Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

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1 Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1

2 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000 Mille heißt Tausend Beispiel: III = 3, CD = 400 2

3 2.1 Zahlensysteme Dezimalsystem Stellenwertsystem zur Basis 10 Beispiel: Dezimalzahl 2985 setzt sich zusammen aus den Ziffern 2,9,8,5 und bedeutet 2* * * *10 0 Darstellung ist eindeutig (ohne führende Nullen) lässt sich auch für Brüche verwenden Beispiel: bedeutet 2* * * *10-2 3

4 2.1 Zahlensysteme Allgemeine Stellenwertsysteme (natürliche Zahlen) Definition: Ein Stellenwertsystem hat eine Basis B N, so dass jede natürliche Zahl n N eindeutig in folgender Form dargestellt werden kann - B = Basis des Zahlensystems (B N, B 2) - b i = Ziffern (0 b i < B) - k = Anzahl der Stellen 4

5 2.1 Zahlensysteme Binär (B=2, dual), oktal (B=8), dezimal (B=10), hexadezimal (B=16), Zwölfersystem (B=12, in der Informatik nicht gebräuchlich) B=10 B=2 B=8 B=16 B= B=10 B=2 B=8 B=16 B= a a b b c d e f

6 2.1 Zahlensysteme Oktalsystem: Basis B=8, Ziffern 0,,7 Fasse je drei Bits der Binärdarstellung zusammen Hexadezimalsystem: Basis B=16, Ziffern 0,...,9,a,,f Fasse je vier Bits der Binärdarstellung zusammen 6

7 2.1 Zahlensysteme Allgemeine Stellenwertsysteme (Bruchzahlen) Definition: In einem Stellenwertsystem mit Basis B N lässt sich jede Bruchzahl durch folgende Summenformel beschreiben - B = Basis des Zahlensystems (B N, B 2) - b i = Ziffern (0 b i < B) - k = Anzahl der Stellen vor dem Komma - m = Anzahl der Stellen nach dem Komma 7

8 2.1 Zahlensysteme Umwandlung binär/oktal/hexadezimal dezimal: trivial Umwandlung einer ganzen Dezimalzahl x in Stellenwertsystem mit Basis B: 1. x : B = q Rest r (x geteilt durch B ergibt den Quotienten q und den Rest r) 2. Wenn q gleich 0 ist, fahre mit Schritt 3 fort, sonst mache q zum neuen x und fahre mit Schritt 1 fort 3. Die ermittelten Reste r von rechts nach links nebeneinander geschrieben ergeben die Darstellung von x im Stellenwertsystem mit Basis B x B q r 30 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 0 1 8

9 2.1 Zahlensysteme Umwandlung einer echt gebrochenen Dezimalzahl x < 1 in Stellenwertsystem mit Basis B: 1. x * B = p; u = Überlauf (ganzzahliger Anteil) 2. Mache Nachkommateil von p zum neuen x und fahre mit Schritt 1 fort, wenn dieses neue x ungleich 0 ist, sonst fahre mit Schritt 3 fort 3. Die ermittelten Überläufe u werden von links nach rechts nebeneinander geschrieben Beispiel: ( ) 10 = ( ) 2 x B p u * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 =

10 2.1 Zahlensysteme Manche gebrochenen Zahlen, die sich genau im Dezimalsystem darstellen lassen, sind nicht ganz genau als Binärzahl darstellbar Beispiel: (0.1) 10 = ( ) 2 x B p u 0.1 * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = * 2 = Wiederholung In einem Binärsystem mit endlich vielen Stellen bedeutet das einen Genauigkeitsverlust! 10

11 2.2 Binärsystem im Rechner Die beiden Ziffern des Binärsystems lassen sich technisch leicht nachbilden: 0 = kein Strom, keine Spannung 1 = Strom, Spannung Eine einzelne Binärstelle (0 oder 1), die ein Rechner auf diese Art abspeichert, wird als Bit (BInary digit) bezeichnet die kleinste Informationseinheit, die ein Computer verarbeiten kann Mit 8 Bit sind 2 8 = 256 Zustände darstellbar: 8 Bit = 1 Byte Heutzutage sind Bytes die kleinsten adressierbaren Speichereinheiten (kleinere Einheiten müssen aus einem Byte extrahiert werden) 11

12 2.2 Binärsystem im Rechner In der Informatik werden Größenbegriffe mit 2er Potenzen definiert: 1 Kilo Byte = 1024 Byte (2 10 ) 1 Mega = 1024 * 1024 = 2 20 : 1 MByte = 1024 KByte 1 Giga = 1024 * 1024 * 1024 = 2 30 : 1 GByte = 1024 MByte Widerspricht eigentlich dem normierten Sprachgebrauch (k=1000, m= ). Mache Festplattenhersteller benutzen diesen normierten Sprachgebrauch, damit die angegebene Speicherkapazität etwas höher ausfällt. 12

13 2.2 Binärsystem im Rechner Es gibt auch Größen, die per Definition binär sind Beispiel: Binärbilder (Objekt/Hintergrund, Text/Hintergrund, Blutgefäße/Hintergrund in Retinalbildern) Grauwertbild (256 Graustufen): Binärbild (2 Stufen) Binärisierung wandelt ein Grauwertbild in ein Binärbild um durch automatische Schwellwertbestimmung 13

14 2.3 Darstellung von Zahlen Ganze Zahlen: Vorzeichendarstellung Das erste Bit repräsentiert das Vorzeichen (0 für + und 1 für - ) und der Rest den Absolutwert Beispiel: Nachteile: 0000 = = = = = = = = -3 Darstellung von null nicht eindeutig Rechnen durch das Vorzeichen verkompliziert; man kann nicht mehr die beiden Summanden übereinander schreiben und addieren -1 = =

15 2.3 Darstellung von Zahlen Ganze Zahlen: Zweierkomplementdarstellung Darstellung negativer Zahl Z: -Z = 2 n - Z Zahl Z in die Zahl Z überführen: 2 n Z = 2 n -1 - Z + 1 = (2 n -1) Z + 1 Ξ Z Stellenkomplement von Z invertieren 0 1, 1 0 = [(2 n -1) Z]

16 2.3 Darstellung von Zahlen Komplementdarstellung bei negativen Zahlen bestimmen: 1. Binärdarstellung des Betrages der negativen Zahl invertieren 2. Addition von 1 Beispiel: Darstellbarer Zahlenbereich (n Bit): [-2 n-1,2 n-1-1] Das erste Bit stellt das Vorzeichen dar Die Ziffernfolge b n-1 b n-2 b 1 b 0 stellt die folgende Zahl dar: -b n-1 * 2 n-1 +b n-2 * 2 n b 1 * b 0 16

17 2.3 Darstellung von Zahlen Addition einer Zahl Z bedeutet Z viele Schritte im Uhrzeigersinn Subtraktion entspricht Z vielen Schritten entgegen dem Uhrzeigersinn oder 2 n - Z Schritten im Uhrzeigersinn (Subtraktion kann auf die Addition zurückgeführt werden) Beispiel: Addition der Summanden in Komplementdarstellung -1 = = =

18 2.3 Darstellung von Zahlen Addition mit verschiedenen Vorzeichen und Subtraktion mit gleichen Vorzeichen: Ergebnis ist betragsmäßig kleiner als die Operanden und liegt im darstellbaren Zahlenbereich Addition mit gleichen Vorzeichen und Subtraktion mit verschiedenen Vorzeichen: wenn Übertrag Vorzeichenstelle des Ergebnisses ist ein Überlauf eingetreten, Ergebnis liegt nicht im darstellbaren Zahlenbereich 18

19 2.3 Darstellung von Zahlen Reelle Zahlen: Festkommadarstellung Der Punkt (Komma) steht immer an einer festgelegten Stelle: z = b n-1 b n-2 b 1 b 0 b -1 b -2 b -m z hat Länge n+m (n Stellen vor und m Stellen nach Komma). Ein extra Vorzeichen zur Unterscheidung positiver und negativer Zahlen. Beispiel: = 1 * * * * * 2-3 Nachteile: Mit einer bestimmten Anzahl von Bit nur einen beschränkten Wertebereich darstellbar Wo soll man den Punkt festlegen, wenn manchmal mit sehr kleinen, hochgenauen Werten und ein anderes Mal mit sehr großen Werten gearbeitet werden muss? 19

20 2.3 Darstellung von Zahlen Reelle Zahlen: Gleitkommadarstellung z = ± Mantisse * Basis ±Exponent Beispiel: = * 10-2 = * 10 2 Darstellung ist nicht eindeutig! 20

21 2.3 Darstellung von Zahlen Reelle Zahlen: IEEE-Format s: Vorzeichen der Mantisse z = (-1) s * (1.f) * 2 E 1.f: Mantisse als normalisierte Zahl Exponent wird so gewählt, dass die Zahl eine führende 1 aufweist. Das Komma wird rechts von der 1 festgelegt, d.h f < 2.0, nur f wird gespeichert (immer als Betragswert, also auch im negativen Fall nicht als Komplement) E: Vorzeichenbehafteter Exponent, gespeichert als transformierter Exponent e e = E + bias bias ist eine Konstante, die den Wertebereich des Exponenten so verschiebt, dass der Exponent immer positiv ist (kein Vorzeichen nötig) 21

22 2.3 Darstellung von Zahlen Beispiel: kürzeres Datenformat (16 bit: 1 Vorzeichen, 4 Exponent, 11 Mantisse); Bias = 7 x = = y = = Normalisiert und an das 16 Bit Format angepasst x = * y = * Verlust von Stellen! Biased Exponent = = 10 22

23 2.3 Darstellung von Zahlen Single precision (32 Bits) 1 Bit Vorzeichen 8 Bit Exponent, Bias 127, Wertebereich -126 bis Bit Mantisse Double precision (64 Bits) 1 Bit Vorzeichen 11 Bit Exponent, Bias 1023, Wertebereich bis Bit Mantisse Besonderheit e = f = 0 repräsentiert die Null 23

24 2.3 Darstellung von Zahlen Addition/Subtraktion: 1. Angleichen der Exponenten der beiden Operanden 2. Addition/Subtraktion der Mantissen 3. Normalisieren des Ergebnisses Beispiel: Addition Anpassen der Exponenten x = * * 2 +3 Addieren der Mantissen (x) (y) (z) Normalisierung: hier nicht erforderlich z = * 2 +3 =

25 2.3 Darstellung von Zahlen Multiplikation/Division: 1. Ermitteln des Vorzeichens des Ergebnisses 2. Addition/Subtraktion der Exponenten 3. Multiplikation/ Division der Mantissen 4. Normalisieren des Ergebnisses Achtung: Angleichen der Operanden und Normalisieren kann zu Rundungsfehlern führen 25

26 2.3 Darstellung von Zahlen Am 4. Juni 1996 explodierte die Ariane 5 Rakete auf ihrem Jungfernflug Einer der bekanntesten und am besten untersuchten Softwarefehler. Fehlerursache: 39 Sekunden nach Start Fehler beim Runden eines gemessenen Wertes Konvertierung einer 64 Bit Gleitkommazahl in eine 16 Bit vorzeichenbehaftete Integerzahl schlägt fehl, weil die Zahl zu groß war. Auswirkungen: - Programmabbruch - Absturz der Rakete 26