Goniometrische Gleichungen

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1 EL / GS e_triggl.mcd Goniometrische Gleichungen Definition: Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen, nennt man "goniometrische Gleichungen". sweg: Mit Hilfe der Formeln der Formelsammlung Seite 38 bis 39 lässt sich in vielen Fällen eine zur gegebenen Gleichung äquivalente Gleichung finden, deren smenge unmittelbar angegeben werden kann. Durch die Vielfalt bei goniometrischen Gleichungen können nur für einfache ausgewählte Typen systematische Verfahren angegeben werden. Es sind dies z.b.: ( Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion ( Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen desselben Arguments (3 Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. /

2 Aufgabe : a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: sin( + sin( ID IR Ersetzen des Terms mit doppeltem Arg. mit Hilfe des Additionstheorems: Umformung von Einsetzen: Ausklammern: smenge Fall : sin( entwickeln, sin( cos( sin( + sin( cos( sin( ( + cos( sin( sin( auflösen, Standardwerte in [ ; π ] L : L : π L3 : π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : + cos( + cos( auflösen, 3 π Standardwerte in [ ; π ] L : 3 π L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k /

3 Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( + sin(.6..8 y - Achse Graph von f( : f( - Achse 3 /

4 Aufgabe : a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: Ausklammern: Umformung von Einsetzen: Vereinfachen: cos( 3 cos( sin( ID IR Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras: cos( cos( sin( sin( + cos( cos( cos( cos( ( cos( 3cos( smenge Fall : cos( cos( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π π L : Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : 3cos( 3cos( auflösen, acos 3 6 π acos 3 6 Standardwerte in [ ; π ] L acos 3 6 : L : L L3 π acos 3 6 : L3 : L 4 /

5 Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 π acos 3 6 : L4 ( k : L + kπ L4 : L4 L5 ( k : L4 + kπ L6 ( k : L4 + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k L5 ( k L6 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : cos( 3 cos( sin(.6..8 y - Achse Graph von f f( - Achse 5 /

6 Aufgabe 3: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (3: sansatz: Umformen liefert: quadratische Gleichung: sin( cos( ID IR Ersetzen des Terms mit doppeltem Argum. mit Hilfe des Additionstheorems: cos( sin( sin( sin( sin( + sin( Substitution: u sin( Einsetzen: u + u auflösen, u smenge Fall : sin( sin( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π L : L + π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : sin( sin( auflösen, 6 π Standardwerte in [ ; π ] L : 6 π L : L + π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ 6 /

7 Ausgabe der en: L ( k Probe: sin L ( k cos L ( k L ( k sin( L ( k cos L ( k L3 ( k sin( L3 ( k cos L3 ( k L ( k sin( L4 ( k cos L4 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( cos(.4.6. y - Achse Graph von f f( - Achse 7 /

8 Aufgabe 4: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: cos( + cos( ID IR Substitution und Lösen der quadratischen Gleichung. Substitution: u cos( u + u auflösen, u smenge Fall : cos( cos( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : π + kπ L ( k : π + kπ smenge Fall : cos( cos( auflösen, 3 π π Standardwerte in [ ; π ] L : 3 L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k /

9 Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : cos( + cos(.4.6. y - Achse Graph von f f( - Achse 9 /

10 Aufgabe 5: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sin( cos( ID IR sansatz: Substitution: Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras. cos( sin( Einsetzen: sin( sin( Quadrieren: sin( + sin( sin( Umformen liefert: sin( sin( Ausklammern: sin( ( sin( smenge Fall : sin( sin( auflösen, Standardwerte in [ ; π ] L : L : π L3 : π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : sin( sin( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ /

11 Ausgabe der en: L ( k Probe: sin L ( k cos( L ( k L ( k keine keine keine keine sin L ( k cos( L ( k L3 ( k sin L3 ( k cos( L3 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( cos(.5.5 y - Achse Graph von f : f( - Achse /

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