Funktionen. Operation versus Funktion. Elementare Funktionen

Transkript

1 Funktionen Funktionen sind Anweisungen, wie man ein oder mehrere Argumente miteinander verrechnet um ein Ergebnis zu erhalten. Notiert werden sie mit einem Namen (oft einfach nur f) gefolgt von den Argumenten (umfasst mit einer Klammer, getrennt mit Kommas). Beispiel: f (x, y) gesprochen f von x und y Meist hat eine Funktion nur ein Argument, mehr sind aber möglich. Teilweise sind auch beliebig viele Argumente möglich (Beispiel: Mittelwert) Wenn man Funktionen betrachtet geht es in den wenigsten Fällen um ein einzelnes konkretes Resultat (wie gross ist f von x wenn x 12 ist?), sondern um alle möglichen Resultate für alle möglichen Eingabewerte. Zum Glück sind die allermeisten mathematischen Funktionen so schön, dass ihr Verhalten für alle möglichen Eingabewerte mit wenigen Worten beschreiben lassen. Wenn sie zudem nur ein oder zwei Argumente hat, lässt sich die Funktion graphisch darstellen (siehe weiter unten) Operation versus Funktion In der Mathematik lernt man meist zuerst eine spezielle Klasse der Funktionen kennen, die Operationen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren... Speziell sind sie eigentlich nur hinsichtlich ihrer Notation. Operationen werden typischerweise durch ein Symbol zwischen den Argumenten notiert, Funktionen durch einen Namen, gefolgt von den in einer Klammer zusammengefassten Argumenten: Addieren als Operation Addieren als Funktion 3+4 addiere (3, 4) Elementare Funktionen Neben den Operationen existieren in der Mathematik diverse elementare Funktionen. Die meisten haben nur ein Argumente, manche können aber auch beliebig viele haben. Die häufigsten sind: Exponentialfunktion: exp( x) meist als e x notiert Logarithmus: log b ( x) wobei die Basis als Index notiert wird und nicht in der Klammer Trigonometrie: cos(x), sin( x), tan (x)... Absolutwert 1 : abs(x) oft als x notiert. Statistik: mean( x 1, x 2,...) Mittelwert var (x 1, x 2,...) Varianz min (x 1, x 2,...) Minimum max (x 1, x 2,...) Maximum... Ganzzahlen: ggt ( x 1, x 2,...) Grösster gemeinsamer Teiler kgv (x 1, x 2,...) kleinstes gemeinsames Vielfach: 1 Macht aus allfällig negativen Zahlen die entsprechende positive. Funktionen 1/7 Jörg Mäder ( )

2 Zusammengesetzte Funktionen Terme als Funktionen Zur Erinnerung: Eine Variabel kann bekanntlich stellvertretend für einen (Teil-) Term stehen. Oder anders gesagt: man kann jederzeit einen neue Variable erfinden und ihr als Wert einen Term zuweisen und entsprechend verwenden. Beispiel: gegeben: 12+3 x Variable einführen y=3 x Term umformen zu 12+ y In dieser Situation ist man in der Regel am konkreten Wert in der aktuellen Aufgaben interessiert. Man kann einen Term aber auch zu einer Funktion ernennen. Meist wird dies gemacht, wenn man an allen möglichen Werten interessiert ist (siehe weiter unten). Auch hier wird ein Name erfunden, meist f (oder g...) und anschliessend stellvertretend verwendet. Wird die neue Funktion in anderen Termen verwendet muss man zwingend die Klammer mit den Argumenten verwenden. gegeben: 12+3 x Funktion einführen f ( x)=3 x Term umformen zu 12+ f (x) gegeben: 3 y 2 x 3 Funktion f (x, y)= y 2 x Anwenden 3 f (x, y) 3 Meist wird man nicht wie oben einen Teilterm zu einer Funktion machen sondern am Anfang einer Aufgabenstellung die notwendigen Funktionen definieren und anschliessend verwenden. Beispiel: Die Funktion f (x)=2 x 2 macht aus ihrem Argument das doppelte seines Quadrates. So eingeführt kann sie nun in allen weiteren Termen verwendet und ausgewertet werden. Mit dieser Definition gilt f (4)=32, f ( 5)=50 aber auch f (2 x )=8 x 2 Wichtig: Man muss klar unterscheiden wenn man eine neue Funktion definiert und wann man diese Definition anwendet (beispielsweise zum Auswerten). Ist f als Funktion definiert bedeutet f (2+a) f von [Pause] zwei plus a Ist f als Variable definiert bedeutet f (2+a) f mal [Pause] zwei plus a Aus diesem Grund hat sich die Konvention etabliert, dass die Namen f, g, h primär für Funktionen verwendet werden, die Namen x, y z hingegen für Variablen Die Variablen die bei der Funktionsdefinition für die Argumente verwendet wurden, müssen nicht mit denen bei der Anwendung übereinstimmen. Beispiel: Die Definition des Mittelwertes f (x, y)= x+ y verwendet x und y. In der 2 Anwendung kann aber a zur Anwendung kommen, oder x mit einem anderen Sinn: f (2 a, 6 a)= 2 a+6 a =4 a 3 x+ f (4, x)=3 x+ 4+ x 2 2 =2+3.5 x Parameter versus Variable Häufig beinhaltet die Definition einer Funktion zusätzliche Variablen, die aber für eine konkrete Anwendung fixiert (also nicht mehr variabel) sind. Meist werden diese dann als Parameter bezeichnet. Beispiel aus der Physik: Die Funktion der Schwerkraft lautet: F =m g Die Kraft ist also eine Funktion von Masse und Beschleunigung. Wenn man diese Formel im Schwerefeld der Erde anwendet, kann man g als festen Parameter ansehen (9.81m/s 2 ) und sagen die Kraft ist eine Funktion der Masse (nur noch eine Variable). Die Grenze zwischen Parameter und Variable ist fliessend. Und von der Anwendung abhängig. Funktionen 2/7 Jörg Mäder ( )

3 Unterkategorien Lineare Funktion: y=a x+b quadratische Funktion: y=a x 2 +b x+c Polynom (n-ten Grades): y=a 0 x 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2...+a n 1 x n 1 +a n x n Die lineare und quadratische Funktion sind Polynome ersten und zweiten Grades. gebrochen rationale Funktion: y= a 0 x 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2...+a n 1 x n 1 +a n x n b 0 x 0 +b 1 x 1 +b 2 x 2...+b m 1 x m 1 +b m x m Quotient zweier Polynome. Die einfachste gebrochen rationale Funktion ist der Kehrwert! a, b,c etc sind jeweils feste Parameter, die Funktion genauer spezifizieren. Tabellarische Darstellung Eine Möglichkeit die Funktion als Gesamtes zu erfassen, ist es für eine Anzahl von Werten die Ergebnisse zu berechnen und tabellarisch darstellen. x f (x)=x Graphische Darstellung Funktionen mit nur einem Argument können recht einfach dargestellt werden. Die Eingangsgrösse wird auf der x-achse abgebildet, das Ergebnis auf der y-achse. Da die meisten Funktionen recht schön sind, im Sinne, dass das Ergebnis nicht beliebig herum springt, kann man mit wenigen Werten eine Funktion rasch skizzieren. Graphische Taschenrechner beherrschen diese Technik unterdessen sehr gut. Näherungen Bei zwei Argumenten kann man sich einem Trick bedienen. Die beiden Eingangsgrössen werden den beiden Achsen zugeordnet, das Ergebnis wird als Grauton oder als Farbskala dargestellt. Bei mehr als zwei Argumenten ist eine Darstellung in einem Bild nur andeutungsweise möglich. Häufig geht man auch den umgekehrten Weg: Aus Messungen werden Tabellen und Grafiken erstellt. Basierend auf diesen Daten sucht man dann eine Funktion, die das Verhalten gut beschreibt (berechenbar macht). Im Idealfall entspricht diese Funktion den reellen Gesetzen, meistens ist es aber nur eine Annäherung. Funktionen 3/7 Jörg Mäder ( )

4 Grundlegende Eigenschaften und Bedingungen Jede Funktion hat neben der eigentlichen Definition (der Term, der auszuwerten ist) einen Definitionsbereich. Dieser schränkt die möglichen Werte für die Argumente ein. Sind die Argumente ausserhalb, ist der Wert der Funktion nicht definiert. Die meisten Funktionen erlauben alle reellen Zahlen R. Beispiele mit Einschränkung: Logarithmus: Das Argument muss grösser als Null sein (R + ), die Basis zudem 1 (R + \1) Wurzelfunktion: Erlaubt sind nur Zahlen grösser-gleich Null (R 0+ ) Kehrwert (1/x): Hier sind alle reellen Zahlen erlaubt ausser 0 ( R\0) Eindeutigkeit: Funktionen müssen eindeutig sein, dass heisst die Argumente müssen zu genau einem Resultat führen 2. Auf den ersten Moment erscheint dies trivial, kann aber zu Komplikationen führen (siehe auch Abschnitt Umkehrfunktion weiter unten). Probleme gibt es Beispielsweise bei der Quadratischen Gleichung und der Wurzel. Die Quadratische Gleichung x 1, 2 = b± b2 4 a c 2 a liefert bis zu 2 Lösungen Die Gleichung (x+2) 2 =25 kann problemlos nach x aufgelöst werden. Man muss aber beachten das sowohl 5 als auch -5 im Quadrat 25 ergeben. Der Lösungsweg spaltet sich also beim Wurzelziehen in zwei Äste auf: x+2=5 und x+2= 5 und somit ist x 3 oder -7. In den Beispielen rechts sind d & e keine Funktionen, die anderen hingegen schon. Bei a und b ist das recht schnell erkennbar, c ist zwar kompliziert, erfüllt die Bedingung der Eindeutigkeit, nicht aber d (bis zu drei Werte pro Stelle) und e (senkrechte Linie, die an dieser Stelle jeden möglichen Wert annimmt). f hat zwar einen zerstückelten Definitionsbereich erfüllt aber innerhalb dieser die Bedingung. Im Gegensatz zum Definitionsbereich steht der Wertebereich, also der Bereich in dem die 3 Ergebnisse der Funktion liegen. Auch hier ist R der übliche Bereich. Die Wurzelfunktion liefert aber beispielsweise nur Werte grösser-gleich Null. 2 Und die gleichen Argumenten immer zum gleichen Resultat (Reproduzierbar, keine Zufallswerte) 3 Es steht bewusst Wurzelfunktion und nicht nur Wurzel um anzuzeigen, dass es nur um die positive Lösung geht. Funktionen 4/7 Jörg Mäder ( )

5 Umkehrfunktion Bei Funktionen mit nur einem Argument ist oft auch eine Umkehrfunktion definiert (meist kurz als f 1 notiert). Die Umkehrfunktion vertauscht die Rollen von Argument und Ergebnis. Aus y= f ( x) wird entsprechend x= f 1 ( y). Diese Eigenschaft ist beim Auflösen von Gleichungen sehr zentral. Wenn g die Umkehrfunktion von f ist, ist f die Umkehrfunktion von g. Entsprechend gilt: x= f 1 ( f ( x)) respektive x= f ( f 1 ( x)) Achtung: Die Schreibweise f 1 bitte nicht mit der Potenzschreibweise verwechseln. Ist f als Funktion definiert steht f 1 für die Umkehrfunktion, ist x als Variable definiert steht x 1 für den Kehrwert ( 1/ x ). Der Kehrwert einer Funktion ist aber nicht dessen Umkehrfunktion f 1 (x) 1 f ( x) Graphische Bedeutung Graphisch lässt sich die Umkehrfunktion extrem einfach realisieren: Man vertauscht x und y durch rotieren an der Diagonalen nach rechts oben (y=x). Die Umkehrfunktion muss die selben Grundbedingungen erfüllen wie alle Funktionen. Die zentrale ist hierbei die Eindeutigkeit. Deshalb haben Funktionen teilweise nur für einen Teil ihres Definitionsbereiches eine Umkehrfunktion. Beispiel Quadrieren: Jede Zahl kann problemlos quadriert werden, wobei das Ergebnis unabhängig vom Argument stets positiv ist. Kippt man die entsprechende Grafik um die Diagonale, ist aber das Kriterium der Eindeutigkeit verletzt: Für den Wert 4 gibt es jetzt zwei Werte +2 und -2. Entsprechend braucht es zwei getrennt Umkehrfunktionen, je eine für den positiven respektive negativen Ast. Eine Funktion, die über den ganzen Definitionsbereich eine Umkehrfunktion besitzt nennt man bijektiv: Jedem Argument ist genau ein Ergebnis zugeordnet und umgekehrt. Bei den Beispielen weiter oben wäre nur der Fall a bijektiv. Funktionen 5/7 Jörg Mäder ( )

6 Schnittpunkte ermitteln Betrachtet man zwei Funktionen gleichzeitig ist es meist von Interesse wo sie sich schneiden. Oder anders gesagt, an welchen Stellen (x) liefern beide den selben Wert (y). Also ist das y aus y= f ( x) und y=g( x) das selbe und somit gilt f (x)=g ( x). Diese Gleichung kann nun nach x aufgelöst oder mit dem TR gelöst werden. Beispiele Gesucht sind jeweils alle Schnittpunkte von f und g f ( x)=3 x g ( x)=2 4 x 3 x=2 4 x 7 x=2 x= 2 7 P ( 2 7, 6 7) f (x)=3 x 3 x=2 4 x 2 4 x 2 +3 x 2=0 g( x)=2 4 x 2 x x P 1 ( /3.526) P 2 (0.425/1.276) f ( x)= x 3 x 3 =3 x 2 +4 x g( x)=3x 2 +4 x Hier kann man überall x ausklammern und anschliessend dividieren. Dabei muss man prüfen ob x=0 eine gültige Lösung ist. Da sowohl f(x) und g(x) in dem Fall 0 werden, lautet die erste Lösung x 1 =0. Nun können wir weiterfahren. x 2 =3 x+4 x 2 3 x 4=0 x 2 = 1 x 3 =4 P 1 (0/0) P 2 ( 1/ 1) P 3 (4/64) Achtung: Falls die Gleichung nicht lösbar ist (auch nicht numerisch), hat es keine Schnittpunkte. Parameter ermitteln Häufig kennt man die Definition einer Funktion (aus Formelsammlungen), nicht aber die einzelnen Parameter. Diese kann man aber ermitteln, wenn man einige Punkte der Funktion exakt kennt (pro Parameter einen). Beispiel: Bekannte ist die nebenstehende Grafik und das die Funktion f (x)=a x 2 +b lautet. Da es zwei Parameter sind, brauchen wir zwei (fast) beliebige Punkte, idealerweise möglichst einfache 4. Hier bieten sich die Punkte (0/-3) und (2/-1) an. Da beide f(x) erfüllen, können wir ein Gleichungssystem erstellen und lösen: { 3=a 02 +b 1=a 2 2 +b 3=b { 1=4a+b 1 b= 3 1=4 a 3 2=4 a a=0.5 f (x )=0.5x 2 3 Anmerkung: Meist sind Messungen fehlerbehaftet und entsprechend sollte man sich nicht nur auf zwei oder drei Werte verlassen, sondern möglichst viele nehmen. Um aus einer solchen grossen Anzahl von Werten die besten Parameter zu bestimmen, braucht man Techniken der Statistik. 4 Einfach im Sinne der Gleichung oder der Ablesbarkeit Funktionen 6/7 Jörg Mäder ( )

7 Funktionen 7/7 Jörg Mäder ( )