Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II"

Transkript

1 Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II Matrixzugriff Wir wollen nun unsere Einführung in die Arbeit mit Vektoren und Matrizen in MATLAB fortführen. Matrizen und Vektoren werden in MATLAB nicht nur im Sinne linearer Gleichungssysteme verwendet, sondern dienen auch als Speicher für beliebige Informationen. Daher existiert eine Vielzahl von Funktionen um Vektoren und Matrizen zu manipulieren, von denen wir hier einige ansprechen wollen. Aufgabe 1. Um beliebige n m-matrizen zu erzeugen gibt es die Befehle zeros, eye und ones. Informieren Sie sich über help darüber, wie diese Befehle benutzt werden. Der Zugriff auf einzelne Elemente einer n m-matrix (a ij ) erfolgt in MATLAB über runde Klammern: Um auf den Eintrag a ij zuzugreifen, 1 i n, 1 j m, verwenden wir A(i,j): >> [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2] >> A(2,3) 7 Geben wir statt Zeile und Spalte nur eine Zahl an, so wird die Matrix als Element von K nm (statt K n m ) interpretiert. Die Spalten werden dabei untereinander geschrieben interpretiert, A(i,j) entspricht daher dem Element A(i+(j-1)*n). 1

2 >> A(3) 4 >> A(4) 1 Wir können statt der Zahlen als Indizes auch Vektoren v {1,..., n} k, w {1,..., m} l angeben. Zurückgegeben wird dann die Matrix à Kk l mit Einträgen (ã i,j ) := (a vi,v j ). Da jeder Skalar gleichzeitig auch als Vektor der Länge 1 interpretiert werden kann, fällt diese Definition im Fall von k, l = 1 mit dem normalen Zugriff auf ein Element zusammen. >> A(2, [2, 3]) 5 7 >> A([1, 3], [2, 3]) Aufgabe 2. Sei A R 3 3 definiert durch A := Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe von Zugriffsoperatoren: a) Geben Sie das Element a 2,3 mit A(i,j) und A(k) aus. b) Geben Sie die erste Zeile von A aus. c) Geben Sie die linke, obere 2 2-Untermatrix von A aus. d) Definieren Sie B als A mit Zeilen 1 und 2 vertauscht. Tipp: MATLAB interpretiert die Matrix als einen Vektor. Beim Zugriff auf eine Matrix A K n m können 1:n und 1:m jeweils auch mit einem einfachen Doppelpunkt : abgekürzt werden. MATLAB kennt die Dimension der Matrix und ersetzt in diesem Fall den Doppelpunkt durch den richtigen Vektor. 2

3 >> A(2,:) >> A(:,3) All die bisher kennengelernten Ausdrücke können wir auch benutzen, um Matrizen zu ändern. Wir können sowohl einzelne Einträge, als auch ganze Spalten, Zeilen oder allgemein beliebige Untermatrizen ändern: >> A(2,3) = Man beachte, dass der Wert des Eintrags bei einer Zuweisung zu einer Variablen kopiert wird und daher späteres Ändern dieser Kopie keine Auswirkung mehr auf die Matrix hat: >> x = A(2,3) x = 0 >> x = 4 x = 4 >> A Aufgabe 3. Erstellen Sie eine 8 8-Matrix in MATLAB, bei der im Schachbrettmuster Nullen und Einsen angeordnet sind. Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Erzeugen Sie Ihre Matrix mit zeros und ersetzen Sie durch for-schleifen die Nullen an den entsprechenden Stellen durch Einsen. b) Lösen Sie das Problem nun ohne Schleifen, aber trotzdem in wenigen Schritten, in dem Sie ganze Teilmatrizen durch ones ersetzen. 3

4 Erweitern von Vektoren und Matrizen In einigen Situationen ist es sinnvoll, Vektoren um Einträge zu erweitern, bzw. eine Matrix durch das Anhängen einer Spalte oder einer Zeile in ihrer Dimension zu verändern. Ein Beispiel ist ein Vektor fib_n der Dimension n, in dem die ersten n Glieder der Fibonacci-Folge gespeichert werden. Will man nun alle Elemente der Folge bis zum (n+1)-ten Glied berechnen, also den Vektor fib_(n+1), so ist es sinnvoller, diesen um ein Element zu erweitern, statt alle Elemente der Folge erneut zu berechnen. Dies kann man mit der folgenden Syntax tun: >> fib_3 = [1 1 2] fib_3 = >> fib_4 = [ fib_3 3] fib_4 = Man beachte dabei, dass beide Vektoren als Zeilenvektoren konstruiert sind. Einen Zeilenvektor zu einem Spaltenvektor zu ergänzen funktioniert nicht und führt zu einem Dimensionsfehler. >> fib_3 = [1 1 2] fib_3 = >> fib_4 = [ fib_3; 3] Error using vertcat CAT arguments dimensions are not consistent. Bei Matrizen ergeben sich zum Teil ähnliche Situationen wie bei unserem Fibonacci Beispiel. Man nehme an wir wollen für zwei aufeinanderfolgende Dimensionen n und n + 1 die zugehörigen Hilbertmatrizen H_n und H_n+1 aufstellen. Statt die Einträge der Matrix H_n+1 alle neu zu berechnen, nutzen wir die bereits berechneten Einträge der Matrix H_n. Dazu müssen wir die Matrix H_n um eine Spalte der länge n und eine Zeile der Länge n + 1 ergänzen. H_2 = >> s_3 = [1/3; 1/4] 4

5 s_3 = >> z_3 = [1/3 1/4 1/5] z_3 = >> h_3 = [ H_2 s_3; z_3] H_3 = Geschwindigkeitsprobleme beim Anhängen Wenn wir Elemente an eine Matrix / einen Vektor anhängen, wird intern eine komplett neue Matrix der richtigen Größe erzeugt und die Einträge des alten Objekts in diese neue Matrix kopiert 1. Dieses Kopieren ist langsam und sollte wenn möglich vermieden werden. Oftmals ist dies möglich, da meist nicht die Größe der Matrix / des Vektors am Anfang unbekannt ist, sondern die Einträge. Wir reservieren daher zu Beginn genug Speicherplatz und arbeiten dann mit Untermatrizen / -vektoren über die oben vorgestellte Syntax. Das folgende Beispiel soll das Problem demonstrieren. In diesem werden abermals die ersten 10 Glieder der Fibonacci-Folge berechnet. v = [1 1]; for i=3:10 v = [ v v(i-1)+ v(i -2)]; end Sofern Sie diesen Programmcode in eine Skriptdatei schreiben, wird MAT- LAB das v in der for-schleife mit rot unterschlängeln. Wenn Sie dann mit dem Mauszeiger auf das v zeigen, gibt MATLAB Ihnen den folgenden 1 Erklärung: Matrizen werden vom Computer als zusammenhängede Blöcke von Zahlen gespeichert, deren Größe beim Anlegen der Matrix festgelegt wird. All die Daten, mit denen der Computer arbeitet, werden so nacheinander im Arbeitsspeicher gespeichert. Nach dem Anlegen der Matrix ist daher nicht mehr garantiert, dass links und rechts Platz für die Einträge unserer größeren Matrix frei ist. Daher muss woanders ein größerer, zusammenhänger Block reserviet und die Einträge der alten Matrix kopiert werden. 5

6 Hinweis: The variable v appears to change size on every loop iteration. Consider Preallocating for speed. MATLAB reserviert für die Variable v am Anfang nur den Speicherplatz für zwei double-werte. Im ersten Schritt der Schleife wird die Länge des Vektors dann auf Dimension drei geändert. MATLAB reserviert in diesem Moment komplett neuen Speicher für drei double-werte und kopiert die vorhergehenden zwei. Dies wird in jedem Schritt wiederholt. Wir wissen, dass wir ingesamt Speicher für 10 Einträge brauchen, daher erzeugen wir direkt am Anfang den Speicher für alle Einträge und lassen diese auf 0 solange, bis unsere Schleife an der Stelle ankommt. Ein effizientes Programm sähe daher wie folgt aus: v = zeros (10,1); v(1) = 1; v(2) = 1; for i=3:10 v(i) = v(i-1)+ v(i-2); end Elementweise Operationen Außer den bekannten Rechenoperatioren *, / und kennt MATLAB die elementweisen Operatoren.*,./ und., bei denen dem Rechenzeichen ein Punkt vorangestellt wird. Die elementweisen Operatoren können nur verwendet werden, wenn die Dimensionen der verknüpften Matrizen übereinstimmen oder eine von ihnen ein Skalar ist. >> [1 2 3; 4 5 6] >> B = [2 4 3; 2 1 1] B = >> A.^B

7 Falls eine der Größen ein Skalar ist, wird die skalare Operation auf alle Elemente der Matrix angewendet. Das Ergebnis hat dann die Dimension der Matrix. >> A.^ >> 2.^ A Aufgabe 4. a) Berechnen Sie n n für alle natürlichen Zahlen von 3 bis 9. b) Berechnen Sie für einen beliebigen Vektor a K 4 das elementweise Quadrat und das euklidische Skalarprodukt. Alle bekannten mathematischen Funktionen können auch elementweise angewendet werden, in dem man als Argument für die Funktion einen Vektor angibt. Das Ergebnis ist dann ein Vektor mit den Funktionsauswertungen: >> a = 0:pi/4:pi a = >> b = sin(a) b = Das Kronecker-Tensorprodukt Um Blockmatrizen wie für die erste Übungsaufgabe von Blatt 2 zu erstellen, können wir das Kroneckerprodukt von Matrizen verwenden. Das Kronecker-Tensorprodukt ist ein Multiplikationsoperator zwischen zwei Matrizen beliebiger Dimension, der als Ergebnis eine größere Matrix erzeugt, die alle möglichen Produkte aus den Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen enthält. Für unsere Anwendung zum Aufstellen der Modellmatrix ist es sinnvoll, sich dieses Produkt als Blockmatrix vorzustellen: Das Kronecker- Produkt von zwei Matrizen (a ij ) n,m i,j=1 Rn m und B R k l ist eine Blockmatrix C R nk ml mit den Blöcken c ij = (a ij B) n,m 7 i,j=1.

8 In MATLAB ist das Kronecker-Tensorprodukt als kron(, )-Funktion verfügbar: >> B = eye(2,2) B = >> kron(a,b) Aufgabe 5. Benutzen Sie kron(), um möglichst einfach die folgende Matrix zu erstellen: C = Aufgabe 6. Lösen Sie Aufgabe 1 vom zweiten Übungsblatt mit Hilfe der folgenden Schritte: a) Erstellen Sie eine Funktion, welche die Matrix B m erzeugt. Benutzen Sie hierfür die Funktionen diag() und ones(). Bauen Sie die Matrix Schritt-für-Schritt auf und addieren Sie Ihre Teilergebnisse. b) Erweitern Sie Ihre Funktion, so dass die Matrix A m vom Übungsblatt erzeugt wird, in dem Sie zunächst mit Hilfe von kron() eine Blockdiagonalmatrix mit Blöcken B m erzeugen. c) Ergänzen Sie A m aus der letzten Teilaufgabe durch die Nebendiagonal- Blöcke. Wenden Sie dafür wieder kron() auf eine Matrix an, welche Sie mit diag() und ones() konstruiert haben. 8

Übung 4: Einführung in die Programmierung mit MATLAB

Übung 4: Einführung in die Programmierung mit MATLAB Übung 4: Einführung in die Programmierung mit MATLAB AUFGABE 1 Was bewirkt der Strichpunkt? - Der Strichpunkt (Semikola) unterdrück die Anzeige der (Zwischen-) Resultate. Welche Rolle spielt ans? - Wenn

Mehr

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst

Mehr

Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays

Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungsziele: Skript: Deklaration und Verwendung mehrdimensionaler Arrays Kapitel: 49 Semester: Wintersemester 2016/17 Betreuer: Kevin, Matthias, Thomas und Ralf Synopsis:

Mehr

4.2 Selbstdefinierte Matlab-Funktionen 1. Teil

4.2 Selbstdefinierte Matlab-Funktionen 1. Teil 4.2 Selbstdefinierte Matlab-Funktionen 1. Teil 37 Ein m-file mit Namen Funktionsname.m und einer ersten Zeile der folgen Form: function Funktionsname(input1,input2,...,inputn) oder function output1=funktionsname(input1,input2,...,inputn)

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle

Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle 2. Matrixalgebra Warum Beschäftigung mit Matrixalgebra? Matrizen spielen bei der Formulierung ökonometrischer Modelle eine zentrale Rolle: kompakte, stringente Darstellung der Modelle bequeme mathematische

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Matrix-Algorithmen Matrixmultiplikation Allgemeiner Matrizen

Matrix-Algorithmen Matrixmultiplikation Allgemeiner Matrizen Matrix-Algorithmen Matrixmultiplikation Allgemeiner Matrizen 15.04.2011 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Grundlagen Matrizen Vektoren 2 Skalarprodukt und Saxpy Matrix-Vektor-Multiplikation Gaxpy Matrix-Matrix-Multiplikation

Mehr

3 Kurzeinführung in Matlab

3 Kurzeinführung in Matlab 3 Kurzeinführung in Matlab Matlab ist ein sehr leistungsfähiges interaktives Programmpaket für numerische Berechnungen. Nutzen Sie dies parallel zu den Vorlesungen. Sie können damit persönlich erfahren,

Mehr

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte. Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische

Mehr

Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen.

Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen. Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen. Wir wollen uns heute dem Thema Variablen widmen und uns damit beschäftigen, wie sich

Mehr

Informationsverarbeitung im Bauwesen

Informationsverarbeitung im Bauwesen V14 1 / 30 Informationsverarbeitung im Bauwesen Markus Uhlmann Institut für Hydromechanik WS 2009/2010 Bemerkung: Verweise auf zusätzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe V14 2 / 30

Mehr

Einführung in MATLAB

Einführung in MATLAB Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Matlab Übersicht. Matlab steht für MATrix LABoratory, die Fa. The Mathworks wurde 1984 gegründet

Matlab Übersicht. Matlab steht für MATrix LABoratory, die Fa. The Mathworks wurde 1984 gegründet Matlab Übersicht Ziel: einfacher Zugang zu numerischen (FORTRAN)Bibliotheken [Freeware] Linpack (LINear Algebra Solution PACKage) und Eispack (EIgenvalue Solution PACKage) => aktuelle Version: Lapack (Linear

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

Einstieg in die Informatik mit Java

Einstieg in die Informatik mit Java 1 / 26 Einstieg in die Informatik mit Java Felder Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 26 1 Was sind Felder? 2 Vereinbarung von Feldern 3 Erzeugen von Feldern

Mehr

Unterprogramme, Pointer und die Übergabe von Arrays

Unterprogramme, Pointer und die Übergabe von Arrays Unterprogramme, Pointer und die Übergabe von Arrays Unterprogramme Wie schon im Abschnitt über Funktionen erwähnt, versteht man unter einem Unterprogramm im engeren Sinn eine Prozedur, welche die Werte

Mehr

Grundlagen der Programmiersprache C++

Grundlagen der Programmiersprache C++ / TU Braunschweig Grundlagen der Programmiersprache C++ Um den Studierenden den Einstieg in die FE-Programmierung zu erleichtern werden die wesentlichen Elemente eines C-Programmes beschrieben, soweit

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Tag 9: Datenstrukturen

Tag 9: Datenstrukturen Tag 9: Datenstrukturen A) Datenstrukturen B) Cell Arrays C) Anwendungsbeispiel: Stimulation in einem psychophysikalischen Experiment A) Datenstrukturen Wenn man komplizierte Datenmengen verwalten möchte,

Mehr

Einführung in die Programmierung (MA8003)

Einführung in die Programmierung (MA8003) Theorie 1.1: Einführung, Grundlagen, Vektoren & Matrizen I Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 23.02.2015 Ablauf Theorie 1.1+1.2 Mo

Mehr

Die Lineare Algebra-Methode. Mahir Kilic

Die Lineare Algebra-Methode. Mahir Kilic Die Lineare Algebra-Methode Mahir Kilic 23. Juni 2004 1 Einführung 1.1 Überblick Im Allgemein benutzt man die Lineare Algebra-Methode in der Kombinatorik wie folgt: Für die Bestimmung einer Obergrenze

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

3.4 Der Gaußsche Algorithmus

3.4 Der Gaußsche Algorithmus 94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,

Mehr

QR-Zerlegung Allgemeines. Householder-Spiegelung. Givens-Rotation. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Fazit. QR-Zerlegung.

QR-Zerlegung Allgemeines. Householder-Spiegelung. Givens-Rotation. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Fazit. QR-Zerlegung. 20.0.2011 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 1 2 3 4 der Matrix A R mxn, m n A = Q R Matrix Q: Q R nxn orthogonale Matrix (Spalten paarweise orthogonal) Q Q T = E Matrix R: R R mxn obere Dreiecksmatrix r 11 r

Mehr

Eine kurze Einführung in MATLAB

Eine kurze Einführung in MATLAB Eine kurze Einführung in MATLAB 1 Grundleges Im Folgen wollen wir annehmen, dass wir bereits wissen wie wir MATLAB starten, d.h., unter LINUX eine Shell-Konsole öffnen ( > System > Konsole oder über Icon)

Mehr

10:Exkurs MATLAB / Octave

10:Exkurs MATLAB / Octave 10:Exkurs MATLAB / Octave MATLAB (bzw. Octave als freie Version) ist eine numerische Berechnungsumgebung wurde vorrangig zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen entworfen ist interaktiv benutzbar, vergleichbar

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

4) Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten

4) Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten 1) Wechsel der Darstellung Taschenrechner CASIO fx-991 ES Denn es ist eines ausgezeichneten Mannes nicht würdig, wertvolle Stunden wie ein Sklave im Keller der einfachen Berechnungen zu verbringen. Gottfried

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den

Mehr

6. Rechnen mit Matrizen.

6. Rechnen mit Matrizen. 6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 2013/14 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 2013/14 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 203/4 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7 Aufgabe 27 Sei eine lineare Abbildung f : R 4 R 3 gegeben durch f(x, x 2, x 3 ) = (2 x 3 x 2

Mehr

Quadrieren Sie die Zahlen 3, pi, 1 und i mit Hilfe des Operators ^ und ziehen Sie aus den Ergebnissen jeweils die Wurzel.

Quadrieren Sie die Zahlen 3, pi, 1 und i mit Hilfe des Operators ^ und ziehen Sie aus den Ergebnissen jeweils die Wurzel. MATLAB Aufgaben Aufgabe 1: Starten Sie Matlab. Stellen Sie über die Menüleiste (Desktop => Desktop Layout => Default) den Grundzustand wieder her (falls nicht schon vorhanden). Machen Sie sich mit der

Mehr

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Einführung in MATLAB Überblick Was ist MATLAB? Abkürzung für matrix laboratory. Reines Numerikprogramm für das Rechnen mit großen Zahlenfeldern (arrays) bzw. Matrizen.

Mehr

7 Lineare Gleichungssysteme

7 Lineare Gleichungssysteme 118 7 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme treten in vielen mathematischen, aber auch naturwissenschaftlichen Problemen auf; zum Beispiel beim Lösen von Differentialgleichungen, bei Optimierungsaufgaben,

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1) Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...

Mehr

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren

Mehr

y x x y ( 2x 3y + z x + z

y x x y ( 2x 3y + z x + z Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie

Mehr

Mathematik 1, Teil B. Inhalt:

Mathematik 1, Teil B. Inhalt: FH Emden-Leer Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix

5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix 5 Determinante, Spatprodukt, Vektorprodukt, inverse Matrix Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

JavaScript. Dies ist normales HTML. Hallo Welt! Dies ist JavaScript. Wieder normales HTML.

JavaScript. Dies ist normales HTML. Hallo Welt! Dies ist JavaScript. Wieder normales HTML. JavaScript JavaScript wird direkt in HTML-Dokumente eingebunden. Gib folgende Zeilen mit einem Texteditor (Notepad) ein: (Falls der Editor nicht gefunden wird, öffne im Browser eine Datei mit der Endung

Mehr

Funktionen in Matlab. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester und 29. Mai 2008

Funktionen in Matlab. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester und 29. Mai 2008 Funktionen in Matlab Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Sommersemester 2008 15. und 29. Mai 2008 Funktionen in Matlab Wir kennen schon diverse

Mehr

Statistisches Programmieren

Statistisches Programmieren Statistisches Programmieren Session 1 1 Was ist R R ist eine interaktive, flexible Software-Umgebung in der statistische Analysen durchgeführt werden können. Zahlreiche statistische Funktionen und Prozeduren

Mehr

Fachhochschule Südwestfalen Wir geben Impulse. Vektorrechnung in Octave

Fachhochschule Südwestfalen Wir geben Impulse. Vektorrechnung in Octave Fachhochschule Südwestfalen Wir geben Impulse Vektorrechnung in Octave Inhalt Erzeugung von Vektoren Zugriff auf Vektorelemente Addition und Subtraktion von Vektoren Betrag eines Vektors Berechnung des

Mehr

1 Konsole öffnen. 2 matlab & und return eingeben. 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen. 1 Menüpunkt File - Exit MATLAB oder. 2 quit (und return) oder

1 Konsole öffnen. 2 matlab & und return eingeben. 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen. 1 Menüpunkt File - Exit MATLAB oder. 2 quit (und return) oder Grundleges Einführung in Matlab Christof Eck, Monika Schulz und Jan Mayer Matlab starten: 1 Konsole öffnen 2 matlab & und return eingeben 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen Matlab been: 1 Menüpunkt File

Mehr

Tag 1: Einführung in Programmierung und Benutzung von Matlab

Tag 1: Einführung in Programmierung und Benutzung von Matlab Tag 1: Einführung in Programmierung und Benutzung von Matlab A) Die Matlab-Oberfläche und Matlab als Taschenrechner B) Vektoren und Matrizen C) Grafische Darstellung von Vektoren D) Hausaufgabe A) Die

Mehr

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.

Mehr

Verbesserungsdetails: PTC Mathcad Prime 3.0. Copyright 2013 Parametric Technology Corporation. weiter Infos unter www.mcg-service.

Verbesserungsdetails: PTC Mathcad Prime 3.0. Copyright 2013 Parametric Technology Corporation. weiter Infos unter www.mcg-service. : PTC Mathcad Prime 3.0 Copyright 2013 Parametric Technology Corporation PTC Mathcad Angepasste Funktionen Sie können eigene Funktionen, die in C++ oder anderen Sprachen geschrieben sind, in die PTC Mathcad

Mehr

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

Matlab - eine kurze Einführung

Matlab - eine kurze Einführung Matlab - eine kurze Einführung Helke Karen Hesse, Thomas Dunne helke.hesse@iwr.uni-heidelberg.de, thomas.dunne@iwr.uni-heidelberg.de 13.11.2006 1 / Gliederung Überblick Grundlegende Syntax Variablen Vektoren

Mehr

Lineare Algebra mit dem Statistikprogramm R

Lineare Algebra mit dem Statistikprogramm R SEITE 1 Lineare Algebra mit dem Statistikprogramm R 1. Verwendung von Variablen Variablen werden in R definiert, indem man einem Variablennamen einen Wert zuweist. Bei Variablennamen wird zwischen Groß

Mehr

R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung.

R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung. R-Wörterbuch Ein Anfang... ein Klick auf einen Begriff führt, sofern vorhanden, zu dessen Erklärung. Carsten Szardenings c.sz@wwu.de 7. Mai 2015 A 2 B 3 C 4 D 5 F 6 R 16 S 17 V 18 W 19 Z 20 H 7 I 8 K 9

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

GI Vektoren

GI Vektoren Vektoren Problem: Beispiel: viele Variablen vom gleichen Typ abspeichern Text ( = viele char-variablen), Ergebnisse einer Meßreihe ( = viele int-variablen) hierfür: Vektoren ( = Arrays = Feld ) = Ansammlung

Mehr

Eine kurze Einführung in scilab

Eine kurze Einführung in scilab Eine kurze Einführung in scilab 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 von Dr. Werner E. Schabert April 2009 Version 3.1 Universität Augsburg Inhaltsverzeichnis 1 Rechenoperationen und mathematische

Mehr

Vektoren. 2.1 Darstellung. Kapitel Subtraktion und Addition

Vektoren. 2.1 Darstellung. Kapitel Subtraktion und Addition Kapitel 2 Vektoren In diesem Kapitel werden wir im wesentlichen die verschiedenen Formen der Darstellung von Vektoren in MatLab sowie Verknüpfungen zwischen Vektoren betrachten. In letzterem Punkt ist

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation

Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1. Matrizen. Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen. Kapitel 2 Matrizenoperation . Inhaltsverzeichnis.............. Spezialgebiet Mathematik(Christian Behon ) 1 Matrizen Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen 1.2 Arten von Matrizen Kapitel 2 Matrizenoperation

Mehr

S. Bouattour, D. Paulus 21. Mai 2003

S. Bouattour, D. Paulus 21. Mai 2003 Einführung in GNU Octave S. Bouattour, D. Paulus 21. Mai 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Was ist Octave?........................................ 2 1.2 Installation..........................................

Mehr

k 5 Mathematische Vorlagen und die Vorlage für eine nxm-matrix mit dem Pfeilcursor bzw. dem Mauszeiger doppelt anklicken

k 5 Mathematische Vorlagen und die Vorlage für eine nxm-matrix mit dem Pfeilcursor bzw. dem Mauszeiger doppelt anklicken 25. Grundoperationen mit Vektoren In Schulbüchern werden Vektoren üblicherweise als Spaltenvektoren dargestellt. Darum werden in den Kapiteln 2530 Beispiele fast ausschliesslich mit Spaltenvektoren gerechnet,

Mehr

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2

Homogenität Assoziativgesetz A (B 1 + B 2 ) = A B 1 + A B 2 Distributivgesetz 1 (A 1 + A 2 ) B = A 1 B + A 2 B Distributivgesetz 2 1. Formatbedingungen der Matrixoperationen Die Addition (Subtraktion) A ± B verlangt gleiches Format der Operanden A und B. Das Ergebnis hat das Format der Operanden. Skalarmultiplikation λa: Es gibt keine

Mehr

Daniel Heibrock. Facharbeit Mathe. Matrizenrechnung mit dem Graphik- Taschenrechner fx-9750gii. Herr Bonertz M_L1 Q1

Daniel Heibrock. Facharbeit Mathe. Matrizenrechnung mit dem Graphik- Taschenrechner fx-9750gii. Herr Bonertz M_L1 Q1 Daniel Heibrock Facharbeit Mathe Matrizenrechnung mit dem Graphik- Taschenrechner fx-9750gii Herr Bonertz M_L1 Q1 Inhaltsverzeichnis Themenwahl und Schwerpunktsetzung...3 Einführung in die Matrizenrechnung...3

Mehr

Kurzeinführung LABTALK

Kurzeinführung LABTALK Kurzeinführung LABTALK Mit der Interpreter-Sprache LabTalk, die von ORIGIN zur Verfügung gestellt wird, können bequem Datenmanipulationen sowie Zugriffe direkt auf das Programm (Veränderungen der Oberfläche,

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Alexander Breuer Dipl-Math Dipl-Inf Jürgen Bräckle Dr-Ing Markus Kowarschik Numerisches

Mehr

Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlendarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB.

Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlendarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB. Logische Verknüpfungen. while-schleifen. Zahlarstellung auf dem Computer. Formatierung von Zahlen in MATLAB. Logische Verknüpfungen In der letzten Sitzung haben wir kennengelernt, wie wir Zahlen mit Operationen

Mehr

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

Programmieren in MATLAB Mehr als nur ein Taschenrechner

Programmieren in MATLAB Mehr als nur ein Taschenrechner Computational Physics 1, Seminar 02 Seite 1 Programmieren in MATLAB Mehr als nur ein Taschenrechner 1) Definition eigener Funktionen Anlegen eines neuen m-files im m-file-editor mit folgem Beispielinhalt:

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

Einstieg in die Informatik mit Java

Einstieg in die Informatik mit Java 1 / 26 Einstieg in die Informatik mit Java Felder, mehrdimensional Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 26 1 Überblick: mehrdimensionale Felder 2 Vereinbarung

Mehr

Matlab Einführung. Tobias Wunner

Matlab Einführung. Tobias Wunner Matlab Einführung Tobias Wunner 16. Oktober 2006 Vorteile Interpreter und interaktive Befehlseingabe Schnelles Implementieren von wissenschaftlichen Methoden Gutes Hilfesystem >> lookfor 'sum' TRACE Sum

Mehr

Lineare Algebra (Teil 1) (LinAlg_1.mw)

Lineare Algebra (Teil 1) (LinAlg_1.mw) Lineare Algebra (Teil 1) (LinAlg_1.mw) Neue MAPLE-Befehle: Vector, DotProduct, CrossProduct, Norm, Matrix, Row, Column, Transpose, Rank, Basis, Determinant, MatrixInverse, Eigenvalues, Eigenvectors. Wir

Mehr

Eine Kurzanleitung zu Mathematica

Eine Kurzanleitung zu Mathematica MOSES Projekt, GL, Juni 2003 Eine Kurzanleitung zu Mathematica Wir geben im Folgenden eine sehr kurze Einführung in die Möglichkeiten, die das Computer Algebra System Mathematica bietet. Diese Datei selbst

Mehr

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra & Analytischen Geometrie

Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra & Analytischen Geometrie Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 3: Modellieren & Angewandte Mathematik 3.1 Inhalte

Mehr

Blockmatrizen. Arthur Wettschereck. 11. April 2012, Bonn

Blockmatrizen. Arthur Wettschereck. 11. April 2012, Bonn Komplexe und transponierte 11. April 2012, Bonn Komplexe und transponierte 1 Definition Blockmatrix Doppelpunkt Notation 2 Addition Zeilen und Spaltenweise Multiplikation Blockmatrixmultiplikation 3 Herkömliche

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 9 Basiswechsel Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge

Mehr