Optimierung von Durchforstungen mit einer Einzelbaum-Betrachtung. Ein einfaches Modell

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1 Optimierung von en mit einer Einzelbaum-Betrachtung Weshalb kann die Optimierung der Entnahme von n aus einem Bestand nicht ganz analog der Bestimmung der optimalen Nutzungszeitpunkte für Bestände durchgeführt werden? Ein einfaches Modell Es werden nur wenige betrachtet Die Endnutzungszeit liegt fest Bis zur EN ist eine begrenzte Zahl von Eingriffen möglich Eingriffe können unterbleiben Die Eingriffsstärke ist durch Restriktionen begrenzt 1

2 Modellannahmen (1) 1. bis zur EN sind zwei Eingriffe möglich 2. bei jedem Eingriff können maximal 2 entnommen werden 3. Es müssen zwei zur EN stehenbleiben 4. Es werden 5 betrachtet 5. Die werden als in jeder Hinsicht gleich angenommen Die möglichen Lösungen dieses Modells können mit einem Zustandsbaum beschrieben werden. 2

3 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Es gibt bei den gegebenen Restriktionen offenbar 8 mögliche Pfade Wovon hängt es ab, welcher Pfad optimal ist? An welchem Kriterium sollen die Pfade beurteilt werden? 3

4 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Sinnvolle Beurteilungskriterien sind: Endwert Kapitalwert Annuität Welche weiteren Annahmen sind nötig, um die Vorteilhaftigkeit beurteilen zu können? 4

5 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN notwendige weitere Modellannahmen: Zinssatz Wachstum der in Abhängigkeit von der Baumzahl 5

6 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Welcher Pfad wäre optimal, wenn sich die nicht gegenseitig im Wachstum beeinflussen würden? Das käme auf Zinssatz und Wertzuwachsprozent an. Läge das (konstante) Wertzuwachsprozent über dem (geforderten) Zins wäre es die schwächste, läge er darunter, die stärkste 6

7 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Optimum bei p kleiner WZP Unter welchen Bedingungen sind andere Lösungen denkbar? Optimum bei p größer WZP 7

8 Start 5 WZP>p keine DF 1 Baum 2 WZP<p 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Wenn das Wertzuwachsprozent nicht konstant ist, sondern abnimmt, kann es sinnvoll sein, auf die 1. DF zu verzichten und bei der zweiten DF stark einzugreifen. Aber eigentlich sollte dann statt der 2. DF sofort die EN stattfinden. 8

9 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN Optimum bei p kleiner WZP Wenn das Wertzuwachsprozent durch en weiter angehoben werden kann, sind en sinnvoll, auch wenn das WZP noch größer ist als der geforderte Zins. en sind sinnvoll, wenn sie das WZP über dem geforderten Zins halten. 9

10 Eine konkrete Lösung soll für folgende Annahmen berechnet werden: ohne DF beträgt der 10jährige Wertzuwachsfaktor 1,48 in der ersten und 1,34 in der zweiten Periode die Entnahme eines Baumes erhöht den 10jährigen Wertzuwachsfaktor um jeweils 0,2, die Entnahme von 2 n um 0,3 der 10jährige Zinsfaktor beträgt 1,22 Lösung für die beiden Pfade ganz links: keine DF keine DF keine DF 1 Baum nach der 1. Periode 5 5 WZP bzw. Zins 1,48 1,48 Wert 7,4 7, nach der 2. Periode WZP bzw. Zins 1,34 1,54 1,22 Wert 9,916 9,1168 1,8056 Summe Wert 9,916 10,

11 Start 5 keine DF 1 Baum 2 1. DF keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2. DF EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 EN 9,92 10,92 10,89 10,49 11,84 12,51 11,03 12,45 Endwerte 3,5 4,0 4,0 3,8 4,4 4,7 4,0 4,7 int. Zins Optimal ist eine Lösung mit zwei en. 11

12 5 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 9,92 10,92 10,89 10,49 11,84 12,51 11,03 12,45 Endwerte 3,5 4,0 4,0 3,8 4,4 4,7 4,0 4,7 int. Zins Es stellt sich jetzt die Frage, wieviel man verliert, wenn nur einmal durchforstet wird? Die beste Lösung mit nur einer ist 11,03. Also 12,51 11,03 = 1,48 Würde es mehr als 1,48 GE/Baumgruppe kosten, die 2. DF durchzuführen (Maßnahmenfixkosten, Verwaltungskosten), wäre ein Unterlassen besser. 12

13 5 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum 2 keine DF 1 Baum EN 5 EN 4 EN 3 EN 4 EN 3 EN 2 EN 3 EN 2 9,92 10,92 10,89 10,49 11,84 12,51 11,03 12,45 Endwerte 3,5 4,0 4,0 3,8 4,4 4,7 4,0 4,7 int. Zins Wie hoch ist der Nachteil durch unterlassene en? Ohne en beträgt der Endwert 9,92 GE. Die Differenz zur besten Alternative ist 12,51 9,92 = 2,59 GE. Durch Unterlassen der en kann also maximal ein Schaden von 2,59 GE pro 5 n entstehen. 13

14 Erweiterung des Modells um den Risikoaspekt Im Zuge von en werden regelmäßig entfernt, die kränkeln oder schon abgestorben sind. Dadurch kann Holz vor dem Verderb gerettet werden. Je häufiger durchforstet wird, desto wahrscheinlicher ist es, daß Wertminderungen durch Verderb vermieden werden können. Je häufiger durchforstet wird, desto höher sind aber die Kosten von en (Maßnahmen-Fixkosten). Mit einem Zustands- bzw. Entscheidungsbaum kann eine solche Situation beschrieben werden, in der mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit kränkeln und Wertminderungen in Abhängigkeit von sentscheidungen entstehen bzw. vermieden werden. 14

15 10 ein Baum kein Baum keine keine ein Baum kein Baum ein Baum kein Baum kränkel ein Baum kein Baum kränkel keine keine keine keine Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung alle kränkelnden werden entnommen 15

16 Modellannahmen Das Modell kann zur Abschätzung der Ergebnisse von sregimen verwendet werden, wenn u.a. Modellannahmen Wahrscheinlichkeiten für das Kränkeln von n unterstellt werden. Die bisherigen Modellannahmen können beibehalten werden. Die sstärke betrage konstant 2 Es sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit für das Kränkeln eines Baumes aus der Gruppe sei in der ersten Periode 0,15 und in der zweiten Periode 0,10. Es sei angenommen, kränkelnde würden ohne Wertminderung geerntet, wenn durchforstet wird; 16

17 10 ein Baum p=0,15 p=0,85 kein Baum keine keine ein Baum p=0,1 p=0,9 p=0,1 kein Baum ein Baum kein Baum p=0,9 ein Baum kein Baum keine keine keine keine Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Anzahl wertgeminderter 17

18 10 ein Baum p=0,15 p=0,85 kein Baum keine kein Baum p=0,1 p=0,9 p=0,1 p=0,9 ein Baum kein Baum ein Baum kein Baum p=0,1 keine keine keine keine keine Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Anzahl wertgeminderter 18

19 Es sei angenommen, ein Baum repräsentiere in der ersten Phase einen Wert von 2, später 10 ein Baum ein Baum kein Baum Start 0,15 0,85 ein Baum kein Baum 0,10 0,9 0,10 0,9 kein Baum Wahrscheinlich keit 0,015 0,135 0,085 0,765 Schaden Erwartungswert 0,18 0,27 0,85 Summe 1,3 Der Schaden beträgt also maximal 12 und minimal 0 und besitzt einen Erwartungswert von 1,3 19

20 Es stellt sich die Frage, ob die Minderung des Schadens durch en gerechtfertigt ist. Dazu sind Annahmen über die Kosten der en zu treffen. Es sei angenommen, bei der ersten würden die Erlöse die variablen Kosten decken. Dann wäre die (bei Risikoneutralität) gerechtfertigt, wenn der Erwartungswert des Schadens bei unterlassener größer wäre als die fixen Kosten. Im Beispiel wäre die erste gerechtfertigt, wenn die fixen Kosten pro Baumgruppe geringer wären als 0,15 x 2 = 0,3 Für die Beurteilung der zweiten kommt es ggf. auch darauf an, ob schon tote noch geerntet werden können, die in der Endnutzung dann wertlos wären. 20

21 10 p=0,15 p=0,85 ein Baum kein Baum keine p=0,1 p=0,9 p=0,1 p=0,9 keine ein Baum kein Baum ein Baum kein Baum ein Baum kein Baum keine keine keine keine Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung kränkelnde B wertgem. B. 2 1 total wertgem B. 21

22 10 p=0,15 p=0,85 ein Baum kein Baum p=0,9 keine p=0,1 p=0,9 p=0,1 kein Baum p=0,1 ein Baum kein Baum ein Baum kein Baum keine keine keine keine keine Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung Endnutzung kränkelnde B. 1 1 wertgem. B. 1 1 total wertg. B. 22

23 Für alle Äste des Entscheidungsbaumes ist eine Endvermögensrechnung nach dem folgenden Schema möglich: 23

24 1. 2. Endnutzung Endvermögen gesunde wertgeminderte DF-Fixkosten gesamt gesunde wertgeminderte DF-Fixkosten gesamt gesunde wertgeminderte Erlös 1. DF verzinst Erlös 2. DF verzinst Erlös Endnutzung Erlös Endvermögen 24

25 Die Wahl zwischen 2 n bei der Wir wollen eine Entscheidungssituation untersuchen, in der einer von zwei n entnommen werden soll. Es gibt eine Wechselwirkung zwischen den beiden n, und zwischen den beiden n und dem Baum Z, aber Wechselwirkungen mit anderen n sind irrelevant bzw. vernachlässigt. Entnahme des ersten s- Baumes Entnahme des zweiten s- Baumes Ernte des Z-Baumes Zeit t=0 t=1 t=2 25

26 Das 2-Baum-smodell Wachstumsrate Durchmesser Volumen Alter Es gilt: Der Kapitalwert der Differenz ist gleich der Differenz der Kapitalwerte, weil die Entnahme eine echte Alternative ist. Für einzelne gilt generell dasselbe wie für Waldbestände: mit zunehmendem Alter, Durchmesser bzw. Volumen nimmt die Wachstumsrate (Wertzuwachsrate) ab. Entsprechend der Pressler-Regel kann man für einzelne fordern, sie nur solange stehen zu lassen, wie ihre Wertzuwachsrate höher ist als der Kalkulationszins. Die Restriktionen einer fixen Umtriebszeit sowie der Entnahme von 2 n in 2 en können aber dazu führen, daß Wertzuwachsraten unter dem Kalkulationszins liegen. Die Wechselwirkungen zur Umtriebszeit bleiben unbeachtet. 26

27 Das einfachste smodell Wahl zwischen 2 n p ist der Zinssatz (1+i) z1<p z1=p z1>p z2<p z2=p z2>p z2<p z2=p z2>p z2<p z2=p z2>p beide sofort Baum 1 Baum 2 Baum 1 Baum 2 z1, z2 sind die Wachstumsraten der 1, 2 jeweils nach Entnahme des anderen. Indifferenz nach End- oder Kapitalwert Entscheidungen ohne den Einfluß auf den Wert von Z 27

28 Z-Baum-smodelle und Gewinnmaximierung Z-Baum-smodelle sind keineswegs zwangsläufig gewinnmaximierend. Hier wird eine Umtriebszeit vorgegeben. Diese kann vom Optimum abweichen. en und Umtriebszeit müßten simultan optimiert werden. Die Z-Baum-en führen im Zweifel zu einer etwas geringeren Holzproduktion. Die durch Z-Baum-en angestrebte Durchmesser-Struktur ist vor allem bei einem deutlichen Preisanstieg über dem Durchmesser günstig. In den vergangenen Jahren ist diese Preiskurve aber flacher geworden. 28

29 smodell für 2 Im Modell, das die Entnahme von 2 n in 2 en vorsieht, gilt das folgende Rechenschema: Strategie erst B1 Strategie erst B2 Bei der Berechnung zum Vergleich der beiden t=0 Erlös für B1 Erlös für B2 sstrategien sind die wechselseitigen Einflüsse auf das Wachstum zu berücksichtigen. t=1 Erlös für B2 Erlös für B1 t=2 Erlös für Z Erlös für Z Es ist mit einem Kalkulationszins der Endwert oder der Kapitalwert der Strategien zu berechnen. Endwert Endwert Die Strategie mit dem höheren Wert ist zu wählen. Endwertdifferenz bei Entnahme von Baum B1 statt Baum B2 Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 Erlösdifferenz in t=2 Summe Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Mehrwert des Baumes Z Zinsfaktor Endwert Es gilt: Der Kapitalwert der Differenz ist gleich der Differenz der Kapitalwerte, weil die Entnahme eine echte Alternative ist. Für Endwerte gilt das auch. 29

30 smodell für 2 Endwertdifferenz bei Entnahme von Baum B1 statt Baum B2 Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 Erlösdifferenz in t=2 Summe Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Mehrwert des Baumes Z Wenn B1 dicker ist, dann ist dieser Wert positiv Wenn B1 dicker ist, dann ist dieser Wert wahrscheinlich negativ Wenn Z durch die Strategie B1 zuerst stärker gefördert wird, ist dieser Wert positiv. Wenn die Summe der aufgezinsten oder abgezinsten Werte positiv ist, dann ist die Strategie B1 zuerst die vorteilhaftere Diesen Wert kann man als Grenznutzen der Strategie verstehen. 30

31 smodell für 2 B1 Die B und B1 stehen gleichweit von Z weg und sind auch sonst gleich. Hinsichtlich ihrer Entnahme herrscht Indifferenz. Wir nehmen B als Bezugspunkt Bei Entnahme von B1 Förderung von Z B Bei Entnahme von B Förderung von Z Z Die Förderung von Z ist jeweils gleich und die gegenseitige Förderung auch. 31

32 smodell für 2 Baum B1 ist zwar dünner als B, steht aber näher an Z. Dadurch kann die Wirkung auf Z gleich sein. Es stellt sich dann die Frage, ob es vorteilhafter ist, erst B und dann B1 zu entnehmen oder umgekehrt. B1 Wir nehmen B als Bezugspunkt Entfernung B Z Wir könnten versuchen, eine sregel aufzustellen, die Wenn die Wirkung für einen gegebenen Abstand zwischen auf Z gleich ist, kommt den beiden n sowie Durchmesserund Entfernungsdifferenz angibt, welcher es auf den Zins und die Wachstumsraten von B der beiden zu entnehmen ist. und B1 an. 32

33 Verhältnis des BHD von B und B1 Baum B Bezugsbaum Baum B1 1 B ist dicker und näher und daher der stärkere Konkurrent 50:50 Linie der Indifferenz B ist dicker und dadurch trotz der größeren Distanz der stärkere Konkurrent B ist näher und dadurch trotz des geringeren Durchmessers der stärkere Konkurrent 1 4 B1 ist der stärkere Konkurrent B ist dicker 2 Verhältnis der Distanz von B und B1 B ist näher 50:50 33

34 smodell für 2 Die gleichdicken B und B1 stehen gleichweit von Z weg. Hinsichtlich ihrer Entnahme herrscht Indifferenz. B1 Durchmesser-Differenz dicker als B B3 Linie der Indifferenz B4 B Z Entfernungs-Differenz weiter weg als B Bei B3 ist die Durchmesser- Differenz groß und die Entfernungs-Differenz klein, so daß B3 entnommen wird. B4 ist nur wenig dicker, steht aber recht weit weg, so daß B entnommen wird 34

35 smodell für 2 Je geringer die Distanz zwischen den n B und B1 ist, desto mehr Bedeutung kommt für die Entnahme der Förderung des verbleibenden Baumes zu. B1 Die B und B1 stehen gleichweit von Z weg und sind auch sonst gleich. Insbesondere bei gleichem BHD der beiden dürfte ihre Entfernung zueinander aber keine Rolle für die Entnahme spielen. Wir nehmen B als Bezugspunkt B Z Bei unterschiedlichen Durchmessern der sbäume kann es aber in Abhängigkeit vom Zins zu einer Situation kommen, in der der dünnere Baum zuerst zu ernten ist. 35

36 smodell für 2 Durchmesser-Differenz dicker als B Liegt der Baum in diesem Feld, wird er entnommen Linie der Indifferenz Die Linie der Indifferenz muß keine Gerade sein. Für unterschiedliche Distanzen der kann die Linie der Indifferenz anders verlaufen. B3 Liegt der Baum in diesem Feld, wird der Bezugsbaum B entnommen B4 Entfernungs-Differenz weiter weg als B 36

37 Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 Erlösdifferenz in t=2 Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Mehrwert des Baumes Z Einflüsse abhängig von den Durchmessern der beiden in t=0 abhängig von den Durchmessern in t=0 und dazu abhängig von der Begünstigung, die der verbleibende Baum durch die Entnahme des anderen erfährt, damit auch abhängig von der räumlichen Verteilung der sbäume B1 und B2 abhängig von dem Durchmesserzuwachs und damit abhängig von der Begünstigung die der Baum durch die sequentielle Entnahme der B1 und B2 erfährt 37

38 Faustregel: immer der dickere Baum zuerst Es spricht in einer Entscheidungssituation wie der hier diskutierten viel für die Faustregel entnimm immer den stärksten Konkurrenten. 1. Die Wachstumsrate des dicksten Konkurrenten fällt am ehesten unter den Zins. 2. Die Entnahme des stärksten Konkurrenten fördert auch die anderen Konkurrenten am meisten, hebt also ihre Wachstumsraten am stärksten an. 3. Die Entnahme der dicksten Konkurrenten maximiert den aktuellen serlös. 4. Die Entnahme der dicksten hält damit den Wert des stehenden Vorrats relativ gering. 38

39 Das 2-Baum-smodell Wenn Baum 1 recht dick ist und Baum 2 recht dünn, welcher Baum wird dann vermutlich zuerst entnommen? Wie hängt diese Entscheidung vom Zins ab? Wenn Baum 2 wertmäßig keine Rolle spielt, degeneriert die Fragestellung zur Frage, ob es besser ist Baum 1 gleich oder bei der 2. Entnahme zu ernten. 1. Entnahme 2. Entnahme Endnutzung Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 2 s- Baum 1 Baum 2 Baum 2 Z-Baum Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Zinsfaktor Baum 1 Z-Baum Endwert Erlösdifferenz in t=2 Summe Mehrwert des Baumes Z 39

40 Das 2-Baum-smodell Welche sregel müßte bei p=0 (Waldreinertragslehre) zur Anwendung kommen? 2 s- Immer der Baum mit dem geringsten Wertzuwachs zuerst. 1. Entnahme 2. Entnahme Baum 1 Baum 2 Baum 2 Baum 1 Endnutzung Z-Baum Z-Baum Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 Erlösdifferenz in t=2 Summe Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Mehrwert des Baumes Z Zinsfaktor Endwert 40

41 Das 2-Baum-smodell Warum ist bei einem hohen Zins der dickere der beiden s- zuerst zu entnehmen? 2 s- 1. Entnahme Baum 1 Baum 2 2. Entnahme Baum 2 Baum 1 Endnutzung Z-Baum Z-Baum Erlösdifferenz in t=0 Erlösdifferenz in t=1 Erlösdifferenz in t=2 Summe Mehrwert von B1 gegenüber B2 Mehrwert von B2 gegenüber B1 Mehrwert des Baumes Z Zinsfaktor Endwert 41

42 Verhältnis des BHD von B und B1 Baum B Bezugsbaum Baum B1 Es könnte eine Indifferenz-Fläche in den dreidimensionalen Raum gelegt werden. 50:50 Distanz der beiden B ist dicker Verhältnis der Distanz von B und B1 B ist näher 50:50 42

43 Zinsabhängigkeit von en tendenziell geringe Entnahmen, mit geringem Durchmesser tendenziell hohe Entnahmen, relativ starke, bei Z-Baum-en die stärksten Konkurrenten. 0 hoch Zins Bei hohen Zinsen Tendenz zum creaming 43

44 Modellannahmen für ein Z-Baum- smodell Ein Z-Baum ist bestimmt, der erst zur EN zum Einschlag kommt Es wird eine Gruppe von einem Z-Baum und 5 n betrachtet Bis zur EN finden 2 en statt, bei denen jeweils 1 Baum entnommen wird Die Wirkung der Entnahme jeden Baumes auf das Wachstum aller anderen ist bekannt 44

45 Baumgruppe 5 um einen Z-Baum B1 B2 B5 Z B3 B4 45

46 Erhöhung des WZP eines Baumes bei Entnahme eines Konkurrenten Abstand zum Konkurrenten Stärke des Konkurrenten 46

47 Z-Baum + 5 (B1,..B5) B1 B2 B3 B4 B5 B2 B3 B4 B5 Z B3,B4,B5 Z B2,B4,B5 Z B2,B3,B5 Z B2,B3,B4 Wird in 2 en jeweils ein Baum entnommen, sind 5 x 4 = 20 Kombinationen möglich Zur Vereinfachung sei angenommen, eine Auswirkung der Entnahme eines Baumes beschränke sich auf den Z-Baum und die beiden Nachbarbäume. 47

48 Wertzuwachs in Prozent ohne Wirkung der DF Z B1 B2 B3 B4 B5 1. DF 1,05 1,048 1,046 1,044 1,042 1, DF 1,04 1,038 1,036 1,034 1,032 1,030 Bei Entnahme von Steigerung des jährlichen Wertzuwachses in Prozentpunkten Z B1 B2 B3 B4 B5 B1 0,005 X 0, ,001 B2 0,007 0,003 X 0, B3 0, ,004 X 0,003 0 B4 0, ,005 X 0,004 B5 0,013 0, ,006 X 48

49 Das Modell kann durch Berechnung aller möglichen Lösungen (vollständige Enumeration) gelöst werden. Dazu müssen für jede Periode die Ausgangswerte des Wertzuwachses und die Auswirkungen der Entnahmen bekannt sein. 49

50 Situation bei Entnahme von B1 nach einer Periode Konto verzinst sich 1,22 1 GE B1 5 GE B5 6 GE Z B2 2 GE 7,47 GE B5 10,25 GE Z B2 3,17 GE B4 4 GE B3 3 GE B4 6,04 GE B3 4,61 GE 50

51 Wert des Z-Baumes = 6 Z-Baum + 5 (B1,..B5) Wert = = 21 B1 1 B2 2 B3 3 B4 4 B5 5 B2 3,17 B3 4,61 B4 6,04 B5 7,47 Wert des Z-Baumes = 10,25 Baum 1 verzinst = 1,22 10, ,29 + 1,22 = 32,76 Z B3,B4,B5 Z B2,B4,B5 Z B2,B3,B5 Z B2,B3,B4 16,22 16,54 16,85 17,18 Wert des Z-Baumes 24,89 23,24 21,71 19,72 Wert der B- 3,25 7,11 8,84 10,60 aufgezinster Vorertrag 46,45 46,89 47,41 47,49 Summe 51

52 Z-Baum + 5 (B1,..B5) Wert des Z-Baumes = 6 B1 1 B2 2 B3 3 B4 4 B5 5 Wert = = 21 Z-Baum = 11,05 B- 15,85 Geld = 6,09 Summe 32,99 B1 B2 B3 B4 Z B2,B3,B4 Z B1,B3,B4 Z B1,B2,B4 Z B1,B2,B3 Wert des Z-Baumes 17,17 17,50 17,83 18,18 Wert der B- 19,72 17,88 16,14 13,71 aufgezinster Vorertrag 9,51 11,25 13,05 15,22 Summe 46,63 46,63 47,03 47,11 52

53 Z-Baum + 5 (B1,..B5) B1 1 B2 2 B3 3 B4 4 B5 5 Z-Baum = 10,85 B- 17,27 Geld = 4,88 Summe 32,99 B1 B2 B3 B5 Z B2, B3, B5 Z B1, B3, B5 Z B1, B2, B5 B1, B2, B3 Wert des Z-Baumes 16,84 17,17 17,50 18,18 Wert der B- 21,71 19,62 17,30 13,71 aufgezinster Vorertrag 7,89 9,77 11,84 15,32 Summe 46,45 46,55 46,64 47,21 53

54 Z-Baum + 5 (B1,..B5) B1 1 B2 2 B3 3 B4 4 B5 5 Z-Baum = 10,64 B- 18,47 Geld = 3,66 Summe 32,77 B1 B2 B4 B5 Z B2, B4, B5 Z B1, B4, B5 Z B1, B2, B5 Z B1, B2, B3 Wert des Z-Baumes 16,53 16,85 17,50 17,84 Wert der B- 23,24 20,85 17,30 16,14 aufgezinster 6,41 8,43 12,03 13,48 Vorertrag Summe 46,18 46,13 46,83 47,46 54

55 Wann muß ein Baum aus der Gruppe entnommen werden? Grenznutzen der Entnahme Grenzkosten der Entnahme Das ökonomische Kriterium ist ein Marginalkalkül, bei dem der zusätzliche Nutzen der DF den zusätzlichen Kosten der DF gegenübergestellt wird. Auf den richtigen Zeitbezug ist zu achten! Entweder sind alle Größen auf den Entscheidungszeitpunkt zu beziehen, oder auf den Zeitpunkt der Endnutzung. 55

56 Was sind Grenzkosten und Grenznutzen einer? Grenznutzen Grenzkosten Z-Baum Mehr-Wertzuwachs B- Mehr-Wertzuwachs entnommener Baum Verzinsung des Erlöses Verzicht auf den Wertzuwachs Kosten Holzerntekosten und sonst. zurechenbare Kosten Grenznutzen der Entnahme Grenzkosten der Entnahme 56

57 s-kalkül zum Endnutzungszeitpunkt Grenznutzen Grenzkosten Z-Baum Z-Baum Mehr-Abtriebswert B- B- entnommener Baum Kosten Mehr-Abtriebswert Endwert der Verzinsung des Erlöses XXXXXXXXXXXXX Verzicht auf den Abtriebswert Holzerntekosten und sonst. zurechenbare Kosten entnommener Baum Kosten aufgezinst 57

58 s-kalkül zum szeitpunkt Grenznutzen Grenzkosten Z-Baum Z-Baum B- entnommener Baum Kosten Mehr-Abtriebswert diskontiert Mehr-Abtriebswert diskontiert Erlös XXXXXXXXXXXXX Abtriebswert abgezinst Holzerntekosten und sonst. zurechenbare Kosten B- entnommener Baum Kosten 58

59 s-kalkül zum szeitpunkt Grenznutzen Grenzkosten Z-Baum Z-Baum B- entnommener Baum Kosten Mehr-Abtriebswert diskontiert Mehr-Abtriebswert diskontiert Erlös XXXXXXXXXXXXX Abtriebswert abgezinst Holzerntekosten und sonst. zurechenbare Kosten B- entnommener Baum Kosten Es kommt auf den Kalkulationszinsfuß und das WZP des entnommenen Baumes an, ob der diskontierte Abtriebswert größer oder geringer ist als der DF-Erlös 59

60 Durchforsten oder nicht? + verzinste Vorerträge Endvermögen ohne Endvermögen bei 60

61 Durch die Entnahme des Baumes wird die Annuität maximiert Durch die Entnahme des Baumes wird der Kapitalwert maximiert Durch die Entnahme des Baumes wird der Endwert maximiert Dies gilt jedenfalls dann, wenn ein einheitlicher Zinssatz unterstellt wird. 61

62 Was passiert, wenn der unterstellte Zins größer ist als die durchschnittliche Verzinsung vom Zeitpunkt der bis zur Endnutzung? 62

63 Wie ist die Auswahl des zu entnehmenden Baumes vom unterstellten Zinsfuß abhängig? 63

64 Das 2-Baum-smodell Wo ist der Punkt der Indifferenz? 2 s- 1. Entnahme Baum 1 Baum 2 2. Entnahme Baum 2 Baum 1 Endnutzung Z-Baum Z-Baum E1 Netto-Erlös Baum 1 zum Entscheidungszeitpunkt E2 Netto-Erlös Baum 2 zum Entscheidungszeitpunkt z1 Zuwachsrate Baum 1 nach Entnahme von Baum 2 z2 Zuwachsrate Baum 2 nach Entnahme von Baum 1 p Zinsrate (1+i) - wir betrachten nur 1 Periode Z 1-2 Erlös für den Z Baum bei Strategie Baum 1 zuerst Z 2-1 Erlös für den Z Baum bei Strategie Baum 2 zuerst 64

65 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 E1 x p E2 x p = E1 x z1 E2 x z2 Wertdifferenz = Differenz der Wertzuwächse 65

66 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 + (E2 x z2)/p = E2 + (E1 x z1)/p (E1 x z1)/p E1 = (E2 x z2)/p E2 Barwert des Wertzuwachses von Baum 1 = Barwert des Wertzuwachses von Baum 2 66

67 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 E1 x p E2 x p = E1 x z1 E2 x z2 Wertdifferenz = Differenz der Wertzuwächse ist p = z1 = z2, dann ist die Indifferenz gegeben 67

68 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 Welche Entscheidung ist für p=0 zu fällen? Dann fällt zuerst der Baum mit dem geringeren Wertzuwachs, es kommt also nur darauf an, ob E2 x z2 oder E1 x z1 größer ist. Sind beide gleichgroß, herrscht Indifferenz 68

69 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 Welche Entscheidung ist zu fällen, wenn p größer ist als z1 und z2? Dann müßten eigentlich beide sofort geerntet werden, denn die Verzinsung bei der Holzproduktion ist in jedem Fall geringer als der Kapitalmarktzins. Wenn aber nur ein Baum geerntet werden darf, dann muß der mit dem höheren Netto-Erlös geerntet werden. 69

70 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 Welche Entscheidung ist zu fällen, wenn z1 kleiner ist als p und z2 größer als p? Dann muß Baum 1 geerntet werden, weil die Holzproduktion bei Baum 1 eine geringere Verzinsung bringt als der Kapitalmarktzins während sich Baum 2 höher verzinst und daher stehen bleiben muß. 70

71 Das 2-Baum-smodell 2 2 E1 x p E2 x p E1 E2 E2 x z2 E1 x z1 (E2 x z2)/p (E1 x z1)/p Endwert Kapitalwert E1 x p + E2 x z2 = E2 x p + E1 x z1 Welche Entscheidung ist zu fällen, wenn z1 und z2 größer sind als p? Wenn ein Baum geerntet werden muß, muß nach dem höheren Endwert oder dem höheren Kapitalwert entschieden werden. Dieser hängt von E1, E2 und z1 und z2 ab. 71

72 2 E1 x p E2 x p E2 x z2 E1 x z1 Bei großer Volumendifferenz überwiegt der Vorteil durch das sich verzinsende größere Volumen den durch die höhere Wachstumsrate. Sind die aber gleichdick, dann ist natürlich allein die Wachstumsrate entscheidend. In diesem Fall ist der Baum mit der niedrigeren Wachstumsrate zuerst zu ernten. Endwert E1 E2 z1 z2 p A 9 1 1,2 1,3 1,1 B 8 2 C 7 3 D 6 4 E 5 5 Differenz des Endwertes E=0,5 D=0,2 C=-0,1 Der dickere Baum wird zuerst gefällt. Indifferenz Der dünnere Baum wird zuerst gefällt. B=-0,4 A=-0, Volumendifferenz zugunsten des dickeren Baumes 72

73 E1 x p E2 x z2 2 Endwert E2 x p E1 x z1 E1 E2 z1 z2 p A 8 2 1,1 1,3 1,1 Differenz des Endwertes Bei großer Differenz der Wachstumsrate überwiegt der Vorteil durch die höhere Wachstumsrate den durch das höhere Volumen. Dann ist der dickere Baum zuerst zu ernten. Sind die aber im Wachstum gleich, dann ist allein das Volumen entscheidend. In diesem Fall ist der Baum mit dem geringeren Volumen zuerst zu ernten. Der größere Vermögenszuwachs entsteht, wenn der dickere stehenbleibt. Der dickere Baum wird zuerst gefällt. B=0,0 A=-0,4 Indifferenz B 1,15 C 1,2 D 1,25 D=-0,8 C=-0,4 Der dünnere Baum wird zuerst gefällt. E 1,3 E=-1,2 0,0 0,05 0,1 0,15 0,2 Differenz der Wachstumsrate zugunsten des dünneren Baumes 73

74 Das 2-Baum-smodell Differenz des Endwertes Differenz des Endwertes Indifferenz Der dünnere Baum wird zuerst gefällt. Volumendifferenz zugunsten des dickeren Baumes Differenz der Wachstumsrate zugunsten des dünneren Baumes Je höher die Volumendifferenz, desto eher muß der dünnere Baum entnommen werden. Je geringer die Differenz der Wachstumsrate des dickeren Baumes zum Zins, desto eher muß der dickere Baum entnommen werden. 74