Goniometrische Gleichungen
|
|
- Artur Kaiser
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 EL / GS e_triggl.mcd Goniometrische Gleichungen Definition: Gleichungen, in denen die Variable als Argument von Winkelfunktionen vorkommen, nennt man "goniometrische Gleichungen". sweg: Mit Hilfe der Formeln der Formelsammlung Seite 38 bis 39 lässt sich in vielen Fällen eine zur gegebenen Gleichung äquivalente Gleichung finden, deren smenge unmittelbar angegeben werden kann. Durch die Vielfalt bei goniometrischen Gleichungen können nur für einfache ausgewählte Typen systematische Verfahren angegeben werden. Es sind dies z.b.: ( Gleichungen mit nur einer Winkelfunktion ( Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen desselben Arguments (3 Gleichungen mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente Beispiele dazu siehe auf den nächsten Seiten. /
2 Aufgabe : a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: sin( + sin( ID IR Ersetzen des Terms mit doppeltem Arg. mit Hilfe des Additionstheorems: Umformung von Einsetzen: Ausklammern: smenge Fall : sin( entwickeln, sin( cos( sin( + sin( cos( sin( ( + cos( sin( sin( auflösen, Standardwerte in [ ; π ] L : L : π L3 : π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : + cos( + cos( auflösen, 3 π Standardwerte in [ ; π ] L : 3 π L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k /
3 Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( + sin(.6..8 y - Achse Graph von f( : f( - Achse 3 /
4 Aufgabe : a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: Ausklammern: Umformung von Einsetzen: Vereinfachen: cos( 3 cos( sin( ID IR Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras: cos( cos( sin( sin( + cos( cos( cos( cos( ( cos( 3cos( smenge Fall : cos( cos( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π π L : Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : 3cos( 3cos( auflösen, acos 3 6 π acos 3 6 Standardwerte in [ ; π ] L acos 3 6 : L : L L3 π acos 3 6 : L3 : L 4 /
5 Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 π acos 3 6 : L4 ( k : L + kπ L4 : L4 L5 ( k : L4 + kπ L6 ( k : L4 + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k L5 ( k L6 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : cos( 3 cos( sin(.6..8 y - Achse Graph von f f( - Achse 5 /
6 Aufgabe 3: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (3: sansatz: Umformen liefert: quadratische Gleichung: sin( cos( ID IR Ersetzen des Terms mit doppeltem Argum. mit Hilfe des Additionstheorems: cos( sin( sin( sin( sin( + sin( Substitution: u sin( Einsetzen: u + u auflösen, u smenge Fall : sin( sin( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π L : L + π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : sin( sin( auflösen, 6 π Standardwerte in [ ; π ] L : 6 π L : L + π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ 6 /
7 Ausgabe der en: L ( k Probe: sin L ( k cos L ( k L ( k sin( L ( k cos L ( k L3 ( k sin( L3 ( k cos L3 ( k L ( k sin( L4 ( k cos L4 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( cos(.4.6. y - Achse Graph von f f( - Achse 7 /
8 Aufgabe 4: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sansatz: cos( + cos( ID IR Substitution und Lösen der quadratischen Gleichung. Substitution: u cos( u + u auflösen, u smenge Fall : cos( cos( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : π + kπ L ( k : π + kπ smenge Fall : cos( cos( auflösen, 3 π π Standardwerte in [ ; π ] L : 3 L : L Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ L4 ( k : L + kπ Ausgabe der en: L ( k L ( k L3 ( k L4 ( k /
9 Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : cos( + cos(.4.6. y - Achse Graph von f f( - Achse 9 /
10 Aufgabe 5: a Bestimmen Sie von der gegebenen Gleichung die maimale Definitions- und die smenge. b Veranschaulichen Sie die Ermittlung der smenge mit Hilfe der graphischen Darstellung von Funktionen Teilaufgabe a Gleichungstyp (: sin( cos( ID IR sansatz: Substitution: Reduzieren auf eine Winkelfunktion mit Hilfe des trigonom. Pythagoras. cos( sin( Einsetzen: sin( sin( Quadrieren: sin( + sin( sin( Umformen liefert: sin( sin( Ausklammern: sin( ( sin( smenge Fall : sin( sin( auflösen, Standardwerte in [ ; π ] L : L : π L3 : π Allgemeine : k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L ( k : L + kπ L ( k : L + kπ smenge Fall : sin( sin( auflösen, π Standardwerte in [ ; π ] L : π k:,.. k Z (k kann beliebig gewählt werden L3 ( k : L + kπ /
11 Ausgabe der en: L ( k Probe: sin L ( k cos( L ( k L ( k keine keine keine keine sin L ( k cos( L ( k L3 ( k sin L3 ( k cos( L3 ( k Teilaufgabe b Darstellung der goniometrischen Gleichung durch den Graph einer trigonometrischen Funktion: f( : sin( cos(.5.5 y - Achse Graph von f : f( - Achse /
Logarithmische Gleichungen
GS -.08.05 - g_loggl.mcd Logarithmische Gleichungen Definition: Eine Gleichung der Form log b ( ) = a mit > 0, a IR und b IR + \ {} heißt Logarithmusgleichung. Besondere Basen: Basis b = 0 heißt Dekadischer
MehrExponentialgleichungen
GS -.08.05 - f_epgl.mcd Eponentialgleichungen Definition: Eine Gleichung der Form b Definition: Die der Eponentialgleichung b Schreibweise: = log b ( a) Besondere Basen: = a mit a IR + und b IR + \ {}
MehrGleichungen höheren Grades
GS -.08.05 - c_hoeheregl.mcd Definition: Eine Gleichung der Form k = 0 heißt "Gleichung n-ten Grades". Gleichungen höheren Grades n a k k = 0 mit der Definitionsmenge ID IR und a n 0 Schreibweise: n k
MehrGrundlagen Algebra. Betragsgleichungen. Anschaulich kann man unter a die Maßzahl des Abstandes der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden verstehen.
GS -..5 - h_betragsgl.mcd Betragsgleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a die
MehrGrundlagen Algebra. Bruchgleichungen
Bruchgleichungen EL / GS -.0.05 - _Bruchgl.mc Definition: Eine Gleichung, bei er eine Variable x auch im Nenner vorkommt, ohne ass man sie kürzen kann, heißt Bruchgleichung. Bezeichnung: Gleichungen, ie
MehrLösung zur Übung 2. Lösung durch Ausrechnen Die Funktion lässt sich durch die Doppelwinkelfunktion des Sinus ausdrücken.
Lösung zur Übung Aufgabe 5 Berechnen Sie die kleinste Periode folgender Funktionen a) y(x) = sin(x) cos(x) Lösung durch Ausrechnen Die Funktion lässt sich durch die Doppelwinkelfunktion des Sinus ausdrücken.
MehrTeil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen
Brückenkurs Mathematik Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen Staatliche Studienakademie Leipzig Studienrichtung Informatik Dr. Susanne Schneider 12. September 2011 Bestimmungsgleichungen 1 Reelle Zahlen
MehrKosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation. 1-E Vorkurs, Mathematik
Kosinusfunktion: graphische Darstellung und Interpretation 1-E Vorkurs, Mathematik Kosinusfunktion: Erklärung der Aufgabe 1 Aufgabe 1: Zeichnen Sie die trigonometrische Kosinusfunktion g (x) = a cos x.
MehrWurzelgleichungen: Analytische und graphische Lösungen. 1-E Mathematik, Vorkurs
Wurzelgleichungen: Analytische und graphische Lösungen 1-E Mathematik, Vorkurs Wurzelgleichungen Definition: Gleichungen, bei denen die Variable im Argument einer Wurzelfunktion auftritt, heißen Wurzelgleichungen.
MehrBetragsungleichungen
GS -..5 - h_betragsungl.mcd Betragsungleichungen Definition: Betrag einer Zahl: a = a if a> if a = a if a< Betrag eines Terms: a b = ( a b) if a> b if a = b ( b a) if a< b Anschaulich kann man unter a
Mehrmathphys-online TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN y-achse x-achse Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x)
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 4 8 7 6 5 4 0 4 5 6 7 8 4 5 Graph von sin(x) Graph von cos(x) Graph von tan(x) x-achse Trigonometrische Funktionen Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Winkelfunktionen
MehrMultiplikation und Division in Polarform
Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin
MehrTrigonometrie. Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 29. Januar 2012 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 1 3.1 Warum Trigonometrie........................
Mehr6 Gleichungen und Gleichungssysteme
03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion
MehrÜbung 2 vom
Übung vom.0.04 Aufgabe 5 Gegeben ist die Gleichung sin(α) + sin(α + β) + sin(α + β) = 0 Für welches Argument β ist diese Gleichung für jedes α erfüllt? Wo findet diese Gleichung Anwendung in der Technik?
MehrAbiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion
Mehrmathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2007 Mathematik 13 Technik - A I - Lösung Teilaufgabe 1.0 x Gegeben ist die Funktion f a
Abiturprüfung Berufliche Oberschule 007 Mathematik 3 Technik - A I - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die Funktion f a mit f a ( ) ln mit a IR + und der maimalen Definitionsmenge D IR. a fa Teilaufgabe.
MehrTrigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion
Kapitel 6 Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion 6.1 Es seien a>0, b>0 und c IR. Man definiere f : IR IR durch f(x) =a sin(bx + c). Zeigen Sie, daß f die folgenden Eigenschaften hat. (i) f(x)
MehrFit für die Oberstufe Teil II - Gleichungen
Gleichungen gibt es in verschiedenen Varianten: lineare und quadratische Gleichungen. Müssen zwei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein, ergibt sich daraus ein Gleichungssystem. Lineare Gleichungen (1
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN
ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN Mathematische Gleichungen ergeben sich normalerweise aus einem textlichen Problem heraus. Hier folgt nun ein zugegebenermaßen etwas künstliches Problem:
MehrDemo: Mathe-CD KOMPLEXE ZAHLEN
KMPLEXE ZAHLEN Diese Datei gibt einige Seiten Einblick in die Serie Komplexe Zahlen, und, die gegen Zusatbestellung auf der CD u haben ist. Abonnenten erhalten sie automatisch. Datei Nr. 50000 Januar 00
MehrEin Experte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat.
Quadratische Gleichungen Ein Eperte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat. Niels Bohr Dänischer Physiker, 885-96. Ziele Am Ende dieses Kapitels kannst du quadratische
Mehr1.3 Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im x, y - Koordinatensystem
.0.0. Funktionen einer reellen Veränderlichen und ihre Darstellung im, - Koordinatensstem Vereinbarungen Wir betrachten vorerst nur noch Funktionen f, deren Definitionsund Wertebereich jeweils R oder ein
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
Mehrtextlichen Problem heraus. Hier folgt nun ein zugegebenermaßen etwas künstliches Problem :
Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Personen Mathematik 1 -Arbeitsblatt 11: GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN 1F Wintersemester 01/01 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Mathematische
Mehr02. Komplexe Zahlen. a = Re z ist der Realteil von z, b = Im z der Imaginärteil von z.
0. Komplexe Zahlen Da für alle x R gilt dass x 0, hat die Gleichung x +1 = 0 offenbar keine reellen Lösungen. Rein formal würden wir x = ± 1 erhalten, aber dies sind keine reellen Zahlen. Um das Problem
MehrMATHEMATIK K1. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte
MATHEMATIK K1 21.11.2013 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Punkte (max) 6 3 4 4 2 10 1 Punkte Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte Der GTR ist nur für die Lösung der Textaufgabe (und zur Kontrolle der andern) zugelassen.
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 4
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 4 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Sei z := exp ( π 6 i) (5 + b i). Für welches b R ist z eine reelle Zahl? (a) 1 (b) (c) 1 5 (d) 5 (e)
Mehr9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen
9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen. Unter dem Bogenmass eines Winkels versteht man die Länge des Winkelbogens von auf dem Kreis mit Radius (Einheitskreis).
Mehr1 GRUNDLAGEN 1.4 Massvorsätze und Zehnerpotenzen
GRUNDLAGEN.4 Massvorsätze und Zehnerpotenzen.4. Zehnerpotenzen Kommt in einem Produkt immer derselbe Faktor vor, so schreibt man das Produkt in der Potenzschreibweise. Zahlen in der Form 0 5 heissen Zehnerpotenzen.
Mehr42.Trigonometrie - Beziehungen
4.Trigonometrie - Beziehungen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen tan = cot = sin cos cos sin Aus 3a erhält man durch einfaches Formelumstellen die Hilfssätze 3b und 3c: 3 a tan cot= 3 b tan = cot
MehrMusterlösungen Lehrbrief 01 Technik (Mathematische Grundlagen) Seite 1 von 7
Musterlösungen Lehrbrief 0 Technik (Mathematische Grundlagen) Seite von 7 Bei diesen, wie auch bei allen folgenden Musterlösungen, zeigen wir in der egel nur einen Weg zum Ziel. Alle anderen Wege, die
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
MehrAbiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung
GS.6.6 - m6_3t-a_lsg_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( x) mit der Definitionsmenge D f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie
Mehr. Der Graph einer solchen Funktion wird mit G a. an und bestimmen Sie die Art der Definitionslücke. ID = IR \ { 2 a } 2 1 = 0 1 = 0 Widerspruch
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Technik - A I - Lösung Teilaufgabe.0 a Gegeben sind die reellen Funktionen f a ( ) mit a IR in der maimalen a Definitionsmenge D a. Der Graph einer solchen
MehrTrigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013
Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel
Mehrmathphys-online Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Aufgabe 1 Definition des Feldindex in Vektoren und Matrizen: ORIGIN 1
Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Definition es Felinex in Vektoren un Matrizen: ORIGIN Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit em Funktionsterm f( x) = x x, wobei x IR. a) Bestimmen
Mehr, das Symmetrieverhalten des Graphen von f a. und die Werte von a, für welche die Wertemenge von f a. die Zahl 1 enthält. a 2 x 2 vgl.
Abiturprüfung Berufliche Oberschule 00 Mathematik Technik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die Funktion f a ( ) a a mit a IR \ {0} in der von a unabhängigen Definitionsmenge D f IR \ {0}. Teilaufgabe.
MehrArbeitsblatt Gleichungen höheren Grades
Mathematik-Service Dr. Fritsch www.math-service.de Tel. 061/776 Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades 1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung! (a) x x + = 0 (b)
MehrKlausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen
Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen Yannick Schrör Christian Mielers. Februar 06 Ungleichungen Bestimme die Lösungen für folgende Ungleichungen. x+ > x + x + Fall : x, x + > x + 6 Lösung im
MehrTrigonometrie. Geometrie. Kapitel 3, 4 & 5. MNProfil - Mittelstufe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3, 4 & 5 MNProfil - Mittelstufe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 25. März 2019 Überblick über die bisherigen Geometrie - Themen: 1 Ähnlichhkeit 1.1
Mehr1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar
MehrSerie 4. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2015
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 05 Serie 4. Finden Sie die lokalen Extrema der Funktionen f : R R auf dem Einheitskreis S = {x, y R : x + y = } und geben Sie an, ob es sich um ein lokales Minimum
MehrAbiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen
Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
MehrLösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Es sei die Funktion f : [0, ) [0, ) definiert durch f(x) = ln(x + 1), wobei der Logarithmus ln zur Basis
MehrMATHEMATIK G9 LÖSEN VON GLEICHUNGEN
MATHEMATIK G9 LÖSEN VON GLEICHUNGEN Viele mathematische (und naturwissenschaftliche) Probleme lassen sich dadurch lösen, dass man eine Gleichung (oder auch mehrere) aufstellt und diese dann löst. Wir werden
MehrDiskussion einzelner Funktionen
Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,
MehrPotenzen, Wurzeln, Logarithmen
KAPITEL 3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 3.1 Funktionen und Umkehrfunktionen.............. 70 3.2 Wurzeln............................ 72 3.3 Warum ist a 2 + b 2 a + b?................. 73 3.4 Potenzfunktion........................
MehrMenge der irrationalen Zahlen C = {z z = a + bi; a, b R, i 2 = 1} Menge der komplexen Zahlen R C Somit ergibt sich: N N Z Q R C
1 Komplexe Zahlen 1.1 Übersicht N = {1, 2, 3,... } Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 N = {0, 1, 2, 3,... } Menge der natürlichen Zahlen mit 0 N N Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Menge der ganzen Zahlen
Mehr= mit der Definitionsmenge D f = IR \ { 1 ; 3 }.
Abiturprüfung Berufliche Oberschule 6 Mathematik 3 Technik - A II - Lösung Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( x) ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe. (
MehrExponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs
Exponentialgleichungen: Teil 1 1-E Mathematik, Vorkurs Exponentialgleichungen: Aufgaben 1, 2 Aufgabe 1: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze [ 36 2 3 6 ] : 1 3 6 ; [ 35 : 2 2 ] 3 2 5 3 Aufgabe 2: Fassen
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden
MehrDie Ableitung der trigonometrischen Funktionen Seite 1
Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen Seite 1 Kapitel mit 108 Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln 03 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (25 Aufgaben) 07 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 08 Level
MehrDifferentialrechung Ableitungen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
Differentialrechung Ableitungen er Sinus-, Kosinus- un Tangensfunktion Aufgabe a Gegeben ist ie Funktion f( mit IR. Gesucht ist ie Ableitungsfunktion. Bestimmen Sie ie Ableitungsfunktion graphisch mithilfe
MehrInhaltsverzeichnis: Lösungswege 5 E-BOOK+
1. Zahlen und Zahlenmengen Inhaltsverzeichnis: Lösungswege 5 E-BOOK+ kommentierte Linksammlung: Videos, Zeitungsartikel, Websites zum Thema Zahlen und S. 6 Zahlenmengen GeoGebra-Anleitung: Rechnen mit
MehrBerufliches Gymnasium Gelnhausen
Berufliches Gymnasium Gelnhausen Fachbereich Mathematik Die inhaltlichen Anforderungen für das Fach Mathematik für Schülerinnen und Schüler, die in die Einführungsphase (E) des Beruflichen Gymnasiums eintreten
MehrDie y Koordinate des Scheitelpunktes ist 0, der Scheitelpunkt liegt auf der x Achse, es gibt also genau eine Nullstelle.
Aufgabe 1 Schritt 1: Auswertung der Funktionsgleichung Die Parabel ist in der Scheitelpunktform angegeben. Öffnung a ist negativ, das heißt, die Parabel ist nach unten geöffnet. Scheitelpunkt Die Koordinaten
MehrWurzelgleichungen. 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? 1.2 Lösen einer Wurzelgleichung. 1.3 Zuerst die Wurzel isolieren
1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? Wurzelgleichungen Beispiel für eine Wurzelgleichung Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der in mindestens einem Radikanten (Term unter der Wurzel) die Unbekannte
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 25. Oktober 2016 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung Aufgabe
MehrMathematik = x 2 + x 2 = x + x 2 25x = 146 x =
1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 014 Mathematik 1 + Übung 1 Gleichungen mit Wurzeln Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass
MehrÜber das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2.
Aufgabe 1 Schritt 1: Skizze und Ansatz Über das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2. Da du außerdem das Verhältnis der Seitenlängen kennst,
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, WS 2017/18 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung Aufgabe
MehrAnalysis 1, Woche 3. Komplexe Zahlen I. 3.1 Etwas Imaginäres
Analysis, Woche 3 Komplexe Zahlen I A 3. Etwas Imaginäres Zusätzlich zu den reellen Zahlen führen wir das Symbol i ein und wir vereinbaren: i. Wir möchten die reellen Zahlen erweitern mit i. Das heißt,
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Komplexe Zahlen Lösungshinweise. Sei z = + i und z = i. Berechnen Sie z + z, z z, z z, z z, z /z, z + z, z z, z z, z
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
MehrPolynome und ihre Nullstellen
Polynome und ihre Nullstellen 29. Juli 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Explizite Berechnung der Nullstellen 2.1 Polynome vom Grad 0............................. 2.2 Polynome vom Grad 1.............................
MehrZahlen und Funktionen
Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen
MehrGLEICHUNGEN MIT PARAMETERN
Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden
MehrDie Kettenregel Seite 1
Die Kettenregel Seite 1 Kapitel mit 124 Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln 03 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (26 Aufgaben) 07 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 09 Aufgabenblatt 2 (34 Aufgaben) 11 Lösungen
MehrHTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Trigonometrie INHALTSVERZEICHNIS 1. WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKELIGEN DREIECK... 3. BOGENMASS... 3 3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL... 4 3.1. Einheitskreis (r =
MehrDiese Funktion ist mein Typ!
Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische
MehrMathematik Lösung KA Nr Seite 1
9.11.17 Seite 1 Pflichtteil (etwa 40 min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der TR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Es ist
MehrPolynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten
Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht
MehrSerie 6: Komplexe Zahlen
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrQuadratische Funktionen in Anwendung und Erweiterung des Potenzbegriffs
und Erweiterung des Potenzbegriffs Schnittpunkte von Graphen 1. Die Funktionsterme werden gleichgesetzt zur rechnerischen Bestimmung der Koordinaten gemeinsamer Punkte.. Von der entstehenden Gleichung
MehrCheck-1. (1/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: (WUL)
Check-1 (1/8) erstellt: 01.06.2017 (WUL); zuletzt geändert: 06.06.2017 (WUL) Nullstellen Nullstellen Die Punkte einer Funktion die die x-achse durchstoßen oder berühren nennt man Nullstellen. Sie haben
MehrAbitur Mathematik Baden-Württemberg 2012
Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik Grad n p(x) =a n x n + a n 1 x n 1 +...+ a 1 x + a 0 führender Koeffizient Absolutglied a n, a n 1,..., a 1, a 0... Koeffizienten a n = 1... normiertes Polynom
MehrAufgabe 1 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich. Vorsicht: Einige Terme können nicht weiter vereinfacht werden!
Bachelor Bauingenieurwesen Reto Spöhel Repetitionsblatt BMS-Stoff Mathematik Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen! Aufgabe 1 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich. Vorsicht:
MehrKomplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
MehrAbiturprüfung Mathematik 13 Technik A II - Lösung mit CAS
GS.6.6 - m6_3t-a_lsg_cas_gs.pdf Abiturprüfung 6 - Mathematik 3 Technik A II - Lösung mit CAS Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion f mit ( x ) mit der Definitionsmenge D ( x ) ( x 3) f IR \ { ; 3 }. Teilaufgabe.
MehrVorkurs der Ingenieurmathematik
Jürgen Wendeler 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Vorkurs der Ingenieurmathematik Mit 249 Aufgaben
MehrFunktionenlehre. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard
GRUNDWISSEN MATHEMATIK Funktionenlehre Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngmnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gmnasiums Gräfelfing J O H A N N
MehrLösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 10/ /2010 0hne Gewähr!
Lösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 0/ 009/00 0hne Gewähr!. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen; Terme a. Das Schaubild einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Setzt man in der Geradengleichung
MehrCrash-Kurs Komplexe Zahlen
1 Definitionen: j, C, z Im Körper R der reellen Zahlen besitzt die lineare Gleichung ax + b = 0 (a, bεr; a 0) stets eine Lösung. Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 führt zu der Lösungsformel
MehrQuadratische Gleichungen mit CAS
Quadratische Gleichungen mit CAS Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung mit dem CAS rechnerisch und grafisch. a) + 8 x + 2 = 3 x + 2 b) 5 4 x2 + 3 4 x = 2 c) 3 x2 4 x 2 = 0 2 In wird eine quadratische
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik Wozu braucht man den Logarithmus? Schallpegel (db) Schallintensität (W/m 2 ) 120 Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert 1 90 U-Bahn 10-3 60 PKW leise Unterhaltung
MehrStichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Symbole ( ) (Runde Klammern) 32, 66 (Betragszeichen) 32 (Multiplikations-Zeichen) 31 + (Plus-Zeichen) 31, 69 - (Minus-Zeichen) 31, 69 < (Kleiner-als-Zeichen) 33,
MehrSerie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
MehrEinführung in die Algebra
1 Einführung in die Algebra 1.1 Wichtige Formeln Formel Symbol Definition Wert Bedingungen n Fakultät n! k = 1 2 3 n n N Binomialkoeffizient Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Potenzen ( ) n k Definition
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)
Mehr4. Kommentar zu den trigonometrischen Formeln
Franz Gustav Kollmann: Transkription und Kommentare zu den von Musil im "Register -Heft notierten Formeln. Kommentar zu den trigonometrischen Formeln. Akademie der Wissenschaften und der Literatur Mainz
MehrAus dieser Darstellung lassen sich der Real- und Imaginärteil von z ablesen, man erhält. Re (z) = Im (z) = ,5 3 M 1. = y z x 2 + y 2.
Aufgabe (8 Punkte (a der Realteil von z +i 4 i zu bestimmen. z + i ( + i(4 + i + i 4 i + i.,5 Aus dieser Darstellung lassen sich der Real- und Imaginärteil von z ablesen, man erhält Re (z Im (z.,5 (b (b
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
MehrTeil 1: Trainingsheft für Klasse 7 und 8 DEMO. Lineare Gleichungen mit einer Variablen. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Stand 5.
ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1: Trainingsheft für Klasse 7 und 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 1140 Friedrich W. Buckel Stand 5. Januar 018 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Mehr