Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind.

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1 6 Kombinatori := := 8i, _IntegerD := 8<D, 8n - <DDD KombinationenOhneWiederholungAlt@n_Integer, 1D := Table@8i<, 8i, 1, n<d KombinationenOhneWiederholungAlt@n_Integer, _IntegerD := Flatten@Map@Table@Append@, id, 8i, Last@ D + 1, n<d &, KombinationenOhneWiederholungAlt@n, - 1DD, 1D KombinationenMitWiederholung@1, _IntegerD := 88<< KombinationenMitWiederholung@n_Integer, _IntegerD := Flatten@Table@Map@Append@, id &, KombinationenMitWiederholung@n - 1, - idd, 8i, 0, <D, 1D KombinationenMitWiederholungAlt@n_Integer, 1D := Table@8i<, 8i, 1, n<d KombinationenMitWiederholungAlt@n_Integer, _IntegerD := Flatten@Map@Table@Append@, id, 8i, Last@ D, n<d &, KombinationenMitWiederholungAlt@n, - 1DD, 1D VariationenOhneWiederholung@n_Integer, _IntegerD := Flatten@Map@Permutations, KombinationenOhneWiederholungAlt@n, DD, 1D VariationenMitWiederholung@n_Integer, _IntegerD := Distribute@Table@Table@i, 8i, 1, n<d, 8<D, ListD Bei Laplace-Experimenten läuft die Berechnung der Wahrscheinlicheit eines Ereingisses A Œ W auf die Berechnung der Mächtigeit der Mengen A und W hinaus. Oft handelt es sich bei diesen Mengen W dabei um Mengen, welche in der Kombinatori bereits beannt sind. Wir werden uns in diesem Abschnitt daher mit einigen Grundmengen der Kombinatori befassen, diese Mengen genau definieren, aufzeigen, in welchem Zusammenhang sie auftreten und Mathematica-Befehle ennen lernen, mit denen sich diese Mengen erzeugen lassen. 6.1 Permutationen ohne Wiederholung Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind Permutationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Anordnung von n paarweise verschiedenen Dingen nennt man eine Permutation ohne Wiederholung von n Dingen. Die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen entspricht der Menge W=88x 1, x 2,, x n < x 1, x 2,, x n œ81, 2,, n< paarweise verschieden< Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dabei die Anordnung "auf dem ersten Platz liegt das Ding mit der Nummer x 1, auf dem zweiten Platz liegt das Ding mit der Nummer x 2,, auf dem n-ten Platz liegt das Ding mit der Nummer x n ". Jede mögliche Verteilung von n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne genau eine Kugel gelangt, ann als Permutation ohne Wiederholung von n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dabei

2 2 06_Kombinatori.nb 1 2 n die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x 1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x 2 -te Urne,, die n-te Kugel gelangt in die x n -te Urne" Satz: Für die Menge W aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen gilt W = n! Die Zahl n! lässt sich dabei mit dem Befehl Factorial (oder urz n!) aufrufen. Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 8x 1, x 2,, x n <œw bilden lassen: Für x 1 gibt es n Möglicheiten; ist x 1 gewählt, so bleiben für x 2 noch Hn-1L Möglicheiten übrig; sind x 1 und x 2 gewählt, so bleiben für x 3 noch Hn- 2L Möglicheiten übrig; ; sind x 1, x 2,, x n-1 gewählt, so bleibt für x n noch eine einzige Möglicheit übrig. Es gibt also insgesamt n µhn- 1L µ µ 2 µ 1 = n! derartige Listen. Beispielsweise lassen sich 50 Bücher wegen N@50!D auf etwa µ10 64 verschiedene Arten anordnen. Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen erzeugen (da die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen bereits für leine n riesig groß ist, sollte dieser Befehl nur für n<10 verwendet werden):

3 06_Kombinatori.nb 3 à PermutationenOhneWiederholung@nD erzeugt die Menge aller Permutationen ohne Wiederholung von n Dingen. Beispielsweise gilt PermutationenOhneWiederholung@4D 881, 2, 3, 4<, 81, 2, 4, 3<, 81, 3, 2, 4<, 81, 3, 4, 2<, 81, 4, 2, 3<, 81, 4, 3, 2<, 82, 1, 3, 4<, 82, 1, 4, 3<, 82, 3, 1, 4<, 82, 3, 4, 1<, 82, 4, 1, 3<, 82, 4, 3, 1<, 83, 1, 2, 4<, 83, 1, 4, 2<, 83, 2, 1, 4<, 83, 2, 4, 1<, 83, 4, 1, 2<, 83, 4, 2, 1<, 84, 1, 2, 3<, 84, 1, 3, 2<, 84, 2, 1, 3<, 84, 2, 3, 1<, 84, 3, 1, 2<, 84, 3, 2, 1<< 6.2 Permutationen mit Wiederholung Bei Permutationen mit Wiederholung geht es um das Anordnen von n=n 1 + n 2 + +n Dingen, welche mit den Zahlen 1, 1,, 1, 2, 2,, 2,,,,, n 1 mal n 2 mal n mal nummeriert sind. Dinge, welche die gleiche Nummer zugewiesen beommen, sind dabei als identisch anzusehen Permutationen mit Wiederholung: Jede mögliche Anordnung von n=n 1 + n 2 + +n Dingen, von denen jeweils n 1 bzw n 2 bzw bzw n Dinge identisch sind, nennt man eine Permutation mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen. Die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen entspricht der Menge W=88x 1, x 2,, x n < x 1, x 2,, x n œ81, 2,, < wobei jeweils n s der x i gleich s sind< Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dabei die Anordnung "auf dem ersten Platz liegt das Ding mit der Nummer x 1, auf dem zweiten Platz liegt das Ding mit der Nummer x 2,, auf dem n-ten Platz liegt das Ding mit der Nummer x n ". Jede mögliche Verteilung von n=n 1 +n 2 + +n Kugeln auf Urnen, bei der in die s-te Urne genau n s Kugeln gelangen, ann als Permutation mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dann die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x 1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x 2 -te Urne,, die n-te Kugel gelangt in die x n -te Urne" Satz: Für die Menge W aller Permutationen mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen gilt W = Hn 1 + n 2 + +n L! n 1! n 2! n! Die Zahl Hn 1 + n 2 + +n L! lässt sich dabei mit dem Befehl Multinomial aufrufen. n 1! n 2! n! Beweis: Aus Satz folgt, dass sich n paarweise verschiedene Dinge auf n! verschiedene Arten anordnen lassen. Damit lassen sich n 1 +n 2 + +n Dinge an sich auf Hn 1 +n 2 + +n L! Arten anordnen. Da aber jeweils n 1, n 2,, n dieser Dinge identisch sind, sind nur

4 4 06_Kombinatori.nb Hn 1 + n 2 + +n L! n 1! n 2! n! dieser Hn 1 +n 2 + +n L! Anordnungen tatsächlich voneinander verschieden. Beispielsweise lassen sich die Buchstaben des Wortes SEEREISE wegen Multinomial@2, 4, 1, 1D 840 auf 840 verschiedene Arten anordnen.

5 06_Kombinatori.nb 5 Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen erzeugen (man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für leine Werte von n 1, n 2,, n und sinnvoll ist): à PermutationenMitWiederholung@8n 1, n 2,, n <D erzeugt die Menge aller Permutationen mit Wiederholung von n 1, n 2,, n Dingen. Beispielsweise gilt PermutationenMitWiederholung@82, 1, 2<D 881, 1, 2, 3, 3<, 81, 1, 3, 2, 3<, 81, 1, 3, 3, 2<, 81, 2, 1, 3, 3<, 81, 2, 3, 1, 3<, 81, 2, 3, 3, 1<, 81, 3, 1, 2, 3<, 81, 3, 1, 3, 2<, 81, 3, 2, 1, 3<, 81, 3, 2, 3, 1<, 81, 3, 3, 1, 2<, 81, 3, 3, 2, 1<, 82, 1, 1, 3, 3<, 82, 1, 3, 1, 3<, 82, 1, 3, 3, 1<, 82, 3, 1, 1, 3<, 82, 3, 1, 3, 1<, 82, 3, 3, 1, 1<, 83, 1, 1, 2, 3<, 83, 1, 1, 3, 2<, 83, 1, 2, 1, 3<, 83, 1, 2, 3, 1<, 83, 1, 3, 1, 2<, 83, 1, 3, 2, 1<, 83, 2, 1, 1, 3<, 83, 2, 1, 3, 1<, 83, 2, 3, 1, 1<, 83, 3, 1, 1, 2<, 83, 3, 1, 2, 1<, 83, 3, 2, 1, 1<< 6.3 Kombinationen ohne Wiederholung Bei Kombinationen ohne Wiederholung geht es um das Auswählen von n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf (Ziehen ohne Zurüclegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, eine Bedeutung hat Kombinationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von n Dingen aus n Dingen, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, eine Bedeutung hat, nennt man eine Kombination ohne Wiederholung von aus n Dingen. Die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen entspricht der Menge W = 88x 1, x 2,, x n < x 1, x 2,, x n œ80, 1< mit x 1 + x x n = < Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dabei die Auswahl "es werden genau jene Dinge iœ81, 2,, n< ausgewählt, für die x i = 1 ist" Satz: Für die Menge W aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen gilt W =K n O Die Zahl K n O lässt sich dabei mit dem Befehl Binomial aufrufen. Beweis: Wir zeigen diese Aussage durch vollständige Indution nach n und bemeren dazu zunächst, dass 880, 0,, 0<< = 1=K n+1 O und 881, 1,, 1<< = 1=K n+1 0 n+1 O n+1 mal n+1 mal gilt. Der springende Punt unseres Indutionsbeweises liegt nun darin, dass für alle œ81, 2,, n< offenbar 88x 1, x 2,, x n, x n+1 < x 1, x 2,, x n, x n+1 œ80, 1< mit x 1 + x x n + x n+1 = <= =88x 1, x 2,, x n, 0< x 1, x 2,, x n œ80, 1< mit x 1 + x x n = <

6 6 06_Kombinatori.nb 1 2 n 1 2 n 1 2 n 88x 1, x 2,, x n, 1< x 1, x 2,, x n œ80, 1< mit x 1 + x 2 + +x n = - 1< gilt, wobei es sich dabei um eine disjunte Vereinigung handelt. Wegen der Indutionsannahme gilt damit 88x 1, x 2,, x n, x n+1 < x 1, x 2,, x n, x n+1 œ80, 1< mit x 1 + x x n + x n+1 = < = =K n O+K n - 1 O=Kn+1 O Beispielsweise gibt es beim Lotto "6 aus 45" wegen Binomial@45, 6D genau verschiedene Möglicheiten für einen Sechser. Kombinationen ohne Wiederholung lassen sich auch noch auf eine andere Weise darstellen: Kombinationen ohne Wiederholung (alternative Darstellung): Die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen entspricht auch der Menge W alt = 88x 1, x 2,, x < x 1, x 2,, x œ81, 2,, n< mit x 1 < x 2 < < x < Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw beschreibt dabei die Auswahl "es werden das x 1 -te, das x 2 -te, und das x n -te Ding ausgewählt".

7 06_Kombinatori.nb 7 Mit den folgenden Befehlen lässt sich die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen erzeugen (man beachte wieder, dass diese Befehle nur für leine Werte von n und sinnvoll sind): à KombinationenOhneWiederholung@n, D erzeugt die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen. à KombinationenOhneWiederholungAlt@n, D erzeugt die alternative Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen. Beispielsweise gilt KombinationenOhneWiederholung@6, 3D 881, 1, 1, 0, 0, 0<, 81, 1, 0, 1, 0, 0<, 81, 1, 0, 0, 1, 0<, 81, 1, 0, 0, 0, 1<, 81, 0, 1, 1, 0, 0<, 81, 0, 1, 0, 1, 0<, 81, 0, 1, 0, 0, 1<, 81, 0, 0, 1, 1, 0<, 81, 0, 0, 1, 0, 1<, 81, 0, 0, 0, 1, 1<, 80, 1, 1, 1, 0, 0<, 80, 1, 1, 0, 1, 0<, 80, 1, 1, 0, 0, 1<, 80, 1, 0, 1, 1, 0<, 80, 1, 0, 1, 0, 1<, 80, 1, 0, 0, 1, 1<, 80, 0, 1, 1, 1, 0<, 80, 0, 1, 1, 0, 1<, 80, 0, 1, 0, 1, 1<, 80, 0, 0, 1, 1, 1<< KombinationenOhneWiederholungAlt@6, 3D 881, 2, 3<, 81, 2, 4<, 81, 2, 5<, 81, 2, 6<, 81, 3, 4<, 81, 3, 5<, 81, 3, 6<, 81, 4, 5<, 81, 4, 6<, 81, 5, 6<, 82, 3, 4<, 82, 3, 5<, 82, 3, 6<, 82, 4, 5<, 82, 4, 6<, 82, 5, 6<, 83, 4, 5<, 83, 4, 6<, 83, 5, 6<, 84, 5, 6<< Man beachte dabei, in welcher Weise einander die beiden Listen entsprechen. 6.4 Kombinationen mit Wiederholung Bei Kombinationen mit Wiederholung geht es um das Auswählen von Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf (Ziehen mit Zurüclegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, eine Bedeutung hat Kombinationen mit Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von Dingen aus n Dingen, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, eine Bedeutung hat, nennt man eine Kombination mit Wiederholung von aus n Dingen. Die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen entspricht der Menge W = 88x 1, x 2,, x n < x 1, x 2,, x n œ80, 1,, < mit x 1 + x x n = < Die Liste 8x 1, x 2,, x n <œw beschreibt dabei die Auswahl "das erste Ding wird x 1 mal, das zweite Ding wird x 2 mal,, das n-te Ding wird x n mal ausgewählt" Satz: Für die Menge W aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen gilt W =K n+- 1 O Die Zahl K n+- 1 O lässt sich dabei mit dem Befehl Binomial aufrufen. Beweis: Wir bezeichnen für diesen Beweis die Menge aller Kombinationen ohne Wiederholung von aus n Dingen

8 8 06_Kombinatori.nb mit C n und die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen mit D n. Aus der Tatsache, dass die Abbildung f : D n Ø Cn+-1 mit f@8x 1, x 2,, x n <D=81, 1,, 1, 0, 1, 1,, 1, 0,, 0, 1, 1,, 1< x 1 mal x 2 mal xn mal offenbar bijetiv ist, folgt aus Satz unmittelbar D n = Cn+-1 =K n+- 1 O Werden beispielsweise bei einer Übung mit n = 8 Teilnehmern diese Teilnehmer insgesamt = 20 mal zufällig aufgerufen, so gibt es dafür wegen Binomial@ , 20D genau verschiedene Möglicheiten. Kombinationen mit Wiederholung lassen sich auch noch auf eine andere Weise darstellen:

9 06_Kombinatori.nb Kombinationen mit Wiederholung (alternative Darstellung): Die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen entspricht auch der Menge W alt = 88x 1, x 2,, x < x 1, x 2,, x œ81, 2,, n< mit x 1 x 2 x < Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw beschreibt dabei die Auswahl "es werden das x 1 -te, das x 2 -te, und das x -te Ding ausgewählt". Mit den folgenden Befehlen lässt sich die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen erzeugen (man beachte wieder, dass diese Befehle wieder nur für leine Werte von n und sinnvoll sind): à KombinationenMitWiederholung@n, D erzeugt die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen. à KombinationenMitWiederholungAlt@n, D erzeugt die alternative Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von aus n Dingen. Beispielsweise gilt KombinationenMitWiederholung@4, 3D 883, 0, 0, 0<, 82, 1, 0, 0<, 81, 2, 0, 0<, 80, 3, 0, 0<, 82, 0, 1, 0<, 81, 1, 1, 0<, 80, 2, 1, 0<, 81, 0, 2, 0<, 80, 1, 2, 0<, 80, 0, 3, 0<, 82, 0, 0, 1<, 81, 1, 0, 1<, 80, 2, 0, 1<, 81, 0, 1, 1<, 80, 1, 1, 1<, 80, 0, 2, 1<, 81, 0, 0, 2<, 80, 1, 0, 2<, 80, 0, 1, 2<, 80, 0, 0, 3<< KombinationenMitWiederholungAlt@4, 3D 881, 1, 1<, 81, 1, 2<, 81, 1, 3<, 81, 1, 4<, 81, 2, 2<, 81, 2, 3<, 81, 2, 4<, 81, 3, 3<, 81, 3, 4<, 81, 4, 4<, 82, 2, 2<, 82, 2, 3<, 82, 2, 4<, 82, 3, 3<, 82, 3, 4<, 82, 4, 4<, 83, 3, 3<, 83, 3, 4<, 83, 4, 4<, 84, 4, 4<< Man beachte wieder, in welcher Weise einander die beiden Listen entsprechen. 6.5 Variationen ohne Wiederholung Bei Variationen ohne Wiederholung geht es um das Auswählen von n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf (Ziehen ohne Zurüclegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist Variationen ohne Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von n Dingen aus n Dingen, wobei jedes einzelne Ding höchstens einmal ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, wesentlich ist, nennt man eine Variation ohne Wiederholung von aus n Dingen. Die Menge aller Variationen von aus n Dingen ohne Wiederholung entspricht der Menge W = 88x 1, x 2,, x < x 1, x 2,, x œ81, 2,, n< paarweise verschieden< Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw beschreibt dabei die Auswahl "beim ersten Zug wird das x 1 -te Ding, beim zweiten Zug wird das x 2 -te Ding,, beim -ten Zug wird das x -te Ding ausgewählt". Jede mögliche Verteilung von n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne höchstens eine Kugel gelangen darf, ann als Variation ohne Wiederholung von aus n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw

10 10 06_Kombinatori.nb beschreibt dabei die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x 1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x 2 -te Urne,, die -te Kugel gelangt in die x -te Urne" Satz: Für die Menge W aller Variationen ohne Wiederholung von aus n Dingen gilt W = n! Hn- L! Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 9x 1, x 2,, x =œw bilden lassen: Für x 1 gibt es n Möglicheiten; ist x 1 gewählt, so bleiben für x 2 noch Hn-1L Möglicheiten übrig; sind x 1 und x 2 gewählt, so bleiben für x 3 noch Hn- 2L Möglicheiten übrig; ; sind x 1, x 2,, x -1 gewählt, so bleiben für x noch Hn-+ 1L Möglicheiten übrig. Es gibt also insgesamt nhn-1l Hn-+ 1L= derartige Listen. n! Hn-L!

11 06_Kombinatori.nb 11 Sollen beispielsweise =6 Kugeln so auf n=9 Urnen verteilt werden, dass in jede Urne höchstens eine Kugel gelangt, so gibt es dafür wegen 9!êH9-6L! genau verschiedene Möglicheiten. Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Variationen ohne Wiederholung von aus n Dingen erzeugen (man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für leine Werte von n und sinnvoll ist): à VariationenOhneWiederholung@n, D erzeugt die Menge aller Variationen ohne Wiederholung von aus n Dingen. Beispielsweise gilt VariationenOhneWiederholung@4, 3D 881, 2, 3<, 81, 3, 2<, 82, 1, 3<, 82, 3, 1<, 83, 1, 2<, 83, 2, 1<, 81, 2, 4<, 81, 4, 2<, 82, 1, 4<, 82, 4, 1<, 84, 1, 2<, 84, 2, 1<, 81, 3, 4<, 81, 4, 3<, 83, 1, 4<, 83, 4, 1<, 84, 1, 3<, 84, 3, 1<, 82, 3, 4<, 82, 4, 3<, 83, 2, 4<, 83, 4, 2<, 84, 2, 3<, 84, 3, 2<< 6.6 Variationen mit Wiederholung Bei Variationen mit Wiederholung geht es um das Auswählen von Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf (Ziehen mit Zurüclegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist Variationen mit Wiederholung: Jede mögliche Auswahl von Dingen aus n Dingen, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgewählt werden darf und wobei die Reihenfolge, in der diese Dinge ausgewählt werden, wesentlich ist, nennt man eine Variation mit Wiederholung von aus n Dingen. Die Menge aller Variationen mit Wiederholung von aus n Dingen entspricht der Menge W = 88x 1, x 2,, x < x 1, x 2,, x œ81, 2,, n<< Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw beschreibt dabei die Auswahl "beim ersten Zug wird das x 1 -te Ding, beim zweiten Zug wird das x 2 -te Ding,, beim n-ten Zug wird das x n -te Ding ausgewählt". Jede mögliche Verteilung von n Kugeln auf n Urnen, wobei in jede Urne auch mehrere Kugeln gelangen dürfen, ann als Variation mit Wiederholung von aus n Dingen interpretiert werden. Die Liste 8x 1, x 2,, x <œw beschreibt dabei die Verteilung "die erste Kugel gelangt in die x 1 -te Urne, die zweite Kugel gelangt in die x 2 -te Urne,, die -te Kugel gelangt in die x -te Urne" Satz: Für die Menge W aller Variationen mit Wiederholung von aus n Dingen gilt W = n Beweis: Wir überlegen, auf wieviele Arten sich Listen 8x 1, x 2,, x <œw bilden lassen: Für jedes der Elemente

12 12 06_Kombinatori.nb x 1, x 2,, x gibt es n Möglicheiten. Also gibt es insgesamt n derartige Listen. Sollen beispielsweise = 6 Kugeln auf n=9 Urnen verteilt werden, wobei in jede Urne auch mehrere Kugel gelangen dürfen, so gibt es dafür wegen

13 06_Kombinatori.nb genau verschiedene Möglicheiten. Mit dem folgenden Befehl lässt sich die Menge aller Variationen mit Wiederholung von aus n Dingen erzeugen (man beachte wieder, dass dieser Befehl nur für leine Werte von n und sinnvoll ist): à VariationenMitWiederholung@n, D erzeugt die Menge aller Variationen mit Wiederholung von aus n Dingen. Beispielsweise gilt VariationenMitWiederholung@4, 3D 881, 1, 1<, 81, 1, 2<, 81, 1, 3<, 81, 1, 4<, 81, 2, 1<, 81, 2, 2<, 81, 2, 3<, 81, 2, 4<, 81, 3, 1<, 81, 3, 2<, 81, 3, 3<, 81, 3, 4<, 81, 4, 1<, 81, 4, 2<, 81, 4, 3<, 81, 4, 4<, 82, 1, 1<, 82, 1, 2<, 82, 1, 3<, 82, 1, 4<, 82, 2, 1<, 82, 2, 2<, 82, 2, 3<, 82, 2, 4<, 82, 3, 1<, 82, 3, 2<, 82, 3, 3<, 82, 3, 4<, 82, 4, 1<, 82, 4, 2<, 82, 4, 3<, 82, 4, 4<, 83, 1, 1<, 83, 1, 2<, 83, 1, 3<, 83, 1, 4<, 83, 2, 1<, 83, 2, 2<, 83, 2, 3<, 83, 2, 4<, 83, 3, 1<, 83, 3, 2<, 83, 3, 3<, 83, 3, 4<, 83, 4, 1<, 83, 4, 2<, 83, 4, 3<, 83, 4, 4<, 84, 1, 1<, 84, 1, 2<, 84, 1, 3<, 84, 1, 4<, 84, 2, 1<, 84, 2, 2<, 84, 2, 3<, 84, 2, 4<, 84, 3, 1<, 84, 3, 2<, 84, 3, 3<, 84, 3, 4<, 84, 4, 1<, 84, 4, 2<, 84, 4, 3<, 84, 4, 4<<