ungleichung (4): L = L 1 L = {x R : 1 < x} {x R : 1 3 < x} = {x R : 1 3 < x}.. Variante gema () und der Veranschaulichung mittels der gelben Linien im Bild zum Fall x < a. Hierfur ist zusatzlich eine Fallunterscheidung x 1 0 bzw. x 1 < 0 erforderlich: Fallunterscheidung: 1. Fall: x 1 0 x 1 : x 1 = x 1, x 1 < x ( x) 1 < x Damit erhalt man als Teillosungsmenge L 1 = {x R : x 1 und 1 < x} = {x R : x 1}. Der. Fall ist: x 1 < 0 x < 1 : x 1 = x + 1, x + 1 < x (+x) 1 < 3x : < x Damit erhalt man als Teillosungsmenge L = {x R : x < 1 und 1 < x} = {x 3 1 R : < x < 1}. 3 Die Losungsmenge ist folglich: L = L 1 L = {x R : x > 1 3 }. Beispiel: Man lose die Betragsungleichung x < x 1. Dies geschieht gema (3). Die Losungsmenge L = L 1 L mit L 1 ist die Losungsmenge von x < x 1 ( x) x < 1.

19 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 19 Damit erhalt man als Teillosungsmenge L 1 = {x R : x < 1}. und der Losungsmenge L von x < (x 1) = x + 1 (+x) 3x < 1 : 3 x < 1 3 Damit erhalt man als Teillosungsmenge L = {x R : x < 1 3 }. Die Losungsmenge ist folglich: L = L 1 L = L = {x R : x < 1 3 } Systeme von Ungleichungen mit einer Unbekannten. Die Losungsmenge L eines Systems von Ungleichungen ist der Durchschnitt der Losungsmenge der einzelnen Ungleichungen. Beispiel: Man bestimme alle reellen x, die das folgende Ungleichungssystem erfullen. 5 x 3 x, x 5x 6 < 0. Wir bestimmen zunachst die Losungsmenge L 1 der ersten Ungleichung. 5 x 3 x +x x 3 x und erhalten L 1 = (, ]. Nun zur Losungsmenge L der zweiten Ungleichung. Den quadratischen Ausdruck spalten wir mit Hilfe der Nullstellen in ein Produkt zweier Terme um: x 5x 6 = ( x ) 5 ( 5 ( ) 6 = ) + 6 ( ) x 5 = ( ) = 49 Wurzelziehen 4 x 5 = 7 und wir erhalten als Nullstellen x 1 = 6 und x = 1, d.h. x 5x 6 = (x 6)(x + 1). Das setzen wir nun die Ungleichung ein und bestimmen L. D.h. wir betrachten (x 6)(x + 1) < 0. Dazu dividieren wir durch x 6 und fuhren dazu eine Fallunterscheidung durch: 1. Fall x 6 > 0 x > 6 ergibt x + 1 < 0 x < 1 ergibt keine Losung, da x > 6 und x < 1 nicht gleichzeitig erfullbar sind.. Fall x 6 = 0 x = 6 da die Gleichheit nicht zugelassen ist, ist x = 6 keine Losung. 3. Fall x 6 < 0 x < 6 ergibt x + 1 > 0 x > 1 und wir erhalten die (Teil)losungsmenge 1 < x < 6. Damit ist L = ( 1, 6)

20 0 SWANHILD BERNSTEIN und die Losungsmenge des Ungleichungssystems ist L = L 1 L = (, ] ( 1, 6) = ( 1, ]. f(x)=x - 5x- 6 f(x)=-x 5. Ungleichungen in Veranderlichen 5.1. Gleichungen. Die allgemeine Gestalt einer Gleichung mit zwei Veranderlichen oder Unbekannten x und y lautet ax + by = c (5) mit reellen Zahlen a, b c. Spezialfalle ergeben sich, wenn a oder b gleich Null sind. Die Gleichung (5) beschreibt eine Gerade. Die Gleichung kann f ur b 0 umgeformt werden zu y = a b x + c b. Fur x = 0 ist y = c und die Gerade schneidet bei c die y-achse. Analog ist im Fall b b y = 0 der zugehorige x-wert fur a 0 gleich x = c. Folglich schneidet die Gerade a die x-achse in c und aus geometrischen Uberlegungen folgt, dass der Anstieg der a Geraden tan α = a ist. b

21 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 1. α C a α C b 5.. Ungleichungen. Die Menge aller (x, y) mit ax + by > c liegt folglich oberhalb der Geraden ax + by = c und die Menge aller (x, y) mit ax + by < c liegt folglich unterhalb der Geraden ax + by = c. >. α C a α C b < Beispiel: Man bestimme alle (x, y) R fur die gilt 5x + 3y. Um die Losungsmenge zu bestimmen, mussen wir zunachst wie beim Losen von Betragsungleichungen zwei Falle betrachten. Die Losungsmenge L 1 ist die Menge aller (x, y) R fur die gilt: 5x + 3y y 5 3 x + 3 und die Losungsmenge L ist die Menge aller (x, y) R fur die gilt: ( 5x + 3y) = 5x 3y y 5 3 x 3. Damit ist die Losungsmenge L aller (x, y) R fur die gilt 5x + 3y gegeben durch { L = L 1 L = (x, y) R : y 5 3 x + } { (x, y) R : y x }. 3

22 SWANHILD BERNSTEIN y 3y 5x+ 3y 5x- Dieser Streifen gehört nicht zur Lösungsmenge x 6. Funktionen Definition 5. Seien M und N Mengen. Unter einer Funktion von M in N versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x M genau ein Element y N zuordnet. Man schreibt: f : M N, y = f(x). M heit Denitionsbereich, N heit Werte-, oder auch Bildbereich von f. Die Menge {(x, f(x)) : x M} M N heit Graph der Funktion f. Zu A M heit f(a) := {f(a) : a A} das Bild von A unter der Funktion f; zu B N heit f 1 (B) := {a M : f(a) B} das Urbild von B unter der Funktion f.

23 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 3 y f(a) y=f(x) x A Graph der Funktion y=f(x), A Teilmenge des Definitionsbereichs, f(a) Bild von A unter f = Teilmenge des Wertebereichs. Im Zusammenhang mit Funktionen tritt haug das Problem der Losung bzw. Losbarkeit von Gleichungen auf, d.h., zu gegebenem y N wird eine Losung x M der Gleichung y = f(x) gesucht. Oder anders ausgedruckt, das Urbild von y, d.h. f 1 (y) = {x M : f(x) = y}. y B y=f(x) x f -1 (B) Graph der Funktion y=f(x), B = Teilmenge des Wertebereichs, Urbild f -1 (B) von B ist eineteilmenge des Definitionsbereichs.

24 4 SWANHILD BERNSTEIN 6.1. Potenzen und Wurzeln. Fur beliebige reelle Zahlen a, b, c R und naturliche Zahlen n N gelten die folgenden Potenzgesetze: (a b ) c = a (bc) a b+c = a b a c (ab) c = a c b c a b = 1 a b, falls a 0 a b c = ab a c, falls a 0 a 1 n = n a, falls a 0. Der Verlauf der Potenzfunktion f(x) = x b hangt entscheidend vom Parameter b R ab. Der typische Verlauf fur b 1 ist wie folgt: Potenzfunktion y=f(x)=x b. Exponent b=, 4, 6. Exponent b=1, 3, 5, 7.

25 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 5 Der typische Verlauf fur b 1 ist wie folgt: Potenzfunktion y=f(x)=x b. Exponent b=-10, -8, -6, -4, -. Exponent b=-9, -7, -5, -3, -1. Definition 6. Die n-te Wurzel, n N, aus einer reellen Zahl a, a 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b (also b 0), fur die gilt b n = a. Man schreibt b = n a. Wurzeln können nur aus nichtnegativen reellen Zahlen gezogen werden! Begrundung: (1) Fur gerade n =, 4, 6,... existiert fur a < 0 keine Wurzel b mit b n = a. () Fur gerade n und positives a hat die Gleichung b n = a, grundsatzlich zwei reelle Losungen. Zum Beispiel hat die Gleichung b = 4 die Losungen b 1 = und b =. Um die Rechenoperation des Wurzelziehens eindeutig zu gestalten und damit eine Wurzelfunktion denieren zu konnen, muss man sich fur eine Losung entscheiden, man gibt dabei der positiven Losung den Vorzug. (3) Fur ungerades n = 1, 3, 5,... und a 0 hat b n = a immer eine eindeutige nichtnegative Losung. (4) Fur ungerades n und a < 0 hat die Gleichung b n = a immer eine eindeutige negative Losung, also z.b. b 3 = 8 hat die eindeutige Losung b =.

26 6 SWANHILD BERNSTEIN Man muss also fur gerades n =, 4, 6,... die Forderungen a 0, b 0 auf alle Falle stellen, da sonst die Wurzel entweder uberhaupt nicht existiert oder mehrdeutig ware. Fur ungerades n = 1, 3, 5,... konnte man die auf diese Forderungen verzichten. Das hat aber den Nachteil, dass man fur alle moglichen Falle verschiedene Wurzelgesetze aufstellen musste. Daher trit man auch bei ungeradem n die oben genannten Festlegungen und schreibt z.b. = 3 8. Zur Unterscheidung: Die dritte Wurzel aus 8 ist nicht definiert, trotzdem hat die Gleichung x 3 = 8 die Lösung x =. Man beachte auerdem, dass gilt a = a = { a fur a 0, a fur a < 0. Der typische Verlauf der Wurzelfunktion fur 1 < b 1 ist wie folgt: Wurzelfunktion y=f(x)=x b Exponent b=0,1, 0,5, 0,4, 0,55, 0,7, 0,85, 1,0. Exponent b=-0,9, -0,75, -0,6, -0,45, -0,3, -0,15.

27 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE Exponential- und Logarithmusfunktion. Der typische Verlauf der Exponentialfunktion ist wie folgt: Exponentialfunktion y=f(x)=a a. Exponent a=1,1, 1,3, 1,5, 1,7, 1,9. Exponent a=,1, e, 3,1, 4,1, 5,1, 6,1, 7,1, 8,1, 9,1. Logarithmieren ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren: Oder in Worten: b x = y x = log b y, fur alle x R, und b, y R +. Definition 7. Unter dem Logarithmus einer positiven reellen Zahl a zu einer positiven, von Eins verschiedenen reellen Basis b versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu erhalten. Man schreibt dafur: c = log b a.

28 8 SWANHILD BERNSTEIN Beispiele: log 16 = 4, da 4 = 16 ist, log =, da 10 = 100 ist, log e e 3 = 3, da e 3 = e 3 ist. Dabei bezeichnet e die Eulersche Zahl, e =, und man schreibt log e = ln. Folglich ist ln e = 1. Logarithmengesetze: Es seien x, y > 0 positive reelle Zahlen und b > 0, b 1 eine reelle Zahl, dann gilt log b (x y) = log b x + log b y, log b x y = log b x log b y, log b x a = a log b x, fur alle a R, log b n x = 1 n log b x, n N. Beweis: Diese Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Es sei y = a x, dann gilt: log a (y z ) = log a ((a x ) z ) = log a (a xz ) = xz = z log a y. Es sei y 1 = a x 1 und y = a x dann gilt: log a (y 1 y ) = log a (a x 1 a x ) = log a (a x 1+x ) = x 1 + x = log a y 1 + log a y bzw. ( ) ( y1 a x 1 ) log a = log y a = log a x a (a x 1 x ) = x 1 x = log a y 1 log a y. Der Zusammenhang zwischen Logarithmen unterschiedlicher Basis ergibt sich wie folgt: Es seien a, b, c R + positive reelle Zahlen mit b, c 1. Dann gilt Also ist x = log b a b x = a log c b x = log c a x log c b = log c a x = log c a log c b (b, c 1). log b a = log c a log c b und man braucht nur eine Logarithmusfunktion, da man alle anderen daraus berechnen kann. Im Allgemeinen nimmt man den naturlichen Logarithmus ln. Weiter ubliche Logarithmen sind lg der Logarithmus zur Basis 10 und ld der Logarithmus zur Basis.

29 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 9 Beispiel: Man forme den folgenden Ausdruck um und gebe an welche Bedingungen a, b erfullen mussen, damit die Ausdrucke wohl deniert sind. ( ) 1 ln b b a + a 1 1 ln 1 b b a + ln a. Damit ln a wohldeniert ist, muss a > 0 sein. Damit b a b sowie 1 a wohldeniert sind, muss b > a sein, d.h. es muss gelten b > a > 0 und a > 0. 1 Dann ist auch b fur b > 0 wohldeniert, da b a b b a > 0 + b a b > b a hieraus ergibt sich die Forderung b > 0 b > b a Quadrieren und beachten, dass b > a ist b > b a b 0 > a, was erfullt ist, da a > 0 sein soll. Zusammengefasst ist der obige Ausdruck wohlde- niert fur reelle Zahlen a, b mit b > a > 0. Nun zur Umformung: ( ) 1 ln b b a + a 1 1 ln 1 b b a + ln a = ( = 1 ) ln b b a + a ln(b b a ) + 1 ln a = [( = 1 ) ln b b a + a 1 a (b ] b a ) = = 1 [(b ln + b a )(b ] b a ) = da a > 0 ist. = 1 ln[b (b a )] = ln a = ln a = ln a, Beispiel: Man berechne x. Wie bereits erwahnt bezeichnet lg den Logarithmus zur Basis 10. Es ist x = (lg +lg 3) (.) 3 x 3 = 10 1 (lg +lg 3) lg lg(x 3 ) = 3 lg x = 1 (lg + lg 3) = 1 lg(64) = lg 64 = lg lg x = 1 3 lg 8 = lg 3 8 = lg 10 (.) x =.

30 30 SWANHILD BERNSTEIN Der typische Verlauf der Logarithmusfunktion ist wie folgt: Logarithmusfunktion y=f(x)=log a x. Exponent a=1,1, 1,3, 1,5, 1,7, 1,9. Exponent a=,1, e, 3,1, 4,1, 5,1, 6,1, 7,1, 8,1, 9,1. 7. Goniometrie 7.1. Sinusfunktion. Die Sinusfunktion f(x) = sin x ergibt sich aus den Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. b β a α c

31 Wir haben: VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 31 sin α = a c. Oft wird statt eines Winkels die Lange des zum Winkel α gehorigen Bogenstucks = Bogenma x des Einheitskreises in die Sinusfunktion eingesetzt. Auf diese Weise ist sin x fur alle x R erklart, sie ist eine periodische Funktion mit Periodenlange T = π :, d.h. Auerdem ist, sin x = sin(x + kπ), k Z, und alle x R. sin φ 0 = sin(φ 0 + π) = sin φ 1 = sin(π φ 0 ) = sin ψ 0 = sin(ψ 0 + π) = sin ψ 1. φ 0 ψ 0 φ 1 ψ Die Cosinusfunktion, am rechtwinkligen Dreieck ist: cos α = b c. Wiederum nimmt an Stelle des Winkels α das Bogenma x und erhalten die Cosinusfunktion cos x fur alle x R. Die Cosinusfunktion ist auch ein π-periodische Funktion, d.h. cos x = cos(x + kπ) fur alle k Z und alle x R. cos(x).

32 3 SWANHILD BERNSTEIN 7.. Nützliche Formeln. Am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich die Beziehung: sin α + cos α = 1 bzw. im Bogenma sin x + cos x = 1, x R. Spezielle Werte: Weitere Werte im Gradma: π φ sin φ 0 cos φ π π π Winkel π π 3π 5π 3π 7π Bogenlange 0 π π Zum Umformen von Gleichungen sind die folgenden Formeln n utzlich: sin( x) = sin x ungerade Funktion, cos( x) = cos x gerade Funktion, sin ( x + π ) = cos x Weitere trigonometrische Funktionen. Weiterhin gibt es die Tangensfunktion tan x = sin x cos x. Sie ist oensichtlich fur cos x = 0, also fur x = π + kπ, k Z nicht erklart, auerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T = π. tan (x). Sowie die Cotangensfunktion cot x = cos x sin x.

33 VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 33 Sie ist oensichtlich fur sin x = 0, also fur x = kπ, k Z nicht erklart, auerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T = π. cot (x) Zusammenfassung: trigonometrische Funktionen. Funktion Denitionsbereich nicht deniert fur Wertebereich Periodenlange sin x R [ 1, 1] π cos x R [ 1, 1] π tan x R\{ π + kπ, k Z} π + kπ, k Z R π cot x R\{kπ, k Z} kπ, k Z R π

34 34 SWANHILD BERNSTEIN 7.5. Ergänzung, Additionstheoreme für Sinus und Cosinus. Skizze zu Additionstheoremen M α H π/-α α D β α O A G Diese Skizze und die Herleitung gilt fur spitze Winkel. Alle anderen Falle lassen sich aber darauf zuruckrechnen. In der Konstruktion gibt es 4 rechtwinklige Dreiecke, namlich (OAM), (OGD), (ODM) und (HDM). Dann ist sin(α + β) = AM OM im rechtwinkligen Dreieck (OAM) und sin α = GD OD im (OGD), cos α = HM MD

35 im (HDM), im (ODM). Dann gilt VORKURS MATHEMATIK F UR INGENIEURE 35 sin(α + β) = AM OM cos β = OD OM = AH + HM OM und sin β = MD OM = GD + HM OM = GD OM + HM OM = GD OD OD OM + HM MD MD = sin α cos β + cos α sin β. OM Der Spezialfall α = β ergibt Analog erhalt man cos(α + β) = OA OM sin(α) = sin α cos α. = OG AG OM OG HD = OM = OG OM HD OM = OG OD OD OM HD MD MD = cos α cos β sin α sin β OM Der Spezialfall α = β ergibt nun cos(α) = cos α sin α. Diese Formeln sind auch geeignet Quadrate von Sinus bzw. Cosinus durch den Cosinus des Doppelwinkels auszudrucken. Es gilt und cos(α) = cos α sin α = cos α (1 cos α) = cos α 1 cos α = 1 (1 + cos(α)) sin α = 1 cos α = 1 1 (1 + cos(α)) = 1 (1 cos(α)). sin(α) = sin α cos α, cos(α) = cos α sin α, cos α = 1 (1 + cos(α)), sin α = 1 (1 cos(α)).