3 Zahlen und Arithmetik

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1 In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren wiederholt..1 Zahlen Grundlegend für die Mathematik sind die Zahlen. Die Zahlen 1, 2,,...,diesich intuitiv aus dem Zählen (z.b. der Finger) ergeben, heißen natürliche Zahlen oder positive ganze Zahlen und werden mit dem Symbol N bezeichnet. Dazu gehören offenbar die geraden Zahlen 2, 4, 6,... und die ungeraden Zahlen 1,, 5,...Natürliche Zahlen sind bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen.das heißt, daß die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen wieder natürliche Zahlen sind. Positive und negative ganze Zahlen zusammen mit der 0, also..., 2, 1, 0, 1, 2,... heißen ganze Zahlen und werden mit Z bezeichnet. Die ganzen Zahlen sind zusätzlich bezüglich der Subtraktion abgeschlossen. Brüche sind Zahlen wie 2,diesichalsQuotient a zweier ganzer Zahlen a und 7 b b mit b 0 darstellen lassen. Sie heißen rationale Zahlen und werden als Q bezeichnet. Verschiedene Brüche können die gleiche rationale Zahl darstellen, zum Beispiel ist 2 = 1. Eine besondere Rolle spielen daher die gekürzten Brüche, deren 4 2 Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner stets positiv ist. Wir können daher jede rationale Zahl durch viele Brüche aber nur mit genau einem gekürzten Bruch darstellen. Die rationalen Zahlen sind bezüglich aller vier Grundrechenarten +,,, : abgeschlossen. Die ganzen und auch die rationalen Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen. Angenommen, wir würden alle rationalen Zahlen, also zuerst die 0, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 1, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 1, dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 2 1, usw. auf der Zahlengeraden markieren. Es ist verführerisch, zu denken, dann gäbe es keine Löcher mehr auf der Zahlengeraden. Schon die Griechen der Antike bemerkten jedoch, daß dies nicht der Fall ist. Spätestens Euklid sah, daß keine ganzen Zahlen p und q existieren, so daß ( p q )2 = 2 ist. Also ist 2 keine rationale 1

2 Zahl. Um dies zu zeigen, verwenden wir einen indirekten Beweis. Statt also zu zeigen p ist gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen ( p q q )2 2 zeigen wir ( p q )2 =2 p ist nicht gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen. Dabei verwenden q wir also die logische Äquivalenz (A B) ( A B) (B A) ( B A). Nehmen wir also umgekehrt an, es gäbe einen gekürzten Bruch p = 2. Also ist q auch p2 ein gekürzter Bruch (warum?). Wegen p2 = 2 ist also p 2 =2q 2.Daq und q 2 q 2 daher q 2 ganze Zahlen sind, ist 2q 2 und daher auch p 2 eine gerade Zahl, denn wäre p ungerade so wäre auch p 2 ungerade. Also ist p 2 sogar durch 4 teilbar. Wegen p 2 = 2q 2 muss dann aber auch q gerade sein. Dies widerspricht aber unserer Annahme, daß p gekürzt ist. Da also ( p q q )2 = 2 zu einem Widerspruch führt, ist 2 keine rationale Zahl. Eine für uns übliche Art, Zahlen zu schreiben, ist die so genannte Dezimalschreibweise. Jedenatürliche Zahl kann mit Hilfe der zehn Symbole 0, 1, 2,...,9geschrieben werden. Die Anordnung der Ziffern als Zahl entspricht der Summe von Vielfachen der Potenzen von 10. Zum Beispiel bedeutet 200 = Zusammen mit den Symbolen +, können alle ganzen Zahlen im Dezimalsystem geschrieben werden. Mit Hilfe von Kommastellen und negativen Potenzen von 10 können wir auch rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, in Dezimalschreibweise darstellen, zum Beispiel.14 = Jeder Zahl, die auf diese Weise mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise geschrieben werden kann, ist eine rationale Zahl zugeordnet. Umgekehrt kann nicht jede rationale Zahl mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise dargestellt werden. Zum Beispiel ist 1 =0. =0...., wobei der obere Balken die zu wiederholenden Ziffern beschreibt oder die Punkte dafür stehen, daß die Ziffer unendlich oft wiederholt wird. Die Dezimalschreibweise jeder rationalen Zahl ist jedoch periodisch, d.h. ab einer gewissen Stelle der Dezimalschreibweise wiederholen sich die Ziffern unendlich oft in der gleichen Reihenfolge. Zum Beispiel ist 1 = = Eine intuitive Erweiterung der rationalen Zahlen ist offenbar die Menge aller Zahlen in (unendlicher) Dezimalschreibweise, also auch die nichtperiodischen.wir 14

3 nennen alle solchen Zahlen, die nicht schon rationale Zahlen sind, irrational.dazu gehören zum Beispiel 1, , 2, 11,π,e. Rationale und irrationale Zahlen zusammen, also alle Zahlen in Dezimalschreibweise, heißen reelle Zahlen und werden mit R bezeichnet. Dies ist die für Ökonomen wichtigste und am häufigsten verwendete Zahlenmenge und wird daher später weiter vertieft. Reelle Zahlen sind wie die rationalen Zahlen abgeschlossen bezüglich der vier Grundrechenarten, aber darüber hinaus auch bezüglich der Bildung von Grenzwerten, die in Kap.??? eingehender behandelt werden. Die reellen Zahlen sind dagegen nicht abgeschlossen bezüglich der Bildung von Wurzelausdrücken. Zum Beispiel ist 1 keine reelle Zahl. Der Abschluss der reellen Zahlen bezüglich Wurzelaudrücken heißt komplexe Zahlen und wird mit C bezeichnet. Die komplexen Zahlen sind für die Mathematik und auch für die Physik grundlegend. Da jedoch komplexe Zahlen selten in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, werden wir uns hier nicht weiter damit befassen. Offensichtlich gilt N Z Q R C. Die komplexen Zahlen sind also der allgemeinste der fünf hier aufgeführten Zahlenbegriffe..2 Potenzen und Wurzeln Das n-fache Produkt a } a {{... a} n mal einer Zahl a R mit sich selbst wird als die n-te Potenz dieser Zahl bezeichnet. Dabei heißt a auch Basis oder Grundzahl und n Exponent oder Hochzahl der Potenz. Man schreibt dafür. Der Potenzbegriff wird über die Definition a n := 1 mit n N auf ganzzahlige Exponenten kleiner Null erweitert und mit der Festsetzung a 0 := 1 für a 0 schließlich auf alle ganzzahligen Exponenten ausgedehnt. 1 Für das Rechnen mit Potenzen gilt für alle n, m Z: 1 Der Ausdruck 0 0 ist nicht definiert. a m = +m ; a, b R = m ; a, b R,a 0 a m b n = (ab) n ; a, b R = ( ) ; a, b R,b 0 b n b ( ) m = m ; a, b R 15

4 Beispiel.1: (i) 2 = 5 = = (ii) 2 =5 2 = 1 = 1 = (iii) =(4 6) 2 =24 2 = 576. (iv) (2 2 ) =2 6 = 64. Für die Potenz = b mit b 0 und n N heißt a auch n-te Wurzel aus b und man schreibt a = b für n 2 und einfach nur a = b für n =2.Dabeiwirdb auch als Radikant bezeichnet. Das Wurzelziehen ist also die inverse Operation der Potenzierung. Wurzelausdrücke können auch als Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten geschrieben werden, indem a 1/n := a. festgesetzt wird. Dies ist offenbar konsistent zu den oben angeführten Potenz- Rechenregeln, denn an =( ) 1/n = /n = a. Also gelten entsprechende Rechenregeln für das Wurzelziehen, so daß für das RechnenmitWurzelnmita, b 0 und n, m N folgt: n a b = ab a b = a b am = ( a) m m a = nm a Beispiel.2: (i) 16 = 16 1/2 =4. 4 (ii) x 12 y 8 =(x 12 y 8 ) 1/4 =(x 12 ) 1/4 (y 8 ) 1/4 = x 12/4 y 8/4 = x y 2. (iii) m x y = ( xy 1/n) 1/m = x 1/m y 1/mn.. Logarithmen Mit dem Wurzelziehen wurde im vorhergehenden Abschnitt die zur Potenzierung inverse Operation bezüglich der Basis oder Grundzahl gebildet. Die inverse Operation zur Potenzierung bezüglich des Exponenten oder der Hochzahl ist das so genannte Logarithmieren. Für die Potenz a y = x mit a>0 und a 1heißty auch Logarithmus von x zur Basis a. Man schreibt dafür y =log a x. Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis 16

5 a ist also diejenige Zahl y, mitdera potenziert werden muß, um x zu erhalten. BesondereBasensindindiesemZusammenhang 10 und die Eulersche Zahl e 2, , die in vielen verschiedenen Zusammenhängen, insbesondere z.b. für Wachstumsprozesse bedeutsam ist. Der Logarithmus zur Basis 10 wird häufig nur mit log x, der Logarithmus zur Basis e mit ln x (für logarithmus naturalis ) bezeichnet. Beispiel.: (i) log 100 = 2. (ii) log 2 64 = 6. (iii) ln 1 = 0. Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Regeln. Für a, b > 0, a, b 1 und x, y > 0 gilt: log b x = log a x log a b log a (xy) = log a x +log a y log a (x/y) = log a x log a y log a (x y ) = y log a x Beispiel.4: (i) log( ) = log log( ) = log log 1000 = 2 + ( 2 =8. 2 (ii) log x + log y 5 log z = (log(x2 )+log(y ) log(z 5 )) = 1 log x 2 y ). 7 z 5 Man beachte, daß der Logarithmus nur für Zahlen größer als Null gebildet werden kann; für alle Zahlen kleiner oder gleich Null ist er nicht definiert. 17