4 Binäres Zahlensystem
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- Petra Stein
- vor 8 Jahren
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1 Netzwerktechnik achen, den Stephan Zielinski Dipl.Ing Elektrotechnik Horbacher Str. 116c achen Tel.: 0241 / zielinski@fh-aachen.de zielinski.isdrin.de 4 inäres Zahlensystem 4.1 Codieren Die Verarbeitung von Zahlen und Zeichen innerhalb einer Datenverarbeitungsanlage setzt voraus, dass die Zeichen in elektrische Signale umgesetzt werden können. Im allgemeinen verwendet man binäre Signale, die nur zwei bestimmte Zustände annehmen können. Dabei bedeutet: - 0= keine Spannung vorhanden - 1= Spannung vorhanden Die beiden skizzierten Schaltkreise verdeutlichen die Zusammenhänge: ei einem geöffneten Schalter fließt kein Strom, die Lampe (Verbraucher) bleibt dunkel. Der Schaltwert ist gleich 0. Schalter geöffnet Schaltwert=0 ild Schaltkreis mit geöffnetem Schalter 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 1 von 9
2 ei einem en Schalter fließt Strom, die Lampe (Verbraucher) leuchtet. Der Schaltwert ist gleich 1. Schalter Schaltwert=1 ild Schaltkreis mit geöffnetem Schalter Folglich stehen zur Darstellung von Zahlen nur zwei Zeichen (Ziffern) zur Verfügung. Dies mag erst mal etwas verwirrend erscheinen, da der Mensch gewöhnlich Zahlen im Dezimalsystem (Ziffern 0-9) darstellt. Der wichtigste Vorteil des Dualcodes (inärcodes) jedoch besteht darin, dass sich die am häufigsten vorkommenden Rechenoperationen ddition, Subtraktion, Multiplikation und Division bei dual verschlüsselten Zahlen technisch einfach realisieren lassen. Folgende Tabelle zeigt für die Ziffern 0 bis 9 die dazu gehörige Dualzahl. Dezimalzahl Dualzahl Tabelle Ziffern 0 bis 9 im Dualsystem Man erkennt, dass die Stellenzahl bei größeren Zahlen schnell zur Unübersichtlichkeit führt und zu einer Dezimalzahl die Dualzahl nicht unmittelbar ablesbar ist. Dies gilt natürlich auch für den umgekehrten Weg, zu einer Dualzahl lässt sich nicht unmittelbar die zugehörige Dezimalzahl bestimmen. etrachtet man nun eine Dualzahl genauer, stellt man fest, dass jede Stelle eine Zweierpotenz darstellt. Die nachfolgende Tabelle liefert den Zusammenhang. Zweierpotenz inärzahl Tabelle Zweierpotenzen als Dezimalzahlen 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 2 von 9
3 Merke: Der Exponent in der Zweierpotenz gibt die nzahl der Nullen nach der führenden Eins in der inärzahl wieder. Somit ist es recht einfach auf die Stellenzahl der inärzahl rück zu schließen. erechnet man die Zweierpotenzen, erhält man die obige Tabelle mit den zugehörigen Dezimalzahlen. Dezimalzahl inärzahl Tabelle Zahlenreihe der Zweierpotenzen als Dezimalzahlen us dieser Gesetzmäßigkeit lässt sich nun ein Schema zur Umrechnung herleiten. eispiel: 2 2 = 4 = 100(binär) Folgende Tabelle bringt Klarheit: inärzahl Zweierpotenz Dezimalzahl Tabelle inärzahl 100 Jede Ziffer der inärzahl steht in einer eigenen Spalte. Multipliziert man nun die Ziffer der inärzahl mit der zugehörigen Zweierpotenz (innerhalb der Spalte) und addiert die Einzelergebnisse, so erhält man die gesuchte Dezimalzahl. lso: 1*2 2 (1.Spalte)+ 0*2 1 (2.Spalte)+ 0*2 0 (3.Spalte) = 1*4 + 0*2 + 0*1= 4 Um eine inärzahl in eine Dezimalzahl umzurechen, bestimmt man zu jeder Stelle mit der Ziffer 1 die zugehörige Zweierpotenz. ddiert man alle Zweierpotenzen, erhält man die zugehörige Dezimalzahl. eispiel: Es wird die Dezimalzahl zu (binär) gesucht. inärzahl Zweierpotenz Dezimalzahl Tabelle inärzahl Eingetragen in die Tabelle ergibt dies folgende ddition =79. Die Lösung laute also _inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 3 von 9
4 Im umgekehrte Weg gilt es, eine Dezimalzahl als Dualzahl zu codieren. Hierzu wird die Zweierpotenz bestimmt, die gerade einmal in der Dezimalzahl enthalten ist. Dies kann bei größeren Zahlen zu Problemen führen, da man die nächste Zweierpotenz nicht unbedingt auswendig kennt. Im Netzwerkbereich wird jedoch vorwiegend mit Zahlen von 0 bis 255 gearbeitet, was noch im überschaubaren ereich liegt. Die gefundene Zweierpotenz wird nun von der vorgegebenen Dezimalzahl subtrahiert und es wird eine führende 1 für die gesuchte inärzahl notiert. leibt bei der Subtraktion ein Rest, wird geprüft ob die nächst kleinere Zweierpotenz im Rest enthalten ist. Trifft dies nicht zu, wird nach der führenden 1 eine 0 notiert, dies wird solange wiederholt, bis die nächst kleinere Zweierpotenz enthalten ist. Ist eine Zweierpotenz enthalten, wird an der entsprechenden Stelle der gesuchten inärzahl eine 1 notiert. Ist die gesamte Reihe der Zweierpotenzen (bis 2 0 ) überprüft, ist die gesuchte inärzahl gefunden. eispiel: Es wird die inärzahl zu 79 gesucht. 1. Schritt: 79 = 1 führende 1 für gesuchte inärzahl notieren nächste kleinere Zweierpotenz Rest aus der Subtraktion Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz nicht im Rest enthalten nächste kleinere Zweierpotenz zu 1. Schritt ist nicht im Rest enthalten, also Rest bleibt stehen 3. Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz nicht im Rest enthalten nächste kleinere Zweierpotenz zu 2. Schritt ist nicht im Rest enthalten, also Rest bleibt stehen 4. Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz im Rest enthalten 8 (2 3 ) nächste kleinere Zweierpotenz zu 3. Schritt 7 Rest aus der Subtraktion -8 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 4 von 9
5 5. Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz im Rest enthalten 8 (2 3 ) 7 4 (2 2 ) nächste kleinere Zweierpotenz zu 4. Schritt 3 Rest aus der Subtraktion Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz im Rest enthalten 8 (2 3 ) 7 4 (2 2 ) 3 2 (2 1 ) nächste kleinere Zweierpotenz zu 5. Schritt 1 Rest aus der Subtraktion _inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 5 von 9
6 7. und letzter Schritt: 79 = setzen, da Zweierpotenz im Rest enthalten 8 (2 3 ) 7 4 (2 2 ) 3 2 (2 1 ) 1 1 (2 0 ) nächste kleinere Zweierpotenz zu 6. Schritt 0 kein Rest ein weiteres eispiel: Es wird die inärzahl zu 44 gesucht. Schema: 44 = Rest 12 Rest 8 (2 3 ) 4 Rest 4 (2 2 ) 0 kein Rest, die übrigen Stellen (2 1 und 2 0 ) können mit Null aufgefüllt werden 2 (2 1 ) 0 1 (2 0 ) 0 Ende Tabelle Schema zum Codieren der Dezimalzahl 44 als inärzahl 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 6 von 9
7 4.2 UND-Verknüpfung n Hand der Serienschaltung zweier Schalter und wird die UND-Verknüpfung erklärt. Die nachfolgende Grafik zeigt die möglichen Varianten. Die Schaltwerttafel fasst die Ergebnisse zusammen. Schalter offen Schalter Schaltwert =0 Schalter Schalter offen Schaltwert =0 Schalter offen Schalter offen Schaltwert =0 Schalter Schalter Schaltwert =1 ild Varianten einer Serienschaltung zweier Schalter Schaltwerttafel UND Tabelle Schaltwerttafel einer UND-Verknüpfung eispiel: UND Tabelle UND-Verknüpfung zweier inärzahlen Die UND-Verknüpfung dient zum bragen (usblenden) von its Die UND-Verknüpfung dient zum Löschen von its 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 7 von 9
8 4.3 ODER-Verknüpfung n Hand der Parallelschaltung zweier Schalter und wird die ODER-Verknüpfung erklärt. Die nachfolgende Grafik zeigt die möglichen Varianten. Die Schaltwerttafel fasst die Ergebnisse zusammen. Schalter offen Schalter Schaltwert =1 Schalter Schalter offen Schaltwert =1 Schalter offen Schalter offen Schaltwert =0 Schalter Schalter Schaltwert =1 ild Varianten einer Parallelschaltung zweier Schalter Schaltwerttafel ODER Tabelle Schaltwerttafel einer ODER-Verknüpfung eispiel: ODER Tabelle ODER-Verknüpfung zweier inärzahlen Die ODER-Verknüpfung dient zum Setzen von its 04_inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 8 von 9
9 4.4 EXKLUSIV ODER - Verknüpfung XOR Die XOR-Verknüpfung dient zum Invertieren von its 4.5 Zusammenfassung und nwendung der logischen Verknüpfungen: Die UND-Verknüpfung dient zum bragen (usblenden) von its Die UND-Verknüpfung dient zum Löschen von its Die ODER-Verknüpfung dient zum Setzen von its Die XOR-Verknüpfung dient zum Invertieren von its UND zum usblenden von its Eingang Verknüpfung UND Ergebnis UND zum Löschen von its Eingang Verknüpfung UND Ergebnis ODER zum Setzen von its Eingang Verknüpfung ODER Ergebnis XOR zum Invertieren von its Eingang Verknüpfung XOR Ergebnis _inäres Zahlensystem.doc Kapitel 4 inäres Zahlensystem Seite 9 von 9
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