Es wird aus einer Urne mit N Kugeln gezogen, die mit den Zahlen 1,..., N durchnummiert sind. (N n)! n! = N! (N n)!n! =
|
|
- Karl Hofer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungsblatt Höhere Mathematik - Weihenstephan SoSe 00 Michael Höhle, Hannes Petermeier, Cornelia Eder Übung: Die Aufgaben -3 werden in der Übung am Donnerstag (5.6. besprochen. Die Aufgaben -6 sollen eigenständig bearbeitet werden und sind Gegenstand der Tutorien am 6.6.,.6. und Aufgabe Betrachtet wird eine Urne mit N Bällen, die mit den Zahlen,..., N durchnummeriert sind. Wie groß ist die Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird, aber zwischen den Anordnungen der Objekte in der Stichprobe nicht unterschieden wird? Es wird aus einer Urne mit N Kugeln gezogen, die mit den Zahlen,..., N durchnummiert sind. Anzahl Stichproben mit Größe n, wenn Reihenfolge berücksichtigt wird ist (siehe letztes Übungsblatt: mit Zurücklegen: N! ohne Zurücklegen: (N n! In dieser Aufgabe interessieren wir uns für die Situation ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Dabei ist folgende Begriff von Interesse: Die Anzahl der möglichen Anordnungen von N Kugeln (auch Permutationen genannt ist: N! Beispiel für ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: Seien N 3 und n. Das heißt wenn Reihenfolge nicht berücksichtigt wird dann sind folgende Ausfälle möglich: (E, E, (E, E 3, (E, E 3. Dabei deckt der Ausfall (E, E jetzt über zwei Ereignisse: (E, E (zuerst Kugel eins und dann zwei und (E, E (Kugel zwei dann eins. Zwischen diesen beiden wird jetzt nicht unterschieden. Bei zwei gezogenen Kugeln gibt es ohne Berücksichtigung der Reihenfolge also jetzt jeweils! Permutationen, die als eine Stichprobe angesehen werden. Somit ist die Anzahl möglicher Stichproben N n N! (N n! n! N! (N n!n! ( N. n Die Notation ( N n wird als n aus N gelesen und ist eine Abkürzung der Oben angegebenen Fakultäten und wird auch Binomialkoeffizient genannt. Es gilt: ( N 0, ( N N, ( N N, und ( N 0, falls N < n. n Aufgabe (Schafkopf Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Schafkopfen ( Karten aus 3 die folgenden Karten zu bekommen: Schafkopfen ( aus 3. Farben: Eichel, Gras, Herz, Schellen Pro Farbe Karten: Sau, 0, König, Ober, Unter, 9,, 7 a Keine Sau? A Keine Sau E , Ω
2 Alternative E Ω ich die Anderen {( ( }} {{( (}}( { 0 0 ( ( ( ( 3 0 }{{}}{{} ich die anderen Spieler P (A E ( ( Ω 0 ( Bei der Berechnung von z.b. ( benötigt man einen Taschenrechner. Am besten vor der Klausur rausbekommen wie sich die Binomialkoeffizienten genau auf Ihrem Taschenrechner berechnen lassen. b Genau Ober und genau Unter? B Genau Ober und genau Unter B P (B ich {( (}} ( { ( ( ( ( wie vorher ({ (}}( { 0 c Genau 3 Ober, aber keine Sau? C Genau 3 Ober, aber keine Sau P (C ( ( ( ( Aufgabe 3 Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Frau in ihrem Leben k Kinder bekommt, seien gegeben durch P (k 0 0.3, P (k 0.3, P (k 0., P (k 3 0., P (k 0. Es wird fälschlicherweise angenommen, dass niemand mehr als vier Kinder bekommt. Weiter wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Geburt eines Mädchens und eines Jungens gleich sind. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau keinen weiblichen Nachkommen hat? P (Kein weiblicher Nachkomme P (Kein weiblicher Nachkomme Kein Kind P (Kein Kind +P (Kein weiblicher Nachkomme Kind P ( Kind +P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder P ( Kinder +P (Kein weiblicher Nachkomme 3 Kinder P (3 Kinder +P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder P ( Kinder
3 Nun ist mit p (Wahrscheinlichkeit für Mädchen P (Kein weiblicher Nachkomme Kein Kind p 0 P (Kein weiblicher Nachkomme Ein Kind p ( P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder ( p ( P (Kein weiblicher Nachkomme 3 Kinder ( p 3 ( P (Kein weiblicher Nachkomme Kinder ( p 3 Also P (Kein weiblicher Nachkomme Aufgabe Mammographie ist eine Methode zur Erkennung von Brustkrebs. Die Rate der falsch negativen Befunde beträgt dabei 0%, d.h. bei 0% der Frauen mit Brustkrebs zeigt der Test ein negatives Ergebnis an. Die Rate der falsch positiven Befunde beträgt 0,7%, d.h. bei 0,7% der gesunden Frauen zeigt der Test ein positives Ergebnis an, obwohl sie gesund sind. Insgesamt 0,5% der Frauen, die an Vorsorgeuntersuchungen teilnehmen, haben Brustkrebs. Bei einer Frau hat die Mammographie den Befund Brustkrebs ergeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie wirklich Brustkrebs? P (Krebs Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs P (Mammographie sagt Krebs Nun gilt P (Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs Also finden wir +P (Mammographie sagt Krebs kein KrebsP (kein Krebs ( P (Mammographie sagt kein Krebs KrebsP (Krebs +P (Mammographie sagt Krebs kein Krebs( P (Krebs ( ( P (Krebs Mammographie sagt Krebs P (Mammographie sagt Krebs KrebsP (Krebs P (Mammographie sagt Krebs ( d.h. nur in 33% der Fälle, bei der Mammographie Alarm schlägt ist tatsächlich Anlass zur Sorge vorhanden. Das werden dann andere, gezieltere Tests nachprüfen. (Bemerkung: die Größenordnungen der Angaben sind einigermaßen realistisch Aufgabe 5 (Aus Fahrmeir et al. (003 übernommen Sie und Ihr Freund werfen je einen fairen Würfel. Derjenige, der die kleinere Zahl wirft, zahlt an den anderen so viele Geldeinheiten, wie die Differenz der Augenzahlen beträgt. Die Zufallsvariable X beschreibt Ihren Gewinn, wobei ein negativer Gewinn für Ihren Verlust steht. (a Welche Realisationen kann X annehmen?
4 Ein geeigneter Ergebnisraum für das Würfelwerfen ist (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (3,, (3,, (3, 3, (3,, (3, 5, (3, 6, Ω (,, (,, (, 3, (,, (, 5, (, 6, (5,, (5,, (5, 3, (5,, (5, 5, (5, 6, (6,, (6,, (6, 3, (6,, (6, 5, (6, 6 in der Notation (Mein Würfel, Sein Würfel. Insgesamt also Ω 6. Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die die Elementarereignisse e Ω nach R abbildet. Das heißt X((, 0, X((,, X((, 3,... X((6, 6 0. Insgesamt kann die Zufallsvariable also folgende Realisationen annehmen: 5,, 3,,, 0,,, 3,, 5. (b Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, und berechnen Sie den Erwartungswert E(X. Jedes der Elementarereignisse hat die Wahrscheinlichkeit. Abzählen liefert die Wahrscheinlichkeitsfunktion in Tabellenform: x f(x P (X x Für den Erwartungswert gilt: E(X (c Bestimmen Sie auch die Varianz Var(X. Es ist E(X ( 5 + ( Es wird der Varianzverschiebungssatz verwendet: ( + (5 Var(X E(X E(X Die Lösung lässt sich auch in R berechnen: R> x <- -5:5 R> fx <- c(,, 3,, 5, 6, 5,, 3,, / R> (E <- sum(x * fx [] 0 R> sum((x - E^ * fx [] R> sum(x^ * fx - E^ [] (d Falls Sie beide die gleiche Zahl würfeln, wird der Vorgang noch einmal wiederholt, aber die Auszahlungen verdoppeln sich. Würfeln Sie wieder die gleiche Zahl, ist das Spiel beendet. Geben Sie für das modifizierte Spiel die Wahrscheinlichkeit für Ihren Gewinn bzw. Verlust Y an. Es gilt:
5 P (Y 0 P (Y P (Y 6 P (Y 5 P (Y P (Y 3 P (Y P (Y P (Y P (X P (X P (X P (X P (X 3 6 P (X P (X P (X Aufgabe 6 Angenommen die unabhängigen Zufallsvariablen X, X, X 3 stammen alle aus einer Verteilung mit dem Erwartungswert 5. (a Bestimmen Sie den folgenden Erwartungswert: E(X 3X + X 3. Würde sich Ihr Ergebnis ändern, wenn die Zufallsvariablen abhängig sind? E(X 3X + X 3 E(X E(3X + E(X 3 E( E(X 3E(X + E(X Nein, auch wenn die Zufallsvariablen abhängig sind gilt E(X + X E(X + E(X. (b Berechnen Sie auch den Erwartungswert E(X X 5X + 3. E(X X 5X + 3 E(X X 5E(X + 3 E(X E(X 5E(X Aufgabe 7 (Münzdrehexperiment Wird im Tutorium bearbeitet Benutzen Sie eine -Euro-Münze und notieren Sie in der untenstehenden Tabelle, aus welchem Euro-Land die Münze stammt. Stellen Sie danach Ihren Tisch so gerade wie möglich und drehen Sie die Münze an, sodass sie mindestens 5 Sekunden von selbst dreht. Notieren Sie dabei für jeden Versuch, ob das Resultat Kopf (K oder Zahl (Z. Falls die Münze auf den Boden fällt oder nicht lange genug dreht, zählt das Ergebnis nicht und wird nicht notiert.
6 Wiederholen Sie das Münzdrehexperiment insgesamt 0 Mal und, füllen Sie untenstehende Tabelle aus. Trennen Sie diese dann vom Übungsblatt ab und geben Sie sie Ihrem Tutor. Die Daten werden in der Vorlesung analysiert. Homepage: LaMo:. Juni 00@3:07 QQQQrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrQQQ Herkunftsland der Münze : Versuch Nr Anzahl Kopf gesamt Ergebnis (K oder Z
Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/1 PD Dr. Sebastian Petersen 14.09.2017 Klausur zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Es können maximal 40 Punkte erreicht werden. Version mit Lösungsskizze Zur Notation:
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrEinführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management
Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:
MehrZufallsvariable X. 30 e. 40 e = 33,33...% 6
Zufallsvariable Wir führen ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω durch. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Ergebnis einen Zahlenwert zu. Eine Zufallsvariable ist also eine Funktion X : Ω
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 19/21, 29.04.2019 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2019 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrElemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt
Dr. M. Weimar 3.06.206 Elemente der Stochastik (SoSe 206) 0. Übungsblatt Aufgabe (2+2+2+2+3= Punkte) Zur zweimaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads (mit angenommener Gleichverteilung bei jeder Drehung)
MehrBeispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal
Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.
MehrBasiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)
Mehr1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung
1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung 1.1 Grundbegriffe Alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments fassen wir in einer Ereignismenge Ω zusammen. Ereignisse sind Teilmengen von Ω. Umfasst das
MehrProgramm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung
Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus
MehrWoche 2: Zufallsvariablen
Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit
MehrKlausur: Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 0/ 5.03.0 Dr. Sebastian Petersen Klausur: Diskrete Strukturen I Aufgabe. (8 Punkte) a) Sei X = {0, }. Geben Sie die Potenzmenge P (X) (durch Auflisten ihrer Elemente) an.
MehrUnabhängigkeit KAPITEL 4
KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht
MehrDieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.
MehrAufgabe A1 Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors
Level Grundlagen Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors gilt.
Mehr1,00 2,00 3,00 4,00 Bestimme den Gewinnerwartungswert. Entscheide, ob das Spiel fair ist.
Level Grundlagen Blatt Dokument mit 3 Aufgaben Aufgabe A Ein Glücksrad hat vier Sektoren, wovon die ersten beiden die Winkelgröße 60 haben. Für die Winkelgrößen und des dritten und vierten Sektors gilt.
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe
Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite
MehrKAPITEL 5. Erwartungswert
KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne befinden sich 3 schwarze und weiße Kugel. Wir entnehmen der Urne eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel in die Urne zurück. Dieses
MehrKlausur: Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/1 13.03.2013 Klausur: Diskrete Strukturen I Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an. Beschreiben Sie
MehrStochastik - Kapitel 2
" k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit
MehrStochastik (Laplace-Formel)
Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel
MehrP (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.
2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das
MehrLevel 1 Grundlagen Blatt 2
Level 1 Grundlagen Blatt 2 Dokument mit 1 Aufgaben Aufgabe A9 Ein Glücksrad besteht aus 3 Feldern, die folgendermaßen beschriftet sind: 1.Feld: 2,00 2. Feld: 5,00 3. Feld: 0,00 Das 1. Feld hat einen Mittelpunktswinkel
MehrA: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrTechnische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing.
Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Martin Nagel Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. In einer Urne
MehrBSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau Außenstelle Limbach-Oberfrohna STOCHASTIK
. Ordnen Sie die in den folgenden Bildern dargestellten Wahrscheinlichkeitsfunktionen nach den Erwartungswerten ihrer Zufallsgröße X mit x, 2,, 4, 5 größten Erwartungswert. i. Beginnen Sie mit dem Bild
MehrModelle diskreter Zufallsvariablen
Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben
MehrWirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
MehrAufgabe Punkte
Institut für Mathematik Freie Universität Berlin Carsten Hartmann, Stefanie Winkelmann Musterlösung für die Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 20/202 Name: Matr.-Nr.: Studiengang: Mathematik
MehrÜ b u n g s b l a t t 10
Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel. 6. 2007 Ü b u n g s b l a t t 0 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben
MehrStatistik II für Wirtschaftswissenschaftler
Fachbereich Mathematik 20.04.2017 Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 0 Keine Abgabe. Gegeben seien die Mengen A 1 =, A 2 = {1}, A 3 = {1, 1}, A 4 = {1, 3}, A 5 = {1, 2, 4}, A 6 = {1, 2, 3, 4}. a) Bestimmen
MehrStatistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg
für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2016 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Zufallsvariablen Beschreibung von Ereignissen
Mehr3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:
MehrAufgabe 1. Übung Wahrscheinlichkeitsrechnung Markus Kessler Seite 1 von 8. Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen
Ü b u n g 1 Aufgabe 1 Die Ereignisse A, B und C erfüllen die Bedingungen P(A) = 0. 7, P(B) = 0. 6, P(C) = 0. 5 P(A B) = 0. 4, P(A C) = 0. 3, P(B C) = 0. 2, P(A B C) = 0. 1 Bestimmen Sie P(A B), P(A C),
MehrInhaltsverzeichnis: Lösungen zur Vorlesung Statistik Kapitel 4 Seite 1 von 19 Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen
Inhaltsverzeichnis: Aufgabenlösungen zu Kapitel 4 3 Lösung zu Aufgabe 3 Lösung zu Aufgabe 9 3 Lösung zu Aufgabe 30 3 Lösung zu Aufgabe 3 3 Lösung zu Aufgabe 3 3 Lösung zu Aufgabe 33 3 Lösung zu Aufgabe
MehrAnliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.
2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang
MehrPfadwahrscheinlichkeiten
Pfadwahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Würfeln eine Doppelsechs zu erzielen, beträgt 6. Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass wir lediglich, also die Wahrscheinlichkeit,
MehrDiscrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:
Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln
MehrWahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien Übungsblatt 1
http://www.stat.tugraz.at/courses/exam/hw_108.pdf 1 Wahrscheinlichkeitstheorie für Informatikstudien 506.000 Übungsblatt 1 04. Nov. 2008 1. [A 2.1] TelematikstudentInnen im 3. Semester werden befragt,
MehrLösungen zu Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösungen zu Übungs-Blatt Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe ) Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung?
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten
MehrDiskrete Verteilungen
Diskrete Verteilungen Bernoulli-Verteilung: X Bernoulli(p) Symbol für «verteilt wie» «Eperiment» mit zwei Ausgängen: «Erfolg» ( 1) oder «Misserfolg» ( ). Die Erfolgswahrscheinlichkeit sei p. Wertebereich
MehrWirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13
Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die
MehrAbiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.
Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment
MehrKlausur: Diskrete Strukturen I
Universität Kassel Fachbereich 10/16 13.09.01 Klausur: Diskrete Strukturen I Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt an. Beschreiben Sie
MehrSTATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Kapitel 11 Diskrete Zufallsvariablen 11.1. Wahrscheinlichkeits- und diskret Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsfunktion von X Nimmt abzählbare Anzahl von Ausprägungen an (z.b. Zählvariablen)
MehrFit for Abi & Study Stochastik
Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen
MehrStatistik Probeprüfung 1
WWZ Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Universität Basel Dr. Thomas Zehrt Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen: Name Vorname Statistik Probeprüfung 1 Zeit: 90 Minuten, Maximale Punktzahl: 72 Zur Orientierung:
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe: Experiment: ein Vorgang, den man unter gleichen Voraussatzungen beliebig oft wiederholen kann. Ergebnis ω : Ausgang eines Experiments Ergebnismenge Ω : Menge
MehrWebinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie
Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrÜbungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie Judith Kloas, Wolfgang Woess, Jonas Ziefle SS 2016
Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie Judith Kloas, Wolfgang Woess, Jonas Ziefle SS 2016 43) [3 Punkte] Sei φ(t) die charakteristische Funktion der Verteilungsfunktion F (x). Zeigen Sie, dass für jedes
MehrGrundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Benutzung dieser Materialien ist auf Herbst 2017 beschränkt. Diese Hilfsmaterialien sind nur für unseren Studenten gemeint, dürfen also nicht weiterverteilt werden. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mehr9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe
Übungsmaterial 9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe 9. Erwartungswert Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den Erwartungswert
MehrStochastik: Erwartungswert Stochastik Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 10 Alexander Schwarz
Stochastik Erwartungswert einer Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com November 20 Aufgabe : Ein Glücksrad besteht aus Feldern, die folgendermaßen beschriftet sind:.feld:
MehrAbitur 2012 Mathematik Stochastik III
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 2012 Mathematik Stochastik III Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender Abiturientinnen und Abiturienten als Kandidaten. Jeder Bewerber gibt in einem
MehrVorkurs Mathematik. Christoph Hindermann. Wahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel 4 Christoph Hindermann Vorkurs Mathematik 1 4.0 Motivation Wenn 100 Münzen geworfen werden, wie ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau 50 davon Kopf zeigen? Angenommen, es befinden sich 300
MehrMathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
MehrWahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK
Prof. Dr. P. Bühlmann ETH Zürich Winter 2010 Wahrscheinlichkeit und Statistik BSc D-INFK 1. (10 Punkte) Bei den folgenden 10 Fragen ist jeweils genau eine Antwort richtig. Es gibt pro richtig beantwortete
MehrÜBUNG: ZUFALLSEREIGNISSE, BAUMDARSTELLUNGEN
ÜBUNG: ZUFALLSEREIGNISSE, BAUMDARSTELLUNGEN Resultate auf zwei Stellen nach dem Komma runden. 1. Auf einer Speisekarte gibt es 3 Vorspeisen, 5 Hauptspeisen und 2 verschiedene Desserts. Wie viele verschiedene
Mehr15. September 2010 Prof. Dr. W. Bley. Universität Kassel Klausur SS 2010 Diskrete Strukturen I (Informatik) Name:... Matr.-Nr.:... Viel Erfolg!
15. September 010 Prof. Dr. W. Bley Universität Kassel Klausur SS 010 Diskrete Strukturen I (Informatik) 1 3 4 5 6 Name:................................................ Matr.-Nr.:............................................
MehrVierte Schularbeit Mathematik Klasse 7D WIKU am
Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 7D WIKU am 21.05.2015 SCHÜLERNAME: Punkte im ersten Teil: Punkte im zweiten Teil: Davon Kompensationspunkte: Note: Notenschlüssel: Falls die Summe der erzielten Kompensationspunkte
Mehr0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5
4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit
MehrPflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Stochastik (Pfadregeln, Erwartungswert, Binomialverteilung) Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016
Mehr3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und
Mehr4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
4 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 4.14 Stochastische Vektoren 1. Der Merkmalraum des stochastischen Vektors (X, Y ) sei M = R 2. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten: A 1
MehrÜbungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x
Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable
MehrTU DORTMUND Sommersemester 2018
Fakultät Statistik. April 08 Blatt Aufgabe.: Wir betrachten das Zufallsexperiment gleichzeitiges Werfen zweier nicht unterscheidbarer Würfel. Sei A das Ereignis, dass die Augensumme beider Würfel ungerade
MehrÜbungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)
Statistik 2 Dr. Andrea Beccarini Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2012 Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung Stetiges Verteilungsmodell
Mehr4 Übungsaufgaben zu Kapitel 4
4 Übungsaufgaben zu Kapitel 4 4.1 Aufgabe. In einer Schachtel liegen vier mit 1 bis 4 nummerierte Kugeln. Wie lautet die Ergebnismenge, wenn zwei Kugeln mit einem Griff gezogen werden? 4.2 Aufgabe. Welche
MehrÜbungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr
Universität Münster Institut für Mathematische Statistik Stochastik für Lehramtskandidaten SoSe 015, Blatt 1 Löwe/Heusel Übungen Abgabetermin: Freitag, 10.7.015, 10 Uhr Hinweis: Dies ist nur eine Beispiellösung.
MehrAbitur 2016 Mathematik Stochastik IV
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 016 Mathematik Stochastik IV Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen
MehrAufgabenstellung und Ergebnisse zur. Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2018/19
Aufgabenstellung und Ergebnisse zur Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 08/9 PD Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer ˆ Die Klausur besteht
MehrTeil A hilfsmittelfreier Teil
Klassenarbeit GYM Klasse 0 Seite Datum: Thema: Name: Zeit: Erreichte Punkte: Note: Hilfsmittel: keine Teil A hilfsmittelfreier Teil Aufgabe : (4 Punkte) Entscheide, ob das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette
MehrSachrechnen/Größen WS 14/15-
Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der
MehrLösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9
Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht
MehrMathematik für Informatiker III im WS 05/06 Musterlösung zur 4. Übung
Mathematik für Informatiker III im WS 5/6 Musterlösung zur. Übung erstellt von K. Kriegel Aufgabe : Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum der Punkte P =(a, b) aus dem Einheitsquadrat [, ] [, ] mit
MehrÜbung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12
Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 03
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 03 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 16. November 2015 von:
Mehr1. Eigenschaften einer Zufallsstichprobe
1. Eigenschaften einer Zufallsstichprobe 1.1 Grundkonzepte Definition 1.1.1: Man nennt die Zufallsvariablen X 1,..., X n zufällige Stichprobe oder Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Population (Grundgesamtheit)
MehrLösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen und bedingte Wkt
Zu Aufgabe ) Wir betrachten den Laplace-Versuch V Werfen zweier Würfel. Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P ( A) A aus Aufgabe die Ω Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) A Werfen zweier
MehrVorlesung 2a. Diskret uniform verteilte Zufallsvariable
Vorlesung 2a Diskret uniform verteilte Zufallsvariable 1 Eine Zufallsvariable X heißt diskret uniform verteilt, wenn ihr Zielbereich S endlich ist und P(X = a) = 1 #S für alle a S. Damit beschreibt X eine
Mehr4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder
Mehr2. Klausur zu,,algorithmische Mathematik II
IAM/INS Sommersemester 2017 Andreas Eberle, André Uschmajew 2. Klausur zu,,algorithmische Mathematik II Bitte diese Felder in Druckschrift ausfüllen Name: Matrikelnr.: Vorname: Studiengang: Wichtige Hinweise:
MehrMarek Chudý. Institut für Statistik und Operations Research UE Statistik 1. Sommersemester, 4.
Marek Chudý Institut für Statistik und Operations Research http://homepage.univie.ac.at/marek.chudy/ UE Statistik 1 Sommersemester, 4. März 2015 Programm 1 Organisatorisches Literatur Anforderungen Notenschlüssel
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 2
Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen
MehrVorwort Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz...
Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 Zum Einstieg... 3 1 Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße... 5 1.2 Erwartungswert und Varianz... 7 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
MehrÜbersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF
Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
MehrUm zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert.
XV. Testen von Hypothesen ================================================================== 15.1 Alternativtest ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrWirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2011/12.
Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2011/12 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer
MehrÜbungen zur Mathematik für Pharmazeuten
27.10.2010 Blatt 2 Aufgabe 4: Eine Gruppe von Bewerbern wird nach drei Kriterien A 1, A 2, A 3 beurteilt. Der relative Anteil der Bewerber, welche eines oder mehrere der Kriterien erfüllen, wurde wie folgt
Mehr3. Anwendungen aus der Kombinatorik
3. Anwendungen aus der Kombinatorik 3.1. Ziehen mit Zurücklegen 1) Würfeln Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Sechser in 7 Würfen? 2) Glücksrad Ein Glücksrad zeigt "1" mit Wahrscheinlichkeit
MehrVorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder
MehrWählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,
V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein
MehrErwartungswert. c Roolfs
Erwartungswert 2e b a 4e Der Sektor a des Glücksrads bringt einen Gewinn von 2e, der Sektor b das Doppelte. Um den fairen Einsatz zu ermitteln, ist der durchschnittlich zu erwartende Gewinn pro Spiel zu
Mehr