ZAHLBEREICHE UND RECHENOPERATIONEN

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1 Zahlbereiche und Rechenoperationen ZAHLBEREICHE UND RECHENOPERATIONEN. Einführung Welche Bezeichnungen werden bei den Grundrechnungsarten verwendet? Die folgende Tabelle ist anhand von Zahlenbeispielen zu erklären! Grundrechnungsart: Glieder der Rechnung: Ergebnis: Rechenoperation: Addition Summand + Summand Summe Subtraktion Minuend Subtrahend Differenz Multiplikation Faktor. Faktor Produkt Division Dividend : Divisor Quotient. Stufe. Stufe Beispiele für Potenzen: 4 4 = 4 (gesprochen: 4 hoch zwei bzw. 4 zum Quadrat) = (gesprochen: hoch drei) = 4 (gesprochen: hoch vier)... a a a... a = a 444 n (n N *) (gesprochen: a hoch n) n Faktoren Bemerkung: Die Basis muss keineswegs eine natürliche Zahl sein! Gegeben ist die Zahl. Das Quadrat von ist 9: =9.Ist nun umgekehrt die Zahl 9 gegeben und es ist jene nichtnegative Zahl zu ermitteln, deren Quadrat 9 ist, so schreibt man: 9 = (gesprochen: Quadratwurzel aus 9 ist gleich ). Analog gilt: = 8, wobei die dritte Wurzel (Kubikwurzel) aus 8 ist: 8 = (gesprochen: Dritte Wurzel aus 8 ist gleich ). Weitere Beispiele: 6 = 4, weil 4 = 6 7 =, weil = = 4, weil 4 = 6 =, weil = Addition und Subtraktion werden als Rechenoperationen erster Stufe bezeichnet. Multiplikation und Division nennt man Rechenoperationen zweiter Stufe. Potenzieren und Wurzelziehen werden zu den Rechenoperationen dritter Stufe gezählt. Ausdrücke der Form a n (n N*) heißen Potenzen (mit Exponenten aus der Zahlenmenge N*). Potenzen werden zunächst als Abkürzung einer Multiplikation mit lauter gleichen Faktoren eingeführt. Dabei wird a als Basis oder Grundzahl und n als Exponent oder Hochzahl bezeichnet. Diese Rechenoperation heißt Potenzieren. Unter der n-ten Wurzel aus der nichtnegativen Zahl a (n N*) versteht man jene nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz a ist. Man schreibt: n a = b (gesprochen: n-te Wurzel aus a ist gleich b). Bezeichnungen: a heißt Radikand. n heißt Wurzelexponent. b heißt Wurzel (Wurzelwert). Die Rechenoperation wird Wurzelziehen oder Radizieren genannt. Sonderfall: n 0 = 0 fur n 0.

2 4 Zahlbereiche und Rechenoperationen Übersichtlich dargestellt: Potenzieren Wurzelziehen. Rechenstufe Rechenstufensymbol: ( ) n n Multiplizieren Dividieren. Rechenstufe + Addieren Subtrahieren. Rechenstufe + Höhere Rechenstufe geht vor niedrigerer! Wollen wir dieses Grundgesetz bewusst umgehen, so müssen wir Klammern setzen! Die Klammer ist ein mathematisches Symbol, das eine Reihenfolge beim Rechnen angibt, und zwar, dass die in der Klammer stehende Rechnung vor den anderen ausgeführt werden soll. Wenn in einer Rechnung Rechenoperationen verschiedener Stufen vorkommen, so ist die Reihenfolge, in der sie ausgeführt werden, von größter Bedeutung: So erhält man als Resultat für die Berechnung von + einerseits 0 + =, wenn man zuerst multipliziert und dann addiert, andererseits 8 = 6, wenn man zuerst addiert und dann multipliziert. Um Eindeutigkeit zu erzielen, verabreden wir: Die Rechenoperation höherer Stufe wird zuerst ausgeführt. Wenn die Rechenoperationen in anderer Reihenfolge ausgeführt werden sollen, müssen wir Klammern verwenden. (4 + ) = = 7 + = 4 + = = + = 7 ( + ) = 7 = N = {0,,,,...} Für die Menge, die aus den natürlichen Zahlen mit Ausnahme der Zahl 0 besteht, schreiben wir N*: N* = {,,,...}. Rechnen mit natürlichen Zahlen Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk, sagte der Berliner Mathematiker Leopold KRONECKER (8 89). Damit wollte er ausdrücken, dass die natürlichen Zahlen in unserer Begriffswelt unmittelbar vorhanden sind und angeblich keiner Begründung bedürfen. Wir verwenden die natürlichen Zahlen, um zu zählen oder um eine Reihenfolge festzulegen. ) Wenn wir mit natürlichen Zahlen rechnen, geschieht dies mit einer Selbstverständlichkeit, die uns vergessen lässt, dass wir ja bestimmte Rechengesetze anwenden. Einige dieser Gesetze sind uns schon von der Volksschule her vertraut, z. B.: + = + = 7 4 = 4 = In diesem Kapitel wollen wir uns mit den Grundrechnungsarten und den für sie geltenden Rechengesetzen näher beschäftigen. Die Addition ist die einfachste Rechenoperation mit natürlichen Zahlen. Für die Addition natürlicher Zahlen gelten u. a. folgende Gesetze: () Die Reihenfolge der Summanden hat keinen Einfluss auf das Resultat; so ist z. B.: + 4 = 4 + = 7. Die Vertauschbarkeit der Summanden gilt für alle natürlichen Zahlen. Dieser Sachverhalt lässt sich kurz, unter Verwendung der Variablen a und b, ausdrücken: a + b = b + a (Kommutativgesetz ) der Addition) ) Z. B.: der Erste, der Zweite, der Dritte usw. ) commutare (lat.): vertauschen.

3 Zahlbereiche und Rechenoperationen () Wenn mehr als zwei Zahlen addiert werden sollen, können beliebige Teilsummen gebildet werden, z. B.: = ( + ) + 7 = = = + ( + 7) = + = Es gilt: (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz ) der Addition) () Die Kleinerrelation zwischen zwei natürlichen Zahlen bleibt erhalten, wenn zu beiden Zahlen die gleiche natürliche Zahl addiert wird, z. B.: < + 6<+ 6 Es gilt: a<b a + c<b+ c (Monotoniegesetz der Addition) (4) a + 0 = 0 + a = a Insbesondere gilt: = 0 (In diesem Zusammenhang heißt 0 das neutrale Element der Addition.) Die Addition ist in N stets ausführbar, d. h. die Summe zweier natürlicher Zahlen ist stets eine natürliche Zahl. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Sie ist in N im Gegensatz zur Addition nur ausführbar, wenn der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend ist, z. B.: 0 4 = 6, 0 0 = 0, 4 0 =? Welche der unter () bis (4) aufgezeigten Gesetze für die Addition besitzen auch für die Subtraktion Gültigkeit? Die Multiplikation entsteht durch verkürzte Schreibweise der Addition von gleichen Summanden, z. B.: = 4 =. Für die Multiplikation natürlicher Zahlen gelten u. a. folgende Gesetze: () Die Faktoren eines Produktes dürfen ohne Einfluss auf das Resultat vertauscht werden, z. B.: = + = 6, = + + = 6 = Durch Variable ausgedrückt: Leopold KRONECKER (8 89) war einer der einflussreichsten Mathematiker des 9. Jahrhunderts. Nach intensiven mathematischen Studien in Berlin verwaltete er (mit großem finanziellen Erfolg) das Erbe seines Onkels. Als wohlhabender Privatmann war er somit nicht gezwungen, einen Lehrstuhl in einer kleinen Stadt anzunehmen. In Berlin, dem deutschsprachigen Zentrum der Wissenschaft des 9. Jahrhunderts, beschäftigte er sich mit vielen Teilgebieten der Mathematik. KRONECKER war ein Anhänger der sogenannten konstruktiven Mathematik. Er hat seine Ansichten stets sehr fest vertreten. Dies führte zu Konflikten wie zum Beispiel mit CANTOR, den er als Verderber der Jugend bezeichnete. a b = b a (Kommutativgesetz der Multiplikation ) ) () Wenn mehr als zwei Zahlen multipliziert werden sollen, können beliebige Teilprodukte gebildet werden, z. B.: 4 = ( 4) = 8 = 40, 4 = (4 ) = 0 = 40 Es gilt: (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz der Multiplikation) ) associare (lat.): sich verbinden. ) Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt keinesfalls für alle mathematischen Objekte, für die man sinnvoller Weise eine Multiplikation definieren kann.

4 6 Zahlbereiche und Rechenoperationen () Die Kleinerrelation zwischen zwei natürlichen Zahlen bleibt erhalten, wenn beide Zahlen mit der gleichen natürlichen Zahl ungleich 0 multipliziert werden, z. B.: < < Es gilt: a<b a c<b c (c 0) (Monotoniegesetz der Multiplikation) (4) a 0 = 0 a = 0 und a = a = a z. B.: 4 0 = 0 4 = 0; = = (In diesem Zusammenhang heißt das neutrale Element der Multiplikation.) Die Multiplikation ist in N stets ausführbar, d. h. das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist stets eine natürliche Zahl. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Sie ist in N nicht immer ausführbar, z. B.: 6 : =, 6 : 7 =? Die Division durch 0 ist nicht definiert! Wir wollen nun untersuchen, welche Rechenoperationen ohne Einschränkung mit zwei natürlichen Zahlen so durchgeführt werden können, dass das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist. Man sagt dann in der Mathematik, die natürlichen Zahlen sind gegenüber dieser Rechenoperation abgeschlossen. In unserem Rechenstufensymbol werden die entsprechenden Felder schraffiert: ( ) n n + Welche Zahlen müssen wir hinzu nehmen, um auch ohne Einschränkung subtrahieren zu können? Die Division durch 0 ist grundsätzlich unmöglich. Ist b 0 und wäre b c, 0 = so müsste 0 c = b sein, also 0 c 0. Das ist aber nicht möglich. Die Division b hat daher keinen Sinn. 0 Anhand selbstgewählter Beispiele ist zu zeigen: Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz sind für die Division in N nicht gültig! Einen Zusammenhang zwischen Rechenoperationen verschiedener Stufen drückt das Distributivgesetz aus, z. B.: (4 + ) = 6 = 8, aber auch 4 + = + 6 = 8, d. h. (4 + ) = 4 +. Dieser Zusammenhang gilt für alle natürlichen Zahlen. Mit Variablen dargestellt: a (b+ c) = a b+ a c (Distributivgesetz ) ) a) = = =49 b) 9 4 ( + 7) = 8 4 ( ) = 6 48 = 4 c) ( ) = ( ) = ( 68) = 6 d) ( 9 4) + 7 = ( 8 4) + 7 = 0 (77) + 7 = = 777 e) ( 9 4) + 7 = ( 8 4) + 7 = ( 6 4) + 7 = = ( 8) + 7 = = 797 ) distribuere (lat.): verteilen, auseinanderlegen.

5 Zahlbereiche und Rechenoperationen 7. Rechnen mit ganzen Zahlen Wir benötigen die positiven und die negativen Zahlen, um gerichtete Unterschiede angeben zu können. Im täglichen Leben gibt es dafür viele Beispiele: Temperaturmessung: Wenn am Tag das Thermometer 4 C anzeigt und die Temperatur in der Nacht um 6 C fällt, so hat man C Kälte. Man bezeichnet auch oft die Wärmegrade mit einem positiven, die Kältegrade mit einem negativen Vorzeichen. Dann hat man +4 C 6 C = C Wirtschaft: Gewinne und Guthaben werden mit positiven Zahlen, Verluste und Schulden mit negativen Zahlen angegeben. Höhenangaben: Geländepunkte, die über dem Meeresspiegel liegen, werden durch positive Höhenangaben, Geländepunkte die unter dem Meeresspiegel liegen, durch negative Höhenangaben gekennzeichnet. Die Einführung der ganzen Zahlen ist notwendig, um einen Zahlbereich zu gewinnen, in dem außer der Addition und der Multiplikation auch die Subtraktion stets ausführbar ist. So hat z. B. die Subtraktion 4 0 =? in N keine Lösung, während wir in Z diese Aufgabe lösen können. a Bei Ausführung von Rechenoperationen erster Stufe mit ganzen Zahlen ist es notwendig, Vorzeichen und Rechenzeichen ) zu unterscheiden. Es ist üblich um der Unterscheidung gerecht zu werden die ganzen Zahlen in Klammern einzuschließen. (Vgl. Außenspalte!) Ganze Zahlen können durch regelmäßig angeordnete Punkte auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Man schreitet von links nach rechts zu immer größeren Zahlen fort: Durch Vereinigung der Menge der positiven ganzen Zahlen, der Null und der negativen ganzen Zahlen erhält man die Menge der ganzen Zahlen, die mit Z bezeichnet wird: Z = {,,,, 0,,,...} Die ganzen Zahlen bilden einen Zahlbereich, in dem jede Subtraktionsaufgabe eine Lösung hat. Rechenzeichen Z.B.: ( + ) ( ) + ( 4) Vorzeichen Ganze Zahlen können aber auch durch Pfeile dargestellt werden, wie die nebenstehende Figur zeigt. Zu den Zahlen ( ) und (+) gehören zwei Pfeile, die die gleiche Länge haben (nämlich ), aber entgegengesetzte Orientierung. Die Länge des Pfeiles bezeichnet man als den Betrag der Zahl und schreibt a. ( ) und (+) haben also den gleichen Betrag. Man schreibt: = + = Allgemein gilt für a 0 ) : a = a, also z.b. 4 = 4 bzw. für a < 0: a = a, also z.b. 4 = ( 4) = 4 Z. B. : + = ; =, 0 = 0, 4 = 4 usw. Zahlen mit gleichem Betrag, aber verschiedenen Vorzeichen bezeichnet man als entgegengesetzte Zahlen. + und, 99 und +99,... sind Beispiele für entgegengesetzte Zahlen. Die Größe einer Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen heißt Betrag oder Absolutwert der Zahl. Genauer: a = a, wenn a 0 a = a, wenn a < 0 a ist stets größer oder gleich 0. ) Das Vorzeichen wirkt nur auf die eine Zahl danach. Das Rechenzeichen hingegen verknüpft zwei Zahlen. Auf Taschenrechnern belegt das Minus als Vorzeichen und als Rechenzeichen verschiedene Tasten. ) Das Zeichen bedeutet größer oder gleich. Für kleiner oder gleich schreibt man.

6 8 Zahlbereiche und Rechenoperationen Wir wollen nun anhand von Beispielen die schon in der Hauptschule bzw. AHS-Unterstufe erklärten Grundrechnungsarten mit ganzen Zahlen wiederholen. Vorzeichenregeln: +(+a) =+a +( a) = a (+a) = a ( a) =+a a) ( ) + ( + 4) = + 4= b) ( ) + ( ) = = 8 c) ( + 4) ( + ) = 4 = d) ( + 7) ( 8) = = e) ( ) ( ) = + = f) ( 4) ( + ) = 4 = (+a) (+b) =+ (a b) (+a) ( b) = (a b) ( a) (+b) = (a b) ( a) ( b) =+ (a b) Für b 0 gilt: (+a) :(+b) =+ (a : b) (+a) :( b) = (a : b) ( a) :(+b) = (a : b) ( a) :( b) =+ (a : b) a) ( + 8)( + ) =6 b) ( + 8)( 4) = c) ( 9)( + ) = 7 d) ( 0) ( ) =0 e) ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) = f) ( ) ( 4) ( ) = ( + ) ( ) = Wenn bei einer Multiplikation die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist, dann ist das Produkt negativ, sonst ist es positiv! a) ( + 8):( + ) = 4 b) ( + 8):( 4) = c) ( 9):( + ) = d) ( 0) :( ) = e) 0:( 7) =0 f) ( ):( + ) = Bemerkung: Für alle a 0 gilt: 0 : a = 0, a : = a Eine Potenz mit negativer Basis hat einen positiven Wert bei geradem Exponenten und einen negativen Wert bei ungeradem Exponenten. a) (+ ) 4 = 6 b) (+) = 7 c) ( ) 4 = 6 d) ( ) = 7 e) ( ) 99 = f) ( ) 00 = 4. Teilbarkeit, Primfaktorenzerlegung, kgv, ggt Es sind alle Teiler der Zahl 4 zu bestimmen. Eine natürliche Zahl a (a 0) wird Teiler einer natürlichen Zahl b genannt, wenn es eine natürliche Zahl q gibt, sodass a q = b gilt. b nennen wir ein Vielfaches von a. Die Zahl 4 kann durch jede der folgenden Zahlen ohne Rest dividiert werden:,,, 4, 6, 8,, 4. und 4 sind die trivialen Teiler von 4. Die echten Teiler sind,, 4, 6, 8,. Gleichzeitig ist 4 ein Vielfaches von,,, 4, 6, 8,, 4.

7 Zahlbereiche und Rechenoperationen 9 Zunächst einige Teilbarkeitsregeln: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch bzw. teilbar, wenn ihre Einerstelle durch bzw. teilbar ist. durch 4 bzw. teilbar, wenn die aus ihren zwei letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 bzw. teilbar ist. durch 8 bzw. teilbar, wenn die aus ihren drei letzten Ziffern gebildete Zahl durch 8 bzw. teilbar ist. durch bzw. 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch bzw. 9 teilbar ist. Sind die Zahlen a) b) c) d) Teiler der Zahl 4? a) 4 ist durch teilbar, weil ihre Einerziffer durch teilbar ist. b) 4 ist durch teilbar, weil ihre Ziffernsumme durch teilbar ist: =. Es ist auch Aufgabe der Mathematik, Ordnung in die vielfach falsch verwendeten Begriffe Zahl und Ziffer zu bringen. Zahlen sind z. B. die Elemente von N und Z. Ziffern sind die Bausteine, aus denen Zahlen zusammengesetzt sind. Richtig: Diese Tabelle ist unleserlich, da die Ziffern zu klein sind. In dieser Zahl kommt die Ziffer nicht vor. Falsch: Bei der Budgetdebatte ist von Ziffern die Rede, die sich niemand vorstellen kann. c) 4 ist nicht durch teilbar, weil ihre Einerziffer nicht durch teilbar ist. d) 4 ist nicht durch teilbar, weil das zweistellige Ende nicht durch teilbar ist. (Wenn eine Zahl nicht durch teilbar ist, ist sie selbstverständlich auch nicht durch ein Vielfaches von also etwa teilbar!) a 4 = 8 4 Die Zahl 4 lässt sich wie in der Außenspalte dargestellt zerlegen. Somit kann man die Zahl 4 als Produkt von Primzahlen darstellen: 4 = Auch andere natürliche Zahlen kann man wie man sagt in Primfaktoren zerlegen. Es gilt sogar der nebenstehende Satz, dass für alle natürlichen Zahlen größer die Primfaktorenzerlegung möglich ist. Wie man die Primfaktorenzerlegung ausführen kann, zeigt das nächste Beispiel. Hauptsatz der Teilbarkeit ) : Jede natürliche Zahl n, die größer als ist, lässt sich abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Für die Zahl 64 ist die Primfaktorenzerlegung zu bestimmen. Man schreibt zunächst: 64 und bestimmt sodann mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln eine der Primzahlen, die in 64 enthalten ist. 64 ist sicher durch teilbar. Es wird dividiert und der Quotient unter 64 geschrieben: 64 ist wieder durch teilbar, 6 desgleichen 6 Die Primfaktorenzerlegung von 64 lautet: 78 und = = ist durch teilbar. ist eine Primzahl. ) Auf den Beweis wird verzichtet.

8 0 Zahlbereiche und Rechenoperationen Soll eine Zahl n N* in Primfaktoren zerlegt werden genügt es, bei allen Primzahlen p n zu probieren, ob sie Teiler von n sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) mehrerer natürlicher Zahlen ist jene kleinste Zahl, die alle gegebenen Zahlen als Teiler enthält. Der größte gemeinsame Teiler (ggt) mehrerer natürlicher Zahlen ist jene größte Zahl, die Teiler aller gegebenen Zahlen ist. Ist von zwei Zahlen a und b der größte gemeinsame Teiler ggt (a, b) =, heißen a und b relativ prim. Das kgv erhält man als das Produkt der höchsten auftretenden Potenz aller vorkommenden Primfaktoren. Den ggt erhält man als das Produkt der niedrigsten Potenz der in jeder Zahl vorkommenden Primfaktoren. Für die nachstehenden Zahlen sind die Primfaktorenzerlegungen zu bestimmen: a) 690 b) 4684 a) = 7 = = 7 Ist es möglich, dass zwei verschiedene natürliche Zahlen gemeinsame Vielfache ) haben? Überlegen wir uns diese Frage anhand der Zahlen 4 und 6. Vielfache von 4: 4, 8,, 6, 0, 4, 8, 6,... Vielfache von 6: 6,, 8, 4, 0, 6,... Die Zahlen, 4, 6,... sind gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6. ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen! Umgekehrt ist es auch möglich, dass zwei verschiedene natürliche Zahlen gemeinsame Teiler haben. Wir zeigen dies anhand der Zahlen 4 und 0. Teiler von 4:,,, 4, 6, 8,, 4. Teiler von 0:,,,, 6, 0,, 0. Die Zahlen,, 6 sind gemeinsame Teiler von 4 und 0. 6 ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen! Man ermittle a) das kleinste gemeinsame Vielfache b) den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 8, 4 und 8. Kurzschreibweise: a) kgv(8, 4, 8) =? b) ggt(8, 4, 8) =? Primfaktorenzerlegung: = 7 4 = 7 8 = 7 7 b) = 7 7 = = a) kgv( 8, 4, 8) = 7 7 = 476 b) ggt( 8, 4, 8 ) = ) Da die Zahl 0 durch jede natürliche Zahl a 0 teilbar ist, ist die Zahl 0 auch ein Vielfaches von jeder natürlichen Zahl a 0, wird aber bei der Bestimmung von gemeinsamen Vielfachen nicht berücksichtigt.

9 Zahlbereiche und Rechenoperationen. Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchzahlen werden eingeführt, um auch Teile von ganzen Einheiten in Zahlen erfassen zu können, z. B. ein halbes kg Äpfel, zwei Drittel der Klasse sind Mädchen,... Beispiele für Bruchzahlen bzw. Brüche: 7 8, 4,,... Brüche lassen sich auf verschiedene Weise darstellen. Zwei wichtige Deutungen sollen am Beispiel gegeben werden: 6 44 Einheit Einheit Einheit 7448 Zwei Drittel der Einheit: Ein Drittel von zwei Einheiten: = ( ) : = : So gesehen kann man also sagen: Der Bruchstrich ist eine andere Schreibweise für das Divisionszeichen bzw. ein Bruch ist eine nicht ausgeführte Division. Führt man die Division aus, erhält man eine Dezimalzahl: den Wert des Bruches. 4 = 0,7 8 = 0,7 ) 94 = 8,4 ) Wert des Bruches Die so entstehenden Zahlen heißen rationale Zahlen. In der Menge der rationalen Zahlen kann man unbeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (wenn der Divisor ungleich Null ist). Wie man mit Brüchen rechnet, bestimmen die Regeln der Bruchrechnung. Diese wurden im Mathematikunterricht vergangener Jahre ausführlich behandelt. Wir beschränken uns auf eine kurze Wiederholung von Begriffen und Regeln ). Ein Bruch, dessen Betrag kleiner als ist, heißt echter Bruch, 7 z.b.:,, 0,... Ein echter Bruch, dessen Zähler ist, heißt Stammbruch, z.b.:,,,,... 0 Ein Bruch, dessen Betrag größer als ist, heißt unechter Bruch, 7 8 z.b.:,,, Ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, heißt Dezimalbruch, z.b.: = 0,, = 0,0, =,70, lst der Zähler eines Bruches gleich dem Nenner eines anderen und 7 umgekehrt, so heißen die Brüche zueinander reziprok, z. B. : und, 7 9 und, Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamig, z.b.:,,,... Brüche mit ungleichen Nennern heißen ungleichnamig, z.b.: 4,, 7 9,... Jeder Bruch hat die Form a b für a, b Z, b 0 (Die Division durch 0 hat ja keinen Sinn!): a b Zähler Bruchstrich Nenner Die Bruchzahlen (also diejenigen Zahlen, welche sich als Quotient ganzer Zahlen ergeben) heißen auch rationale Zahlen. { } a Q= Z Z b a b \{ 0} Die Menge Q aller rationalen Zahlen enthält die Menge Z als echte Teilmenge: Z Q Auch ganze Zahlen lassen sich als Bruchzahlen schreiben, 4 z.b. 4 = 8 = =, = 0 = = usw. Die Menge aller Bruchzahlen bildet somit eine Erweiterung der ganzen Zahlen. Das nachstehende Struktogramm, in dem a und b stellvertretend für ganze Zahlen stehen, gibt Auskunft über die Vorzeichenregeln bei Brüchen: Ja Vorzeichen von a = Vorzeichen von b Vorzeichen a von b : + Nein Vorzeichen von a : b ) 0,7 = 0, ) 8,4 = 8, ) Bei den meisten Beispielen werden positive Brüche verwendet, trotzdem gilt alles sinngemäß auch für negative Brüche!

10 Zahlbereiche und Rechenoperationen Was ist eine gemischte Zahl? Neben den in der Hauptspalte angeführten Formänderungen von Zahlen, die den Zahlenwert unverändert lassen, gibt es noch weitere: Erweitern und Kürzen Erweitern heißt: Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl a 0 (a Z) multiplizieren. Kürzen heißt: Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl a 0 (a Z) dividieren ). Da man jeden unechten Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch aufspalten kann, lässt sich jeder unechte Bruch als gemischte Zahl anschreiben, z. B.: 4 = + = + = Zwischen der ganzen Zahl und dem echten Bruch hat man sich ein Additionszeichen zu denken! Umgekehrt kann natürlich jede gemischte Zahl als unechter Bruch geschrieben werden, z. B.: = + = a) ist mit 6 zu erweitern. b) ist so weit wie möglich zu kürzen. 4 8 a) 6 4 = 4 6 = 0 4 b) 8 = : 6 8 : 6 = Der Bruch wurde durch 6 gekürzt. Man beachte: Wenn man erweitert oder kürzt, ändert sich der Wert des Bruches nicht. Wann ist es sinnvoll, einen Bruch zu kürzen? Die Antwort lautet: Meistens, wenn es möglich ist. Denn durch das Kürzen rechnet man mit kleineren Zahlen und erspart sich viel Rechenarbeit. Erst kürzen, dann rechnen ist ein Rat, den man wirklich befolgen sollte. Und was nützt es einen Bruch zu erweitern? Nun: Wenn Brüche mit verschiedenen Nennern, sogenannte ungleichnamige Brüche, auf einen gemeinsamen Nenner den Hauptnenner gebracht werden sollen, muss man die Brüche entsprechend erweitern. Die Brüche 9,, sind auf gemeinsamen Nenner zu bringen! Anders formuliert: Die gegebenen Brüche sind gleichnamig zu machen. Jedes gemeinsame Vielfache der Nenner 8, 4 und 8 kann als gemeinsamer Nenner gewählt werden. Um die Zahlen aber möglichst klein zu halten, wählt man als Hauptnenner HN das kleinste gemeinsame Vielfache aller Einzelnenner. Es wird also zunächst das kgv(8, 4, 8) bestimmt: kgv ( 8, 4, 8) =... = 7 7 = 476 (vgl. Seite 0) Nun wird jeder Bruch mit genau den Faktoren erweitert, die seinem Nenner zum Hauptnenner fehlen. 7 = 8 = (Erweiterungsfaktor: 7) = = (Erweiterungsfaktor: 7 = 4) = 7 7 = 8 (Erweiterungsfaktor: ) 476 Addition und Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert, der Nenner bleibt unverändert. Ungleichnamige Brüche werden vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig gemacht, indem man sie auf den Hauptnenner (= das kleinste gemeinsame Vielfache) erweitert a) + = = = b) = 0 = 0 = a) = = 8 b) = = ) Genau genommen müssen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, damit man durch diesen kürzen kann.

11 Zahlbereiche und Rechenoperationen 4 4 a) 7 = 7 = 8 8 b) = / 6 = / 99 Hinweis: Vor der Ausführung der Multiplikation wird wenn es möglich ist gekürzt! 4 a) 7 : = 7 4 = 8 Da wir die Division in Q auf die Multiplikation zurückgeführt haben, gilt: In der Menge der rationalen Zahlen ist jede Division mit Ausnahme der durch 0 durchführbar. Bruchzahlen lassen sich wie die ganzen Zahlen auch als Punkte oder Pfeile auf der Zahlengeraden darstellen. Es gilt: Je kleiner (größer) die Zahl ist, desto weiter links (rechts) liegt sie auf der Zahlengeraden. Wir wissen, dass sich jede Bruchzahl als Dezimalzahl schreiben lässt: = : 4 =,; = : = 0,... = 0, 4 usw. Außer den endlichen Dezimalzahlen können also dabei auch unendliche periodische Dezimalzahlen auftreten. Umgekehrt kann man jede endliche und jede periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben:,7 = = x = 0, = Erklärung: 00x =, =,... x = 0, = 0,... 99x = x = 99 Die Menge Q der rationalen Zahlen ist also die Vereinigung der Menge der endlichen und der periodischen Dezimalzahlen. Gibt es jetzt überhaupt noch Zahlen, die wir bisher nicht berücksichtigt haben? Auf unserer Zahlengeraden bleibt doch zumindest optisch kein Loch mehr frei! Das händische Quadratwurzelziehen wurde bis vor ca. 0 Jahren gelehrt. Ein einziges Mal wollen wir uns dieses Verfahren vor Augen führen: =, Wir erkennen: Der Divisor wird immer größer. Wir können deshalb, wenn die Wurzel nicht aufgeht niemals auf eine Periode kommen, wie es bei nicht aufgehenden Brüchen immer der Fall war. =,44... lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. ) Es gibt also Dezimalzahlen, die nicht rational sind. Man nennt sie irrationale Zahlen, z. B. 0, Diese Zahl kann nicht rational sein, da sich beim Dividieren einer ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl ( 0) stets entweder eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl ergibt! b) : : / / / / ( ) = = 44 ) Diese anschauliche Überlegung ist natürlich kein Beweis. Multiplikation und Division von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler in den Zähler und das Produkt der Nenner in den Nenner setzt. Man dividiert durch einen Bruch, indem man den Dividenden mit dem reziproken Bruch des Divisors multipliziert. 7..,, In unserem Rechenstufensymbol schraffieren wir jene Rechenoperationen, die ohne Einschränkung mit rationalen Zahlen durchgeführt werden können, sodass das Ergebnis wieder eine rationale Zahl ist: 9 6 0,6,6 0 ( ) n n +