Zusammenfassung Zahlbereiche

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1 Zusammenfassung Zahlbereiche Ekkehard Batzies 7. Mai Die rationalen Zahlen 1.1 Zahlbereiche in der Schule Als Zahlbereiche kennt man aus der Schule die natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, 3,...}, die ganzen Zahlen, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, die rationalen Zahlen, Q, und die reellen Zahlen, R. Die beiden letzteren kann man sich am besten vorstellen als eine sogenannte Zahlengerade : Wir wiederholen hier nochmals Eigenschaften der rationalen Zahlen, allerdings von einem etwas strukturelleren Blickwinkel, als dies üblicherweise in der Schule geschieht. 1

2 1.2 Die Menge der rationalen Zahlen Die folgende Definition beantwortet die Frage, was rationale Zahlen überhaupt sind: Definition 1.1. Rationale Zahlen werden dargestellt durch Brüche. Brüche sind Ausdrücke der Form a b bzw. a/b, wobei a und b ganze Zahlen sind, b 0. Hierbei stellen zwei Brüche a 1 /b 1 und a 2 /b 2 dieselbe rationale Zahl dar, wenn gilt: a 1 b 2 = a 2 b 1. Bemerkung 1.1. Genaugenommen müßte man also sprachlich immer unterscheiden zwischen rationaler Zahl und sie darstellendem Bruch. Das ist mühsam, deshalb nimmt man s hier nicht so genau und sagt a Dinge wie... die rationale Zahl b... anstatt... die rationale Zahl, die durch den Bruch a b dargestellt wird.... Im Hinterkopf sollte man sich aber des Unterschiedes bewußt sein. 1.3 Die Addition auf den rationalen Zahlen Die nächste Definition gibt an, wie man auf den rationalen Zahlen addiert: Definition 1.2. Es seinen a1 b 1 und a2 b 2 rationale Zahlen. Wir definieren: a 1 b 1 + a 2 b 2 := a 1 b 2 + a 2 b 1 b 1 b 2. Bemerkung 1.2. Man kann beweisen, daß dies eine korrekte Definition für eine Addition auf Q ist (man sagt:... die Addition auf diese Weise wohldefiniert ist ). Das Problem ist, daß ja die rationalen Zahlen, die hier addiert werden sollen, jeweils durch verschiedene Brüche dargestellt werden könnten. Man muß klären, ob die durch die Formel errechneten Ergebnisse in allen Fällen wieder dieselbe rationale Zahl darstellen. 1.4 Die Multiplikation auf den rationalen Zahlen Die nächste Definition gibt an, wie man auf den rationalen Zahlen multipliziert: 2

3 Definition 1.3. Es seinen a1 b 1 und a2 b 2 rationale Zahlen. Wir definieren: a 1 b 1 a2 b 2 := a 1 a 2 b 1 b 2. Bemerkung 1.3. Man kann leicht beweisen, daß die Multiplikation auf diese Weise wohldefiniert ist. 1.5 Eigenschaften der rationalen Zahlen Man beachte, daß wir Subtraktion und Division nicht als eigenständige Operationen einführen. Sie treten im Zusammenhang mit gewissen Eigenschaften, die im folgenden untersucht werden, quasi von selber auf. Satz 1.1 (Die wichtigsten Eigenschaften der rationalen Zahlen (Q)). Es gibt die vier Grundrechenarten: Addition Subtraktion Multiplikation Division Diese Grundrechenarten sind gutartig. Obiger Satz ist sehr lax formuliert. Genauere Ausformulierung folgt in den folgenden drei Sätzen: 3

4 Satz 1.2 (Details über die Addition und Subtraktion auf den rationalen Zahlen). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Addition, nämlich die 0. Sie hat die Eigenschaft x + 0 = x für alle rationalen Zahlen x Q. Jede rationale Zahl x Q besitzt ein sogenanntes inverses Element bezüglich der Addition, auch Negatives genannt. Das Negative einer rationalen Zahl x bezeichnet man mit x. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition in folgendem Sinne: Sind x und y rationale Zahlen, so ist x y definiert als x y := x + ( y). D.h. Subtraktion mit einer rationalen Zahl y ist nichts anderes als Addition mit dem Negativen von y. Die Addition ist kommutativ, d.h. für beliebige rationale Zahlen x, y Q gilt: x + y = y + x. Die Addition ist assoziativ, d.h. für beliebige rationale Zahlen x, y, z Q gilt: (x + y) + z = x + (y + z). Folgende Bemerkung ist im Zusammenhang der rationalen vor allem von theoretischer, nicht so sehr von praktischer Bedeutung (, da Sie in den meisen Fällen einer Zahl direkt ansehen können, ob sie z.b. das Negative einer anderen ist). Sie sollen sich in diesem Zusammenhang schonmal an die Logik gewöhnen. Bei den komplexen und Modulo-Zahlen wird die analoge Bemerkung von großer praktischer Relevanz sein. Bemerkung 1.4. Will man testen, ob eine gewisse rationale Zahl y das Negative einer gegebenen rationalen Zahl x ist, so prüfe man, ob x + y = 0. Will man testen, ob für eine eine gewisse rationale Zahl z gilt z = x y, so prüfe man, ob z + y = x. 4

5 Satz 1.3 (Details über die Multiplikation und Division auf den rationalen Zahlen). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Multiplikation, nämlich die 1. Sie hat die Eigenschaft x 1 = x für alle rationalen Zahlen x Q. Jede rationale Zahl x Q, x 0 besitzt ein sogenanntes inverses Element bezüglich der Multiplikation, auch Kehrwert genannt. Den Kehrwert einer rationalen Zahl x bezeichnet man mit x 1 oder auch mit 1/x bzw. 1 x. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation in folgendem Sinne: Sind x und y rationale Zahlen, so ist x/y definiert als x/y := x y := x (y 1 ). D.h. Division mit einer rationalen Zahl y ist nichts anderes als Multiplikation mit dem Kehrwert von y. Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. für beliebige rationale Zahlen x, y Q gilt: x y = y x. Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für beliebige rationale Zahlen x, y, z Q gilt: (x y) z = x (y z). Bemerkung 1.5. Will man testen, ob eine gewisse rationale Zahl y der Kehrwert einer gegebenen rationalen Zahl x ist, so prüfe man, ob x y = 1. Will man testen, ob für eine eine gewisse rationale Zahl z gilt z = x y, so prüfe man, ob z y = x. 5

6 Satz 1.4 (Details über das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen). Es gilt das sogenannte Distributivgesetz, d.h. für beliebige Zahlen x, y, z Q gilt: (x + y) z = x z + y z. Da genannte Eigenschaften oft vorkommen, hat man einen eigenen Begriff dafür geschaffen: Definition 1.4 (Körper). Man nennt eine Menge von Zahlen zusammen mit zwei Operationen + und, die alle Eigenschaften der Sätze 1.2, 1.3 und 1.4 erfüllen, einen Körper. Den Inhalt der Sätze 1.2, 1.3 und 1.4 kann man also auch wie folgt zusammenfassen: Satz 1.5. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet einen Körper. Satz 1.5 kann man auch so interpretieren: Als Zahlbereich ist die Menge Q ganz gut brauchbar, denn die vier Grundrechenarten funktionieren gut. Allerdings hat Q ein Manko, über das wir im nächsten Abschnitt sprechen werden. 2 Die reellen Zahlen 2.1 Wurzeln von rationalen Zahlen In Q kann man nicht gut Wurzeln ziehen: Satz 2.1. Es gibt keine Zahl x Q mit der Eigenschaft x 2 = 2. Beweis. : Es sei x = a b Q mit x2 = 2. Wir können annehmen, daß a und b teilerfremd sind (sonst können wir kürzen bis es so ist.) Insbesondere können wir annehmen, daß nicht sowohl a als auch b durch 2 teilbar sind. Wir haben: 2 = ( a b )2 = a2 b 2, somit a 2 = 2b 2. Es muß also a durch 2 teilbar sein, d.h. es gibt ã Z, sodaß a = 2ã. 6

7 Insgesammt haben wir also 2 2 ã 2 = 2b 2, somit auch 2ã 2 = b 2. Hieraus folgt aber, daß 2 auch ein Teiler von b ist und dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Abbildung 1: Die Zahl 2 (und viele andere mehr) haben in Q keine Quadratwurzel Um diese Schwäche der rationalen Zahlen zu beheben, konstruiert man sich weitere Zahlen, die sogenannten reellen Zahlen. 2.2 Die Menge der reellen Zahlen Definition 2.1 (Reelle Zahlen). Reelle Zahlen werden dargestellt durch monoton wachsende, beschränkte Folgen (x k ) k N von rationalen Zahlen. Zwei derartige Folgen (x k ) k N und (y k ) k N stellen dieselbe reelle Zahl α dar, falls die Differenzfolge (x k y k ) k N eine Nullfolge ist (d.h. gegen Null konvergiert). 7

8 Abbildung 2: Die Zahl 2 R (rot) und eine monoton wachsende, beschränkte Folge rationaler Zahlen (blau), die gegen 2 konvergiert. Die blaue Folge ist eine reelle Zahl, nämlich 2! Falls Sie sich hier fragen, warum man nicht einfach sagt,...falls sie gegen dieselbe Zahl α konvergieren... : Diese Zahl α, gegen die die beiden Folgen nachher dann ja tatsächlich konvergieren werden, die gibts ja zunächst noch garnicht, die wollen wir durch diesen Prozess ja gerade erst konstruieren, es wäre also nicht korrekt, in der Definition sie schon zuhilfe zu nehmen. Als erstes stellt man fest, daß man die rationalen Zahlen als eine Teilmenge der reellen Zahlen wiederfindet: Bemerkung 2.1. Identifiziert man jede rationale Zahl x Q mit der konstanten Folge (x k ) = (x, x, x, x,...), so erhält man Q R. 2.3 Die vier Grundrechenarten auf den reellen Zahlen Nun vergewissern wir uns, daß wir durch unseren Erweiterungsprozess nichts kaputt gemacht haben: Satz 2.2. Die Menge R der reellen Zahlen bildet einen Körper. Bemerkung 2.2. Satz 2.2 sagt also aus, daß die Sätze 1.2, 1.3 und 1.4 auch korrekt sind, wenn man statt rational überall reell einsetzt, auf deutsch: Die vier Grundrechenarten funktionieren auch auf R ausgezeichnet. Bemerkung 2.3. In Wahrheit muß man natürlich zunächst definieren, wie die Addition und die Multiplikation auf der neuen Zahlenmenge R überhaupt vor sich geht sind. Man macht das so: Die Summe zweier Folgen (x k ) k N und (y k ) k N ist die Folge der Summen (x k + y k ) k N, Multiplikation entsprechend. Dann muß man Wohldefiniertheit nachweisen und anschließend alle Körpereigenschaften beweisen. Das macht ziemlich viel Arbeit, letztendlich klappt es. Wir übergehen das hier. 8

9 2.4 Wurzelziehen in den reellen Zahlen Schließlich stellt man fest, daß in R das Wurzelziehen hervorragend funktioniert: Satz 2.3. Es sei x R, x 0 und n N, n 1. Dann gibt es genau ein y R mit y 0, sodaß y n = x. Man bezeichnet y als eine n-te Wurzel von x, in Formelschreibweise y = n x. Abbildung 3: Die Zahl 2 hat in R eine Quadratwurzel 9

10 Bemerkung 2.4. Ist in obigem Satz n eine gerade Zahl, so gibt es sogar zwei n-te Wurzeln von jedem x R, x > 0. Diese beiden Wurzeln haben denselben Betrag, die eine ist positiv, die andere negativ. Vorsicht: Man nennt die positive der beiden Wurzeln meistens die n-te Wurzel von x. Ist x negativ, so gibt es genau dann eine n-te Wurzel von x, falls n ungerade ist. Diese ist dann eine negative Zahl. Wurzeln der 0 gibt es für jedes n 0 natürlich genau eine, nämlich die 0 selbst. Da definitionsgemäß x 0 = 1 für alle x R, macht es nicht viel Sinn, nach der 0-ten Wurzel einer Zahl zu fragen: Die 1 hat unendlich viele, alle anderen Zahlen keine. 3 Die komplexen Zahlen 3.1 Wurzeln aus negativen reellen Zahlen Leider haben auch die reellen Zahlen eine strukturelle Schwäche, die das Wurzelziehen betrifft: Satz 3.1. Es gibt keine reelle Zahl x R mit der Eigenschaft x 2 = 1. Beweis. Für alle x R gilt: x 2 0. Auch hier werden wir das Problem auf eine konstruktive Art lösen: Wir basteln uns eine Erweiterung der reellen Zahlen R zu einem noch größeren Zahlbereich, in dem man sogar Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann. 3.2 Die Menge der komplexen Zahlen Die grobe Idee ist die folgende: Man geht von der Zahlengerade über zu einer Zahlenebene, in der also dann jeder Punkt der Ebene einer dieser neuartigen Zahlen entsprechen wird: Definition 3.1 (Komplexe Zahlen). Unter einer komplexen Zahl verstehen wir einen Ausdruck der Form z = x + yj. Hierbei sind x und y reelle Zahlen. j ist die sogenannte imaginäre Einheit. Sie ist ein konstantes Objekt (nicht variabel). x + yj wird auch die Normalform von z genannt, x der Realteil, y der Imaginärteil von z. 10

11 Abbildung 4: Die (blaue) reelle Zahlengerade wird in eine Zahlenebene eingebettet, die in gewissem Sinne von den Zahlen 1 (blau) und j (rot) aufgespannt wird. Die allgemeine neue Zahl (grün) ist jetzt von der Form z = x + jy. Beachten Sie bitte, daß auf diese Weise der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + yj eine reelle Zahl ist. Möchte man von yj sprechen, so würde man das wohl am besten den imaginären Anteil oder die imaginäre Komponente von z nennen. Bemerkung 3.1. Die reellen Zahlen lassen sich in der Menge der komplexen Zahlen leicht wiederfinden: Eine reelle Zahl x R läßt sich durch die Schreibweise z := x + 0 j als komplexe Zahl interpretieren und landet damit eben genau auf der (in der Abbildung blauen) reellen Zahlengerade. In diesem Sinne hat man: R C. 3.3 Polarkoordinaten für komplexe Zahlen Beim Multiplizieren komplexer Zahlen wird es auf den Winkel und den Betrag ankommen: 11

12 Abbildung 5: Komplexe Zahl z mit Winkel (z) und Betrag z. Definition 3.2 (Polarkoordinaten). Wir nennen die Halbgerade, die im Nullpunkt startet und durch alle positiven reellen Zahlen geht, die positive reelle Halbachse. Für jede komplexe Zahl z denken wir uns die Halbgerade, die ebenfalls im Nullpunkt startet und eben durch die komplexe Zahl z geht. Den von diesen beiden Halbgeraden (im mathematisch positiven Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn) eingeschlossenen Winkel nennen wir den Winkel φ := (z) von z. Die Länge der Strecke vom Nullpunkt bis zu z nennen wir den Betrag r := z von z. Die beiden Werte r = z und φ = (z) nennt man auch die Polarkoordinaten von z. Wenn wir schon dabei sind, halten wir noch kurz folgende Tatsache fest: 12

13 Satz 3.2. Jede komplexe Zahl z C läßt sich eindeutig charakterisieren durch ihre Polarkoordinaten. Einsehen tut man das am besten durch die Tatsache, daß man die Normalform aus den Polarkkordinaten berechnen kann: Satz 3.3 (Umrechnen von Polarkoordinaten in Normalform). Es sei z C mit den Polarkoordinaten r und φ. Dann gilt für den Realteil x und den Imaginärteil y von z: x = r cos(φ), y = r sin(φ). Für die Normalform von z bedeutet das: z = r cos(φ) + r sin(φ)j. Übrigens ist der umgekehrte Weg leider etwas aufwändiger: Satz 3.4 (Umrechnen von Normalform in Polarkoordinaten). Es sei z C, mit Normalform z = x + yj, also Realteil x und Imaginaärteil y. Dann gilt für die Polarkoordinaten r und φ von z: φ = r = x 2 + y 2 arctan( y x ) falls x > 0 π 2 90 falls x = 0, y > 0 π 2 90 falls x = 0, y < 0 arctan( y x ) + π falls x < 0, y 0 arctan( y x ) π falls x < 0, y < 0 Bemerkung 3.2. Folgt man bei der Berechnung von Polarkoordinaten dem Satz 3.4, so erhält man immer einen Winkel φ ( π, π]. Setzte man für alle x < 0 einfach pauschal φ := arctan( y x ) + π, so wäre das auch korrekt, allerdings würde man auf diese Weise Winkel erzeugen. φ [ π 2, 3 2 π) 13

14 3.4 Polarform für komplexe Zahlen Es gibt noch eine dritte Schreibweise für komplexe Zahlen, die sogenannte Polarform. Sie ist sehr nah mit den Polarkoordinaten verwandt, benutzt aber zur Darstellung die komplexe Exponentialfunktion. Deshalb hier zunächst kurz ein paar Informationen über diese: Definition 3.3 (Die komplexe Exponentialfunktion). Wir definieren die komplexe Exponentialfunktion durch: exp : C C z e z := k=0 zk k! Es ist Aufgabe der Analysis, nachzuweisen, daß diese Reihe tatsächlich für jedes z Z konvergiert. Außerdem lernt man dort folgende fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion: Satz 3.5 (Strukturgleichung der Exponentialfunktion). Für beliebige z 1, z 2 C gilt: e z1+z2 = e z1 e z2. Eine weitere wichtige Eigenschaft der komplexen Exponentialfunktion ist die folgende: Satz 3.6 (Eulersche Identität). Für alle φ R gilt: e φj = cos φ + j sin φ. Bemerkung 3.3. Satz 3.6 sagt, daß für rein imaginäre komplexe Zahlen z, d.h. solche von der Form z = 0+φj = φj es sich bei e z um eine Zahl auf dem Einheitskreis und mit Winkel φ handelt. (Genau deshalb bezeichnet man hier jetzt plötzlich den Imaginärteil der Zahl z mit φ.) Im Insgesammten erhält man den folgenden Satz 3.7 (Polarform). Jede komplexe Zahl z läßt sich darstellen in der Form z = re φj. Hierbei ist r R der Betrag von z, φ der Winkel von z. 14

15 3.5 Addition auf C Die Addition komplexer Zahlen geschieht auf die naheliegende Weise. Man bildet nämlich die Summe zweier komplexer Zahlen, indem man Realteile und Imaginärteile jeweils addiert: Definition 3.4. Es seien z 1 = x 1 + y 1 j und z 2 = x 2 + y 2 j zwei komplexe Zahlen in Normalform. Dann definieren wir: z 1 + z 2 := (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )j. Geometrisch läßt sich die Addition leicht als das Aneinanderhängen von Strecken interpretieren: Abbildung 6: Addition zweier komplexer Zahlen als geometrische Operation Man erkennt leicht, daß auch für die komplexen Zahlen das Analogon zu Satz 1.2 erfüllt ist: 15

16 Satz 3.8 (Details über die Addition und Subtraktion auf den komplexen Zahlen). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Addition, nämlich die 0 := 0+0j. Sie hat die Eigenschaft z + 0 = z für alle komplexen Zahlen z C. Jede komplexe Zahl z = x+yj C besitzt ein inverses Element bezüglich der Addition, auch Negatives genannt, nämlich z = x yj := x + ( y)j. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition in folgendem Sinne: Sind z 1 und z 2 komplexe Zahlen, so ist z 1 z 2 definiert als z 1 z 2 := z 1 + ( z 2 ). D.h. Subtraktion mit einer komplexen Zahl z 2 ist nichts anderes als Addition mit dem Negativen von z 2. Die Addition ist kommutativ, d.h. für beliebige komplexe Zahlen z 1, z 2 C gilt: z 1 + z 2 = z 2 + z 1. Die Addition ist assoziativ, d.h. für beliebige komplexe Zahlen z 1, z 2, z 3 C gilt: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ). Bemerkung 3.4. Will man testen, ob eine gewisse komplexe Zahl z 2 das Negative einer gegebenen komplexen Zahl z 1 ist, so prüfe man, ob z 1 + z 2 = 0. Will man testen, ob für eine eine gewisse komplexe Zahl z 3 gilt z 3 = z 1 z 2, so prüfe man, ob z 3 + z 2 = z 1. Auch das Negative einer komplexen Zahl läßt sich geometrisch gut darstellen: 3.6 Multiplikation auf den komplexen Zahlen Nun behandeln wir die Multiplikation von komplexen Zahlen. Die soll ja unser Problem lösen, das uns überhaupt dazu brachte, eine neue Menge von Zahlen zu suchen. Es geht hier um die Tatsache, daß es bisher 16

17 Abbildung 7: Das Negative einer komplexen Zahl z erhält man durch Punktspiegelung am Nullpunkt. keine Zahl x gab, mit x 2 = 1. Wir fassen in diesem Kapitel die Multiplikation in den reellen Zahlen als einen Spezialfall von etwas Größerem auf: Definition 3.5. Hat man zwei komplexe Zahlen z 1 und z 2, so erhält man ihr Produkt z 3 := z 1 z 2 dadurch, daß man die Beträge von z 1 und z 2 miteinander multipliziert und die Winkel von z 1 und z 2 miteinander addiert. Nun hat man eine geometrisch völlig neuartige Multiplikation, die aber auf den bisher gültigen Zahlen genau dasselbe macht, wie bisher, nämlich: + mal + ergibt + bzw = 0 : Multipliziert man eine positive reelle Zahl x 1 (es gilt also: x 1 = x 1 und als komplexe Zahl hat sie einen Winkel von 0 ) mit einer anderen positiven reellen Zahl x 2 (, also x 2 = x 2 und als komplexe Zahl hat x 2 also ebenso einen Winkel von 0 ), so erhält man, wenn man wie bisher üblich mit reellen Zahlen rechnet, eine positive reelle Zahl, nämlich x 1 x 2 = x 1 x 2. In der komplexen Welt gedacht, erhalten wir als Produkt von x 1 und x 2 eine komplexe Zahl z 3 vom Betrag x 1 x 2 und Winkel = 0, also tatsächlich ebenfalls x 1 x 2. 17

18 Abbildung 8: Zwei komplexe Zahlen z 1 und z 2 werden multipliziert: Die Beträge multiplizieren sich, die Winkel addieren sich. + mal ergibt bzw = 180 : Multipliziert man eine positive reelle Zahl x 1 ( x 1 = x 1, Winkel: 0 ) mit einer negativen reellen Zahl x 2 ( x 2 = x 2, Winkel: 180 ), so erhält man, wenn man wie bisher üblich mit reellen Zahlen rechnet, eine negative reelle Zahl, nämlich x 1 x 2 = x 1 x 2. In der komplexen Welt gedacht, erhalten wir als Produkt eine Zahl vom Betrag x 1 x 2 = x 1 x 2 und Winkel = 180, und das entspricht ja gerade der negativen Zahl x 1 x 2 = x 1 x 2. mal ergibt + bzw = 360 : Multipliziert man eine negative reelle Zahl x 1 ( x 1 = x 1, Winkel: 180 ) mit einer andren negativen reellen Zahl x 2 ( x 2 = x 2, Winkel: 180 ), so erhält man, wenn man wie bisher üblich mit reellen Zahlen rechnet, eine positive reelle Zahl, nämlich x 1 x 2 = x 1 x 2. In der komplexen Welt gedacht, erhalten wir als Produkt eine Zahl vom Betrag x 1 x 2 = ( x 1 ) ( x 2 ) und Winkel = 360 = 0, und das entspricht ja gerade der positiven Zahl x 1 x 2 = x 1 x 2 = ( x 1 ) ( x 2 ). Es stellt sich heraus, daß unsere neue Multiplikation wiederum gutartig ist. Analog zum Satz 1.3 gilt auch hier: 18

19 Satz 3.9 (Details über die Multiplikation und Division auf den komplexen Zahlen). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Multiplikation, nämlich die 1 = 1 + 0j. Sie hat die Eigenschaft z 1 = z für alle komplexen Zahlen z C. Jede komplexe Zahl z C, z 0 besitzt ein sogenanntes inverses Element bezüglich der Multiplikation, auch Kehrwert genannt. Den Kehrwert einer komplexen Zahl z bezeichnet man mit z 1 oder auch mit 1/z bzw. 1 z. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation in folgendem Sinne: Sind z 1 und z 2 komplexe Zahlen, so ist z 1 /z 2 definiert als z 1 /z 2 := z 1 z 2 := z 1 (z 1 2 ). D.h. Division mit einer komplexen Zahl z 2 ist nichts anderes als Multiplikation mit dem Kehrwert von z 2. Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. für beliebige komplexe Zahlen z 1, z 2 Q gilt: z 1 z 2 = z 2 z 1. Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für beliebige komplexe Zahlen z 1, z 2, z 3 Q gilt: (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). Ausserdem findet man: Satz 3.10 (Details über das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation auf den komplexen Zahlen). Es gilt das sogenannte Distributivgesetz, d.h. für beliebige Zahlen x, y, z C gilt: (x + y) z = x z + y z. Die Sätze 4.4, 3.9 und 3.10 ergeben: Satz Die Menge C der komplexen Zahlen bildet einen Körper. 19

20 Bemerkung 3.5. Will man testen, ob eine gewisse komplexe Zahl z 2 der Kehrwert einer gegebenen komplexen Zahl z 1 ist, so prüfe man, ob z 1 z 2 = 1. Will man testen, ob für eine eine gewisse komplexe Zahl z 3 gilt z 3 = z 1 z 2, so prüfe man, ob z 3 z 2 = z 1. Auch das Kehrwertbilden läßt sich geometrisch sehr anschaulich darstellen: Satz 3.12 (Kehrwert in Polarkoordinaten). Ist z C, z 0 eine komplexe Zahl mit Betrag r := z und Winkel φ := (z), so gilt für den Betrag r := z 1 und den Winkel φ := z 1 des Kehrwertes z 1 von z: r = 1 r und φ = φ. Beweis. Es gilt Setzen wir so gilt: Dies beweist, daß z = re φj. w := re φj = 1 r e φj, w z = 1 r e φj re φj = 1 r re φj e φj = 1e φj+φj = 1e 0j = 1. w = z 1. Man kann die Multiplikation auch in Normalform formulieren: Satz Es seien z 1 = x 1 + jy 1, z 2 = x 2 + jy 2 C in Normalform gegeben. Dann berechnet sich die Normalform des Produktes z 1 z 2 zu z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )j. 20

21 3.7 Wurzelziehen in C Abbildung 9: Eine komplexe Zahl z und deren Inverse z 1 Bis jetzt ist in der Erweiterung von der Zahlengerade auf die Zahlenebene noch kein Sinn zu entdecken: Bislang wissen wir nur, daß die neue Multiplikation mit der bisherigen verträglich ist. Was aber soll das Ganze? Die Antwort steht im folgenden Satz 3.14 (j ist eine Quadratwurzel von 1). Es gilt: j 2 = 1. Beweis. Es ist: j 2 = j j. Man beachte, daß die Normalform der komplexen Zahl j gegeben ist durch j = 0 + 1j. Um j j zu berechnen, folgen wir der Definition 3.5: Betrag Es gilt: j = 1, denn = 1, also ist j 2 = j j = 1 1 = 1. 21

22 Abbildung 10: j 2 = 1: Multipliziert man j mit sich selbst, so kommt man genau bei 1 heraus. Winkel Es gilt: also ist (j) = 90 π 2, (j 2 ) = (j) + (j) = 180 π. Wie haben gezeigt: Bei j 2 handelt es sich um diejenige komplexe Zahl, deren Betrag gleich 1 ist und deren Winkel gleich 180 ist. Die Zahl 1 hat aber auch diese beiden Eigenschaften, somit: j 2 = 1. Man kann sich leicht klarmachen, daß Es gilt genauer: ( j) 2 = 1. 22

23 Bemerkung 3.6. Die Gleichung x = 0 hat in C genau zwei Lösungen x 1 und x 2, nämlich x 1 = j, x 2 = j. Somit klappt das Wurzelziehen in C deutlich besser als in R. In Wahrheit kommt s noch viel besser: Satz 3.15 (Fundamentalsatz der Algebra). Jede Gleichung der Form x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, wobei n N irgendeine beliebige natürliche Zahl ist und a 0, a 1,..., a n 1 C irgendwelche beliebigen komplexen Zahlen sind, hat in C genau n Lösungen. Was das mit dem Wurzelziehen zu tun hat? Naja, der Fundamentalsatz sagt z.b., daß die Gleichung x = 0 in C genau zwei Lösungen hat. Das wiederum ist äquivalent zu der Aussage, daß die Gleichung x 2 = 1 in C genau zwei Lösungen hat, bzw. daß die 1 in C genau zwei Quaratwurzeln hat. Der Fundamentalsatz sagt aber z.b. auch, daß die Gleichung x = 0 25 Lösungen hat. Das bedeutet, daß die Zahl 7 in C fünfundzwanzig fünfundzwanstigste Wurzeln hat. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt eben sogar auchnoch, daß auch z.b. die Gleichung x x 17 x = 0 25 Lösungen hat. Auch das Wurzelziehen läßt sich geometrisch gut darstellen, wir betrachten zunächst Wurzeln aus der Zahl 1. Definition 3.6 (Einheitswurzeln). Es sei n N, n 1. Dann nennt man eine Zahl ξ C eine n-te Einheitswurzel, falls sie eine n-te Wurzel von 1 ist, d.h., wenn gilt: ξ n = 1. Satz 3.16 (Einheitswurzeln). Es sei n N, n 1. Dann gibt es n n-te Einheitswurzeln, ξ k, k = 0, 1,..., n 1. Sie haben alle den Betrag 1. Die Winkel sind: (ξ 0 ) = 0, (ξ 1 ) = 1 n 2π, (ξ 2) = 2 n 2π,..., (ξ n 1) = n 1 n 2π. 23

24 Abbildung 11: Die sieben siebten Einheitswurzeln Wie man ganz allgemein die n-te Wurzel einer komplexen Zahl z berechnet, beschreibt die folgende Vorgehensweise:

25 Algorithmus 3.1. Berechnen der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z Eingabe: n N, z Z Ausgabe: Die n verschiedenen komplexen Wurzeln von z Ablauf: Man bestimme die Polarkoordinaten r und φ von z, man ziehe die n-te reelle Wurzel aus der (positiven) Zahl r und setze r := n r, man teile den Winkel φ in n gleiche Teile und setze φ := φ n, man setze w als diejenige komplexe Zahl mit Betrag r und Winkel φ, d.h. w = r e j φ, man berechne die w i, i = 0, 1,..., n 1 durch die Formel w i := w ξ i. Hierbei sind die ξ i, i = 0, 1,..., n 1 die n n-ten Einheitswurzeln. Geometrisch ensteht bei der Bestimmung der n n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z ein Bild von einem Kuchen. Dieser Kuchen hat den Radius n z und wird in n gleiche Kuchenstücke geteilt. Der erste Schnitt geht dabei in Richtung des Winkels (z) n. 4 Modulo-Zahlen Alle bisher behandelten Zahlbereiche (das waren N, Z, Q, R und C) sind unendlich, d.h. bestehen aus unendlich vielen Elementen. In manchen Zusammenhängen ist es von entscheidender Bedeutung, einen endlichen Zahlbereich zu haben. Davon handelt dieser Abschnitt. 25

26 Abbildung 12: Die drei dritten Wurzeln einer komplexen Zahl z Definition 4.1 (Modulo-Zahlen). Es sei n N, n > 1. Dann nennt man die Menge Z n := {0, 1,..., n 1} den Zahlbereich der ganzen Zahlen modulo n. 26

27 Bemerkung 4.1. Eine alternative, ebenfalls übliche Definition geht folgendermaßen vor: Man zerteile die Menge der ganzen Zahlen, Z in n Teilmengen A k, k = 0, 1,..., n 1, nämlich A k := k + n Z := {k + n a a Z}. Diese Objekte A k nennt man die Restklassen modulo n. In dieser Definition stellen sie die Elemente von (also Zahlen in) Z n dar. Daher nennt man Z n auch manchmal den Restklassenring modulo n. 4.1 Die Restabbildung Für das Weitere wird folgende Abbildung hilfreich sein: Definition 4.2 (Restabbildung). Es sei n N, n > 1. Dann nennen wir die Abbildung die Restabbildung modulo n. ρ n : Z Z n a ρ n (a) := Rest von a bei Division durch n 4.2 Addition modulo n Würde man die Elemente von Z n wie bisher üblich miteinander addieren, würde man aus dem Zahlbereich Z n herausfallen. Z.B. ist (n 1) + (n 1) = 2n 2 Z n. Also definieren wir anders: Definition 4.3 (Addition auf Z n ). Wir definieren die Addition auf Z n wie folgt: + : Z n Z n Z n (a, b) a + b := ρ n (a + b). Man beachte, daß in obiger Definition +-Zeichen verschiedener Bedeutung vorkommen: In der definierenden Gleichung a + b := ρ n (a + b) bezeichnet das erste +-Zeichen die zu definierende Addition in Z n, das zweite bezeichnet die bekannte Addition der Zahlen a, b in Z. Man erhält wiederum in Analogie zu Satz 1.2: 27

28 Satz 4.1 (Details über die Addition und Subtraktion auf den Zahlen modulo n). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Addition, nämlich die 0. Sie hat die Eigenschaft k + 0 = k für alle Zahlen k Z n. Jede Zahl k Z n besitzt ein inverses Element bezüglich der Addition, auch Negatives genannt, nämlich { 0 falls k = 0 k = n k sonst Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition in folgendem Sinne: Sind k 1 und k 2 Zahlen Z n, so ist k 1 k 2 definiert als k 1 k 2 := k 1 + ( k 2 ). D.h. Subtraktion mit einer Zahl k 2 Z n ist nichts anderes als Addition mit dem Negativen von k 2. Die Addition ist kommutativ, d.h. für beliebige Zahlen k 1, k 2 Z n gilt: k 1 + k 2 = k 2 + k 1. Die Addition ist assoziativ, d.h. für beliebige Zahlen k 1, k 2, k 3 Z n gilt: (k 1 + k 2 ) + k 3 = k 1 + (k 2 + k 3 ). Bemerkung 4.2. Will man testen, ob eine gewisse Zahl k 2 Z n das Negative einer gegebenen Zahl k 1 Z n ist, so prüfe man, ob k 1 + k 2 = 0. Will man testen, ob für eine eine gewisse Zahl k 3 Z n gilt k 3 = k 1 k 2, so prüfe man, ob k 3 + k 2 = k Multiplikation modulo n Auch bei der Multiplikation haben wir folgenden Effekt: Würde man die Elemente von Z n wie bisher üblich miteinander multiplizieren, würde man aus dem Zahlbereich Z n i.a. herausfallen. Also definieren wir anders: 28

29 Definition 4.4 (Multiplikation auf Z n ). Wir definieren die Multiplikation auf Z n wie folgt: : Z n Z n Z n (a, b) a b := ρ n (a b). Auch hier beachte man, daß in obiger Definition -Zeichen verschiedener Bedeutung vorkommen: In der definierenden Gleichung a b := ρ n (a b) bezeichnet das erste -Zeichen die zu definierende Multiplikation in Z n, das zweite bezeichnet die bekannte Multiplikation der Zahlen a, b in Z. Die Analogie zu Satz 1.2 ist zunächst nur mit Abstrichen zu erreichen: Satz 4.2 (Details über die Multiplikation und Division auf den Zahlen modulo n). Es gibt ein sogenanntes neutrales Element bezüglich der Multiplikation, nämlich die 1. Sie hat die Eigenschaft k 1 = k für alle Zahlen k Z n. Eine Zahl k 1 Z n heißt invertierbar, falls es ein k 2 Z n gibt, s.d. k 1 k 2 = 1. Man bezeichnet in diesem Fall k 1 1 := 1 k 1 := k 2 als den Kehrwert von k 1. Wir werden sehen, daß nicht für jedes n Z n invertierbar sind. alle k Z n Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation in folgendem Sinne: Sind k 1 und k 2 Zahlen Z n und ist k 2 invertierbar, so ist k1 k 2 definiert als k 1 k 2 := k 1 k 1 2. D.h. Division durch eine Zahl k 2 Z n ist nichts anderes als Multiplikation mit dem Kehrwert von k 2. Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. für beliebige Zahlen k 1, k 2 Z n gilt: k 1 k 2 = k 2 k 1. Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für beliebige Zahlen k 1, k 2, k 3 Z n gilt: (k 1 k 2 ) k 3 = k 1 (k 2 k 3 ). Leider gibt es bei der Multiplikation in Z n im Allgemeinen ein Problem: 29

30 Satz 4.3. Ist n N, n > 1 und a, b N mit so gilt: a besitzt in Z n keinen Kehrwert. a b = n, Beweis. Wir nehmen an, es gäbe in Z n einen Kehrwert zu a, also ein c Z n mit c a = 1. Dann würde in Z n gelten: b = 1 b = (c a) b = c (a b) = c 0 = 0. Das ist ein Widerspruch zu a b = n. Bemerkung 4.3. Will man testen, ob eine gewisse Zahl k 2 Z n der Kehrwert einer gegebenen Zahl k 1 Z n ist, so prüfe man, ob k 1 k 2 = 1. Will man testen, ob für eine eine gewisse Zahl k 3 Z n gilt k 3 = k 1 k 2, so prüfe man, ob k 3 k 2 = k 1. Das Problem aus Satz 4.3 läßt sich beheben, wenn man fordert, daß n eine Primzahl sein soll: Definition 4.5 (Primzahl). Eine Zahl p N heißt Primzahl, falls für alle a, b N gilt: Falls a b = n, dann gilt a = 1 und b = n oder a = n und b = 1. Es gilt der folgende Satz: 30

31 Satz 4.4 (Details über Division und Kehrwert auf den Zahlen modulo p, p prim). Es sei p N eine Primzahl. Dann gilt: Jede Zahl k Z p besitzt ein inverses Element bezüglich der Multiplikation, auch Kehrwert genannt, nämlich Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation in folgendem Sinne: Sind k 1 und k 2 0 Zahlen Z n, so ist k1 k 2 definiert als k 1 k 2 := k 1 k 1 2. D.h. Division durch eine Zahl k 2 Z n ist nichts anderes als Multiplikation mit dem Kehrwert von k 2. Abbildung 13: In Z 7 kann man sogar dividieren, z.b. 4 3 = 6 31

32 Beweis. Sei also p N eine Primzahl, k Z p, k 0. Es genügt zu zeigen, daß dann die Zahlen a k, a Z p alle voneinander verschieden sind. Eine davon muß dann gleich 1 sein. Bleibt also zu zeigen: a b a k b k. Es ist Sei also a b. Dann gilt genau dann, wenn a b 0. a k b k (a b) k 0. Es würde also genügen, zu zeigen, daß in Z p sogenannte Nullteilerfreiheit vorliegt. Nullteilerfreiheit bedeutet: x 0, y 0 x y 0. Dies beweist man wie folgt: Wenn x 0 und y 0, dann sind x und y keine Vilefachen von p. Somit ist auch x y kein Vielfaches von p. Also gilt in Z p : x y 0. Ausserdem findet man: Satz 4.5 (Details über das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation auf Modulo Zahlen). Es gilt das sogenannte Distributivgesetz, d.h. für beliebige Zahlen x, y, z C gilt: (x + y) z = x z + y z. Zusammenfassend kann man festhalten: Satz 4.6. Z n bildet genau dann einen Körper, falls n eine Primzahl ist. 32