Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung

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1 Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung von Dr. Andreas Guthmann Universität Kaiserslautern Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich

2 Inhalt Vorrede 1 Inhalt 7 Notation 14 Kapitel 0 Aus der Geschichte der Himmelsmechanik Vorgeschichte 15 Kopernikus, Brahe, Kepler 17 Das 18. Jahrhundert 18 Die Wiederentdeckung der Ceres 19 Die Entdeckung des Neptun 21 Das 20. Jahrhundert 25 Zeittafel 27 Kapitel I Die Grundlagen der Newtonschen Mechanik 1. Die Newtonschen Gesetze Inertialsysteme Massenpunkte und Kräfte Newtonsche Bewegungsgesetze Potential Gravitationsgesetz Beispiele Mechanische Systeme Realisierung von Inertialsystemen 37 Aufgaben Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz Umformulierung der Bewegungsgleichungen 40

3 10. Picards Iterationsverfahren Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz Anwendung auf das N-Körperproblem Bewegungsgleichungen in Relativkoordinaten Das maximale Existenzintervall Integrale 49 Aufgaben Die zehn klassischen Integrale des N-Körperproblems Voraussetzungen Der Schwerpunktsatz Der Drehimpulssatz Kinetische und potentielle Energie Der Energiesatz Folgerungen für abgeschlossene Systeme Der Virialsatz Energiesatz in Reiativkoordinaten Drehimpuls in Relativkoordinaten 60 Aufgaben 61 Kapitel II Ein- und Zweikörperproblem 1. Das Einkörperproblem: Allgemeine Bahnbestimmung Voraussetzungen Der Flächensatz Das begleitende Zweibein Flächen- und Energiesatz in Polarkoordinaten Elimination der Zeit Die Clairautsche Gleichung Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Beispiele Bestimmung des Potentials aus der Bahnkurve Der Fall C=0 75 Aufgaben Bahnform im Gravitationspotential Untere Schranke für die Energie Lösung der Glairautschen Gleichung Der Fall e < Der Fall e > Klassifikation nach der Energie Berechnung der Bahn aus Anfangswerten 83

4 Aufgaben Weitere Beispiele von Bahnen im Einkörperproblem Repulsives Potential Störung des Gravitationspotentials Perizentrumsdrehung Potential aus der Relativitätstheorie Ein elliptisches Integral Lösung der Bahngleichung Approximation der Nullstellen Die Periheldrehung des Merkur 97 Aufgaben Periodische Lösungen der Fundamentalgleichung und ihre numerische Berechnung Die kanonische Differentialgleichung Konstruktion periodischer. Lösungen Numerische Berechnung der Bahn Graphische Darstellung Beispiele 106 Aufgaben Bahndynamik des Keplerproblems Integration des Flächensatzes Die exzentrische Anomalie Das dritte Keplersche Gesetz Berechnung des Bahnortes Der Hodograph Fourierentwicklung des Radiusvektors Die Hyperbelbahn Die Parabelbahn Der Runge-Lenz-Vektor Darstellung des Bahnortes aus den Anfangswerten Dynamik des allgemeinen Einkörperproblems 120 Aufgaben Die Keplersche Gleichung Eigenschaften der exzentrischen Anomalie Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie Numerische Verfahren Auflösung der Barkerschen Gleichung 130 Aufgaben Das abgeschlossene Zweikörperproblem Reduktion auf das Einkörperproblem Bahn der Massenpunkte Das dritte Keplersche Gesetz 133

5 Astronomische Maßeinheiten Anwendungen des dritten Keplerschen Gesetzes Aus der Geschichte der Doppelsternforschung 137 Aufgaben 138 Kapitel III Koordinatensysteme und Ephemeriden 1. Sphärische Geometrie Großkreise Sphärische Koordinatensysteme Umrechnungsformeln Abstand zweier Punkte auf der Kugeloberfläche Rotationsmatrizen Aufgaben Astronomische Koordinatensysteme Typen astronomischer Koordinatensysteme Horizontsystem Stundenwinkel und Deklination Transformation der Systeme Äquator- und Ekliptiksystem Umrechnungsformeln Präzession und Nutation Literatur 160 Aufgaben Die Bahnelemente Die klassischen Bahnelemente Berechnung der Bahnelemente aus Anfangsbedingungen Transformation des Bahnsystems Berechnung der Anfangsbedingungen aus den Bahnelementen 170 Aufgaben Ephemeridenrechnung Rechenschema im Überblick Ausführung des Rechenschemas Ephemeridenrechnung für mehrere Zeitpunkte Die geozentrischen Sonnenkoordinaten Geozentrische Phänomene Die geozentrische Bewegung 181 Aufgaben 183

6 11 Kapitel IV Bahnbestimmung 1. Die Methode von Laplace Prinzip des Verfahrens Die Lagrangesche Gleichung Diskussion der Lagrange-Gleichung Numerische Berechnung der Nullstellen Berechnung der Koeffizienten Rechenschema der Laplaceschen Methode Numerische Experimente 197 Aufgaben Bahnbestimmung nach dem Gaußschen Prinzip Das Verhältnis Sektor zu Dreieck Die erste Gaußsche Gleichung Die zweite Gaußsche Gleichung Berechnung des Verhältnisses Sektor zu Dreieck Berechnung der Bahnelemente aus Randwerten Die geozentrischen Distanzen Überblick auf das Gaußsche Verfahren Integralgleichung für die Dreiecksverhältnisse Approximation der Dreiecksverhältnisse Beispiel Literatur 216 Aufgaben 216 Kapitel V Das Dreikörperproblem 1. Elementare Eigenschaften Koordinaten Der Jacobische Knotensatz Das Hauptproblem der Mondbewegung Kollisionen Keplerbahnen im Dreikörperproblem 228 Aufgaben Das eingeschränkte Dreikörperproblem Die Bewegungsgleichungen Bewegungsgleichung im rotierenden System Das Jacobiintegral Definition des eingeschränkten Dreikörperproblems.. 240

7 Die Librationspunkte 126. Die Hillschen Grenzflächen Literatur Aufgaben Kapitel VI Numerische Integration von Bewegungsproblemen 1. Die numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen Vorbemerkungen * Das klassische Runge-Kutta-Verfahren Globale und lokale Fehler Automatische Schriftweitensteuerung Verfahren höherer Ordnung Einbettungsformeln Formeln von Dormand und Prince Ephemeridenrechnung Mehrschrittverfahren 137. Adams-Bashforth-Formeln Adams-Moulton-Formeln 139. Prädiktor-Korrektor-Verfahren Abschließende Bemerkungen 271 Aufgaben Dreikörperprobleme 141. Störungen von Planetoidenbahnen Das eingeschränkte Dreikörperproblem Das Kopenhagener Problem Das pythagoräische Dreikörperproblem Regularisierung Das planetare Dreikörperproblem Diskussion der Ergebnisse 148. Integration über eine Million Tage Die große Ungleichheit Aufgaben Mehrkörperprobleme Die äußeren Planeten Datenaufbereitung ; Diskussion einiger Ergebnisse Die großen Planeten 314 Aufgaben 318

8 13 Anhang Grundbegriffe aus der Analysis 319 Aus der linearen Algebra 319 Plots der Bahnelemente der äußeren Planeten 321 Oskulierende Bahnelemente der großen Planeten 338 Verzeichnis wichtiger Algorithmen 348 Literatur Zur Geschichte der Himmelsmechanik 350 Klassiker der Himmelsmechanik 350 Neuere Werke 354 Bücher für praktische Anwendungen 355 Moderne Gesamtdarstellungen 356 Bücherverzeichnis.* 357 Jahrbücher 363 Register 365