Verteilungsfunktionen

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1 Verteilugsfuktioe Wie sid zufällige Fehler verteilt? Wie sid Messwerte verteilt? Fehler Messwerte Verteilugsfuktioe: Maxwell-Boltza Feri-Dirac Bose-Eistei Placksche Verteilug Frage ist stets, wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Teilche (Gasolekül, Elektro, Photo etc.) eie bestite Eergie, Geschwidigkeit usw. besitzt Vorlesug 5 1

2 Verteilugsfuktioe Wahrscheilichkeit (Reche it Wahrscheilichkeite) Bioial-Verteilug Noral (Gauß)-Verteilug Poisso-Verteilug Vorlesug 5

3 Begriff der Wahrscheilichkeit Beispiele: Kubischer Würfel (6 Oberfläche) { 1,, 3, 4, 5, 6 } Würfel it eie Würfel {Ω } ist eie Mege öglicher Versuchsergebisse, die it Ω bezeichet wird. Sie diet als Ausgagspukt für die atheatische Erfassug zufälliger Ereigisse. Die Eleete der ögliche Versuchsausgäge werde als Eleetarereigisse bezeichet. Werde die Eleete eizel aufgeführt, schreibt a Ω 1 {1,, 3, 4, 5, 6 } Es köe auch Teilege A 1 oder A iteressat sei: z. B. alle gerade Zahle: A 1 {, 4, 6} oder alle Zahle kleier als 4: A {1,, 3} Vorlesug 5 3

4 Würfel it zwei Würfel Begriff der Wahrscheilichkeit Die ögliche Versuchsergebisse werde durch Paare sybolisiert, die aus de Zahle 1 bis 6 gebildet werde. Ω (1,1), (1,), (1,3),..., (6,6) Reihefolge, falls otwedig, beachte. Falls Reihefolge icht otwedig: [1,1], Hier ist Vorsicht gebote, de [1,1] kot eial vor, währed [1,] zweial vorkot (1,) ud (,1) Vorlesug 5 4

5 Wahrscheilichkeitsdefiitio ach Laplace W Die Wahrscheilichkeit eies Eizelereigisses ist der Quotiet der güstige Fälle zur Zahl der ögliche Fälle. ( E) Z Z ( E) ( Ω) Azahlder für E güstige Ereigisse Azahlderögliche, gleich wahrscheiliche Eleetarereigisse Die Wahrscheilichkeit des sichere Ereigisses ist 1 Die Wahrscheilichkeit des uögliche Ereigisses ist 0 0 W 1 Je äher a 1, desto wahrscheilicher ist ei Ereigis. I tägliche Lebe wird die Wahrscheilichkeit oft i % agegebe Vorlesug 5 5

6 Reche it Wahrscheilichkeite Zu Beispiel ist die Wahrscheilichkeit, eie "6" zu würfel: 1/6 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für das Ereigis A 1, 4, 6? Das Ereigis A 1 lässt sich zerlege i die Eleetarereigisse E, E 4 ud E 6 Es gilt für die Wahrscheilichkeit vo A 1 W(A 1 ) W(E ) + W(E 4 ) + W(E 6 ) 1/6 + 1/6 + 1/6 1/ Obige Additio vo Wahrscheilichkeite ist ur da korrekt, we die Ereigisse E i eiader ausschließe. Eiader ausschließe heißt, a ka etweder eie eie 4 oder eie 6 würfel. Es gibt auch Ereigisse, die sich icht ausschließe Vorlesug 5 6

7 Reche it Wahrscheilichkeite Es seie A ud B Teilege vo Ω A A B B Der Durchschitt vo A ud B: Die Mege der Eleete ω vo Ω, die gleichzeitig zu A ud zu B gehöre, heißt Durchschitt: A B oder AB A B Die Vereiigug vo A ud B: Die Mege der Eleete ω vo Ω, die zu A oder zu B gehöre, heißt Vereiigug. Ei Eleet ka auch zu beide gehöre (Oder ist icht zu verwechsel it etweder oder) A B Vorlesug 5 7

8 Reche it Wahrscheilichkeite Sid A ud B sich gegeseitig ausschließede Ereigisse Also W (AB) W (A B ) 0, da ist die Wahrscheilichkeit für die Vereiigug vo A ud B: W (A B) W (A) + W (B) Da a bei eie Würfel icht gleichzeitig eie "" ud eie "3" würfel ka, ist die Wahrscheilichkeit eie "" oder eie "3" zu Würfel gleich der Sue der Wahrscheilichkeite der Eizelereigisse, also 1/6 + 1/6 1/3 Allgeei gilt: Die Wahrscheilichkeit für die Vereiigug zweier Eizelereigisse ist W (A B) W (A) + W (B) - W (A B) W (A B) W (A) * W (B) Vorlesug 5 8

9 Reche it Wahrscheilichkeite Allgeei gilt: Die Wahrscheilichkeit für die Vereiigug zweier Eizelereigisse ist W (A B) W (A) + W (B) - W (A B) W (A B) W (A) * W (B) Beispiel : Kartespiel it 5 Karte. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie Dae oder ei Herz zu ziehe? 5 Karte habe vier Dae ud 13 Herz, davo ist eie Karte "Herz-Dae" Vorlesug 5 9

10 Reche it Wahrscheilichkeite Beispiel : Kartespiel it 5 Karte. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie Dae oder ei Herz zu ziehe? 5 Karte habe vier Dae ud 13 Herz, davo ist eie Karte "Herz-Dae" W (A B) W (A) + W (B) - W (A B) W (A B) W (A) * W (B) 13 5 W (A B) 13/5 + 4/5 (13/5*4/5) 4 W (A B) 13/5 + 4/5-1/5 16/ Vorlesug 5 10

11 Beispiel: Kugel aus Ure Reche it Wahrscheilichkeite Ureodell: Wichtig bei Qualitätssicherug ud Eigagskotrolle Eie Ure ethält 5 Kugel, drei davo sid weiß zwei sid schwarz. Es werde zwei Kugel zufällig herausgegriffe. ide a beide Kugel zugleich herausit (Ziehe ohe Zurücklege) ide a zuächst eie Kugel herausit, zurücklegt ud och al zieht (Ziehe it Zurücklege) Die Kugel seie ueriert Weiß {1,, 3 } ud Schwarz {4, 5 } Vorlesug 5 11

12 Ziehe it Zurücklege Auf Reihefolge achte Reche it Wahrscheilichkeite Wie viele Möglichkeite gibt es isgesat? Ma hat 5 Möglichkeite für die erste Kugel: (1,..), (,..), (3,..), (4,..), (5,..) Für jede dieser 5 Möglichkeite gibt es 5 Möglichkeite für die zweite Kugel 5 * 5 5 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit zwei weiße Kugel zu ziehe? Vorlesug 5 1

13 Lösugswege: Reche it Wahrscheilichkeite Wie groß ist die Wahrscheilichkeit zwei weiße Kugel zu ziehe? Stupfsiiges Hischreibe (1,1), (1,), (1,3), (,1), (,), (,3), (3,1), (3,), (3,3) Dies sid eu Möglichkeite also: W ("zweial weiß") 9/ Kobiatorik Ma hat für die erste Kugel 3 güstige Möglichkeite. Für jede dieser drei Möglichkeite gibt es bei zweite Zug wiederu 3 güstige Möglichkeite, also 3* Vorlesug 5 13

14 Ziehe ohe Zurücklege hier ist die Reihefolge ohe Bedeutug Reche it Wahrscheilichkeite Wie viele Möglichkeite gibt es isgesat? Ma hat isgesat zeh Möglichkeite : [1,], [1,3], [1,4], [1,5], [,3], [,4], [,5], [3,4], [3,5], [4,5], davo sid 3 Ereigisse zwei weiße Kugel Wie groß ist die Wahrscheilichkeit zwei weiße Kugel zu ziehe? W ("zweial weiß") 3/ Vorlesug 5 14

15 KOMBINATORIK I diese Beispiele sid die Eleetarereigisse och abzählbar. Suche ach atheatische Hilfsittel zur allgeeie Behadlug Aahe: Wir habe vier Bücher i eier Kiste. Wir greife zufällig ei Buch aus der Kiste ud stelle es auf ei Regal. Wir greife das ächste Buch, stelle es daebe ud sofort Wie viele verschiedee Reihefolge (Perutatioe) gibt es? Vorlesug 5 15

16 KOMBINATORIK Bezeichug der Bücher it A, B, C ud D. Ausprobiere ist lagwierig ud ustädlich (A,C,B,D)...(D,A,C,B). Bei erste Griff i die Kiste habe wir vier Möglichkeite. Auf de Regal steht das Buch A, B, C oder D. Bei zweite Griff i die Kiste habe wir drei Möglichkeite. Bei dritte zwei ud bei vierte ur och eie Es gibt soit isgesat 4*3**1 4 Reihefolge Bezeichug! ( - Fakultät) Vorlesug 5 16

17 KOMBINATORIK Bezeichug! ( - Fakultät) Wobei gilt :! (-1)! ud 0! 1 Weiteres Beispiel: 5 Bücher auf 3 Plätze Für de erste Platz habe wir füf Möglichkeite, für de zweite Platz vier ud für de letzte Platz drei. Dies bedeutet, es gibt 5*4*3 60 ögliche Perutatioe ! (5 3)! Vorlesug 5 17

18 KOMBINATORIK Allgeeie Schreibweise P r! ( r)! Auf de drei Plätze gibt es ehrere Möglichkeite die drei Bücher (z.b. C, E ud A) azuorde. Wie wir wisse geau wie viele 3! 6, (CEA, CAE, EAC, ECA, ACE, AEC) We us die Reihefolge egal ist, wir lediglich dara iteressiert sid, wie viele uterschiedliche Kobiatioe verschiedeer Bücher es gibt, üsse wir die Zahl der Perutatioe durch r! dividiere. C r! ( r)! r! r Vorlesug 5 18

19 Bioischer Satz: C r! ( r)! r! r Das Klaersybol (gesproche über r) heißt auch Bioialkoeffiziet. Es sei der Ausdruck (a + b) auszureche. Es gibt Faktore (a + b) [(a+b) (a+b) (a+b)...(a+b) (a+b)] Wir habe die Aufgabe, aus jede dieser Faktore etweder a oder b auszuwähle ud diese Glieder iteiader zu ultipliziere ud die Ergebisse aufzuaddiere Wir köe aus jede Faktor das a herausziehe, was a ergibt. Da ka a aus (-1) Faktore das a herausziehe ud aus de verbleibede das b auswähle. Dies ergibt a -1 b 1. Wir erhalte Glieder der For a -r b r Vorlesug 5 19

20 Vorlesug 5 0 Bioischer Satz: Das Glied a -r b r kot so oft vor, wie es öglich ist, aus de vorhadee Faktore diejeige r Faktore auszuwähle, aus dee a das b zur Multiplikatio herazieht. Da die Reihefolge egal ist, ist dies auf verschiedee Arte öglich r ( ) r -r r b a r b a + 0 Bis auf a 0 b ud a b 0 koe alle Glieder ehrfach vor. ( ) b a b a b a b a b a

21 Recheregel 0! ( 0)!0! 1 r r! ( )!! 1 r + r r + 1 r + r r + 1! ( r)!r! ( r + 1 )(! r ) ( r)!r!(r +1) ( r + 1 )(! r ) ( r)!(r +1)! ( r + ) ( r) +!(r +1)!(r +1) ( r)! +! + +!(r +1) +!( - r)!(r +1)!!!r +! +! -!r!(r +1)! 1!!( - r) 1!( - r)!!(+1)!( - r) 1!( - r) (+1)! + 1 ( r)!(r +1)! ( r)!(r +1)! ( r)!(r +1)! r Vorlesug 5 1

22 Aweduge Beispiel: Ure it zeh Kugel 4 sid weiß, sechs sid schwarz weiß hat die Ziffer 1 bis 4 schwarz die Ziffer 5 bis 10 a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege Us iteressiere folgede Wahrscheilichkeite: E o : a erhält drei weiße Kugel E 1 : a erhält zwei weiße Kugel ud eie schwarze Kugel E : a erhält eie weiße Kugel ud zwei schwarze Kugel E 3 : a erhält drei schwarze Kugel Vorlesug 5

23 Aweduge a ) Ziehe ohe Zurücklege Reihefolge ist egal (Kobiatioe icht Perutatioe) Diskussio für W(E o ) (Drei weiße Kugel) soit ist W (E o ) 4/ Vorlesug 5 3

24 Aweduge a ) Ziehe ohe Zurücklege Reihefolge ist egal (Kobiatioe icht Perutatioe) Diskussio für W(E 1 ) (zwei weiße, eie schwarze Kugel) 4 Es gibt Möglichkeite, die erste beide Stelle zu besetze. 6 1 Für jede dieser Möglichkeite gibt es Möglichkeite de dritte Platz zu besetze Die Azahl der eleetare Ereigisse ist soit soit ist W (E 1 ) 36/ Vorlesug 5 4

25 Vorlesug 5 5 Aweduge a ) Ziehe ohe Zurücklege Zusaefassug ( ) ( ) ( ) ( ) E W E W E W E W o W(E 0 ) + W(E 1 ) + W(E ) + W(E 3 ) 1

26 Aweduge Beispiel: Ure it zeh Kugel 4 sid weiß, sechs sid schwarz weiß hat die Ziffer 1 bis 4 schwarz die Ziffer 5 bis 10 a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege Us iteressiere wiederu folgede Wahrscheilichkeite: E o : a erhält drei weiße Kugel E 1 : a erhält zwei weiße Kugel ud eie schwarze Kugel E : a erhält eie weiße Kugel ud zwei schwarze Kugel E 3 : a erhält drei schwarze Kugel Vorlesug 5 6

27 Aweduge a ) Ziehe it Zurücklege Reihefolge ist wichtig [Hier werde geordete Tripel gesucht (i 1,i,i 3 )] Diskussio für W(E o ) (Drei weiße Kugel) Die Gesatzahl der Ereigisse ist : 10 3 Wie viele Möglichkeite für weiße Kugel gibt es? 4*4*4 64 soit ist W (E o ) 64/ Vorlesug 5 7

28 Aweduge a ) Ziehe it Zurücklege Reihefolge ist wichtig [Hier werde geordete Tripel gesucht (i 1,i,i 3 )] Diskussio für W(E 1 ) (Zwei weiße Kugel, eie schwarze) Die Gesatzahl der Ereigisse ist : 10 3 Irgedwelche zwei der drei Plätze werde it Zahle zwische1 ud 4 besetzt (Weiß). Der restliche dritte Platz wird it eier Nuer zwische 5 ud 10 besetzt (Schwarz) 3 Dies ist auf Arte öglich : w, w, s w, s, w s, w, w Vorlesug 5 8

29 a ) Ziehe it Zurücklege Aweduge Diskussio für W(E 1 ) (Zwei weiße Kugel, eie schwarze) Wir zähle zuächst alle Eleetarereigisse, bei dee die erste beide Plätze it weiße Kugel besetzt werde, der dritte it eier schwarze Kugel (w, w, s) Azahl ist 4*4*6, besser 4 *6 1 Wir köe die zwei Plätze für weiße Kugel aus isgesat drei ögliche Plätze auf verschiedee Arte auswähle 3 Also habe wir für E1 geau * 4 * 6 1 Möglichkeite (88) W(E1) 88/ Vorlesug 5 9

30 Aweduge a ) Ziehe it Zurücklege Zusaefassug W ( E ) o W ( E ) W ( E ) W(E 0 ) + W(E 1 ) + W(E ) + W(E 3 ) 1 W ( E ) Vorlesug 5 30

31 Allgeeie Forulierug: Eie Ure ethalte N Kugel, uter dee sich geau M schwarze Kugel befide (0 M N). Aus dieser Ure werde Kugel (0 N) zufällig herausgezoge, ud zwar a) ohe Zurücklege (α ist die Azahl der herausgegriffee schwarze) b) it Zurücklege (β ist die Azahl der herausgegriffee schwarze) Die Wahrscheilichkeit: a) ohe Zurücklege b) it Zurücklege ( ) W α M N M N W ( β ) M N ( N M ) Vorlesug 5 31

32 Vorlesug 5 3 Die Bioialverteilug ( ) ( ) ( ) ( ) N M p wobei p p N M N M N N N M N M N M N M W, 1 1 β b) it Zurücklege Ma sieht, dass die Wahrscheilichkeit uter gezogee Kugel, geau schwarze zu fide, ur vo Ateil der schwarze Kugel i der Ure abhägt ud icht vo N oder M selbst abhägt.

33 Die Bioialverteilug W ( β ) p ( 1 p), wobei p M N Ma sieht, dass die Wahrscheilichkeit uter gezogee Kugel, geau schwarze zu fide, ur vo Ateil der schwarze Kugel i der Ure abhägt ud icht vo N oder M selbst abhägt. Dieser Ateil p ka atürlich selbst wieder als Wahrscheilichkeit aufgefasst werde, bei eialige Ziehe eie schwarze Kugel zu erhalte Vorlesug 5 33

34 Die Bioialverteilug W ( ) ( ) β p 1 p Beispiel: Müzwurf Wir werfe zwazig Mal ( 0) eie Müze ud frage, wie oft erhalte ich das Ergebis Zahl? Die Wahrscheilichkeit für das Eizelereigis Zahl ist p 1/ Die Bioialverteilug gibt Auskuft über Frage ach der Wahrscheilichkeit bei zwazig Würfe vier Mal ( 4) das Ergebis Zahl zu erhalte Vorlesug 5 34

35 W ( ) ( ) β p 1 p Die Bioialverteilug 0 p 1/ Verteilug ist diskret Verteilug ist syetrisch Vorlesug 5 35

36 Die Bioialverteilug 0 p p p 0.0 Je größer die Abweichug vo p 0.5, desto usyetrischer wird die Verteilug Vorlesug 5 36

37 Die Bioialverteilug W ( ) ( ) p 1 p Die Bioialverteilug hat zwei Paraeter ( ud p). Sie ist für p1/ syetrisch. Für kleie ud große p ist sie stark asyetrisch. Die Bioialverteilug ist oriert, d.h. die Sue der W() ist 1 Wie groß ist der Mittelwert (Erwartugswert)? Vorlesug 5 37

38 Die Bioialverteilug Wie groß ist der Mittelwert (Erwartugswert)? g g ( xi ) P( xi ) P( x ) i oder bei kotiuierliche Verteiluge g g ( x) P( x) P( x) dx dx Bei der Defiitio des Mittelwertes ud der Variaz (siehe voragegagee Vorlesuge) habe wir ichts aderes geta, als de Erwartugswert vo x ud (x - M) berechet Vorlesug 5 38

39 Mittelwert der Bioialverteilug M 0 W ( ) 0 ( )!!! p ( 1 p) Der Suad it 0 ist Null, daher Suatiosgreze 0 durch 1 ersetzte es gilt :! 1 1 ( )! Dait erhält a: M p 1 1! ( )!( 1)! ( ) p Vorlesug 5 39

40 Mittelwert der Bioialverteilug Herausziehe vo p M M p 1 1! ( )!( 1)! ( 1)! ( 1)!( ) ( ) p p p 1 1! ( p) Substitutio vo a -1 ud b -1 ergibt: M b b! a p p ( 1 p) a 0 ( b a)! a! Dait ist der Mittelwert eier Bioialverteilug M p Vorlesug 5 40

41 Variaz eier Bioialverteilug Die Variaz ist der Erwartugswert vo (-M) σ 0 ( M )!! ( )! p ( 1 p) Hier ist beutzt, dass folgedes gilt: σ x ( x M ) p( x) x p( x) M x σ 0!! ( )! p ( 1 p) M lässt sich schreibe als ( ( - 1) + ) Vorlesug 5 41

42 Variaz eier Bioialverteilug lässt sich schreibe als ( ( - 1) + ) σ 0 ( 1)!! ( )! p ( 1 p) Für 0 ud 1 sid die Suade Null; Suatio begit it +! p ( 1 p) 0! ( )! M M σ ( 1) ( 1) ( 1) p p!! p ( 1 p) ( )! ( )! ( )!( + ) b b! a p a 0 a! ( b a)! ! + M M p ( 1 p) b ( 1 p) + M M + + M M Vorlesug 5 4

43 Variaz eier Bioialverteilug σ ( 1) p + M M Da M p, σ p p + p p Die Variaz der Bioialverteilug ist soit σ p 1 ( p) Vorlesug 5 43

44 Zusaehag der Verteiluge Beroulli- Verteilug diskret Paraeter: 1, p Bioial-Verteilug diskret Paraeter:, p Bi (x)! p! 0 Poisso- Verteilug diskret Paraeter µ σ P(x)! p! cost. Gauss-Verteilug Noral-Verteilug kotiuierlich Paraeter: µ, σ G (x) µ! µ p Vorlesug 5 44