Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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1 ARBEITSBLATT 7- Wahrscheinlicheitsverteilungen Lernziele: Wahrscheinlicheitsfuntion und Verteilungsfuntion disreter Verteilungen berechnen und zeichnen önnen. Dichtefuntion und Verteilungsfuntion stetiger Verteilungen berechnen und zeichnen önnen Erwartungswerte disreter und stetiger Verteilungen berechnen önnen. Wahrscheinlicheitsfuntion disreter Verteilungen Achsenbezeichnung:. Achse ist die x-achse, 2. Achse ist die Wahrscheinlicheits -Achse Beispiel: Würfeln mit einem fairen Würfel: Ω={,2,3,4,5,6} Die Zufallsgröße X sei die Augensumme, x sei der jeweilige Versuchsausgang. Die Wahrscheinlicheit für die Augensumme x schreiben wir als W(X=x). Weil alle Versuchsausgänge die Wahrscheinlicheit /6 haben önnen wir die Wahrscheinlicheitsfuntion leicht zeichnen (alle Werte auf der y-achse, besser W-Achse betragen /6): Wahrscheinlicheitsfuntion:

2 Beispiel: Mensch-ärgere dich nicht (man ann erst beginnen, wenn man einen 6er würfelt). Definition von X: X=, wenn der 6er erst beim -ten mal ommt. P(X=)= 6 (Wahrscheinlicheit für 6er beim. mal würfeln) 5 P(X=2)= (Wahrscheinlicheit für 6er erst beim 2. mal würfeln) P(X=3)= (Wahrscheinlicheit für 6er erst beim 3. mal würfeln) P(X=)= ( ) (Wahrscheinlicheit für 6er erst beim. mal würfeln) 6 6 Wahrscheinlicheitsfuntion: Bei stetigen Verteilungen ist die Angabe einer Wahrscheinlicheitsfuntion sinnlos, da das genaue Erzielen eines bestimmten Ereignisse die Wahrscheinlicheit Null besitzt (die Wahrscheinlicheit, eine Zahl in [3,4] genau zu erraten (auf unendlich viele Kommastellen genau ist nicht möglich, oder besser, unendlich unwahrscheinlich). Eine sehr übersichtliche Darstellung ist die Verteilungsfuntion F(x) einer disreten Verteilung 2

3 Verteilungsfuntion F(x) disreter Verteilungen F(x) = P(X=x oder X=x 2 oder X=x 3 oder X=x ), alle Wahrscheinlicheiten werden also summiert. Gute Schreibweise: F(x)= P( X = x i ) Beispiel: Würfeln mit einem fairen Würfel: Ω={,2,3,4,5,6} Verteilungsfuntion: 3

4 Beispiel: Mensch-ärgere dich nicht F(x)= P(X ) =P(X=)+P(X=2)+P(X=3)+..+P(X=) = ( ) = ( ) =- ( ) (Summe einer geometrischen Folge,wird in der Schulstunde erlärt) 6 Verteilungsfuntion: Eigenschaften von disreten Verteilungsfuntionen:. P(X a)=f(a) 2. P(X>a)=-F(a) 3. P(a<X b)=f(b)-f(a) (woher ennen wir das schon: Funtion an der oberen Grenze minus Funtion an der unteren Grenze?) 4

5 Dichtefuntion f(x) stetiger Verteilungen Bei stetigen Verteilungen wird die Wahrscheinlicheitsfuntion nun als (Wahrscheinlicheits-)Dichtefuntion f(x) bezeichnet. Wichtiger ist allerdings die Verteilungsfuntion F(x) stetiger Verteilungen Sie gibt die Wahrscheinlicheit an, dass eine Messgröße, die durch eine Dichtefuntion f(x) beschrieben wird, in einem Intervall [a,b] liegt. b Die Wahrscheinlicheit für P(a<X b)=f(b)-f(a)= f ( x) a Eigenschaften von stetigen Verteilungsfuntionen:. P(X a)=f(a)= f ( x) 2. P(X a)=-f(a)= a f ( x) 3. P(a X b)=f(b)-f(a)= f ( x) a b a 5

6 Übung: Eine Bergbaufirma geht von folgender- empirisch ermittelter- Dichtefuntion für den monatlichen Absatz eines seltenen Erzes aus (in g): 0,04x 0 x 5 f(x)= 0,4-0,04x 5<x 0 0 Sonst Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für: a. mehr als 5000 g verauft. Lösung: 0,5 b. Absatz zwischen 4000g und 6000 g. Lösung: 0,36 Übung: Die Lebensdauern von Solarzellen sei verteilt nach f(x) x 0 x,5 5 0 Sonst Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für: a. Lebensdauer >0 Jahre. Lösung:4,8% b. Lebensdauer zwischen 3 und 8 Jahren. Lösung: 42,8% c. Lebensdauer genau (auf die Minute genau)0 Jahre. Lösung ungefähr 0% Hierzu ein mathematischer Witz: Wie alt ist dieses Dinosaurierselett, Herr Museumswärter? 56 Millionen Jahre und 4 Tage. Wieso und 4 Tage? Nun, vor 4 Tagen habe ich hier mit der Arbeit begonnen, da war es schon 56 Millionen Jahre alt. 6

7 Erwartungswerte E(x) disreter und stetiger Verteilungen In der Statisti haben wir definiert: x n x n x n Mittelwert μ einer Datenmenge; μ = , n der Wert x ommt dabei n mal vor usw, n + n n =n, eine elegante Schreibweise lautet: n μ= x i i n In der Wahrscheinlicheitsrechnung definieren wir den Erwartungswert E(X) für disrete Verteilungen ähnlich: E(x)= xi P( X = x i ) die relativen Häufigeiten n i approximation die Wahrscheinlicheiten P ( X = xi ) n Beispiel: Würfeln mit einem fairen Würfel: Ω={,2,3,4,5,6} E(X)= ( ) = 3, 5 6 Hat man eine sogenannte Gewinnfuntion g(x), die jedem x i einen Gewinn (oder Verlust) zuordnet, so lautet der Erwartungswert einer Gewinnfuntion E(x)= g( xi ) P( X = x i ) Übung: Eine Versicherung versichert Maschinen, bei denen die Störungen A,B, und C mit den Wahrscheinlicheiten 0,0 sowie 0,5 sowie 0, auftreten. Die zu zahlenden Schadensbeträge lauten 5000,2000 und Berechnen Sie den Erwartungswert (der Gewinnfuntion). Lösung: 50 Übung: X sei die Augensumme beim Werfen 2er fairer Würfel. Berechnen Sie den Erwartungswert. Eventuell önnen Sie die Berechnung durch die Zeichnung der Wahrscheinlicheitsfuntion abürzen. Lösung:7 7

8 Den Erwartungswert E(x) einer stetigen Verteilung definieren wir mit Hilfe des Integrals: + E ( X ) = x f ( x) Den Erwartungswert E(G(x)) der Gewinnfuntion einer stetigen Verteilung wird definiert: + E ( X ) = g( x) f ( x) Einige Eigenschaften des Erwartungswerts einer stetigen Verteilung: E(X+c)=E(X)+c E(a X)=a E(X) E(a X+c)=a E(X)+c E(g(X)+c)=E(g(X))+c Beispiel: Tierarzt Eine seltene (p=0,06), nicht übertragbare Schweineranheit wird getestet wie folgt: Der Arzt verlangt 00 pro Blutuntersuchung, aus Kostengründen schlägt der Bauer vor, dass zuerst die Blutproben aller 5 Schweine eines Käfigs gemischt werden, erst wenn dieser Test positiv ist werden alle Blutproben auch einzeln untersucht. Disutieren Sie den Vorschlag des Bauern. Lösung: X Ergebnis der ersten Blutprobe x negativ x 2 positiv i = x i ) 00 alle gesund E(g( g(x))= g( x ) P( X g(x) 600 Mindestens ran 8

9 P(X=negativ)=0,94 5 P(X=positiv)= - 0, E(g(X))= 00 0, ( 0,94 ) 233 Angenommen, der Bauer hat 50 Schweine und möchte Sie möglichst gleichmäßig auf Käfige aufteilen. Wie teilt er die Schweine am besten auf, sodass die Kosten für die Blutuntersuchungen minimal sind: (x Tiere pro Käfig) Er berechnet das Minimum der E(g(X))-Funtion 50 x 0, ( x + ) 00 ( 0,94 x ) (Begründung?) x mit Geogebra oder einem Computeralgebraprogramm (viel Spass sonst!) zu 4,64 er wird also 5 Schweine pro Käfig halten um die Kosten zu minimieren. 9