4. Kombinatorik *) In der Kombinatorik werden drei wichtige Symbole benötigt: o n! o (n) k o

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Anna Färber
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1 *) Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment wirkt zunächst einfach. Man muss einfach die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilen. Das Feststellen dieser Anzahl ist jedoch nicht immer einfach. Mit der Abzählung der möglichen Fälle beschäftigt sich die Kombinatorik. In der Kombinatorik werden drei wichtige Symbole benötigt: o n! o (n) k o n k *) Das Kapitel folgt dem Skript Statistik (Prof.Baumgarten FBMN h-da ) 1

2 4.1 Fakultät Definition Fakultät n! Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen wird mit bezeichnet: n! = n ( lies n Fakultät ) = n (n-1) (n-2) 2 1. mit n N. 0! = 1 : Zusätzlich wird 0! = 1 festgelegt. Für sehr große Werte von n existiert eine gute Näherung, die Sterling sche Näherungsformel n n! n 2 π n e lg(n!) 1 lg( 2π n ) + n lg ( n ) 2 e 2 2

3 4.1 Fakultät Vergleich: n! exakt berechnet mit der Sterling schen Näherung n n! Sterling Abweichung 0 1 0, ,00% 1 1 0,922 7,81% 2 2 1,919 4,07% 3 6 5,835 2,75% ,500 2,08% ,989 1,68% ,898 1,40% ,133 1,21% ,280 1,06% ,726 0,95% ,310 0,85% ,061 0,78% ,545 0,72% ,007 0,66% ,525 0,62% ,810 0,58% 3

4 4.1 Fakultät Bemerkung: Neben n! existiert auch x! mit der Bildungsvorschrift x! = x (x-1) (x-2) μ(x) = Γ (x) ( Eulersche Gammafunktion) mit x R und Γ(x) der Wert der Gammafunktion von x, für den nicht ganzzahligen Rest von x. Beispiel: Γ (5,3) = 5,3 4,3 3,3 2,3 1,3 Γ (0,3) Γ (0,3) kann man über gelistete Integral berechnen oder über Wertetafeln durch Interpolation bestimmen. 4

5 4.1 Fakultät Manchmal wird nur das Produkt der k < n größten Zahlen benötigt. n k = n (n-1) (n-2) (n-k+1) Für n = k ergibt sich wieder n!. Außerdem gilt n k = n! k! (= n k k! k! = n (n 1) (n 2) (n k+1) k! k! ) Genauso wichtig sind die sogenannten Binomialkoeffizienten.. 5

6 4.2 Binomialkoeffizienten Definition: Seien n und k beliebige nichtnegative ganze Zahlen, dann ist der Binomialkoeffizient n k folgenden Ausdruck definiert n k = n k k! Für k=0 wird n k Es gelten folgende Regeln: o n k = n! = n k! n k! n k o n 1 = n o n n = 1 (lies: n über k ) durch = n (n 1) (n 2) (n k+1) k! = n 0 = 1 gesetzt. o n k + n k + 1 = n + 1 k

7 4.2 Binomialkoeffizienten Anwendungsbeispiele: Pascalsches Dreieck der Binomische Lehrsatz (a + b) n = a n + n 1 an 1 b 1 + n 2 an 2 b n n 1 a1 b n 1 +b n 7

8 4.3 Multiplikationsprinzip In der Kombinatorik geht es um die Anordnung und Auswahl von Objekten aus einer vorgegebenen Menge und die Bestimmung der Anzahl aller Möglichkeiten. Das wichtigste Prinzip ist das Multiplikationsprinzip. Gegeben seien zwei endliche Mengen M und N mit m bzw. n Elementen, dann gibt es m n Paare (x,y) mit x M und y N. Das liegt daran, dass man jedem x M jeweils alle y N zuordnen kann. Seien etwa M = { a, b} und N = {1,2,3}, so gibt es die 2 3 Paare (a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3). Dieses Ergebnis lässt sich auf mehr als zwei Mengen übertragen. 8

9 4.3 Multiplikationsprinzip Beispiel: Ein Betrieb habe vier Abteilungen mit 8, 12, 9 bzw. 10 Mitarbeitern. Jede Abteilung darf genau ein Mitglied des Betriebsrats stellen. Dann gibt es = mögliche Zusammensetzungen für den Betriebsrat. 9

10 4.4 Permutation Die Veränderung einer Anordnung nennt man Permutation. Beispiel: Wir wählen ein, zwei oder drei Formen: 1: 1 1 = 1 2: 1 2 = 2 3: 2 3 = 6 Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen ist n! ( lies n Fakultät ). Das liegt daran, dass man zur Auswahl des ersten Elements n Möglichkeiten hat, zur Auswahl des zweiten nur noch (n-1) usw. Also gibt es nach dem Multiplikationsprinzip n! Möglichkeiten. 10

11 4.4 Permutation Beispiel: An einem Tangokurs nehmen je 12 Damen und Herren teil. Wieviel mögliche Paarbildungen sind möglich? Lösung: Es gibt 12! = 12 11! = mögliche Paarbildungen. Beispiel: Wie viele Wörter kann man mit den Buchstaben { W, I, N, G} bilden? Lösung: Es gibt 4! = = 24 mögliche Wortbildungen. Beispiel: Wie viele Wörter kann man mit den Buchstaben des Wortes OTTO, { O, T } bilden? Lösung: Es gibt 6 mögliche Wortbildungen, aber nach welcher Formel? 11

12 4.4 Permutation Die Buchstaben des Wortes ANNA kann man nur in sechs Möglichkeiten anordnen, und zwar AANN, ANAN, ANNA, NAAN, NANA, NNAA. Hier zerfallen die n = 4 Elemente in zwei Teilklassen mit je zwei gleichartigen Elementen. Von den eigentlich n! = 4! möglichen Anordnungen sind die Permutationen der gleichartigen Elemente nicht unterscheidbar, es bleiben nur 4! 2!2! = 6 unterscheidbare Permutationen übrig. Diese Permutationen heißen Permutationen mit Wiederholung. Das Beispiel führt zu folgendem Satz 12

13 4.4 Permutation Regel für Permutationen mit Wiederholung: Gegeben seien n Elemente, die in k Teilklassen mit nicht zu unterscheidenden Elementen zerfallen. Die einzelnen Klassen enthalten n 1, n 2, n k Elemente. Dann gibt es n! n 1! n 2! n k! Permutationen mit Wiederholung. ( mit n = n 1 + n n k ) Beispiel: Aus Sicht der Damen tanzen vier Herren ausge-zeichnet, drei ganz gut und fünf eher steif. Wieviel Möglichkeiten bleiben jetzt? Die zwölf Herren zerfallen in drei Gruppen aus tänzerischer Sicht nicht zu unterscheidenden Herren, damit verbleiben 12! /(3! 4! 5!) = /( ) = Möglichkeiten. 13

14 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus wird eine Stichprobe mit k Kugeln genommen. Man kann 4 unterschiedliche Verfahren untersuchen. Wir ziehen die Kugeln ohne Zurücklegen. Wir ziehen die Kugeln mit Zurücklegen. Wir ziehen die Kugeln geordnet. Wir ziehen die Kugeln ungeordnet. 14

15 4.5 Kombinationen und Variationen Definition: Kombination Bei einer Kombination werden aus n verschiedenen Elementen k Elemente ausgewählt, man nennt die so erhaltene Auswahl eine Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse. Wenn Elemente gleicher Art wiederholt, also mehrmals, ausgewählt werden können, nennt man dies eine Kombination mit Wiederholungen: C (k) Wn. Müssen dagegen die Arten aller Elemente verschieden sein, so spricht man von einer Kombination ohne Wiederholung: C (k) n. Bei einer Kombination wird die Reihenfolge nicht beachtet. 15

16 4.5 Kombinationen und Variationen Definition: Variation Wenn es auf die Reihenfolge ankommt, nennt man die so erhaltene Auswahl eine Variation von n Elementen zur k-ten Klasse. Wenn Elemente gleicher Art wiederholt, also mehrmals, ausgewählt werden können, nennt man dies eine Variation mit Wiederholungen: V (k) Wn. Müssen dagegen die Arten aller Elemente verschieden sein, so spricht man von einer Variation ohne Wiederholung: V (k) n. 16

17 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt N Kugeln, daraus Stichprobe mit n Kugeln Variationen und Kombinationen Variation: mit Berücksichtigung der Reihenfolge Kombination: ohne Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Stichproben mit Zurücklegen (mit Wiederholung) n k n + k 1 k Anzahl der Stichproben ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung) n! n k! n k 17

18 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus Stichprobe mit k Kugeln n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 } Kombinationen mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge: n k = 4 2 = 16 18

19 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus Stichprobe mit k Kugeln n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 } Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge : n! = 4! = n k! 4 2! 2 = 12 19

20 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus Stichprobe mit k Kugeln n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 } Kombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge : n + k = = 5 k 2 2 = 5! 2! 5 2! = = 10 20

21 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus Stichprobe mit k Kugeln n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 } Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge : n 4 4! = = = k 2 = 6 2! 4 2!

22 4.5 Kombinationen und Variationen Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus Stichprobe mit k Kugeln n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 } Kombinationen mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge : n + k = = 5 k 2 2 = 5! 2! 5 2! = = 10 22

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