Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1

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1 Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2014/2015 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg in weiterführende Literatur erleichtern. Thema.: Zahlendarstellungen und Eingebettete Systeme Übungsblatt Nr.: 2 Datum:

2 Aufgabe 1 (Bruchzahldarstellung ) Bestimmen Sie den rechts- und linksseitigen maximalen Fehler bei der Darstellung der angegebenen Zahlen im Binärsystem, wenn folgende Dezimalzahlen binär mit acht Nachkommastellen dargestellt werden. Bestimmen Sie, ob der rechtsseitige oder linksseitige Fehler größer ist. a) 20,14 20= ,14= ,579 = 0, Bit: 0,14 * 2 = 0,28 0 = 2-1 2Bit: 0,28 * 2 = 0,56 0 = 2-2 3Bit: 0,56 * 2 = 1,12 1 = 2-3 4Bit: 0,12 * 2 = 0,24 0 = 2-4 5Bit: 0,24 * 2 = 0,48 0 = 2-5 6Bit: 0,48 * 2 = 0,96 0 = 2-6 7Bit: 0,96 * 2 = 1,92 1 = 2-7 8Bit: 0,92 * 2 = 1,84 1 = ,14 = , linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,5+0,0625+0,015625= , ,579 0, % 13,579 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: Dez

3 Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,5+0,0625+0, , = , ,579 0,022323% 13,579 Rechtseitigfehler > Linksseitigfehler b)123, = ,456 = 0, Bit: 0,456 * 2 = 0,912 0 = 2-1 2Bit: 0,912 * 2 = 1,824 1 = 2-2 3Bit: 0,824 * 2 = 1,648 1 = 2-3 4Bit: 0,648 * 2 = 1,296 1 = 2-4 5Bit: 0,296 * 2 = 0,592 0 = 2-5 6Bit: 0,592 * 2 = 1,184 1 = 2-6 7Bit: 0,184 * 2 = 0,368 0 = 2-7 8Bit: 0,368 * 2 = 0,736 0 = , = , linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,25+0,125+0,0625+0, =123,

4 123, ,456 0, % 123,456 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,25+0,125+0,0625+0, , =123, , ,456 0, % 123,456 Rechtsseitigfehler < Linksseitigfehler c) 0,123 1Bit: 0,123 * 2 = 0,246 0 = 2-1 2Bit: 0,246 * 2 = 0,492 0 = 2-2 3Bit: 0,492 * 2 = 0,984 0 = 2-3 4Bit: 0,984 * 2 = 1,968 1 = 2-4 5Bit: 0,968 * 2 = 1,936 1 = 2-5 6Bit: 0,936 * 2 = 1,872 1 = 2-6 7Bit: 0,872 * 2 = 1,744 1 = 2-7 8Bit: 0,744 * 2 = 1,488 1 = 2-8 0,123 = 0, Linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,0625+0, , , , =0, Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: 4

5 Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,125 0,125 0,123 1,626% 0,123 Rechtsseitigfehler > Linksseitigfehler (6 Bits negiert) d) 0,975 1Bit: 0,975 * 2 = 1,95 1 = 2-1 2Bit: 0,95 * 2 = 1,9 1 = 2-2 3Bit: 0,9 * 2 = 1,8 1 = 2-3 4Bit: 0,8 * 2 = 1,6 1 = 2-4 5Bit: 0,6 * 2 = 1,2 1 = 2-5 6Bit: 0,2 * 2 = 0,4 0 = 2-6 7Bit: 0,4 * 2 = 0,8 0 = 2-7 8Bit: 0,8 * 2 = 1,6 1 = 2-8 0,975 = 0, Linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,5+0,25+0,125+0,0625+0, , =0, , ,975 0, % 0,975 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,5+0,25+0,125+0,0625+0, , =0,

6 0, ,975 0, % 0,975 Rechtsseitigfehler < Linksseitigfehler Aufgabe 2 (Bruchzahldarstellung ) Bestimmen Sie den rechts- und linksseitigen maximalen Fehler bei der Darstellung der angegebenen Zahlen im Binärsystem, wenn folgende Dezimalzahlen binär mit acht Nachkommastellen dargestellt werden. Bestimmen Sie, ob der rechtsseitige oder linksseitige Fehler größer ist. a) 13, = ,579 = 0, Bit: 0,579 * 2 = 1,158 1 = 2-1 2Bit: 0,158 * 2 = 0,316 0 = 2-2 3Bit: 0,316 * 2 = 0,632 0 = 2-3 4Bit: 0,632 * 2 = 1,264 1 = 2-4 5Bit: 0,264 * 2 = 0,528 0 = 2-5 6Bit: 0,528 * 2 = 1,056 1 = 2-6 7Bit: 0,056 * 2 = 0,112 0 = 2-7 8Bit: 0,112 * 2 = 0,224 0 = ,579 = 1101, linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,5+0,0625+0,015625= , ,579 0, % 13,579 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: 6

7 Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,5+0,0625+0, , = , ,579 0,022323% 13,579 Rechtseitigfehler > Linksseitigfehler b)123, = ,456 = 0, Bit: 0,456 * 2 = 0,912 0 = 2-1 2Bit: 0,912 * 2 = 1,824 1 = 2-2 3Bit: 0,824 * 2 = 1,648 1 = 2-3 4Bit: 0,648 * 2 = 1,296 1 = 2-4 5Bit: 0,296 * 2 = 0,592 0 = 2-5 6Bit: 0,592 * 2 = 1,184 1 = 2-6 7Bit: 0,184 * 2 = 0,368 0 = 2-7 8Bit: 0,368 * 2 = 0,736 0 = , = , linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,25+0,125+0,0625+0, =123,

8 123, ,456 0, % 123,456 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 Binär ,25 0, ,25+0,125+0,0625+0, , =123, , ,456 0, % 123,456 Rechtsseitigfehler < Linksseitigfehler c) 0,123 1Bit: 0,123 * 2 = 0,246 0 = 2-1 2Bit: 0,246 * 2 = 0,492 0 = 2-2 3Bit: 0,492 * 2 = 0,984 0 = 2-3 4Bit: 0,984 * 2 = 1,968 1 = 2-4 5Bit: 0,968 * 2 = 1,936 1 = 2-5 6Bit: 0,936 * 2 = 1,872 1 = 2-6 7Bit: 0,872 * 2 = 1,744 1 = 2-7 8Bit: 0,744 * 2 = 1,488 1 = 2-8 0,123 = 0, Linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,0625+0, , , , =0, Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: 8

9 Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,125 0,125 0,123 1,626% 0,123 Rechtsseitigfehler > Linksseitigfehler (6 Bits negiert) d) 0,975 1Bit: 0,975 * 2 = 1,95 1 = 2-1 2Bit: 0,95 * 2 = 1,9 1 = 2-2 3Bit: 0,9 * 2 = 1,8 1 = 2-3 4Bit: 0,8 * 2 = 1,6 1 = 2-4 5Bit: 0,6 * 2 = 1,2 1 = 2-5 6Bit: 0,2 * 2 = 0,4 0 = 2-6 7Bit: 0,4 * 2 = 0,8 0 = 2-7 8Bit: 0,8 * 2 = 1,6 1 = 2-8 0,975 = 0, Linksseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,5+0,25+0,125+0,0625+0, , =0, , ,975 0, % 0,975 Nach der Berechnung des linksseitigen Fehlers werden (ausgehend von der kleinsten Zahl aus, d.h. hier 2-8 ) die Zahlen Invertiert, bis zu der ersten Null, die ebenfalls invertiert wird. Rechtsseitig: Dez Beitrag 0, , , , ,0625 0,125 0,25 0,5 1 Binär ,5+0,25+0,125+0,0625+0, , =0,

10 0, ,975 0, % 0,975 Rechtsseitigfehler < Linksseitigfehler Aufgabe 2 (IEEE-754 Darstellung) Wandeln Sie die folgende Zahlen in entsprechende IEEE-754 Darstellungen um. In der Norm IEEE 754 werden zwei Grunddatenformate für binäre Gleitkommazahlen mit 32 Bit (single precision) bzw. 64 Bit (double precision) Speicherbedarf und zwei erweiterte Formate definiert V Exponent (E) Mantisse(m=1.M) 1 8 Bit 23Bit V Exponent(E) Mantisse(m=1.M) 1 11 Bit 52Bit Die Darstellung einer Gleitkommazahl: Wert N= (-1) s *b e *m v- Vorzeichen v= (-1) s v=0 positive v=1 negative b- Basis (In IEEE 754 b=2) e = E B E- Bias Exponente : E=e+B B: Biaswert - berechnet sich durch 2 r 1 1, wobei r die Anzahl der Bits von E darstellt. e- ganzzahliger Exponent m- Mantisse m=(1.m) = 1+(M/2 p ) Schließlich ist die Mantisse 1 m < 2 ein Wert, der sich aus den p Mantissenbits mit dem Wert M als m = 1 + M / 2 p berechnet. Einfacher ausgedrückt, denkt man sich an das Mantissenbitmuster M links 1. angehängt: m = 1.M. a) 1 b) 0,75 c) -22,3125 d) 0 10

11 a)1 1. Berechnung des Bias B(Bias) =2 r-1-1 : r ist die Anzahl der Bits im Exponenten der Gleitkommazahl (Für IEEE-754 Darstellung r=8) = = 2 7-1= 128-1= Umwandlung der Dezimalzahl in eine duale Festkommazahl ohne Vorzeichen 1 10 = Normalisieren 0001*2 0 =1,00*2 0 (Normalisiert - wenn die erste Zahl der Mantisse m ungleich null ist) M-Mantisse 4. Berechnung des Biasexponenten: e=0 Bias=127 E=e+B Exponent+Bias= Biasexponent 0+127= :2 =63R1 (LSB) 63:2 =31R1 31:2 =15 R1 15:2 = 7 R1 7:2 = 3 R1 3:2 = 1 R1 1:2 = 0 R1 (MSB) = Dual(Bias) Exponent (8 Bit für IEEE-754) 5. Vorzeichen Bit V=0 (für die positive Zahl) V=1 (für die negative Zahl) 6. Die Gleitkommazahl bilden IEEE-754 Darstellung von 1: = 3F

12 V Exponent Mantisse Bit Vorzeichen + 8 Bit Exponent + 23 Bit Mantisse b)0,75 1. Berechnung des Bias(Exzesses ) Bias (Exzess) = 2 n-1-1 =2 7-1=127 Dabei ist n die Anzahl der Bits im Exponenten der Gleitkommazahlen Für IEEE-754 Darstellung n=8 2. Umwandlung der Dezimalzahl in eine duale Festkommazahl ohne Vorzeichen 0,75 10 = 0,11 2 (umgewandelte Binarzahl) 0,75 *2= 1,5 (MSB) 0,5 *2 = 1 (LSB) 0,75 10 = 0, Normalisieren 0,11*2 0 = 1, 1*2-1 (normalisierte Binarzahl) Mantisse 4. Berechnung des dualen Exponenten: Bias(Exzess)= =126 (Biasexponent) 126:2 =63R0 (LSB) 63:2 =31R1 31:2 =15 R1 15:2 = 7 R1 7:2 = 3 R1 3:2 = 1 R1 1:2 = 0 R = Dual Exponent (8 Bit für IEEE-754) 5. Vorzeichen Bit V=0 (für die positive Zahl) V=1 (für die negative Zahl) 12

13 6. Die Gleitkommazahl bilden IEEE-754 Darstellung von 0,75 = 3F V Exponent Mantisse c)- 22, Berechnung des Bias B(Bias) =2 r-1-1 : r ist die Anzahl der Bits im Exponenten der Gleitkommazahl (Für IEEE-754 Darstellung r=8) = = 2 7-1= 128-1= Umwandlung der Dezimalzahl in eine duale Festkommazahl ohne Vorzeichen a) = b)0, = 0, :2=11 R0 (LSB) 0,3125 *2= 0,625 (MSB) 11:2=5 R1 0,625 *2 = 1,25 5:2=2 R1 0,25*2 = 0,5 2:2=1 R0 0,5 *2 = 1 (LSB) 1:2=0 R1 (MSB) 22, = 10110, Normalisieren 10110,0101*2 0 =1, *2 4 Mantisse [PS: mit Logarithm Normalisieren der Mantisse log 2 22,3125 4, , , , , M=1, Binäre Darstellung von *2 M 1, IEEE 754 ] 4. Berechnung des Biasexponenten: e=4 Bias=127 E=e+B Exponent+Bias= Biasexponent 4 13

14 4+127= :2 =65R1 (LSB) 65:2 =32R1 32:2 =16 R0 16:2 = 8 R0 8:2 = 4 R0 4:2 = 2 R0 2:2 = 1 R0 1:2 = 0 R1 (MSB) = Dual(Bias) Exponent (8 Bit für IEEE-754) 5. Vorzeichen Bit V=0 (für die positive Zahl) V=1 (für die negative Zahl) 6. Die Gleitkommazahl bilden IEEE-754 Darstellung von -22,3125 = C1B28000 V Exponent Mantisse d) 0 (0 ist ein Sonderfall für IEEE754 Darstellung) 1. Berechnung des Bias(Exzesses ) Bias (Exzess) = 2 n-1-1 =2 7-1=127 Dabei ist n die Anzahl der Bits im Exponenten der Gleitkommazahlen Für IEEE-754 Darstellung n=8 2. Umwandlung der Dezimalzahl in eine duale Festkommazahl ohne Vorzeichen 0 10 = 0 2 (umgewandelte Binarzahl) 3. Normalisieren 0,0*2 0 => (nicht normalisierbar ) In der Mantisse soll mindestens eine 1, deswegen die Darstellung der 0 ist unmöglich. 4. Berechnung des dualen Exponenten: Um die Normalisierung für 0 zu verhindern, wird der Exponent mit dem Wert E=0 kodiert und die Mantisse wird mit m=0.m interpretiert. 14

15 5. Vorzeichen Bit V=0 (für die positive Zahl) V=1 (für die negative Zahl) 6. Die Gleitkommazahl bilden Die Null besteht aus Nullen als Gleitkommazahl. V Exponent Mantisse Es gibt auch noch die negative Null, welche die Standard IEEE754 nicht verbietet. V Exponent Mantisse V=0 (für die positive Zahl) V=1 (für die negative Zahl) IEEE-754 Darstellung von 0 = =h = =h

16 Aufgabe 3 (Umwandlung von IEEE-754 Darstellung) Rechnen Sie folgende IEEE754 Gleitkommazahlen ins Dezimalsystem um. a) ( ) IEEE754 b) ( ) IEEE754 c) ( ) IEEE754 a) ( ) IEEE754 =C2E Berechnung des Exponents Umwandeln des Exponents in eine Dezimalzahl: > 133 Da dies aber der Biased Exponent ist, der zuvor um den Bias verschoben wurde, wird nun der Bias wieder abgezogen: = 6 ist also der Exponent 2. Berechnung der Mantisse Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wissen wir, dass sie eine 1 vor dem Komma hat: 1, Nun muss das Komma um 6 Stellen nach rechts verschoben werden: , Umwandlung in eine Dezimalzahl Vorkommastellen: = Nachkommastellen: 0, = 0,25 4. Vorzeichen Vorzeichenbit ist eine 1, es ist eine negative Zahl 5. Dezimalzahl "zusammensetzen" -114,25 b)( ) IEEE754 =C

17 1. Berechnung des Exponents Umwandeln des Exponents in eine Dezimalzahl: > 130 Da dies aber der Biased Exponent ist, der zuvor um den Bias verschoben wurde, wird nun der Bias wieder abgezogen: = 3 ist also der Exponent 2. Berechnung der Mantisse Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wissen wir, dass sie eine 1 vor dem Komma hat: 1, Nun muss das Komma um 3 Stellen nach rechts verschoben werden: 1001, Umwandlung in eine Dezimalzahl Vorkommastellen: = 9 Nachkommastellen: 0, = Vorzeichen Vorzeichenbit ist eine 1, also ist es eine negative Zahl 5. Dezimalzahl "zusammensetzen" -9,0 c) ( ) IEEE754 = Berechnung des Exponents Umwandeln des Exponents in eine Dezimalzahl: > 131 Da dies aber der Biased Exponent ist, der zuvor um den Bias verschoben wurde, wird nun der Bias wieder abgezogen: = 4 ist also der Exponent 2. Berechnung der Mantisse Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wissen wir, dass sie eine 1 vor dem Komma hat: 1,

18 Nun muss das Komma um 4 Stellen nach rechts verschoben werden: 10010, Umwandlung in eine Dezimalzahl Vorkommastellen: = Nachkommastellen: 0, Weil die 0,4 im binären eine periodische Darstellung hat, kann sie nicht mehr genau umgewandelt werden. 4. Vorzeichen Vorzeichenbit ist eine 0, also ist es eine positive Zahl 5. Dezimalzahl "zusammensetzen" 18, (Diese Zahl ist nicht exakt als Fließkommazahl darstellbar) 18