Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0 Oktober 2004

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1 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0 Oktober 2004 BMBWK, Sektion I in Zusammenarbeit mit den Mitgliedern des Workshops, der sich aus Vertreter/innen der Pilotschulen und weiteren Expert/innen zusammensetzt

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3 Vorbemerkung und Dank Die vorliegende Version 3.0 der Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe dokumentiert den Entwicklungsstand eines kontinuierlichen Optimierungsprozesses unter Einbeziehung von Erfahrungen und Evaluationsergebnissen der Pilotphase I sowie die Auseinandersetzung mit Vorversionen. In diesem Prozess war und ist zu beachten: Die Standards sollten im Schulalltag verständlich sein. Dem dient die gewählte Darstellung der Aufgaben. Sie werden nach dem Kompetenzmodell klassifiziert und mit weiteren Einschätzungen und Erfahrungen aus der Praxis beschrieben. An den Aufgaben soll beispielhaft klargemacht werden, welche Kompetenzen die Schüler/innen am Ende der 8. Schulstufe nachhaltig entwickelt haben sollen. Eine so langfristige und komplexe Absicht war bzw. ist in systemverträgliche Schritte zu bringen, die solange es keine neuen Normen gibt einen expliziten Zusammenhang zu den geltenden Normen, insbesondere den Lehrplänen herstellen müssen. Daher ist der Lehrplanbezug immer wieder dargestellt. Etliche Professionen mit unterschiedlichen Kommunikationsstilen waren und sind an einen Tisch zu bringen und zur Zusammenarbeit zu bewegen: Lehrer/innen, Fachdidaktiker/innen, Empiriker/innen, Bildungsmanagement. Die Interessen verschiedener Gruppen unterschiedlicher Betroffenheit und Positionierung sind zu beachten. Geeignete Projektstrukturen für derartige Entwicklungsprojekte bzw. parallel laufende Teilprojekte zu etablieren war und ist nicht leicht. In der Koordination wurde versucht, eine offene, elastische und vertrauensvolle Struktur des Prozesses sicherzustellen, um letztlich hohe Akzeptanz zu erzielen. Ein beträchtliches Maß an Arbeitsfähigkeit und wechselseitigem Nutzen konnte erreicht werden. Eine für die Pilotphase II erweiterte Zahl von Pilotschulen ist nun unterstützt durch das bundesweit installierte Projektmanagement eingeladen, die vorliegenden Ergebnisse einer Einschätzung, Erprobung und differenzierten Rückmeldung zu unterziehen, um verschiedene Facetten dieser international vorangetriebenen Entwicklung zur Qualitätssicherung der Bildung auf ihre Umsetzbarkeit und Praxistauglichkeit im österreichischen Bildungssystem weiter zu durchleuchten. Zur Entwicklung der vorliegenden Fassung haben viele Personen beigetragen, denen wir an dieser Stelle herzlich danken möchten: Mitglieder des Workshops der Pilotschulvertreter/innen, die organisiert in drei Arbeitsgruppen periodisch arbeiteten: Handlungs- und Inhaltsdimension (allgemeine und inhaltliche Kompetenzen): Koordination: Mitglieder: Sonja Machala, Hans Christian Neureiter, Christa Preis Christine Färberböck, Gertraud Frerichs, Monika Haas, Ewald Hodics, Beate Kröpfl, Charlotte Macsemniuc, Günter Maresch, Franz Schlöglhofer Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0 3

4 Überfachliche Kompetenzen: Koordination: Christine Fischer, Heiner Juen Mitglieder: Elfriede Alber, Manfred Blümel, Wolfgang Matuschek, Rudolf Muckenhuber, Eva Sattlberger, Wolfgang Zach MatKomp (Qualitätssicherung): Koordination: Helma Ochnitzberger, Anna Schwendinger Mitglieder: Elisabeth Langwallner, Angela Mortsch, Dietmar Stadlbauer Unterstützt wurde das Projekt durch eine Projektleitung für die M8-Standards: Johannes Baumühlner (Projektkoordination), Helga Ebenberger (AHS-Aspekte), Ferdinand Eder (Empirie), Helmut Heugl und Werner Peschek (Kompetenzmodell), Richard Stockhammer (HS- Aspekte und Gesamtkoordination), Manfred Wimmer (regionales Bildungsmanagement) Besonderer Dank gilt weiteren Vertretern der Fachdidaktik Emmerich Boxhofer, Stefan Götz und Karl-Josef Parisot für wiederholt konstruktiv-kritische Kommentare sowie Inge Fritz für das Endlektorat und das Layout dieser aufwändig gestalteten Broschüre. MinRat Mag. Richard Stockhammer ORat Johannes Baumühlner BMBWK Abt. I/5 MinRat DI Mag.DDr. Helga Ebenberger BMBWK Abt. I/2 4 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

5 Inhalt 1 Bildungsstandards Mathematikstandards für die Praxis Ein Modell für mathematische Kompetenzen Mathematische Standards für die Sekundarstufe I Beiträge mathematischer Bildung zu überfachlichen Kompetenzen und Standards Aufgabenpool Aufgabenpool Teil 1: Handlungsdimension und inhaltliche Dimension Aufgabenpool Teil 2: Handlungsdimension und inhaltliche Dimension unter Beachtung überfachlicher Kompetenzen Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

6 6 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

7 1 Bildungsstandards 1.1 Einleitung Die Autonomiebewegung hat seit den 90er-Jahren in Österreich eine Stärkung der Selbstverantwortlichkeit von Lehrpersonen, Lehrerteams und Schulen in der methodischdidaktischen Arbeit gebracht. Die im internationalen Trend liegenden Vergleiche von Entwicklungen auf der regionalen, nationalen und europäischen Ebene (vgl. PISA 1, TIMSS 2 oder DESI 3 ) verlangen eine komplementäre Strategie bei der Planung von Unterricht und schulbezogenen Entwicklungen. Ihr entspricht die Erstellung von Standards für Grundkompetenzen, mit denen eine zeitgemäße Grundbildung definiert, ihre Umsetzung gefördert und ein prüfender Blick darauf ermöglicht werden soll. Er wird zeigen, inwieweit Schulen ihre Kernaufgabe der Vermittlung von allgemein als notwendig angesehenen Kompetenzen erfüllen. Die Bildungsstandards wollen der Autonomie einen Rahmen geben und durch Setzen von Maßstäben die Verantwortlichkeit stärken. Den Lehrpersonen werden Standards helfen, mit der zunehmenden Rechtfertigungserwartung professionell umzugehen. 1.2 Funktion von Bildungsstandards Standards sollen Lehrerinnen und Lehrern bessere Orientierung und mehr Sicherheit in ihrer unterrichtlichen Arbeit geben. Generell versteht man unter Standard einen Maßstab, einen Anker, eine Norm, ein Kriterium oder eine bestimmte vorab festgelegte Leistung. 4 Es ist in der Diskussion wichtig zu unterscheiden zwischen den Standards, die für den Unterricht eine Norm setzen und Orientierungscharakter haben, und einer Standardüberprüfung (Test), die an den Schnittstellen der 4. und 8. Schulstufe stattfindet und den erreichten Leistungsstand misst. Die Merkmale und Ansprüche von Standards lassen sich am besten anhand einiger Beispiele erläutern, was sie nicht sind, bzw. was wir in Österreich darunter verstehen. Was Bildungsstandards nicht sind Bildungsstandards legen nicht fest, was guter Unterricht ist. Sie beeinflussen den Unterricht indirekt durch einen pädagogischen Orientierungsrahmen und den Blick auf Lernergebnisse (Outcome) TIMSS ist eine international vergleichende Schulleistungsuntersuchung, die von der International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) durchgeführt wurde und steht in einer fast vierzigjährigen Tradition internationaler Schulleistungsvergleiche, die in weltweiten Forschungskooperationen durchgeführt wurden DESI (Deutsch-Englisch Schülerleistungen International) 2003/04 4 vgl. Ostermeier & Prenzel, vgl. Klieme et al, 2003 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

8 Bildungsstandards reglementieren nicht das Lehren und Lernen und damit auch nicht den Prozess der schulischen Bildung. Die Erweiterungsbereiche bleiben in der Sekundarstufe I (der Lehrplan unterscheidet auf der 8. Schulstufe zwischen Kern- und Erweiterungsbereich) von den Bildungsstandards ausgenommen und sichern weiterhin die individuelle Planungsmöglichkeit durch die Lehrerinnen und Lehrer. Die Methodenfreiheit der Lehrerinnen und Lehrer bleibt voll gewahrt. Die autonomen Entwicklungsmöglichkeiten (Schwerpunktbildung, Schulprofil etc.) der Einzelschule bleiben ebenfalls erhalten. Bildungsstandards können und dürfen die pädagogische Verantwortung für Lehren und Fördern, Fordern und Bewerten nicht aufheben; 6 sie stehen in direktem Zusammenhang mit Schulentwicklung und sind ein nützliches Instrument zur Qualitätssicherung. Bildungsstandards liefern keine erschöpfende Beschreibung von Bildungszielen, sondern definieren Grundkompetenzen. Bildungsstandards sind kein Instrument für ein Qualitätsranking, sondern ein Hilfsmittel für die Selbstbewertung und Orientierung von Schulen und Lehrpersonen. Bildungsstandards sind kein Ersatz für die Leistungsbeurteilung oder die Einstufung in Leistungsgruppen. Was Bildungsstandards in Österreich sind Bildungsstandards sind als Regelstandards konzipiert und legen fest, welche Kompetenzen Schülerinnen und Schüler bis zu einer bestimmten Schulstufe an wesentlichen Inhalten nachhaltig erworben haben sollen. Sie konzentrieren sich dabei auf die Kernbereiche eines Unterrichtsfaches und beschreiben die erwarteten Lernergebnisse, wobei fachliche Basisqualifikationen definiert werden, die für die weitere schulische Bildung bzw. berufliche Ausbildung von Bedeutung sind. Bildungsstandards verdeutlichen eine normative Erwartung, auf die Schule hinarbeiten soll. 1.3 Bildungsstandards und Qualitätsentwicklung Dadurch, dass Bildungsstandards und Aufgabenbeispiele nicht nur Normen vorgeben, sondern auch überprüft werden, wollen sie Lehrerinnen und Lehrern, Schülerinnen und Schülern und Eltern zur Orientierung dienen sowie die Qualität des Unterrichts sicherstellen. Sie sind außerdem für Lehrerinnen und Lehrer ein Angebot für die Selbstevaluation und sichern so die Qualität des Unterrichts. Sie sind auch Hilfestellung für Diagnosen und schaffen eine wichtige Grundlage für pädagogisches Handeln der Lehrerinnen und Lehrer. Bildungsstandards können in vielerlei Hinsicht beim Aufbau qualitätsfördernder Maßnahmen nützlich sein, z. B.: Allgemein: o Instrument der Qualitätssicherung auf System-, Schul- und Klassenebene o Erhöhung der Transparenz und Objektivität 6 vgl. Klieme et al, Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

9 o Vergewisserung über gemeinsame Lernziele, Beurteilungskriterien und Bewertungsmaßstäbe o Orientierungshilfe für Lehrkräfte, Schülerinnen, Schüler und Eltern Für Lehrerinnen und Lehrer: o Rückmeldung über Bewertungsmaßstäbe und erreichte Lernergebnisse (Stärken/Schwächen, Anstoß für Schul- und Personalentwicklung) o Vergleichsmöglichkeit von Schulergebnissen mit nationalen Ergebnissen o Anstoß zur Sicherung von verbindlichen Niveaus durch gezielte Förderung o Impuls für verbesserte Diagnostik bzw. für verstärkte Qualifizierung auf diesem Gebiet o Lernen aus Erfahrung und Rückmeldung o Bezugspunkte für pädagogische Beratung von Eltern, Schülerinnen und Schülern Für Schülerinnen und Schüler: o Hilfsmittel zur besseren Selbsteinschätzung o Möglichkeit zu einer zusätzlichen Leistungsstandmessung 1.4 Strategie und Stand der Entwicklung Zur Entwicklung und Implementierung von Bildungsstandards wurde vom bm:bwk eine Projektleitung eingerichtet, die von einer Steuergruppe, bestehend aus Vertretern des Ministeriums, der Schulaufsicht (APS und AHS), Schulpraktiker/innen, der Wissenschaft sowie des Zentrums für Schulentwicklung, unterstützt wird. Meilensteine Im Sommer 2002 wurden erste Arbeitsentwürfe vorgelegt und von Expertinnen und Experten einer kritischen Sicht unterzogen. Die danach überarbeiteten Entwürfe standen seit Herbst 2003 an 18 Pilotschulen der 8. Schulstufe, im Sommersemester 2004 auch an mehr als 30 Volksschulen, in einer sog. Pilotphase I (bis Juni 2004) am Prüfstand. Evaluiert wurde diese Phase vom Zentrum für Schulentwicklung in Graz. Die Bildungsstandards werden in einer mehrjährigen Pilotphase II (beginnend mit dem Schuljahr 2004/05) an über 100 ausgewählten Schulen in allen Bundesländern erprobt. Zielvorstellungen und Strategie werden in allen Bundesländern für Schulaufsicht, Schulleitungen, Lehrerschaft und Öffentlichkeit kommuniziert. Einen besonderen Schwerpunkt stellt in diesem Zusammenhang die Lehrer/innenausund -fortbildung dar. Die Pädagogischen Institute werden informiert und eingeladen, differenzierte Fortbildungsmaßnahmen für die Lehrerinnen und Lehrer vorzubereiten und ersucht, ihre Ausbildungsprogramme auf diese Entwicklung hin abzustimmen. In der Pilotphase II soll am Pädagogischen Institut in Linz auch ein internet-basiertes System für jene Lehrerinnen und Lehrer aufgebaut werden, die auf Grund der Zufallsziehung nicht mit ihren Klassen getestet wurden, jedoch freiwillig eine Selbstevaluation durchführen wollen. Nach der Auswertung der Pilotphase II und der Rückmeldungen werden die notwendigen gesetzlichen Regelungen für die Überprüfung von Bildungsstandards auf der vierten und achten Schulstufe kundgemacht. Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0 9

10 Danach werden jährlich Standardüberprüfungen für einen zufällig ausgewählten Teil der Schülerinnen und Schüler der 4. und 8. Schulstufe durchgeführt (betroffen davon sind 30 Prozent der Schulklassen auf der 4. und 8. Schulstufe, davon auf der 4. Schulstufe je 15 Prozent in Deutsch oder Mathematik und auf der 8. Schulstufe je 10 Prozent in den Fächern Deutsch, Englisch oder Mathematik. Pro Schule wird jeweils ein Fach getestet). 1.5 Systematik der vorliegenden Standards Aufbau der Bildungsstandards Einleitende Hinweise skizzieren den Beitrag des jeweiligen Faches zur Bildung und erläutern die fachspezifischen Besonderheiten der Standards. Die Kompetenzbereiche des jeweiligen Faches werden in einem Kompetenzmodell beschrieben und davon ausgehend die Standards formuliert. Die Standards werden durch Aufgabenbeispiele unterschiedlicher Komplexität veranschaulicht. Dabei muss der Bezug zu im Lehrplan vorgesehenen Leistungsanforderungen erkennbar werden. Kompetenzen Kompetenzen werden für Schülerinnen, Schüler und Lehrkräfte so konkret beschrieben, dass sie in Aufgabenstellungen umgesetzt und prinzipiell mit Hilfe von Testverfahren erfasst werden können. Grundlage für die Formulierung von Kompetenzen ist ein Kompetenzmodell, das den Ausgangsrahmen darstellt und die Übersetzung abstrakter Bildungsziele in konkrete Aufgabenstellungen ermöglicht und unterstützt. Die Entwicklung der Bildungsstandards ist als work in progress zu sehen: Derzeit liegen erste Kompetenzmodelle und eine kleinere Anzahl von Aufgabenbeispielen zur Illustration der Standards vor. Es zeichnen sich folgende Kompetenzbereiche ab: Mathematik A Allgemeine mathematische Kompetenzen A1: Darstellen, Modellbilden A2: Operieren, Rechnen A3: Interpretieren und Dokumentieren A4: Argumentieren und Begründen B Inhaltliche mathematische Kompetenzen B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen B2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten B3: Arbeiten mit Figuren und Körpern B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Deutsch o Lesen o Schreiben bzw. Verfassen von Texten o Sprechen o Sprachbetrachtung o Rechtschreibung 10 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

11 Englisch o Hören o Lesen o Interaktives Sprechen o Monologisches Sprechen o Schreiben Funktion der Aufgabenbeispiele Die Aufgabenbeispiele veranschaulichen die fachlichen Standards. Sie machen deutlich, welche fachliche Leistung jeweils erbracht werden muss, um die Standards zu erfüllen, und bieten eine Grundlage für die Feststellung des Lernstandes am Ende der 4. bzw. 8. Schulstufe. Sie geben außerdem an, welcher Komplexitätsstufe sie zugeordnet sind. Die Aufgabenbeispiele illustrieren eine für das jeweilige Fach charakteristische Bandbreite von Aufgaben zur Überprüfung von Kompetenzen bzw. Standards. Die Aufgabenbeispiele gehen von einem mittleren Leistungs- und Anforderungsniveau aus, wie es aus dem Lehrplan und dem Kompetenzmodell abgeleitet werden kann; sie spiegeln eine Bandbreite von drei Komplexitätsstufen auf der 8. und zwei auf der 4. Schulstufe wider. Die Aufgabenbeispiele sind nicht als Testformate für Abschlussprüfungen oder Berechtigungen gedacht, sondern dienen zur Unterstützung der konkreten, praktischen Unterrichtsarbeit der Lehrerinnen und Lehrer. Überprüfung der Standards Die Überprüfung der Standards erfolgt durch ein Testverfahren und wird vom Pädagogischen Institut in Linz (EDV) in Zusammenarbeit mit den Pädagogischen Instituten in den Bundesländern und den Testschulen durchgeführt. Im Jahr 2005 wird eine Expert/innengruppe mit der Normierung der notwendigen Testinstrumente beginnen und die Tests zusammenstellen. Testdauer 4. Schulstufe: maximal je 60 Minuten an zwei aufeinander folgenden Tagen 8. Schulstufe: maximal je 90 Minuten an zwei aufeinander folgenden Tagen Im Lauf der Pilotphase II sollen an den Pilotschulen Probetestungen in den oben beschriebenen Schulstufen und Fächern durchgeführt und optimiert werden. Erste bundesweite Testung: nach Abschluss der Pilotphase II Datenverwaltung und Datenweitergabe Die Testadministration erfolgt durch speziell ausgebildete Lehrerinnen und Lehrer, wobei deren Belastung durch entsprechende administrative Maßnahmen möglichst gering gehalten wird. Die Auswertung der Tests führen speziell geschulte Lehrerinnen und Lehrer an den Pädagogischen Instituten durch. Das Pädagogische Institut in Linz wird mit der elektronischen Datenverarbeitung beauftragt. Die im Testverfahren gewonnenen Daten werden den Schülerinnen und Schülern (individuell), Lehrerinnen und Lehrern sowie der Schulleitung (für ihre Klassen) zur Verfügung gestellt. Der Schulverwaltung werden die Daten verschlüsselt und anonymisiert weitergeleitet. Das Ergebnis einer Standardüber- Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

12 prüfung mündet nicht in ein nationales oder regionales Ranking der Schulen, sondern dient als Grundlage für pädagogisches Handeln (Schulentwicklung). 1.6 Ausblick Mit der Beschreibung einer umfassenden Grundbildung wird der Lern- und Leistungsbegriff präzisiert. Gerade deshalb wird abschließend darauf hingewiesen, dass sich die Standards nicht nur auf Fachleistungen beziehen sollen, sondern auch auf Bildungsleistungen der Schule im weiteren Sinne. Der Erwerb dynamischer Fähigkeiten wie Selbstvertrauen und Sozialkompetenz, Lernbereitschaft, Bereitschaft zu demokratischer Mitwirkung im Gemeinwesen und mitmenschlicher Verantwortung sind ebenso wichtige Ziele der Schule wie fachspezifisches Wissen. 1.7 Weiterführende Literatur HELMKE, Andreas: Unterrichtsqualität erfassen, bewerten, verbessern. Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung KLIEME, Eckhard et al: Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. Eine Expertise. Hrsg. BMBF, Berlin [= Bildungsreform. Band 1] Erziehung & Unterricht, 7-8/2004 Internet: Deutsche Kultusministerkonferenz: PISA (Programme for International Student Assessment) international: TIMSS (Trends in Mathematics and Science Study) international: DESI (Deutsch Englisch Schülerleistungen International): Gemeinsam lernen: IMST (Innovations in Mathematics, Science and Technology Teaching): 12 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

13 2 Mathematikstandards für die Praxis 2.1 Die Standards werden an Aufgaben deutlich Standards setzen Maßstäbe, an denen man sich orientieren und messen kann. Wie diese einfach klingende, aber höchst komplexe Herausforderung bezogen auf Standards für Kompetenzen in Mathematik am Ende der 8. Schulstufe in der nun vorgelegten Version 3.0 abgearbeitet ist, zeigt das Schema der Beschreibung jeder Beispielaufgabe. Mit den Aufgaben wird beispielhaft verdeutlicht, wie Standards erreicht werden können. Beispiele dienen vor allem dazu, für die unmittelbare Unterrichtsarbeit die Standards nutzbar zu machen. Die Pfeile der Grafik stilisieren, dass es theoretisch / systematische und praktisch / reflexive Überlegungen sind, nach denen jede Aufgabe im Pool beschrieben wird. Dort wo Theoretisches und Praktisches bzw. Systematisches und Reflexives sich angemessen verbindet, können normative Erwartungen umschrieben werden, die gute Voraussetzungen haben, verstanden und akzeptiert zu werden (die Setzung der Norm im rechtlichen Sinn wäre ein weiterer Schritt). Die theoretisch / systematischen Klassifizierungen erfolgen entsprechend dem Kompetenzmodell (siehe entsprechenden Abschnitt), und zwar wird jedenfalls nach zutreffen- Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

14 den Handlungsdimensionen (A1 A4) und den betroffenen inhaltlichen Dimensionen (B1 bis B4) sowie allenfalls nach den entsprechenden überfachlichen Kompetenzen (C1 bis C4) klassifiziert. Außerdem wird eine Komplexität laut Kompetenzmodell ausgewiesen (nicht zu verwechseln mit Erwartungen an Leistungsniveaus/-gruppen, siehe weiter unten). Die praktisch / reflexive Beschreibung hat den Anspruch, Ziele, exemplarische Lösungswege, Erfahrungen bzw. Kommentare, Einschätzungen und Hinweise, wie sie in der Unterrichtspraxis von Interesse sind und aus der Praxis kommen, verdichtet festzuhalten. In der Grafik sind die Ziele eher der theoretisch / systematischen Seite zugeordnet, auch das ist sinnvoll, je nachdem aus welchem Zusammenhang man Ziele einer Aufgabe begründet. Kompetenzen für das Leben sind letztlich praktisch begründet (man braucht sie in vielen Lebenssituationen), was selbstverständlich auch theoretisch ausgedrückt werden kann. Lösungserwartungen im Hinblick auf Leistungsniveaus bzw. Leistungsgruppen im Sinne der gesetzlichen Regelungen zu AHS und Hauptschule auszuweisen, diese Experteneinschätzung wurde vor allem von den Hauptschulen gewünscht. An Hauptschulen sind diese Einschätzungen tagtäglich zu treffen, viele Folgen sind vor allem an der Schnittstelle zur Sekundarstufe II mit der Zuordnung zu Leistungsniveaus bzw. Leistungsgruppen verbunden. 2.2 Die Standards interpretieren den Lehrplan Einen ähnlichen Anspruch wie Standards, nämlich eine normative Erwartung, auf die Schule hinarbeiten soll, erheben Lehrpläne. Daher ist es nahe liegend, Lehrpläne und Standards miteinander in Beziehung zu setzen. Die vorliegenden Bildungsstandards gehen vor allem vor dem Hintergrund fachdidaktischer und qualitätsorientierter Erkenntnisse sowie schulpraktischer Erfahrungen vom Lehrplan aus, interpretieren und präzisieren ihn im Hinblick auf Bildungsergebnisse bzw. Kompetenzen, die den Schüler/innen nachhaltig zur Verfügung stehen sollen. Die vorliegenden Bildungsstandards sind im Vergleich zum Lehrplan vor allem durch die exemplarische Verdeutlichung über Aufgaben besonders konkret, durch den Bezug auf das Kompetenzmodell anders und deutlicher systematisiert, durch den Bezug auf Einschätzungen und Erfahrungen von Expert/innen aus Praxis und Wissenschaft stellen sie vermutlich jetzt schon ohne dass sie formell Norm sind - eine bedeutsame Bezugsgröße dar. 2.3 Hinweise zur Benutzung der Standards, Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Standards sind ein Instrument zur Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die vorliegenden Standards beschreiben Kompetenzen, die Schüler/innen bis zum Ende der 8. Jahrgangsstufe entwickeln sollen. Diese Kompetenzen sollen ihnen nachhaltig, d.h. über die Schule hinaus, zur Verfügung stehen. Während der traditionelle Unterricht, ins- 14 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

15 besondere Prüfungen und Schularbeiten, sich häufig vorrangig an kurzfristig verfügbaren Kompetenzen orientiert, zielen Standards auf langfristig verfügbare Kompetenzen ab. Die folgenden Hinweise beziehen sich darauf, wie einzelne Lehrer/innen die Standards als ein Instrument zur Planung, zur Evaluation und zur inneren Differenzierung des Unterrichts nutzen können. 2.4 Standards als Instrument zur Planung, Durchführung und Reflexion des Unterrichts Standards können Hilfe und Unterstützung bei den folgenden Aufgaben von Lehrer/innen leisten: Bei der langfristigen Planung des Unterrichts Die Sekundarstufe I ist ein zusammenhängender Bildungszeitraum, an dessen Ende bestimmte Kompetenzen erreicht sein sollen. Die Standards unterstützen die Lehrer/innen dabei, ihre Jahresplanungen sinnvoll auf diese Grundkompetenzen auszurichten. Bei der konkreten Planung einzelner Einheiten Die Standards bieten Grundlagen, einzelne Unterrichtseinheiten oder eine Reihe von Unterrichtseinheiten systematisch auf die Vermittlung definierter Kompetenzen auszurichten. Die beigefügten Beispiele können in vielen Fällen als exemplarische Unterrichtsthemen verwendet werden. Bei der Sicherung des Unterrichtsertrags Die Standards bieten Grundlagen, Maßnahmen zur Sicherung des Unterrichtsertrages (Übungen im Unterricht, Hausübungen) konkreter und gezielter auf den Kompetenzerwerb bei den Schüler/innen auszurichten. Darüber hinaus sind Standards ein Hilfsmittel zur Reflexion des eigenen Anspruchsniveaus sowie der Rahmenbedingungen der eigenen Unterrichtsarbeit. Die Auseinandersetzung mit den vorliegenden Standards kann Lehrer/innen und Schulen Hilfestellung z.b. bei folgenden Fragen bieten: Wie liegen wir derzeit mit unseren Zielen und inhaltlichen Schwerpunktsetzungen relativ zu den vorgegebenen Standards? Haben wir manche Standardvorgaben bisher weniger oder gar nicht beachtet, andere stärker berücksichtigt, hatten wir andere Standards? Welche Maßnahmen sind erforderlich, um die vorgelegten Standards im eigenen Unterricht zu realisieren? Welche dieser erforderlichen Maßnahmen können wir selbst setzen, für welche Maßnahmen wären Unterstützungen (welche?) erforderlich? Dabei kann sich durchaus ergeben, dass nicht alle Standards erreichbar sind, oder dass bestimmte Voraussetzungen bzw. Maßnahmen erforderlich wären, um diese Standards Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

16 im eigenen Unterricht realisieren zu können. Informationen über solche Erfahrungen sind für die Weiterentwicklung der Standards wichtig. 2.5 Standards als Mittel zur Evaluation der Lernergebnisse von Schüler/innen und Klassen Standards sollen nicht nur zur Unterrichtsplanung und Unterrichtsgestaltung, sondern auch zur Evaluation des Unterrichtsertrages verwendet werden. Mögliche Zielsetzungen dabei sind: Welche Leistungen, die meine (unsere) Schüler/innen bei Schularbeiten oder Prüfungen erbringen mussten, sind als langfristige Kompetenzen verfügbar? In welchen Teilbereichen des Kompetenzmodells, das den Standards zu Grunde liegt, haben meine (unsere) Schüler/innen besondere Stärken, in welchen Bereichen haben sie besondere Schwächen? Welche Standards werden von meinen Schüler/innen sicher erreicht, welche Standards werden derzeit nicht erreicht? Sind meine (unsere) Klassen hinsichtlich der erreichten bzw. nicht erreichten Standards eher homogen oder gibt es zwischen den Klassen große Unterschiede? Zur Beantwortung solcher Fragen können die vorliegenden Standards in mehrfacher Hinsicht genutzt werden: Die Standards bieten einen theoretischen und praktischen Bezugsrahmen für die Zusammenstellung von Aufgaben, mit denen die Verfügbarkeit von Kompetenzen überprüft werden kann. Die angefügten exemplarischen Aufgaben können auch als Muster für die Erstellung von Überprüfungsaufgaben genutzt werden. Die Angaben zur Komplexität der Aufgaben erlauben eine systematische Abstimmung selbst formulierter Überprüfungsaufgaben hinsichtlich ihres mathematischen Anspruchs. Lehrer/innen können also auf der Basis des mathematischen Kompetenzmodells und der Ich kann -Formulierungen gezielt Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen entwickeln. Bei der Durchführung solcher Überprüfungen ist grundsätzlich zu beachten: Grundkompetenzen werden eher in der beständigen Lösung von Aufgaben mit niedriger oder mittlerer Komplexität sichtbar als in der Lösung von wenigen, aber hochkomplexen Beispielen. Bei einer Überprüfung sollte also eine größere Anzahl von Aufgaben mit niedriger und mittlerer Komplexität vorgegeben werden. Die Überprüfung sollte ohne Zeitdruck und in einer ermutigenden Atmosphäre erfolgen. Dafür wäre besonders wichtig, dass die Aufgaben nach ihrer vermuteten Schwierigkeit aufsteigend angeordnet werden. Die Überprüfung sollte klar von Schularbeiten und sonstigen Formen der notenbezogenen Leistungsfeststellung abgegrenzt werden. 16 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

17 2.6 Wie können Standards den Unterricht verbessern? Die Standards reglementieren nicht das Lehren und Lernen, aber sie sollen Unterricht indirekt beeinflussen: Sie erleichtern die Ausrichtung auf das Wesentliche ( Grundkompetenzen ) Sie begreifen Lernen als kumulativen Prozess Sie fördern diagnostische und förderbezogene Kompetenzen von Lehrer/innen Sie lenken den Blick auf die schwächeren Schüler/innen Standards zielen generell darauf ab, eine Unterrichtskultur zu schaffen, in der möglichst alle Schülerinnen und Schüler die angestrebten Ziele erreichen, wobei Diagnose von Schülerleistungen, Rückmeldung und gezielte Förderung eine stärkere Rolle spielen als bisher. Als Grundlage dafür kann das Modell des zielerreichenden Lernens herangezogen werden. Ein Unterricht, der sich daran ausrichtet, könnte folgende Ablaufstruktur haben: Planung (auf Basis von Standards) Überprüfung Unterricht Differenzierung Erweiterung /höhere Komplexität Zusätzliche Förderung Kernpunkt des Modells ist die standardmäßig vorgesehene Überprüfung der Lernleistungen am Ende einer Unterrichtsphase. Auf Basis dieser Diagnose kann entschieden werden, ob die ganze Klasse oder einzelne Schüler/innen zusätzlichen Unterricht oder zusätzliche Förderung benötigen, oder ob neue Unterrichtsziele (Erweiterungsaufgaben, Aufgaben höherer Komplexität) in Angriff genommen werden können. Die Ergebnisse formeller und informeller Überprüfungen können und sollen also dafür genutzt werden, um in den einzelnen Klassen Schülergruppen mit unterschiedlichen Lernbedürfnissen zu identifizieren und sie differenziert zu fördern. Die Nachhaltigkeit von Kompetenzen resultiert primär aus einem guten, im oben beschriebenen Sinne differenziert fördernden Unterricht. Das allein reicht jedoch in der Regel nicht aus. Grundkompetenzen müssen regelmäßig geübt und angewendet werden, damit sie erhalten bleiben. Dazu tragen neben gezielten Wiederholungen auch zu länger zurückliegenden Themen vor allem komplexe Aufgaben bei, zu deren Bearbeitung auch früher erworbene Kompetenzen herangezogen werden müssen. 2.7 Standards als Instrument der Qualitätssicherung auf Ebene der einzelnen Schule Innerhalb der einzelnen Schule bilden Standards eine gute Basis, auf der verschiedene Lehrer/innen ihren Unterricht besser aufeinander ausrichten und abstimmen können. Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

18 Dies führt zu einer Vereinheitlichung der Anforderungen innerhalb der gleichen Schule und schafft damit eine Grundlage für die faire Beurteilung der Schülerleistungen. In diesem Sinne bieten Standards eine gute theoretische und praktische Grundlage, um klassenübergreifende Überprüfungen durchzuführen und damit auch innerschulische Qualitätsvergleiche im weitesten Sinn zu ermöglichen. Dabei erscheint es sinnvoll, bei der Entwicklung, Durchführung und Auswertung solcher Überprüfungen möglichst intensiv mit Kolleginnen und Kollegen zusammenzuarbeiten und die Ergebnisse gemeinsam zu interpretieren. Für solche Überprüfungen können auch extern entwickelte Überprüfungsverfahren verwendet werden, z.b. MATKOMP I, ein Verfahren zur Erfassung mathematischer Kompetenzen am Ende der Sekundarstufe I. 7 Die Überprüfung der Standards kann keinesfalls die Leistungsbeurteilung ersetzen, da diese viel komplexer zu sehen ist und wichtige andere Elemente schulischer Anforderungen mit einbeziehen muss (mündliche Leistungen, Leistungen des Schülers / der Schülerin in anderen Bereichen des Unterrichts). Die Standards sind kein Ausleseinstrument im Hinblick auf die Leistungsgruppen. Die Kommentierung der Beispielaufgaben nach der Lösungserwartung soll vielmehr einen Orientierungsrahmen über erwartete Schüler/innenleistungen geben. Auch für die 2. und 3. Leistungsgruppe sind Kompetenzen auf komplexerem Niveau anzustreben. 2.8 Und nicht zuletzt: Die Schülerinnen und Schüler Die Schülerinnen und Schüler haben aufgrund ihrer Erfahrungen mit der Schule eine bestimmte Vorstellung, um was es in Mathematik geht. Wenn sich der Unterricht an Standards orientiert, müssen auch sie ihre bisherigen Vorstellungen von Unterricht und Lernen verändern. Dazu brauchen sie Informationen von Seiten ihrer Lehrer/innen, die vor allem Folgendes signalisieren: Im Vordergrund steht das Können, nicht das kurzfristige Bestehen von Prüfungen Zum Rechnen Können kommen noch andere Kompetenzen dazu, die einen gleich großen Stellenwert haben, nämlich das mathematische Denken und Argumentieren im weitesten Sinn Lernen bedeutet weniger das Einpauken von Übungsbeispielen, sondern das grundlegende Verstehen mathematischer Sachverhalte. Schüler/innen lernen daraus, dass es andere Erwartungen an sie gibt und können sich darauf einstellen. 7 MATKOMP I wurde im Auftrag des BMBWK auf Basis der Mathematik-Aufgaben aus der 1994 durchgeführten TIMS-Studie entwickelt. Genauere Informationen dazu bei johannes.baumuehlner@bmbwk.gv.at. 18 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

19 3 Ein Modell für mathematische Kompetenzen 3.1 Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung Unterrichtsgegenstände können heute nicht mehr nur dadurch gerechtfertigt werden, dass sie traditionell schon immer Bestandteil des Fächerkanons waren. Jedes Fach hat nachzuweisen, welchen Beitrag es zur Bildung der jungen Menschen liefert. Man findet solche Bildungsaufträge auch im Lehrplan. Wir haben für die Beschreibung der Funktion der Mathematik für die Allgemeinheit und somit für die Bildung drei wichtige Rollen dieses Faches ausgewählt: Mathematik als Technik des Problemlösens durch Schließen Wichtige Phasen des mathematischen Problemlösens sind: Modellbilden Operieren Interpretieren. Mathematik als Sprache Schülerinnen und Schüler sollen neben anderen Sprachen auch jene der Mathematik lernen. Mathematik als Denktechnologie Im Mittelpunkt dieses Bildes von Mathematik steht nicht ein ganz bestimmtes mathematisches Kapitel, sondern jene heuristischen Strategien, jene Denktechnologie, die beim Betreiben von Mathematik erworben werden und die in vielen Bereichen des Lebens anwendbar sind. Schülerinnen und Schüler sollen durch die Beschäftigung mit Mathematik auch personale und soziale Kompetenzen erwerben, indem sie zum Beispiel lernen Verantwortung für das eigene Lernen zu übernehmen und bewusst Lernstrategien einzusetzen, gemeinsam mit anderen mathematisches Wissen zu entwickeln und Probleme zu lösen. Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, die Mathematik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen und unter Zuhilfenahme von Mathematik begründete Urteile abzugeben. Der Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) sieht die zentrale Aufgabe der Schule in der Vermittlung fundierten Wissens. Die Schülerinnen und Schüler sollen entsprechende Sachkompetenz erwerben sowie in Erweiterung und Ergänzung der Sachkompetenz Selbstkompetenz und Sozialkompetenz entwickeln. Im Folgenden wird ein Modell mathematischer Sachkompetenz beschrieben, das den mathematischen Standards für die Sekundarstufe I zugrunde gelegt ist. Die Darlegung überfachlicher Kompetenzen und Standards erfolgt in Abschnitt 5. Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

20 3.2 Mathematische Kompetenzen Unter Kompetenzen werden hier kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten verstanden, die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben. Kompetenzen haben eine Handlungsdimension (auf welche Art von Tätigkeiten sie sich beziehen, also was getan wird) und eine inhaltliche Dimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit etwas getan wird) sowie eine konative /volitionale Dimension. Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten sowie auf mathematische Inhalte. 3.3 Die Handlungsdimension (A) Die Ausdifferenzierung und Konkretisierung der Handlungsdimension orientiert sich an dem im Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) dargelegten Beitrag des Mathematikunterrichts zu den Aufgabenbereichen der Schule. Demnach soll ein allgemein bildender Mathematikunterricht den Schülerinnen und Schülern folgende, vielfältig miteinander verknüpfte fachbezogene Grunderfahrungen ermöglichen: Erscheinungen und Vorgänge aus Natur und Gesellschaft mit Hilfe der Mathematik in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, die Bedeutung der Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Bildern, Symbolen und Formeln für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik zu erkennen und zu verstehen, in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten zu erwerben, die auch über die Mathematik hinaus von Bedeutung sind. Ausgehend von diesen Grunderfahrungen lassen sich für die Handlungsdimension mathematischer Kompetenzen folgende wichtige Ausprägungen identifizieren: Ausprägungen der Handlungsdimension: A1: Darstellen, Modellbilden A2: Operieren, Rechnen A3: Interpretieren und Dokumentieren A4: Argumentieren und Begründen Diese Ausprägungen umfassen: 20 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

21 Darstellen, Modellbilden Operieren, Rechnen Interpretieren und Dokumentieren Argumentieren und Begründen Umfasst die Fähigkeit, ein Problem aus einer bestimmten Situation in die Sprache der Mathematik zu übertragen. Dazu ist erforderlich, den mathematischen Gehalt eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten aufzufinden und auszuwählen und sich für einen Lösungsweg zu entscheiden und diesen zu planen. Bei dieser Tätigkeit sollen auch die Möglichkeiten technischer Hilfsmittel genutzt werden. Umfasst die Fähigkeit, Verfahren, Rechenmethoden, Techniken oder Konstruktionsverfahren, die für das mathematische Problem eine Lösung ergeben, auf richtige, effiziente und sinnvolle Weise anzuwenden. Damit reicht diese Kompetenz über die reine Rechenfertigkeit hinaus. Eine Lösung kann beispielsweise auch durch Visualisierung oder durch Verwendung von Tabellen gefunden werden. Je nach Verfügbarkeit sollen dazu auch elektronische Werkzeuge genutzt werden. Umfasst die Fähigkeit, mathematische Ergebnisse zu verbalisieren, wie etwa: die Analyse der Brauchbarkeit des Modells; das innermathematische Überprüfen der Korrektheit der Lösung; das Untersuchen der Brauchbarkeit der mathematischen Lösung für das praktische Problem; die Dokumentation des Lösungsweges und des Ergebnisses; das Interpretieren von Ergebnissen verwendeter technischer Hilfsmittel. Umfasst die Fähigkeit, mathematische Probleme unter Verwendung der Fachsprache argumentativ zu behandeln. Umfasst alle Aktivitäten, die mit Argumentieren, mit Begründen und mit Beweisen zu tun haben. Dies inkludiert auch ein Argumentieren betreffend die Entscheidung für ein bestimmtes Modell oder für einen bestimmten Algorithmus, eine gerade bei Verwendung elektronischer Werkzeuge wichtige Tätigkeit. 3.4 Die inhaltliche Dimension (B) Die inhaltliche Dimension umfasst themenbezogene Fähigkeiten im Gegenstandsbereich der Mathematik, die für das schulische Lernen in der Sekundarstufe I besonders relevant sind. Grundlage für die im Folgenden angeführten und beschriebenen Ausprägungen der inhaltlichen Dimension ist der im Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) angeführte Kernbereich des Faches. Ausprägungen der inhaltlichen Dimension: B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen B2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten B3: Arbeiten mit Figuren und Körpern B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

22 Diese Ausprägungen umfassen: Arbeiten mit Zahlen und Maßen Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten Arbeiten mit Figuren und Körpern Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen, Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Potenzschreibweise; Rechenregeln; Anteile, Prozente, Zinsen; Maße und deren Umwandlungen; Zahlen und Maße in lebenspraktischen Anwendungen Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: Variable, Terme; Gleichungen und Gleichungssysteme (mit zwei Variablen), einfache Ungleichungen. Funktionale Abhängigkeiten und deren tabellarische, grafische bzw. symbolische Darstellung; Wachstums- und Abnahmeprozesse. Nutzen von Funktionsdarstellungen verfügbarer elektronischer Werkzeuge. Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit; einfache Figuren und Körper (Dreieck, Viereck, Kreis bzw. Quader, Prisma, Pyramide, Drehzylinder, Drehkegel, Kugel), Umfangs- und Flächen- bzw. Volumsformeln, Satz des Pythagoras. Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: relative Häufigkeit, arithmetisches Mittel, Median, Quartile; Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Piktogramm, Liniendiagramm, Streudiagramm 3.5 Die Verknüpfung der beiden Dimensionen Mathematische Kompetenzen zeigen sich in einer sinnvollen Verknüpfung von Ausprägungen der Handlungsdimension mit Ausprägungen der inhaltlichen Dimension. Das bedeutet, dass Schülerinnen und Schüler dann über eine entsprechende Kompetenz verfügen, wenn sie in der Lage und bereit sind, in wechselnden Situationen eine oder mehrere Ausprägungen der Handlungsdimension zu aktivieren und mit situationsrelevanten Ausprägungen der inhaltlichen Dimension angemessen zu verbinden. Diese Verknüpfung der Handlungsdimension mit der inhaltlichen Dimension zu mathematischen Kompetenzen wird in folgender Matrix schematisch dargestellt. In den Feldern der Matrix werden beispielhaft solche Kompetenzbereiche dargestellt: 22 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

23 Darstellen, Modellbilden A1 HANDLUNGSDIMENSION Operieren, Rechnen A2 Interpretieren, Dokumentieren A3 Argumentieren, Begründen A4 Zahlen und Maße B1 Kompetenzen im Bereich (A3/B1) INHALTLICHE DIMENSION Variable und funktionale Abhängigkeiten B2 Figuren und Körper B3 Kompetenzen im Bereich (A1/B3) Kompetenzen im Bereich (A4/B2) Statistische Kenngrößen und Darstellungen B4 Kompetenzen im Bereich (A2/B4) Beispiele für Kompetenzen aus den in der Matrix benannten Bereichen: (1) Modellieren im Inhaltsbereich Figuren und Körper (A1/B3): Schülerinnen und Schüler entscheiden sich für Formeln zur Lösung geometrischer Probleme. (2) Operieren im Inhaltsbereich Statistische Kenngrößen und Darstellungen (A2/B4): Schülerinnen und Schüler ermitteln relative Häufigkeiten und/oder stellen diese in einem Stabdiagramm dar. (3) Interpretieren im Inhaltsbereich Zahlen und Maße (A3/B1): Schülerinnen und Schüler interpretieren Zahlenergebnisse, zum Beispiel in Hinblick auf sinnvolle Genauigkeit oder auf Brauchbarkeit für das praktische Problem. (4) Argumentieren im Inhaltsbereich Variable und funktionale Abhängigkeiten (A4/B2): Schülerinnen und Schüler begründen algebraische Umformungen mit Hilfe von Rechengesetzen. Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

24 3.6 Die Komplexitätsdimension Die Komplexitätsdimension bezieht sich auf die Anzahl und Verknüpfung der Denkschritte, die zur Bearbeitung einer Aufgabe erforderlich sind. Für die Sekundarstufe I erscheinen drei Abstufungen sinnvoll: Geringe Komplexität Mittlere Komplexität Höhere Komplexität Es geht hier um Aufgaben, bei denen lediglich das Abarbeiten eines in der Aufgabe selbst angesprochenen, einfachen Algorithmus erforderlich ist, bzw. um einschrittige Modellierungen, bei denen die Übersetzung in ein Modell aus einem bekannten, eng begrenzten mathematischen Gebiet erforderlich ist. In der Regel sind lediglich reproduktives Wissen und elementare Fertigkeiten zur Lösung der Aufgabe erforderlich. Die Modellierung greift nicht mehr nur auf ein einziges Standardmodell zurück, aus verschiedenem Bekannten soll eine geeignete Auswahl getroffen werden. Die damit verbundenen Begründungen erfordern eine geeignete Zusammensetzung mehrerer Schritte. Beim Operieren sind mehrere Operationen miteinander in geeigneter Weise zu verbinden. Aus verschiedenem Bekannten soll eine neue Strategie entwickelt werden, wobei Wissen aus mehreren Zusammenhängen oder Gebieten einzubringen ist. Es handelt sich um Aufgaben, bei denen eine Verallgemeinerung der Situation, das Entwerfen einer umfassenden Strategie, die Einbettung einer gegebenen Situation in einen allgemeinen mathematischen Zusammenhang erforderlich ist. Gegebenenfalls muss zuerst das Problem erkannt und formuliert werden, um überhaupt mit der Suche nach einer Strategie beginnen zu können. Von der Komplexität zu unterscheiden ist der Begriff der Schwierigkeit. Häufig wird Schwierigkeit individuumsbezogen gesehen. Ob etwas als schwierig empfunden wird, hängt sehr wesentlich von den Vorkenntnissen und Vorerfahrungen des einzelnen Schülers bzw. der einzelnen Schülerin ab. 24 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0

25 4 Mathematische Standards für die Sekundarstufe I Standards beschreiben Ausprägungen von Kompetenzen, über die Schülerinnen und Schüler einer bestimmten Schüler/innenpopulation verfügen sollten. Mathematische Standards sind entsprechende Ausprägungen mathematischer Kompetenzen. Die hier dargelegten mathematischen Standards sind als Regelstandards für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I zu verstehen, d. h., sie beschreiben Ausprägungen von mathematischen Kompetenzen, welche die Schülerinnen und Schüler bis zur 8. Schulstufe entwickelt haben sollen. Über die bei einer Schularbeit vorwiegend überprüften Kompetenzen hinaus beschreiben Standards langfristige Kompetenzen, die bis zum Ende der Sekundarstufe I erworben werden sollen. Die allgemeine Beschreibung der Standards folgt den Ausprägungen der Handlungsdimension bzw. der inhaltlichen Dimension mathematischer Kompetenzen. Die Ausdifferenzierung und Konkretisierung erfolgt operationalisiert in Form von Ich kann - Statements, um zu verdeutlichen, dass Standards auf jene Fähigkeiten abzielen, die von den Schülerinnen und Schülern tatsächlich und nachhaltig gefordert werden. In der folgenden allgemeinen Beschreibung wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf eine Verknüpfung der Ich kann -Statements der Handlungsdimension mit jenen der inhaltlichen Dimension verzichtet. Derartige Verknüpfungen und damit Standards werden jedoch in den für die einzelnen Kompetenzbereiche angeführten Aufgabenbeispielen (Abschnitt 4.3) sichtbar. 4.1 Ich kann -Statements zur Handlungsdimension A1 Darstellen, Modellbilden Ich kann einen gegebenen Sachverhalt erfassen und mathematische Beziehungen darin erkennen. Ich kann Sachverhalte in verbaler, tabellarischer, grafischer und symbolischer Form darstellen. Ich kann die für eine Problembearbeitung günstigste Darstellungsform auswählen und zwischen Darstellungsformen wechseln. Ich kann für ein Problem verschiedene mathematische Modelle bzw. Lösungswege finden. Ich kann mich für ein geeignetes (arithmetisches, algebraisches, tabellarisches, grafisches, geometrisches) Modell bzw. für einen geeigneten Lösungsweg zur Bearbeitung eines Problems entscheiden und Lösungsabläufe planen. Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version

26 Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Erstellen [ ] von mathematischen Modellen außermathematischer Sachverhalte. Das Bilden mathematischer Modelle und das Erkennen ihrer Grenzen soll zu einem verantwortungsvollen Umgang mit Aussagen führen, die mittels mathematischer Methoden entstanden sind; [ ] präzises Beschreiben von Sachverhalten [ ]; Konzentrieren von Sachverhalten in mathematische Formeln; [ ] Verbales, formales oder grafisches Darstellen von Sachverhalten; Darstellen [ ] als mathematische Grundtätigkeit durchführen [ ]; Entwickeln verschiedener Lösungswege zu mathematischen Fragestellungen; Nutzen heuristischer Strategien. A2 Operieren, Rechnen Ich kann einfache Rechnungen im Kopf durchführen. Ich kann Berechnungen mit konkreten Zahlen (auch Bruch- und Dezimalzahlen, Potenzen, Wurzeln) durchführen und dabei elektronische Rechenhilfsmittel zweckmäßig einsetzen. Ich kann zwischen verschiedenen Darstellungen für Zahlen und Maße (z. B. Brüche und Dezimalzahlen, m 2 und ha, m 3 und Liter) wechseln. Ich kann Ergebnisse abschätzen oder auch überprüfen, mit Näherungswerten rechnen und sinnvoll runden. Ich kann Lösungen auch durch systematisches Probieren wie auch mit Hilfe von Tabellen oder grafischen Darstellungen finden. Ich kann Terme und Gleichungen (Formeln) umformen, in Terme und Gleichungen (Formeln) richtig einsetzen und Werte berechnen. Ich kann geometrische Konstruktionen durchführen. Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) [ ] mit rationalen Zahlen rechnen, Rechenergebnisse abschätzen, elektronische Hilfsmittel benutzen können, Gesetzmäßigkeiten des Rechnens kennen und anwenden können; algebraische Ausdrücke und Formeln bzw. Gleichungen umformen können. A3 Interpretieren und Dokumentieren Ich kann mathematische Begriffe und mathematische Darstellungen eines Sachverhalts im jeweiligen Kontext interpretieren. Ich kann (Rechen-)Ergebnisse im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren. Ich kann die Angemessenheit und Brauchbarkeit eines mathematischen Modells oder einer mathematischen Darstellung im Hinblick auf die vorgegebene Problemstellung beurteilen. Ich kann die Korrektheit mathematischer Darstellungen und Lösungswege einschätzen bzw. Fehler erkennen. Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschreiben. Ich kann eine zur Problemstellung und zum verwendeten Lösungsmodell passende Antwort formulieren. 26 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe Version 3.0