1.2.2 Prozentrechnung

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1 .2. Verhältsglechuge, Produktglechuge Ee Awedug vo leare Glechuge sd Verhälts- ud Produktglechuge Be Verhältsglechuge st das Verhälts zwsche zwe Varable kostat, z.b. hergestellte Stückzahl zu beötgter Zet. Be Produktglechuge st das Produkt vo zwe Varable kostat, z.b. gelestete Arbet = Azahl Arbeter mal verfügbare Zet. We be jeder Textaufgabe seht der Lösugsla be Verhälts- ud Produktglechuge we folgt aus:. Welches st de gesuchte Varable x? 2. Welche Varablewerte sd gegebe 3. Welche Zusammehäge bestehe zwsche de Varable? -> Aufstelle vo Glechug(e) 4. Auflöse der Glechug ach x mt Hlfe der m Katel. 3 gelerte Umformuge Löse Se de Übuge ud 2 m Übugsblatt Lese Se de Besele -5 Sete Löse Se de Übuge 2 ud 3 Sete 6 Falls Se sch cht scher fühle, so lese Se htt://schuelersete.ottotrebes.de/mathe/dresatz/roortoe.htm ud löse Se de Aufgabe zu de Proortoe Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block Prozetrechug Prozetrechuge sd ee Awedug der Verhältsglechuge. Es glt: Prozetsatz : % = Prozetwert : Grudwert : = w:g st der Prozetsatz, z.b. 2% g st der Grudwert, d.h. der Wert, welcher de % etsrcht, z.b. Fr. 2.- w st der Prozetwert, d.h. der Wert welcher dem Prozetsatz etsrcht z.b. w = Fr. 4.- be ee Prozetsatz vo 2% Sd zwe der dre Varable, w ud g gegebe, so köe Se de Formel lecht ach der drtte auflöse Aufgabe: Löse Se de Verhältsglechug ach g ud w auf g = w/; w = g / De Dvso durch lässt sch auf de meste Tascherecher mt Hlfe der %-Taste ausführe Übug: Fde Se heraus, we ma auf Ihrem Tascherecher % rechet am Besel vo 5% vo 25: z.b. 5*25 % oder 5*25= % Lese Se de Besele -5 auf Sete 37-38: gebe Se jewels, w ud g a Löse Se de Übug 4 auf Sete 6 Falls Se sch cht scher fühle, so lese Se htt://schuelersete.ottotrebes.de/mathe/prozetrechug/rozetrechug.htm ud löse Se de Aufgabe zur Prozetrechug der Klasse 7 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2-2-

2 .2.3 Zse Zsrechuge sd ee Awedug der Prozetrechug. Es glt: Zse : Afagskatal = Zsfuss : % z:k = : z st der Zs, z.b. Fr. 4.- K st das Afagskatal, z.b. Fr. 2. st der Zsfuss oder Zssatz, z.b. 2% Löse Se de Zs-Verhältsglechug ach z auf z = K We chts aderes gesagt wrd, so beträgt de Zserode e Jahr (er aum oder.a.). Ma srcht vom Jahreszs.m. bedeutet ro Moat. Ma srcht vom Moatszs Wrd e Katal cht e volles Jahr oder ee volle Moat agelegt, so wrd mt eem Tageszs gerechet. Deser beträgt: z = K d.h. das Jahr umfasst der Zsrechug ur 36 Tage. 36 t Der Zs für t Tage beträgt t-mal mehr: z = K 36 Be der Ermttlug der Zstage hat jeder Moat 3 Tage. Der erste Tag wrd cht gezählt, dafür der letzte. d.h. Zstage = 3-Starttag + 3*gaze Moate + Schlusstag Löse Se de Übug 3: Tageszse m Übugsblatt Lese Se das Besel 2 Sete 39 ud -3 Sete 4 Löse Se de Übuge 5-7 Sete 6 Falls Se sch cht scher fühle, so löse Se de Aufgabe zur Zsrechug Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2-3- Edkatal Edkatal = Afagskatal + Zse Nach eem Jahr st e Afagskatal vo K be eem Zssatz vo % agewachse auf:. K = K + K Mt Ausklammer vo K folgt: K = K ( + ) Der Faktor q = ( + ) hesst Aufzsugsfaktor Das Edkatal ach t Tage beträgt be eem Jahreszssatz vo %: t K = K ( + ) 36 Lese Se de 2 Besele auf Sete 4 Löse Se de Übug 4 m Übugsblatt Löse Se de Übug 8 auf Sete 6,6 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

3 .3. Summezeche Besel Sete 42: Der Jahresumsatz U ees Warehauses setzt sch aus de ezele Wocheumsätze u, u 2,, u 52 zusamme: U = u + u 2 + +u 52 Dese lage Summe lässt sch mt Hlfe des Summezeches komakter schrebe: U = 52 u = (gelese: Summe über alle u vo = bs 52) st der Summatosdex, de Summatosutergreze, 52 de Summatosobergreze Es st wchtg, dass Se ee Summeformel lese köe, verstehe (d.h. ausschrebe köe) ud der Lage sd, ee ausgeschrebee Summe mt Summezeche zusammezufasse. Ausschrebe eer Summe: Lese Se de Besele -7 Sete 43 obe Zusammefasse eer Summe: Lese Se de Besele -5 Sete 43 ute Löse Se de Übugsaufgabe 9 ud 2a) sowe 2 d)-g) Sete 6 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2-5- Recheregel für Summezeche Für Summezeche gelte de folgede Recheregel: (a + b ) = a + b ca = c = a c = c + c c = c für ee Kostate c für ee Kostate c Aber cht: a b = a Vergleche Se b 2 = a b = ab + a b 2 2 Falls Se sch cht scher fühle, so löse Se de Besele -6 für Summe ud 2 a + = = b = ( a + a2)( b b2) Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

4 .3.2 Arthmetsches Mttel Löse Se de Übugsaufgabe 5: Berechug der Durchschttote Das arthmetsche Mttel oder der Durchschtt vo Werte st de Summe der Werte dvdert durch de Azahl, d.h. x = ( x + x x ) = x = Löse Se de Übugsaufgabe 6: Durchschttlcher Verkaufsres vo Äfel Falls de ezele Werte cht alle glech wchtg sd, srcht ma vom gewogee arthmetsche Mttel. Jedem Wert wrd e relatves Gewcht zugeordet, dere Summe ergbt. Das gewogee arthmetsche Mttel st da defert als: x = = g x = g wobe de g Gewchtsfaktore sd. De Nutzwertaalyse st ee Awedug des gewogee arthmetsche Mttels. Se st e Verfahre für de Auswahl eer beste Lösug. Zuerst werde Bewertugsfaktore aufgestellt ud he Gewchte ach hrer Wchtgket zugeordet. Da werde für jede der möglche Lösuge de Bewertugsote gesetzt ud das gewogeearthmetsche Mttel berechet. De Lösug mt der höchste Durchschttsote st de beste. Löse Se de Übugsaufgabe 7: Nutzwertaalyse Lese Se de Besele -3 Sete 45,46 ud löse Se de Übug 2 Sete 6 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block Uglechuge: Verglech zweer Zahle Ee Zahl a ka mt eer zwete Zahl b verglche werde: a < b (gesroche a kleer b) a legt lks vo b auf der Zahlegerade a > b (gesroche a grösser b) a legt rechts vo b auf der Zahlegerade Hzu komme de Fälle: a b (gesroche a kleer-glech b) lks vo b oder glech a b (gesroche a grösser-glech b) rechts vo b oder glech a = b (gesroche a glech b) a ud b falle zusamme Löse Se de Übug 8 m Übugsblatt Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

5 .4. Uglechuge Werde eem Verglech de zwe Zahle durch zwe Terme T ud T 2 ersetzt, d.h. Ausdrücke mt Varable, so etsteht ee Uglechug. Das Glechhetszeche fällt weg (sost wäre es ja ee Glechug). Es blebe: T < T 2 ; T T 2 ; T > T 2 ud T T 2 für zwe Terme T ud T2. z.b., 2e x /x Ee Uglechug wrd gaz ählch gelöst we ee Glechug: Ma versucht, de Uglechug durch geegete Umformuge ee elemetare Form überzuführe, d.h. lks steht ur och de gesuchte Varable, aus der ma de Lösug drekt ablese ka. Löse Se de Übug 9 m Übugsblatt De Lösugsmege eer elemetare Uglechug, z.b. x 4 st: a) geometrsch: de Mege aller Pukte lks vo 4 auf der Zahlegerade klusve de 4 b) Umschrebe: de Mege aller reelle Zahle kleer oder glech 4 c) Als Mege: L = {x R x x 4} (gelese we b) Uglechuge sele der Ökoome ee grosse Rolle, z.b. be beschräkte Ressource. Im Besel Sete 387 hat de beschräkte Verfügbarket vo 24 Ehete des Rohstoffs K Efluss auf de herstellbare Mege x, x 2 ees Produktes, dargestellt durch de Uglechug: x +3x 2 24 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2-9- Erlaubte Umformuge We be Glechuge sd ur Umformuge erlaubt, welche de Lösugsmege cht veräder Löse Se de Übug m Übugsblatt Bem Löse eer Uglechug sd de folgede Umformuge erlaubt, d.h. se veräder de Lösugsmege cht: Addere oder Subtrahere derselbe Zahl auf bede Sete Bs.: x+2 > 5-2 x > 3 L ={x>3} Multlzere beder Sete mt derselbe ostve Zahl Bs.: x/3 5 3 x 5 L ={x 5} Multlzere beder Sete mt derselbe egatve Zahl ud Umkehre des Vorzeches Bs.: -x/3 > 5-3 x < -5 L ={x<-5} Dvdere beder Sete durch deselbe ostve Zahl Bs.: 5x < 5 :5 x < 3 L ={x<3} Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

6 Erlaubte Umformuge (2) Dvdere beder Sete durch deselbe egatve Zahl ud Umkehre des Zeches Bs.: -5x < 5 :-5 x > -3 L ={x>-3} Vertausche beder Sete ud Umkehre des Uglechhetszeches Bs.: 4 x x 4 L ={x 4} Lese Se das Besel Sete 54 mtte Löse Se de Übug 23 a) ud b) Sete 6 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2 -- Uglechuge mt Formvarable Be eer Glechug oder Uglechug köe ebst der gesuchte (U-)Glechugsvarable x och wetere Varable a, b, vorkomme, welche mest eem verallgemeerde Zweck dee. Dese hesse Formvarable. So lässt sch z.b. jede leare Uglechug durch erlaubte Umformuge de Form x < a brge oder x a, x > a oder x a. a st her cht gesucht, soder ee Formvarable, welche der Verallgemeerug det. Aus deser lässt sch ämlch jedem Fall sofort de Lösugsmege L= {x < a} ablese (bzw. {x a}, {x > a} oder {x a}) Be der Multlkato mt eem Term, der Formvarable ethält, oder eer Dvso durch ee solche Term, müsse jewels de Fälle Term > ud Term < uterschede werde, da ja m zwete Fall das Uglechugszeche umgekehrt werde muss. Das macht das Löse vo Uglechuge recht schwerg. Löse wr das Besel 2 Sete Be der Dvso durch (K+b) müsse de zwe Fälle (K+b) > ud (K+b) < uterschede werde ud m 2. Fall wrd das Uglechhetszeche umgedreht. Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

7 Efache Bruch-Uglechuge Bruch-Uglechuge sd Uglechuge, be dee de Varable auch m Neer vorkommt (sehe Besel 3 ud 4 Sete 55). Se werde gelöst, dem de Neer glechamg gemacht ud da bede Sete mt dem gemesame Hauteer multlzert werde. Da das Uglechhetszeche be der Multlkato mt eer egatve Zahl umgedreht werde muss, müsse wr de zwe Fälle Hauteer > ud Hauteer < uterschede ud m 2. Fall das Uglechhetszeche umgedreht werde. Wr müsse also de Frage kommede Lösugsmege der reelle Zahle utertele de zwe Telmege M : Hauteer > ud M 2 : Hauteer < Besel 3 Sete 55: bede Sete mt dem Hauteer 2x+2 multlzere 3x > M : Hauteer >, d.h. 22x+2 x + 2 >, d.h. 2x>-2 d.h. M ={x>-} M 2 : Hauteer <, d.h. 2x+2 <, d.h. 2x<-2 d.h. M ={x<-} M : Multlzere mt Hauteer, Uglechhetszeche blebt: 3x- > 2x+2-2x+ d.h. x>3 De Lösugsmege m. Fall L st de Schttmege der zwe Mege {x>3} ud {x>-} Also = L = {x>3} M 2 : Multlzere mt Hauteer, Uglechhetszeche umkehre: 3x- < 2x+2-2x+ ud somt x<3 De Lösugsmege m 2. Fall L 2 st de Schttmege der zwe Mege {x<-} ud {x<3} Also = L = {x<-} De gesamte Lösugsmege st de Veregug der 2 Fallmege: L = L L 2 also L = {x>3} oder {x<-} Lese Se de Besele 3 ud 4 Sete 55 Falls Se sch uscher fühle, so löse Se de de Aufgabe -48 Sete aus Kusch, Arthmetk ud Algebra Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block Betrag a (gelese a-betrag oder Betrag vo a) st der Abstad des Puktes a auf der Zahlegerade vom Nullukt (geometrsche Defto) a b a b E Abstad st mmer grösser oder glech Null, d.h. a Für a > glt a = a (rechts vo Nullukt st der Abstad detsch mt der Zahl) = (der Nullukt hat vo sch selbst de Abstad Null) Für a < glt a = -a (lks vo Nullukt st der Abstad detsch mt der etgegegesetzte ostve Zahl -a) Somt zusammegefasst: a für a a = { (mathematsche Defto) a für a < a-b = b-a st der Abstad zwsche a ud b auf der Zahlegerade. Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

8 Efache Betragsuglechuge Betrags-Uglechuge sd Uglechuge, be dee de Varable auch m Betragszeche vorkommt (sehe Besel Sete 57 ute). Wr müsse de zwe Fälle Ausdruck zwsche de Betragszeche > ud < uterschede ud m 2. Fall bem Weglasse des Betragszeches mt - multlzere (vergl. Defto des Betrags) Löse wr zusamme das Besel Sete 57 ute: x-2 4 Wr uterschede de zwe Fälle (x-2) ud (x-2)<, also M = {x 2} ud M 2 = {x<2}. Fall: Betragszeche weglasse: x x 6 ud somt Lösugsmege für de. Fall: L = {x 2} ud {x 6} = {2 x 6} 2. Fall: Betragszeche weglasse ud mt - multlzere: -(x-2) 4, d.h. x+2 4 +x-4-2 x ud somt Lösugsmege für de 2. Fall L 2 = {x<2} ud {x -2} = {-2 x<2} Ud zusamme: L = L oder L 2 = {-2 x 6} Allgeme glt: De Uglechuge x-a < c ud a-x < c habe deselbe Lösugsmege. Dese st dadurch defert, dass der Abstad zwsche a ud x kleer st als c. Für c> bedeutet das, dass x höchstes de Dstaz c vo a etfert st, d.h. de Lösugsmege für x st L = {ac < x < a+c}. Überrüfe Se de Rchtgket der Lösugsmege der Uglechug x-3 : L={2 x 4} durch Probere auf der Zahlegerade Für c< gbt es kee Lösuge, da jeder Betrag ja se muss Löse Se de Aufgabe aus Kusch, Arthmetk ud Algebra Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block 2-5- Uterlage Scrt Übuge zum Block2 Aufgabe vo Peter Meer zu de Proortoe Aufgabe zur Prozetrechug der Klasse 7 Aufgabe zur Zsrechug Besele für Summe Aufgabe -48 Sete zu Uglechuge aus Kusch, Arthmetk ud Algebra Ev. Aufgabe zu Betragsuglechuge aus Kusch, Arthmetk ud Algebra Kurztest2 Erest Peter Proädeutkum Mathematk für de Betrebsökoome, Block

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