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1 Übungsblatt Höhere Mathematik - Weihenstephan SoSe 00 Michael Höhle, Hannes Petermeier, Cornelia Eder Übung: Die Aufgaben -3 werden in der Übung am Donnerstag (5.6. besprochen. Die Aufgaben -6 sollen eigenständig bearbeitet werden und sind Gegenstand der Tutorien am 6.6.,.6. und Aufgabe Betrachtet wird eine Urne mit N Bällen, die mit den Zahlen,..., N durchnummeriert sind. Wie groß ist die Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird, aber zwischen den Anordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird? Es wird aus einer Urne mit N Kugeln gezogen, die mit den Zahlen,..., N durchnummiert sind. Anzahl Stichproben mit Größe n, wenn Reihenfolge berücksichtigt wird ist (siehe letztes Übungsblatt: mit Zurücklegen: N! ohne Zurücklegen: (N n! In dieser Aufgabe interessieren wir uns für die Situation ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Dabei ist folgende Begriff von Interesse: Die Anzahl der möglichen Anordnungen von N Kugeln (auch Permutationen genannt ist: N! Beispiel für ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: Seien N 3 und n. Das heißt wenn Reihenfolge nicht berücksichtigt wird dann sind folgende Ausfälle möglich: (E, E, (E, E 3, (E, E 3. Dabei deckt der Ausfall (E, E jetzt über zwei Ereignisse: (E, E (zuerst Kugel eins und dann zwei und (E, E (Kugel zwei dann eins. Zwischen diesen beiden wird jetzt nicht unterschieden. Bei zwei gezogenen Kugeln gibt es ohne Berücksichtigung der Reihenfolge also jetzt jeweils! Permutationen, die als eine Stichprobe angesehen werden. Somit ist die Anzahl möglicher Stichproben N n N! (N n! n! N! (N n!n! ( N. n Die Notation ( N n wird als n aus N gelesen und ist eine Abkürzung der Oben angegebenen Fakultäten und wird auch Binomialkoeffizient genannt. Es gilt: ( N 0, ( N N, ( N N, und ( N 0, falls N < n. n Aufgabe (Schafkopf Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Schafkopfen ( Karten aus 3 die folgenden Karten zu bekommen: Schafkopfen ( aus 3. Farben: Eichel, Gras, Herz, Schellen Pro Farbe Karten: Sau, 0, König, Ober, Unter, 9,, 7 a Keine Sau? A Keine Sau E , Ω

2 Alternative E Ω ich die Anderen {( ( }} {{( (}}( { 0 0 ( ( ( ( 3 0 }{{}}{{} ich die anderen Spieler P (A E ( ( Ω 0 ( Bei der Berechnung von z.b. ( benötigt man einen Taschenrechner. Am besten vor der Klausur rausbekommen wie sich die Binomialkoeffizienten genau auf Ihrem Taschenrechner berechnen lassen. b Genau Ober und genau Unter? B Genau Ober und genau Unter B P (B ich {( (}} ( { ( ( ( ( wie vorher ({ (}}( { 0 c Genau 3 Ober, aber keine Sau? C Genau 3 Ober, aber keine Sau P (C ( ( ( ( Aufgabe 3 Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Frau in ihrem Leben k Kinder bekommt, seien gegeben durch P (k 0 0.3, P (k 0.3, P (k 0., P (k 3 0., P (k 0. Es wird fälschlicherweise angenommen, dass niemand mehr als vier Kinder bekommt. Weiter wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Geburt eines Mädchens und eines Jungens gleich sind. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau keinen weiblichen Nachkommen hat? P (Kein weiblicher Nachkomme P (Kein weiblicher Nachkomme Kein Kind P (Kein Kind +P (Kein weiblicher Nachkomme Kind P ( Kind +P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder P ( Kinder +P (Kein weiblicher Nachkomme 3 Kinder P (3 Kinder +P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder P ( Kinder

3 Nun ist mit p (Wahrscheinlichkeit für Mädchen P (Kein weiblicher Nachkomme Kein Kind p 0 P (Kein weiblicher Nachkomme Ein Kind p ( P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder ( p ( P (Kein weiblicher Nachkomme 3 Kinder ( p 3 ( P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder ( p 3 Also P (Kein weiblicher Nachkomme Aufgabe Mammographie ist eine Methode zur Erkennung von Brustkrebs. Die Rate der falsch negativen Befunde beträgt dabei 0%, d.h. bei 0% der Frauen mit Brustkrebs zeigt der Test ein negatives Ergebnis an. Die Rate der falsch positiven Befunde beträgt 0,7%, d.h. bei 0,7% der gesunden Frauen zeigt der Test ein positives Ergebnis an, obwohl sie gesund sind. Insgesamt 0,5% der Frauen, die an Vorsorgeuntersuchungen teilnehmen, haben Brustkrebs. Bei einer Frau hat die Mammographie den Befund Brustkrebs ergeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie wirklich Brustkrebs? P (Krebs Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs P (Mammographie sagt Krebs Nun gilt P (Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs Also finden wir +P (Mammographie sagt Krebs kein KrebsP (kein Krebs ( P (Mammographie sagt kein Krebs KrebsP (Krebs +P (Mammographie sagt Krebs kein Krebs( P (Krebs ( ( P (Krebs Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs P (Mammographie sagt Krebs ( d.h. nur in 33% der Fälle, bei der Mammographie Alarm schlägt ist tatsächlich Anlass zur Sorge vorhanden. Das werden dann andere, gezieltere Tests nachprüfen. (Bemerkung: die Größenordnungen der Angaben sind einigermaßen realistisch Aufgabe 5 (Aus Fahrmeir et al. (003 übernommen Sie und Ihr Freund werfen je einen fairen Würfel. Derjenige, der die kleinere Zahl wirft, zahlt an den anderen so viele Geldeinheiten, wie die Differenz der Augenzahlen beträgt. Die Zufallsvariable X beschreibt Ihren Gewinn, wobei ein negativer Gewinn für Ihren Verlust steht. (a Welche Realisationen kann X annehmen?

4 Ein geeigneter Ergebnisraum für das Würfelwerfen ist (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (3,, (3,, (3, 3, (3,, (3, 5, (3, 6, Ω (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (5,, (5,, (5, 3, (5,, (5, 5, (5, 6, (6,, (6,, (6, 3, (6,, (6, 5, (6, 6 in der Notation (Mein Würfel, Sein Würfel. Insgesamt also Ω 6. Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die die Elementarereignisse e Ω nach R abbildet. Das heißt X((, 0, X((,, X((, 3,... X((6, 6 0. Insgesamt kann die Zufallsvariable also folgende Realisationen annehmen: 5,, 3,,, 0,,, 3,, 5. (b Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, und berechnen Sie den Erwartungswert E(X. Jedes der Elementarereignisse hat die Wahrscheinlichkeit. Abzählen liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion in Tabellenform: x f(x P (X x Für den Erwartungswert gilt: E(X (c Bestimmen Sie auch die Varianz Var(X. Es ist E(X ( 5 + ( Es wird der Varianzverschiebungssatz verwendet: ( + (5 Var(X E(X E(X Die Lösung lässt sich auch in R berechnen: R> x <- -5:5 R> fx <- c(,, 3,, 5, 6, 5,, 3,, / R> (E <- sum(x * fx [] 0 R> sum((x - E^ * fx [] R> sum(x^ * fx - E^ [] (d Falls Sie beide die gleiche Zahl würfeln, wird der Vorgang noch einmal wiederholt, aber die Auszahlungen verdoppeln sich. Würfeln Sie wieder die gleiche Zahl, ist das Spiel beendet. Geben Sie für das modifizierte Spiel die Wahrscheinlichkeit für Ihren Gewinn bzw. Verlust Y an. Es gilt:

5 P (Y 0 P (Y P (Y 6 P (Y 5 P (Y P (Y 3 P (Y P (Y P (Y P (X P (X P (X P (X P (X 3 6 P (X P (X P (X Aufgabe 6 Angenommen die unabhängigen Zufallsvariablen X, X, X 3 stammen alle aus einer Verteilung mit dem Erwartungswert 5. (a Bestimmen Sie den folgenden Erwartungswert: E(X 3X + X 3. Würde sich Ihr Ergebnis ändern, wenn die Zufallsvariablen abhängig sind? E(X 3X + X 3 E(X E(3X + E(X 3 E( E(X 3E(X + E(X Nein, auch wenn die Zufallsvariablen abhängig sind gilt E(X + X E(X + E(X. (b Berechnen Sie auch den Erwartungswert E(X X 5X + 3. E(X X 5X + 3 E(X X 5E(X + 3 E(X E(X 5E(X Aufgabe 7 (Münzdrehexperiment Wird im Tutorium bearbeitet Benutzen Sie eine -Euro-Münze und notieren Sie in der untenstehenden Tabelle, aus welchem Euro-Land die Münze stammt. Stellen Sie danach Ihren Tisch so gerade wie möglich und drehen Sie die Münze an, sodass sie mindestens 5 Sekunden von selbst dreht. Notieren Sie dabei für jeden Versuch, ob das Resultat Kopf (K oder Zahl (Z. Falls die Münze auf den Boden fällt oder nicht lange genug dreht, zählt das Ergebnis nicht und wird nicht notiert.

6 Wiederholen Sie das Münzdrehexperiment insgesamt 0 Mal und, füllen Sie untenstehende Tabelle aus. Trennen Sie diese dann vom Übungsblatt ab und geben Sie sie Ihrem Tutor. Die Daten werden in der Vorlesung analysiert. Homepage: LaMo:. Juni 00@3:07 QQQQrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrQQQ Herkunftsland der Münze : Versuch Nr Anzahl Kopf gesamt Ergebnis (K oder Z

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