Finanzierung Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes

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1 Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes von Sommersemester 2010

2 Grundlegendes zur Investitionstheorie Jedes Investitionsprojekt kann abstrakt als eine zeitliche Verteilung von Cash-Flows betrachtet werden. Zeitpunkt Cash In /Out Flow Eine Investition, die mit einer Auszahlung beginnt und in den Folgeperioden nur noch Einzahlungen erwirtschaftet wird Normalinvestition genannt ( es gibt nur einen Vorzeichenwechsel im Cashflow-Profil ). Die Beträge dürfen nicht direkt miteinander addiert werden: Verzicht auf Kapital heute ist nicht kostenlos. Der Preis des Geldes ist der Zinssatz.

3 Grundlegendes zur Investitionstheorie Zinssatz: Prozentualer Betrag eines verliehenen Kapitalbetrages. Üblicherweise in Dezimalschreibweise notiert. Zinsfaktor: 1 + Zinssatz Einfache Verzinsung (Simple Interest) Zinsen, die nur auf den ursprünglichen Anlagebetrag verdient werden. Zinseszins (Compound Interest) Zinsen, die auf Zinsen verdient werden.

4 Grundlegendes zur Investitionstheorie Endwert (Future Value) Betrag, auf den eine Investition einschließlich Zinsen nach einer bestimmten Zeit (üblicherweise das zeitliche Ende der mit der Investition verbundenen Unternehmung) anwächst. Barwert (Present Value) Wert, den eine zukünftige Zahlung heute besitzt Mithilfe der Zinsrechnung können Endwerte in Barwerte und umgewandelt werden.

5 Endwerte (Future Values) Beispiel zur einfachen Verzinsung und Berücksichtigung von Zinseszinsen Zinsen, die auf eine für 5 Jahre angelegte Summe von 100 bei 6% Zinsen verdient werden. Zeitpunkt Cashflow Wert der Anlage bei einfacher Verzinsung Wert der Anlage bei Berücksichtigung von Zinseszinsen ,36 119, , ,822558

6 Endwerte (Future Values) Der Endwert bzw. Futurevalue von $100 errechnet sich unter Berücksichtigung von Zinseszinsen gemäß: FV$100 (1+r) ) t Siehe Beispiel: FV $100 (1 +.06) 5 $

7 Endwerte bei Zinseszins 7000 Zinssätze: FV of $ % 5% 10% 15% Endwerte nach 30 Jahren 0% 100 5% 432, % 1744, % 6621, Number of Years

8 Der Verkauf der Insel Manhattan Peter Minuit kaufte 1626 Manhattan Island für $24 von den dort lebenden Indianern. Um zu beantworten, ob sich das Geschäftgelohnt lh hat, muss man den Ed Endwert der 24 $ im Jahr 2003 berechnen. Unterstellt werden 8% jährlicher Zinssatz. 377 FV $24 (1 +.08) $ Probleme: Finde den richtigen Zinssatz und berücksichtige spätere Cashflows.

9 Barwerte (Present Values) Barwert: Der heutige Wert eines zukünftigen Geldbetrages. Diskontierungsrate: Zinssatz, der benutzt wird um den Barwert zukünftiger Zahlungen zu errechnen. Diskontierungsfaktor: Der Barwert von 1$ zukünftiger Zahlung PV Wert nach t (1 + - r) Perioden t

10 Present Values Beispiel Sie haben heute einen neuen Computer gekauft. Die Zahlungsbedingungen sehen vor, dass sie in 2 Jahren 3000 bezahlen müssen. Wie viel Geld müssen sie heute anlegen, um bei einem Zinssatz von 8% die in zwei Jahren fällige Zahlung aufzubringen? PV (1.08) $2,572

11 Present Values Diskontierungsfaktoren Der Diskontierungsfaktor (DF) multipliziert mit dem Futurevalue eines Cashflows ergibt seinen Presentvalue. Er hängt von der Zeitspanne und dem Zinssatz ab. DF 1 (1+r) t

12 Der Zeitwert von Geld (Time Value of Money) Die Barwertformel hat viele Anwendungen. Hat man die Angaben bis auf eine, kann man die Gleichung nach der verbliebenen Variablen lösen. PVFV 1 (1+r) t

13 Barwert mehrfacher Kapitalströme Beispiel Ihr Autohändler gibt Ihnen die Wahl, ob sie $15,500 heute bar zahlen, oder drei Zahlungen machen mit $8,000 jetzt und jeweils $4,000 am Ende der folgenden zwei Jahre. Wenn Sie ihr Geld 8% kostet, was werden sie bevorzugen? 8,000 PV 0 Zahlungheu te PV PV 1 2 4,000 ( ) 1 4,000 ( ) Total PV 2 3, , $15, ( ) 8,000

14 Barwert mehrerer Geldzahlungen Barwerte können addiert werden, um so den Wert mehrerer Geldzahlungen zu bewerten. Barwerte müssen natürlich auf den selben Zeitpunkt bezogen sein! PV C 1 + C (1+r) 1 (1+r) 2

15 Sonderfälle des Cashflow-Profils: Ewige Renten und Annuitäten(Perpetuities & Annuities) Ewige Rente (Perpetuity): Ein Strom von gleichen, äquidistanten Geldzahlungen, der niemals endet. Annuität (Annuity): Ein gleichmäßiger Strom von Geldzahlungen für eine begrenzte Anzahl von Perioden.

16 Perpetuities & Annuities Annahme: Sie zahlen heute 100 auf ein Tagesgeldkonto ein und bekommen 3% Zinsen p.a. Solange Sie das Kapital nicht abziehen, erhalten Sie jedes Jahr 3. Bankinsolvenz, Zinsänderungen ausgeschlossen. Die 100 können dann bei einem Zinssatz von 3% p.a. als Barwert einer ewigen Rente von 3 interpretiert werden. Daher ergibt sich der Barwert einer ewigen Rente als: PV C r C Geldzahlung (cash payment) r Zinssatz (interest rate )

17 Perpetuities & Annuities Beispiel Ewige Rente Um eine Vermögensausstattung zu erzielen, die ewig $100, pro Jahr erzielt, muss wieviel Geld heute zur Seite gelegt werden, wenn der Zinssatz 10% beträgt? PV 100, $1,000,000

18 Perpetuities & Annuities Fortsetzung des Beispiels Wenn die erste Zahlung der ewigen Rente erst in drei Jahren von heute an gerechnet beginnen soll, wieviel Geld muss man dann heute beiseite legen? PV 1,000,000 $751,315 ( ) 3

19 Perpetuities & Annuities Der Barwert einer Annuität ergibt sich wie folgt: Zeitpunkt PV der ewigen Rente PV einer verzögerte n ewigen Rente PV der Annuität [ PV C 1 1 r r (1+ r ) t ] Der r PV PV PV C r C r( 1+ r) 3 C C r r( 1 + r ) Barwert einer Annuität ergibt sich wie folgt: C Geldzahlung (cash payment) Zinssatz (interest rate) t Anzahl der Jahre, in der die Geldzahlung anfällt 3

20 Perpetuities & Annuities Barwert Annuitätsfaktor (PV Annuity Factor (PVAF)): Der Barwert von einem Dollar pro Jahr für jedes von t Jahren. [ ] PVAF 1 r 1 r(1+ r ) t

21 Perpetuities & Annuities Beispiel Annuität: Sie kaufen ein neues Auto. Sie müssen drei jährlich gleichhohe Zahlungen von $4,000 pro Jahr entrichten. Wie hoch ist der Preis / Barwert des Autos bei einem Zinssatz von 10% heute? PV 4, PV $ 9, [ ] ( ) 3

22 Perpetuities & Annuities Beispiele für Anwendungen der Formel: Wert von Zahlungen Implizite Zinssätze für eine Annuität Berechnung von periodischen Zahlungen Hypothekenkredite (Mortgage payment) Jährliche Einnahmen aus einer Investition Der Endwert von jährlichen Zahlungen FV [ C PVAF ] (1+ r) t

23 Perpetuities & Annuities Beispiel: der Endwert von jährlichen Zahlungen Sie planen 20 Jahre lang jedes Jahr $4,000 zu sparen, um dann in den Ruhestand zu treten. Bei einem Zinssatz von 10%, wie hoch wird der Wert ihres Konto sein, wenn sie sich in 20 Jahren zur Ruhe setzen? 1 FV 4,000 1 [ ] ] ( ) (1+.10 ) 20 FV $229, (1 10 ) 20

24 Annuitäten und ewige Renten In Deutschland hatten sich die Begriffe etabliert: Annuität * Rentenbarwertfaktor Barwert Annuität Wiedergewinnungsfaktor * Barwert Annuität * Endwertfaktor Endwert Endwert * Tilgungsfaktor Annuität ACHTUNG: Bislang haben wir nachschüssige Cash-Flows betrachtet. Bei direkter / vorschüssige Zahlungskonsequenz muss jede Zahlung mit 1+r multipliziert werden (annuity due!)

25 Inflation Inflation Rate, zu der die Preise in einer Volkswirtschaft / in einem Währungsraum ansteigen. Nominale Zinsrate Rate, mit der das investierte Geld nominal wächst. Reale Zinsrate Rate, mit der die Kaufkraft des investierten Geldes wächst. Es besteht ein Zusammenhang zwischen nominaler und realer Zinsrate! Dieser wurde von I.Fisher zur Erklärung des Fisher- Effektes formuliert:

26 Inflation 1 + realinterest rate 1+nominalinterest rate 1+inflationrate Approximation: 1+R Realer Zinssatz 1+N Nominaler Zinssatz (erwartete) tt)iflti Inflationsratet Dr. Tobias Effertz

27 Inflation Beispiel i Wenn der Zinssatz für einjährige Regierungsschuldverschreibungen 5.0% beträgt und die Inflationsrate ist 2.2%, wie hoch ist dann die reale Verzinsung? 1 + real interest rate real interest rate real it interest t rate.027 or 27% 2.7% Approximation i or 28% 2.8% Dr. Tobias Effertz

28 Effektiver Zinssatz Effektiver Jahreszins (Effective Annual Interest Rate): Jahresverzinsung unter Zinseszins-Berücksichtigung gder periodenbezogenen Einzelzinsen Beispiel: 1% pro Monat 1,01^12 Effektiver Jahreszins 12,68% Annual Percentage Rate Jahreszinssatz ohne Berücksichtigung von Zinseszinseffekten. (US-Besonderheit) Beispiel 1% pro Monat 12%

29 Effektiver Zinssatz Insbesondere Kreditinstitute haben zusätzlich die Möglichkeit durch das sog. Agio (Aufgeld) bzw. Disagio (auch Damnum) die effektive Verzinsung einer Forderung/Kredit zu steuern. Kreditinstitute sind dazu verpflichtet, zum Schutze der Gläubiger/Anleger/Kreditnehmer den effektiven Zinssatz anzugeben bzw. auszuweisen, um eine (mögliche) Fehlorientierung der Anleger/Kreditnehmer zu vermeiden. 492 I,5 BGB

30 Effektiver Zinssatz Durch eine häufigere Verzinsung kann ebenfalls der effektive Zinssatz geändert werden:

31 Beispiel Effektiver Jahreszins Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe von 5000, der in 24 Monatsraten à 217,82 zu tilgen ist. Wie hoch ist der Monatszins und der effektive Zwei- Jahreszins.

32 Beispiel Effektiver Jahreszins 2 Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe von 5000, der in 24 Monatsraten à 217,82 zu tilgen ist. Als effektiver Jahreszins sind 4,4% angegeben. Wie hoch ist der Monatszins und der effektive Zwei-Jahreszins. 1 1, , , , Die monatliche Verzinsung beträgt 0,3594 %, der effektive Zweijahrszins liegt bei 8,9936. Der Endwert Liegt bei 5449,68.

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