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1 ie Kombiatori beschäftigt sich mit der Zusammestellug vo lemete eier Mege. s werde 2 Kugel ohe Zurüclege aus zwei Ure gezoge. ie erste Ure ethält 3 Kugel ; ; ud die zweite Ure 2 Kugel ;. ie erste Kugel wird aus der 1-te Ure ud die zweite Kugel aus der 2-te Ure gezoge. Wieviele verschiedee usgagsmöglicheite gibt es isgesamt bei diese 2 Ziehuge? s gibt verschiedee Möglicheite. Satz: Multipliatiosregel der uswahl Seie r verschiedee Mege 1 ; 2 ;. ; r gegebe, die jeweils 1 ; 2 ;. ; r Objete ethalte, ud es werde jeweils ei Objet aus de r Mege gewählt, so gibt es die folgede zahl uterschiedlicher usgagsmöglicheite: 1 2 r ie homogee Müze wird 3-mal geworfe. Wieviele usgagsmöglicheite gibt es? 1

2 " # $ %& ' # Wie viele Möglicheite gibt es 3 verschiedee Kugel:, ud auf verschiedee rte auf 3 Plätze azuorde? s gibt also 6 Möglicheite, 3 verschiedee Kugel auf 3 verschiedee Plätze azuorde. '# Wie viele Möglicheite gibt es 5 verschiedee Kugel:,,, ud auf verschiedee rte azuorde? 5 Möglicheite 4 4 Möglicheite 3 3 Möglicheite (# Für die Kugel gibt es 5 Möglicheite diese auf 5 verschiedee Plätze azuorde. ((# Für die Kugel gibt es 4 Möglicheite diese auf die 4 übrige Plätze azuorde. (((# ()# )# Für die Kugel gibt es also ur eie Möglicheit diese auf de eizig übrige Platz azuorde. lso gibt es Möglicheite diese 5 Kugel azuorde. 2

3 Satz : Permutatioe vo Objete die alle uterschiedlich sid Seie uterschiedliche Objete gegebe, da gibt es mögliche Reihefolge ( - auch Permutatioe geat - ), diese Objete azuorde. abei ist: 1 2 ( 1 ) $%&* ' # Wie viele Möglicheite gibt es 4 Kugel:,, ud vo dee 3 idetisch sid, auf verschiedee rte auf 4 Plätze azuorde? s gibt also 4 Möglicheite diese 4 Kugel, vo dee 3 idetisch sid auf 4 verschiedee Plätze azuorde. '# Wie viele Möglicheite gibt es 5 Kugel:,,, ud vo dee 3 idetisch sid auf verschiedee rte auf 5 Plätze azuorde? (# zahl der verschiedee ordugsmöglicheite, we die 5 Kugel alle uterschiedlich wäre, lautet: ((# zahl der Vertauschugsmöglicheite für 3 idetische Kugel lautet: Vertauschuge lso gibt es: azuorde. Möglicheite diese 5 Kugel 3

4 Wie viele Möglicheite gibt es 5 Kugel:,,, ud, vo dee 3 bzw. 2 uter eiader idetisch sid, auf verschiedee rte azuorde? 5 s gibt: 3 2 azuorde ( ) ( 1 2 ) 10 Möglicheite diese 5 Kugel 3 2 Vertauschuge Vertauschuge Satz: Permutatio vo Objete, die icht alle uterschiedlich sid Seie Objete gegebe, so gibt es folgede zahl vo ordugsmöglicheite: ) falls, aus de Objete, Objete utereiader idetisch sid. ) ( ) falls, aus de Objete, Objete utereiader idetisch ud die restliche ( ) ebefalls utereiader idetisch sid. ) 1 2 r falls, aus de Objete, jeweils 1 ; 2 ;..... ; r der Objete utereiader idetisch sid r 4

5 ) +, I eier Ure befide sich 3 Kugel ; ; es werde ohe Zurüclege 2 Kugel gezoge. # Gebe Sie alle mögliche uswahlmöglicheite bei erücsichtigug der Reihefolge der gezogee Kugel a. # Gebe Sie alle mögliche uswahlmöglicheite ohe erücsichtigug der Reihefolge der gezogee Kugel a. -' # I eier Ure befide sich 4 uterschiedliche Kugel. uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel Ohe Zurüclege ziehe, we die Reihefolge der Ziehug berücsichtig werde soll? ei der 1-te Ziehug eier Kugel gibt es 4 verschiedee Kugel zur uswahl. ei der 2-te Ziehug eier Kugel gibt es ur och 3 verschiedee Kugel zur uswahl. ei der 3-te Ziehug eier Kugel gibt es ur och 2 verschiedee Kugel zur uswahl. lso a ma auf mögliche rte 3 uterschiedliche Kugel aus eier Ure mit 4 Kugel ziehe. 5

6 -'# I eier Ure befide sich 4 uterschiedliche Kugel. uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel Ohe Zurüclege ziehe, we die Reihefolge der Ziehug eie Rolle spielt (Ohe erücsichtigug der Reihefolge)? a aus de 24 orduge, 24 ( ;...; ) ; ( ;...; ) ; ( ;...; ) ; ( ;...; ) 3 6 ohe erücsichtigug der Reihefolge jeweils 3 6 die gleiche ordug darstelle, so reduziert sich die zahl der uswahlmöglicheite. Folglich a ma 3 uterschiedliche 24 Kugel aus eier Ure mit 4 Kugel auf 4 mögliche rte ziehe. 6 Satz: Variatioe ud Kombiatioe Ohe Wiederholug: Gegebe seie verschiedee Objete. a gibt es folgede zahl vo Möglicheite für die uswahl (Ziehug) vo Objete Ohe Wiederholug (Ohe Zurüclege) : ) ( 1 ) ( 2 ) ( + 1 ) V ( ) falls die uswahl (Ziehug) der Objete Mit erücsichtigug der Reihefolge erfolge soll. ) ( 1 ) ( 2 ) ( + 1 ) ( ) falls die uswahl (Ziehug) der Objete Ohe erücsichtigug der Reihefolge erfolge soll. - Löse Sie das vorige eispiel (sp. 4) mit Hilfe der Formel im obige Satz. I eier Ure befide sich 4 uterschiedliche Kugel. Wir ziehe ohe Zurüclege acheiader 3 Kugel aus der Ure. # uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel ziehe, we die Reihefolge der Ziehug wichtig ist? # uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel ziehe, we die Reihefolge der Ziehug eie Rolle spielt? 6

7 a) V (, 3 ) b) (, 3) ( 4 3 ) ( 4 3) ,. I eier Ure befide sich 3 uchstabe ; ; es werde mit Zurüclege 2 uchstabe gezoge. # Gebe Sie alle uswahlmöglicheite bei erücsichtigug der Reihefolge der gezogee uchstabe a. # Gebe Sie alle uswahlmöglicheite ohe erücsichtigug der Reihefolge der gezogee uchstabe a.. I eier Ure befide sich 4 uterschiedliche Kugel. Wir ziehe Mit Zurüclege acheiader 3 Kugel aus der Ure. # uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel ziehe, we die Reihefolge der Ziehug berücsichtig werde soll? # 7

8 ei der 1-te Ziehug eier Kugel gibt es 4 verschiedee Kugel zur uswahl. ei der 2-te Ziehug eier Kugel gibt es wieder 4 verschiedee Kugel zur uswahl. ei der 3-te Ziehug eier Kugel gibt es wieder 4 verschiedee Kugel zur uswahl. lso a ma auf ³ 64 mögliche rte 3 uterschiedliche Kugel aus eier Ure mit 4 Kugel ziehe. # uf wie viele rte lasse sich 3 Kugel Mit Zurüclege ziehe, we die Reihefolge der Ziehug eie Rolle spielt (Ohe erücsichtigug der Reihefolge)? # ieser Fall ist etwas ompliziert. Wir verwede hierfür ohe egrüdug die Formel aus dem folgede Satz. Satz: Variatioe ud Kombiatioe Mit Wiederholug: Gegebe seie verschiedee Objete. a gibt es folgede zahl vo Möglicheite für die Ziehug (uswahl) vo Objete Mit Zurüclege (Mit Wiederholug): ) V ( ; ) mal falls die uswahl (Ziehug) der Objete Mit erücsichtigug der Reihefolge erfolge soll. ) ( + 1 ; ) ( + 1 ) ( 1 ) falls die uswahl (Ziehug) der Objete Ohe erücsichtigug der Reihefolge erfolge soll. / Löse Sie das sp. 5b) mit Hilfe der Formel im obige Satz. 8

9 ) + $ %& sp.: Ziehe vo 2 uchstabe aus eier Ure mit 3 uchstabe ; ; uswahl vo Objete aus verschiedee Objete: Ohe Zurüclege ( Wiederholug) Ohe Zurüclege ( Wiederholug) Mit Reihefolge Ohe Reihefolge Variatioe Ohe Wiederholug: Kombiatioe Ohe Wiederholug: V ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) { ; ; ; ; ; } Mit Zurüclege ( Wiederholug) Mit Reihefolge Variatioe Mit Wiederholug: { ; ; } Mit Zurüclege ( Wiederholug) Ohe Reihefolge Kombiatioe Mit Wiederholug: ( ; ) V { ; ; ; ; ; ; ( + 1 ; ) ( + 1 ) ( 1 ) ; ; } 0 ordug vo Objete, die alle uterschiedlich sid vo dee Objete utereiader idetisch sid. uswahl vo Objete Ohe Wiederholug (Zurüclege) aus uterschiedliche Objete, mit erücsichtigug der Reihefolge der Objete ( ) { ; ; ; ; ; } vo dee Objete utereiader idetisch sid ud die restliche ( ) Objete auch utereiader idetisch sid. ohe erücsichtigug der Reihefolge der Objete ( ) ( ) vo dee jeweils 1, 2,... r Objete utereiader idetisch sid. 1 uswahl vo Objete Mit Wiederholug (Zurüclege) aus uterschiedliche Objete, mit erücsichtigug der Reihefolge der Objete 2 ohe erücsichtigug der Reihefolge der Objete ( ) + 1 ( 1 ) r 1 : > ordug vo Objete auf verschiedee Plätze, we alle Objete uterschiedlich sid we alle Objete idetisch sid. ( ) ( ) 9

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