Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Nikolai Nowaczyk <.owaczyk@web.de> Lars Wallebor <lars@wallebor.et> Mai 2011 Ihaltsverzeichis 1 Mege, Abbilduge, Notatio 1 2 Wahrscheilichkeitsräume ud Zufallsvariable 2 3 Die Uremodelle Bälle, Farbe, Ure Ziehe mit Zurücklege geordet ugeordet Ziehe ohe Zurücklege farblos farbig Literaturverzeichis 11 Idex 11 Symbolverzeichis 13 1 Mege, Abbilduge, Notatio 1.1 Defiitio (Multiidex). Ei Tupel α = (α 1,..., α k ) N k 0 heißt Multiidex. Wir defiiere ud α! := α := k α i! k α i.

2 2 Wahrscheilichkeitsräume ud Zufallsvariable Defiitio (Multiomialkoeffiziete). Für α, β N k 0 sei ( ) α α! := β β!(α β)!. Für N 0, α N k 0 ( ) := α {! α!, α =, 0, sost. 1.3 Defiitio (Azahl). Für eie edliche Mege Ω sei Ω N 0 die Azahl aller Elemete i Ω. 1.4 Defiitio (Potezmege). Für eie beliebige Mege Ω heißt die Potezmege vo Ω. 2 Ω := {A A Ω} 1.5 Bemerkug. Diese seltsame Schreibweise erklärt sich folgedermaße: Es gilt 2 Ω = 2 Ω. Das ka ma sich z.b. per Iduktio klar mache. 2 Wahrscheilichkeitsräume ud Zufallsvariable Vo u a sei Ω stets eie edliche Mege. 2.1 Defiitio (Wahrscheilichkeitsmaß). Eie Abbildug P : 2 Ω [0, 1] heißt Wahrscheilichkeitsmaß, falls gilt (i). Normierug: P (Ω) = 1 (ii). Additivität: Sid A, B 2 Ω zwei disjukte Teilmege vo Ω, da gilt P (A B) = P (A) + P (B). 2.2 Defiitio (Zähldichte). Sei Ω eie edliche Mege. Eie Abbildug ρ : Ω [0, 1], sodass ρ(ω) = 1 ω Ω heißt Zähldichte oder auch Wahrscheilichkeitsvektor auf Ω. 2.3 Lemma. Für jedes Wahrscheilichkeitsmaß P auf Ω ist ρ P : Ω [0, 1] ω P ({ω}) eie Zähldichte. Für jede Zähldichte ρ : Ω [0, 1] ist P ρ : 2 Ω [0, 1] A a A ρ(a) ei Wahrscheilichkeitsmaß. Durch diese Formel köe Zähldichte ud Wahrscheilichkeitsmaße miteiader idetifiziert werde.

3 2 Wahrscheilichkeitsräume ud Zufallsvariable Defiitio (Wahrscheilichkeitsraum). Ei Tupel (Ω, ρ) bestehed aus (i). eier edliche Mege Ω ud (ii). eier Zähldichte ρ auf Ω heißt Wahrscheilichkeitsraum. Wir ee da 2 Ω de zugehörige Ereigisraum ud jedes A 2 Ω ei Ereigis. Für jedes A 2 Ω heißt P (A) Wahrscheilichkeit vo A. Ei besoders eifacher Wahrscheilichkeitsraum wird us immer wieder begege. 2.5 Defiitio (uiforme Verteilug). Sei Ω eie edliche Mege. Defiiere ρ Ω : Ω [0, 1] ω 1 Ω. Da heißt ρ Ω die uiforme Verteilug auf Ω. Das Tupel (Ω, ρ Ω ) ist da ei Wahrscheilichkeitsraum, i dem das Eitrete eies jede Ereigisses {ω} 2 Ω, ω Ω, gleich wahrscheilich ist. 2.6 Defiitio (Zufallsvariable). Seie (Ω, ρ), ( Ω, ρ) zwei Wahscheilichkeitsräume. Da heißt eie Abbildug X : Ω Ω Zufallsvariable. Wir schreibe da auch X : (Ω, ρ) ( Ω, ρ). 2.7 Satz ud Defiitio (Iduzierte Verteilug). Sei (Ω, ρ) ei Wahrscheilichkeitsraum, Ω eie edliche Mege ud X : Ω Ω irgedeie Abbildug. Da ist ρ : Ω [0, 1] ω P ρ (X 1 ( ω)) eie Zähldichte auf Ω. Wir ee ρ die vo X iduzierte Verteilug auf Ω ud otiere das auch mit ρ X := ρ ud mit P X := P ρx das vo ρ X iduzierte Wahrscheilichkeitsmaß. Damit ist da X : (Ω, ρ) ( Ω, ρ) eie Zufallsvariable. Beweis. Wir müsse lediglich achreche, dass ρ( ω) = ω Ω P ρ (X 1 ( ω)) = ω Ω ω Ω ω Ω, X(ω)= ω ρ(ω) = ω Ω ρ(ω) = Satz ud Defiitio. Sei (Ω, ρ) ei Wahrscheilichkeitsraum ud k N. Da defiiert ρ k : Ω k [0, 1] ω = (ω 1,..., ω k ) k ρ(ω i) eie Zähldichte auf Ω k. Wir ee da (Ω, ρ) k := (Ω k, ρ k ) de k-fache Produktraum über (Ω, ρ). Beweis. Auch hier müsse wir lediglich zeige Das mache wir per Iduktio ach k. ω Ω k ρ k (ω) = 1.

4 3 Die Uremodelle 4 Schritt 1 (Iduktiosverakerug k = 1): Dies folgt ach Defiitio. Schritt 2 (Iduktiosschluss k k + 1): Wir reche ω Ω k+1 ρ k+1 (ω) = (ω1,...,ωk) Ω k = ω k+1 Ω k+1 ω k+1 Ω k+1 (ω 1,...,ω k ) Ω k ρ(ω i ) ρ(ω i ) = ρ(ω k+1) k ρ(ω i ) ω k+1 Ω (ω 1,...,ω k ) Ω k = ω k+1 Ω ρ(ω k+1) (ω 1,...,ω k ) Ω k ρk (ω 1,..., ω k ) I.V. = ω k+1 Ω ρ(ω k+1) 1 = 1. 3 Die Uremodelle 3.1 Defiitio (Uremodelle). Als Uremodelle bezeichet ma eie sehr häufig beutzte Klasse vo Zufallsexperimete. Aschaulich passiert Folgedes: I eier Ure befidet sich eie feste edliche Azahl vo Bälle. Diese Bälle sid uterscheidbar, d.h. durchummeriert vo sage wir 1 bis. Außerdem hat jeder Ball i eie Farbe f(i). Das Experimet besteht dari, dass k-mal hitereiader ei Ball aus der Ure gezoge ud seie Nummer oder Farbe otiert wird. Ma erhält so eie Folge vo Nummer bzw. Farbe. Ma uterscheidet vier Variatioe dieses Experimets: Je ach dem, ob ma eie Ball, achdem er gezoge wurde, wieder i die Ure zurück oder a die Seite legt, uterscheidet ma zwische Ziehe mit Zurücklege ud dem Ziehe ohe Zurücklege. Außerdem uterscheidet ma zwische geordetem ud ugeordetem Ziehe. Beim geordete Ziehe iteressiert wirklich die geaue Abfolge der gezogee Farbe, beim ugeordete Ziehe ur die Häufigkeit der gezogee Zahle oder Farbe. Damit erhalte wir durch Kombiatio isgesamt vier mögliche Experimete. Die stochastische Fragestellug lautet immer: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie gegebee Folge / Häufigkeitsverteilug vo Zahle oder Farbe gezoge wird. Diese werde wir i diesem Kapitel utersuche i dem wir vier Wahrscheilichkeitsräume kostruiere werde, die die jeweilige Situatio abbilde solle: I jedem der Fälle uterscheidet ma och, ob die Bälle eigefärbt sid oder icht. Siehe jedoch Bemerkug Ziehe mit Zurücklege ohe Zurückklege geordet Ω Ω ugeordet ˆΩ Ω Tabelle 1: Uremodelle 3.1 Bälle, Farbe, Ure 3.2 Defiitio. Für jedes N, 1, sei [] := {1, 2,..., }

5 3.1 Bälle, Farbe, Ure 5 ud [] 0 := {0,..., }. 3.3 Defiitio (Bälle ud Farbe). Sei 1. Da ee wir jede Zahl i [] eie Ball. Sei E eie edlich Mege mit l := E 1. Da ee wir jedes e E eie Farbe. Siigerweise ee wir i diesem Fall also [] die Bälle ud E die Farbe. Eie Abbildug f : [] E zwische Bälle ud Farbe heißt Farbfuktio. Für jede Ball i [] heißt f(i) die Farbe vo i. Wir defiiere da für jedes e E F e := f 1 (e), N e := F e. Es ist also F e [] die Mege aller Bälle mit Farbe e ud N e die Azahl aller Bälle mit Farbe e. Es ka für Aweduge ützlich sei, sich E z.b. als E := {rot, blau, grü} vorzustelle. Zum Reche ist es aber eifacher, die Farbe ebefalls durchzuummeriere. I diesem Fall ist da E = [l]. Falls icht ausdrücklich aders erwäht, beutze wir immer Letzteres. 3.4 Experimet (farbloser Ball). Gegebe sei eie Mege vo farblose Bälle. Das Experimet besteht u dari, dass zufällig ei Ball ausgewählt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei vorgegebeer Ball i [] ausgewählt wurde? We wir davo ausgehe, dass jeder 1 Ball mit gleicher Wahrscheilichkeit ausgewählt wird, da lautet die Atwort wohl. Daher wolle wir diesem reale Experimet u eie Wahrscheilichkeitsraum zuweise, der geau diese Ituitio formalisiert. 3.5 Defiitio (Ballraum). Der Wahrscheilichkeitsraum ([], ρ ), wobei ρ := ρ [] die uiforme Verteilug aus Defiitio 2.5 ist, heißt Ballraum. Wir otiere das iduzierte Wahrscheilichkeitsmaß mit P := P ρ. 3.6 Experimet (farbiger Ball). Gegebe sei eie Mege vo farbige Bälle ud es sei E die Mege aller auftretede Farbe. Das Experimet besteht u ereut dari, dass zufällig ei Ball ausgewählt wird. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der gezogeer Ball eie vorgegebee Farbe e E hat? Die Ituitio sagt us, dass dies gerade dem Verhältis aus der Azahl der Bälle mit Farbe e ud der Gesamtzahl der Bälle etspreche sollte. Auch dies ka formalisiert werde. 3.7 Defiitio (Farbraum). Sei f : [] E eie Farbfuktio auf eiem Ballraum ([], ρ ). Da heißt der Wahrscheilichkeitsraum (E, ρ f ), wobei ρ f die vo f auf E iduzierte Verteilug aus Defiitio 2.7 ist, Farbraum. Wir otiere das zugehörige Wahrscheilichkeitsmaß mit P f. Eie sehr kurze Rechug zeigt u, dass der Ballraum ud der Farbraum auch formal die gewüschte Eigeschafte habe. 3.8 Lemma (Eigeschafte vo Ball- ud Farbraum). (i). I jedem Ballraum ([], ρ ) gilt: Für jedes i [] hat das Ereigis {i} 2 [] die Wahrscheilichkeit P ({i}) = 1.

6 3.2 Ziehe mit Zurücklege 6 (ii). Sei F : [] E eie Farbfuktio. Für jedes e E hat das Ereigis {e} 2 E Wahrscheilichkeit P f ({e}) = N e. Beweis. (i). Aus de Defiitioe folgt sofort P ρ ({i}) = ρ (i) = 1 [] = 1. die (ii). Ebefalls aus de Defiitioe folgt P ρf ({e}) = P ρ (f 1 (e)) = i f 1 (e) ρ (i) (i) = i f 1 (e) 1 = F e = N e. 3.2 Ziehe mit Zurücklege geordet Da dieser Fall der mit Abstad eifachste ist, diskutiere wir ih zuerst. 3.9 Experimet (farbloses geordetes Ziehe mit Zurücklege). I eier Ure seie farblose durchummerierte Bälle. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Nummer, ud lege ih zurück i die Ure. Wir erhalte eie Folge ν = (ν 1,..., ν k ) vo Nummer. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie vorgegebee Nummerfolge ν = (ν 1,..., ν k ) gezoge wird? 3.10 Satz ud Defiitio. Der Wahrscheilichkeitsraum ( Ω, ρ) := ([], ρ ) k heißt farbloses geordetes Ziehe mit Zurücklege. Wir otiere sei Wahrscheilichkeitsmaß mit P. Sei ν = (ν 1,..., ν k ) Ω beliebig vorgegebe. Da gilt P ({ν}) = ρ k (ν) = 1 k = 1 Ω. Der Raum Ω hat also auch die uiforme Verteilug. Beweis. Dies ergibt sich sofort aus der Defiitio 2.8 des Produktraumes Experimet (farbiges geordetes Ziehe mit Zurücklege). I eier Ure seie farbige Bälle ud es seie E alle auftretede Farbe. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Farbe, ud lege ih zurück i die Ure. Wir erhalte eie Folge η = (η 1,..., η k ) vo Farbe. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie vorgegebee Farbfolge η = (η 1,..., η k ) gezoge wird? 3.12 Satz ud Defiitio. Sei f : [] E eie Farbfuktio. Der Wahrscheilichkeitsraum (Ω, ρ) := (E, ρ f ) k heißt farbiges geordetes Ziehe mit Zurücklege. Wir otiere sei Wahrscheilichkeitsmaß mit P := P ρ. Für jede Farbfolge η = (η 1,..., η k ) gilt P ({η}) = ρ(η) = k ρ f (η i ) = 1 k k N ηi.

7 3.2 Ziehe mit Zurücklege 7 Ist übriges F : [] k E k (ν 1,..., ν k ) (f(ν 1 ),..., f(ν k )), die Fuktio die eier Folge vo Bälle die zugehörige Folge vo Farbe zuordet, so gilt ρ F = ρ k f, falls wir F als eie Fuktio auf ([] k, ρ k ) betrachte. Beweis. Für jedes η Ω gilt P ({η}) = ρ(η) 2.8 = k ρ f (η i ) 3.8(ii) = N ηi = 1 k k N ηi. Außerdem gilt ρ F (η) = ρ k (F 1 (η)) = = 1 k ν F 1 (η) Ω ν F 1 (η) Ω ρ k (ν) = ν F 1 (η) Ω 1 k 1 = 1 k F 1 (η) = ρ(η) = ρ k f (η) Korollar. Falls i obigem Satz 3.12 jeder Ball geau eie Farbe hat, d.h. falls f : [] E bijektiv ist, so geht der farbige Fall i de farblose Fall über, d.h. es gilt da wie i Satz P ({η}) = 1 k Bemerkug. Astatt die Bälle mit Nummer i [] durchzuummeriere köe sie ja auch mit verschiedee Farbe e E durchgefärbt werde. Ist E = {1,..., }, so etspricht f lediglich eier Umummerierug. Falls f(i) = i, so ädert sich überhaupt ichts. Dies bezeiche wir im Folgede als de farblose Fall. Wir wolle daher bei de adere Experimete immer gleich de farbige Fall studiere. Der farblose folgt da direkt so wie hier. Es ist allerdigs zugegebeermaße etwas verwirred, dass der farbige Fall ausgerechet für maximal viele verschiedee Farbe i de farblose Fall übergeht ugeordet 3.15 Experimet (ugeordetes Ziehe mit Zurücklege). I eier Ure seie durchummerierte Bälle mit l uterschiedliche Farbe E. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Farbe, ud lege ih zurück i die Ure. Wir erhalte eie Folge η = (η 1,..., η k ) E k vo Farbe. Für jede Farbe e E zähle wir u, wie oft sie i der Folge η vorkommt. Wir erhalte somit eie Folge ˆµ = (ˆµ 1,..., ˆµ l ) vo Häufigkeite, wobei für alle 1 e l ˆµ e (η) := {η i E i [k], f(η i ) = e}, d.h. µ e gibt a, wie oft Farbe e gezoge wurde. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich beim Ziehe eie vorgegebee Häufigkeitsverteilug ˆµ = (ˆµ 1,..., ˆµ l ) ergibt?

8 3.3 Ziehe ohe Zurücklege Satz ud Defiitio (ugeordetes Ziehe mit Zurücklege). Defiiere ud es sei Ω := {ˆµ [k] l 0 ˆµ = k} S : Ω Ω η (ˆµ 1 (η),..., ˆµ l (η)). Der Wahrscheilichkeitsraum ( Ω, ˆρ), ˆρ := ρ S, heißt da (farbiges) ugeordetes Ziehe mit Zurücklege. Wir otiere sei Wahrscheilichkeitsmaß mit ˆP. Sei ˆµ = (ˆµ 1,..., ˆµ l ) ˆΩ beliebig vorgegebe. Da gilt ( ) k ˆP ({ˆµ}) = ρ S (ˆµ) = ρ (e)ˆµe f. ˆµ e E Beweis. Wir reche ˆP ({ˆµ}) = ρ S (ˆµ) = P (S 1 (ˆµ)) = = η S 1 (ˆµ) l η S 1 (ˆµ) e=1 ρ f (e)ˆµe = l ρ(η) 3.12 = η S 1 (ˆµ) e=1 ρ f (e)ˆµe η S 1 (ˆµ) k 1 = ρ f (η i ) ( ) k l ˆµ ρ f (e)ˆµe, e=1 wobei ma die letzte Gleichug wie folgt eisehe ka: Für eie gegebee Häufigkeitsverteilug ˆµ müsse wir also die Azahl aller Farbfolge η bestimme, die die Häufigkeitsverteilug S(η) = ˆµ habe. Da ˆµ = k besteht die Farbfolge aus k Bälle. Es gibt k! Möglichkeite diese azuorde. Wir uterscheide aber icht zwische Bälle gleicher Farbe. Daher falle bei diese ( ) k! Möglichkeite für jede Farbe e grade ˆµ e! Möglichkeite weg. Isgesamt erhalte wir also kˆµ = k! ˆµ! viele Möglichkeite Defiitio (Multiomialverteilug). Das Wahrscheilichkeitsmaß P auf Ω aus obigem Satz 3.16 heißt auch Multiomialverteilug zu k ud ρ ud wird auch mit ( ) M k,ρ ({ˆµ}) := P k ({ˆµ}) = ρ (e)ˆµe f ˆµ otiert Korollar (farbloser Fall). Im farblose Fall gilt ( ) k ( 1 ˆP ({ˆµ}) = ρ S (ˆµ) = ˆµ l 3.3 Ziehe ohe Zurücklege farblos e E e E )ˆµe = 1 l k ( ) k = 1 ( ) ˆµ kˆµ k. Auch beim Ziehe ohe Zurücklege ist es ützlich zuächst de farblose Fall zu utersuche Experimet (farbloses geordetes Ziehe mit Zurücklege). I eier Ure seie durchummerierte Bälle. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Nummer, ud lege ih icht zurück i die Ure. Wir erhalte eie Folge ν = (ν 1,..., ν k ) [] k vo Nummer. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich beim Ziehe eie vorgegebee Folge vo Nummer ν = (ν 1,..., ν k ) ergibt? Dieses Experimet ergibt gaz offesichtlich ur Si, falls k (im Gegesatz zum Ziehe mit Zurücklege).

9 3.3 Ziehe ohe Zurücklege Satz ud Defiitio (farbloses geordetes Ziehe ohe Zurücklege). Sei k. Defiiere Ω := {ν [] k 1 i, j k : i j ν i ν j }, (das heißt eifach ur, dass die Eiträge vo ν paarweise verschiede sei solle) ud es seie ρ, P := P ρ gegebe durch die uiforme Verteilug. Der Wahrscheilichkeitsraum (Ω, P ) heißt farbloses geordetes Ziehe ohe Zurücklege. Es gilt für jedes ν Ω P ({ν}) = ρ (ν) = 1 Ω = 1 ( 1)... ( k + 1) ( k)! =.! Beweis. Es geügt Ω zu bereche: Da die Eiträge eies jede ν Ω paarweise verschiede sei solle (was aschaulich heißt, dass ei eimal gezogeer Ball icht ochmals gezoge werde ka), gibt es für de erste Eitrag also Möglichkeite, für de zweite ( 1) Möglichkeite u.s.w. bis ma schließlich och ( k + 1) Möglichkeite für de k-te Eitrag übrig hat Experimet (farbloses ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege). I eier Ure seie durchummerierte Bälle. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Nummer, ud lege ih icht zurück i die Ure. Uter Verachlässigug der Reihefolge erhalte wir eie Mege ˇν = {ˇν 1,..., ˇν k } [] vo Nummer. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass eie vorgegebee Mege ˇν gezoge wird? 3.22 Satz ud Defiitio (farbloses ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege). Sei k. Defiiere ˇΩ := {ˇν [] ˇν = k} ud es seie ˇρ, ˇP := Pˇρ gegebe durch die uiforme Verteilug. Der Wahrscheilichkeitsraum (ˇΩ, ˇP ) heißt farbloses ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege. Ist so gilt ρ Y = ˇρ ud außerdem für jedes ˇν ˇΩ Y : Ω ˇΩ ν = (ν 1,..., ν k ) {ν 1,..., ν k }, ˇP ({ˇν}) = ˇρ(ˇν) = 1 ( k). Die Gleichheit ρ Y = ˇρ bedeutet aschaulich, dass es beim ugeordete Ziehe ohe Zurücklege egal ist, ob wir der Reihe ach k Bälle ziehe ud da die Reihefolge verachlässige oder alle k Bälle mit eiem Griff auswähle. Beweis. Wir reche ρ Y (ˇν) = P (S 1 (ˇν)) = ν S 1 (ˇν) ρ (ν) 3.20 ( k)! = k!! = ( 1 ) = 1 k ˇΩ = ˇρ(ˇν).

10 3.3 Ziehe ohe Zurücklege farbig 3.23 Experimet (farbiges geordetes Ziehe ohe Zurücklege). I eier Ure seie durchummerierte Bälle i l verschiedee Farbe. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Farbe, ud lege ih icht zurück i die Ure. Wir erhalte eie Folge η = (η 1,..., η k ) [l] k vo Nummer. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich beim Ziehe eie vorgegebee Folge vo Farbe η = (η 1,..., η k ) ergibt? Dieses Experimet ergibt gaz offesichtlich ur Si, falls k (im Gegesatz zum Ziehe mit Zurücklege) Satz ud Defiitio (farbiges geordetes Ziehe ohe Zurücklege). Sei k. Defiiere Defiiere Ω := E k. F : Ω Ω ν = (ν 1,..., ν k ) (f(ν 1 ),..., f(ν k )) ud ρ := ρ F. Der Wahrscheilichkeitsraum (Ω, P ) heißt farbiges geordetes Ziehe ohe Zurücklege. Es gilt für jedes η Ω P ({η }) = ρ (η ) = ( k)! k! k N η i. Beweis. Wir reche P (η ) = ρ (η ) 3.20 = F 1 (η ( k)! ( k)! ) = k! k! k N η i Experimet (farbiges ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege). I eier Ure seie durchummerierte farbige Bälle i l verschiedee Farbe E. Wir ziehe u k mal zufällig eie Ball aus der Ure, otiere seie Nummer ud lege ih icht zurück i die Ure. Wir erhalte eie Mege ˇν = {ˇν 1,..., ˇν k } [] vo farbige Bälle. Für jede Farbe e E zähle wir die auftretede Häufigkeit µ e (ˇν) := ˇν F e Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass sich beim Ziehe eie vorgegebee Folge vo Häufigkeite µ = (µ 1,..., µ l ) ergibt? 3.26 Satz ud Defiitio (farbiges ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege). Sei k. Defiiere Ω := Ω = { µ [k] l 0 µ = k}. Defiiere T : ˇΩ Ω ˇν (µ 1 (ˇν),..., µ l (ˇν)) = ( ˇν F 1,..., ˇν F l ). Defiiere ρ := ρ T. Der Wahrscheilichkeitsraum ( Ω, P ) heißt farbiges ugeordetes Ziehe ohe Zurücklege. Es gilt für jedes µ Ω gilt ( Ne ) e E µ P ({ µ}) = ρ( µ) = ( e. k)

11 Literatur 11 Beweis. Wir reche P ( µ) = ρ( µ) = ˇP (T 1 ( µ)) = ˇν T 1 ( µ) ˇρ(ˇν) 3.22 = T 1 ( µ) ( 1 = k) ( Ne ) µ ( e, k) wobei ma die letzte Gleichheit wie folgt eisehe ka: Für jede Farbe e E gibt es geau ( N e µ e ) viele Möglichkeite eie µ e viele Bälle der Farbe e zu ziehe. Ma erhält also die Azahl der mögliche Ballmege zu eier gegebee Häufigkeitsverteilug µ als das behauptete Produkt. e E 3.27 Defiitio (Hypergeometrische Verteilug). Das Wahrscheilichkeitsmaß P auf Ω aus Satz 3.26 obe heißt auch hypergeometrische Verteilug ud wird mit ( Ne ) e E µ H,N ( µ) = ( e k) otiert. Hier ist N := (N 1,..., N l ) der Vektor der Farbazahle ud k := µ. Stelle wir alle Ergebisse dieses Kapitels zusamme, so köe wir sämtliche Frage der Zufallsexperimete aller Uremodelle aus 3.1 beatworte Satz (Uremodelle). I eier Ure seie durchummerierte Bälle mit Farbe E, E = l. Es werde daraus k Bälle gezoge. Da wird dieses Ziehe mit/ohe Zurücklege durch die folgede Wahrscheilichkeitsräume modelliert: Ziehe mit Zurücklege ohe Zurückklege geordet Ω = E k, Ω = E k, ρ(η) = 1 k k N η i, ρ (η ) = ( k)! k k! N η, i Satz 3.12 Satz 3.24 ugeordet ˆΩ = {ˆµ [k] l 0 ˆµ = k}, Ω ˆρ(ˆµ) = M k,ρ (ˆµ) = ( = { µ [k] l 0 µ = k}, ) k ˆµ e E ρ f (e)ˆµe e E (, ρ( µ) = H,N ( µ) = µe, ( k) multiomial, Satz 3.16 hypergeometrisch, Satz 3.26 Tabelle 2: Uremodelle (farbig) Ziehe mit Zurücklege ohe Zurückklege Ω = N, k Ω = {ν [] k 1 i, j k : i j ν i ν j }, geordet ρ( ν) = 1, ρ k (ν) = ( k)!!, uiform, Satz 3.10 uiform, Satz 3.20 ugeordet ˆΩ = [] k, ˇΩ = {ˇν [] ˇν = k}, ˆρ(ˆµ) = 1 ( kˆµ), ˇρ(ˇν) = k ( 1 k), Korollar 3.18 uiform, Satz 3.22 Tabelle 3: Uremodelle (farblos) Literatur [1] Georgii, Has-Otto: Stochastik

12 Idex 12 Idex Ball, 4 Ereigis, 2 Ereigisraum, 2 Farbe, 4 Farbfuktio, 4 farbloser Fall, 6 hypergeometrische Verteilug, 10 iduzierte Verteilug, 2 Multiidex, 1 Multiomialkoeffiziet, 1 Multiomialverteilug, 7 Produktraum, 2 uiforme Verteilug, 2 Uremodelle, 3 Wahrscheilichkeit, 2 Wahrscheilichkeitsmaß, 1 Wahrscheilichkeitsraum, 2 Wahrscheilichkeitsvektor, 2 Zähldichte, 2 Ziehe ugeordet mit Zurücklege, 7 Zufallsvariable, 2

13 Idex 13 Symbolverzeichis 2 Ω Potezmege vo Ω, page 1 α Fakultät eies Multiidex, page 1 H,N ( µ) hypergeometrische Verteilug, page 10 M k,ρ Multiomialverteilug, page 8 [] atürliche Zahle 1 i, page 4 [] 0 atürliche Zahle 0 i, page 4 N atürliche Zahle N = {1, 2, 3,...}, page 1 N 0 atürliche Zahle mit Null N 0 = {0, 1, 2, 3,...}, page 1 P X vo X iduziertes Wahrscheilichkeitsmaß, page 3 ρ X die vo X iduzierte Zähldichte, page 3