Binomialverteilung & Binomialtest

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Gudrun Ackermann
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1 Mathemati II für Biologen & 5. Juni 2015 & -Test

2 Kombinatori Permutationen Urnenmodelle Binomialoeffizient Motivation Bin(n, p) Histogramme Beispiel Faustregeln Vorzeichentest & -Test

3 Permutationen Urnenmodelle Binomialoeffizient Anzahl möglicher Anordungen von n (unterschiedlichen) Elementen: n(n 1) 1 = n! Beispiel: n = 3 Kugeln,, lassen sich auf 3! = 6 verschiedene Möglicheiten anordnen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Anzahl möglicher Anordungen von n Elementen, die in j Gruppen mit jeweils 1, 2,... j gleichen Elementen vorommen ( j = n): n! 1! 2! j! Beispiel: 1 = 2 rote Kugeln und 2 = 1 blaue Kugel,, 3! lassen sich auf 2!1! = 3 verschiedene Möglicheiten anordnen: ( ) ( ) ( ) & -Test

4 Permutationen Urnenmodelle Binomialoeffizient Urne mit n unterschiedlichen Kugeln Ziehe Kugeln Anzahl der möglichen Ergebnisse: mit Beachtung der Reihenfolge ohne Beachtung der Reihenfolge mit Zurüclegen n Würfelergebnisse: 6 3 = 216 ( ) n+ 1 Kartenzahl: ( ) = 56 3 ohne Zurüclegen n! (n )! zweifarbige Zwerge: 6 5 = 30 n! (n )!! =: ( ) n dreifarbige Zwerge: ( 6 3 ) = 20 Beispiel: Würfelzwerge (ÜA 24) & -Test

5 Permutationen Urnenmodelle Binomialoeffizient Dabei heißt ( ) n := n!!(n )! Binomialoeffizient, lies n über oder aus n. Beispiele: & -Test

6 Motivation Bin(n, p) Histogramme Betrachte ein Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Nenne den einen Ausgang Erfolg, den anderen Misserfolg. Die Erfolgswahrscheinlicheit sei p [0, 1]. Führe das Experiment n mal unabhängig durch (eine gegenseitige Beeinflussung der Einzelergebnisse). Wie groß ist die Wahrscheinlicheit für Erfolge? (0 n) Beispiele: (jeweils n Würfe) faire Münze, = # Zahl, p = 1 2 unfaire Münze, = # Zahl, z.b. p = 0,3 fairer Würfel, = #, p = 1 6 & -Test

7 Motivation Bin(n, p) Histogramme Satz: Bei einer Serie von n unabhängigen Experimenten mit Erfolgswahrscheinlicheit p, 0 p 1, ist die Verteilung der Anzahl der Erfolge gegeben durch ( ) n P[=] = p (1 p) n. Man sagt ist binomialverteilt mit Parametern n und p, Schreibweise Bin(n, p). Beweis: & -Test

8 Motivation Bin(n, p) Histogramme 0.25 n=10 p= n=10 p= P[=] P[=] n=10 p=1/ n=12 p= P[=] P[=] & -Test

9 Beispiel Faustregeln Vorzeichentest Beispiel: Spermasexing Rindersperma wird optisch nach den y-chromosomen sortiert. n = 12 Kühe werden damit besamt. Erfolg : weibliches Kalb Misserfolg : männliches (oder gar ein) Kalb p: Wahrscheinlicheit, dass (einmalige) Besamung zu führt (Ziel: p 1, denn gibt Milch, nicht) = # gelungene Experimente = # Anbieter der Methode behauptet p > 0,7 und will dies durch einen statistischen Test beweisen. Wir erhalten = 11 (d.h. 11/12 92% Erfolsquote) Test: (verwende in Testschritt 4 statt Simulation nun Wahrscheinlicheitsrechnung) & -Test

10 Beispiel Faustregeln Vorzeichentest Faustregeln für den Falls np(1 p) groß ist (> 9), so ist für α = 5% der Annahmebereich K C zu H 0 : p = p 0 und H A : p p 0 etwa [ K C np 0 2 np 0 (1 p 0 ),np 0 +2 ] np 0 (1 p 0 ) und das 95%-Vertrauensintervall für den wahren Wert von p [ n 2 1 n n ( ) 1 n, n +2 1 n ( n 1 n) ]. Begründung (später): Wird näherungsweise Normalverteilung. (genauer: Ersetze überall 2 durch 1,96.) & -Test

11 Beispiel Faustregeln Vorzeichentest Spezialfall des s mit p 0 = 1 2 : Vorzeichentest Beispiel: Eine Waage gelte als geeicht, falls sie mit Wahrscheinlicheit 50% einen zu großen und mit Wahrscheinlicheit 50% einen zu leinen Wert anzeigt. Sollwert 20g, n = 10 Messungen ergeben (in g): 20,1 20,3 20,9 19,3 20,8 20,1 20,2 20,4 20,2 20,3 Test & -Test

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