1 Die reellen Zahlen. 1.2 Aussagen und Mengen. Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Montag 4.11

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1 $Id: reell.tex,v /11/04 12:13:45 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Wir sind gerade damit beschäftigt den Mengenbegriff zu diskutieren und am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannte leere Menge als die Menge die kein einziges Element besitzt eingeführt. Wir hatten die leere Menge sogar als eine sogenannte Definition eingeführt und wollen diesen Begriff jetzt ein wenig besprechen. Dass wir die Definition der leeren Menge offiziell als eine Definition bezeichnet und numeriert haben, die Cantorsche Definition einer Menge aber nicht, ist kein Versehen sondern gewollt. Letztere ist nämlich keine Definition im mathematischen Sinne. Im normalen Sprachgebrauch gibt es verschiedene Sorten von Definitionen, und die einfachste Art einer Definition ist die Verabredung einer Abkürzung. Dass beispielsweise LS17 für Leipnitz Straße 17 stehen soll ist eine rein willkürliche Abkürzung. Will man dagegen definieren was ein Planet ist, so gibt es ja nach intendierten Verwendungszweck verschiedene Definitionen, wie man etwa an der Diskussion um den Status des Pluto sehen kann. Eine Definition von Planeten beschreibt real vorhandene Objekte und dient nur dazu die gerade relevanten Aspekte dieses Objekts zu benennen. In der Mathematik kommen solche Definitionen nicht vor, schon da die Mathematik nicht von realen Objekten handelt, statt dessen sind alle Definitionen Verabredungen von Abkürzungen. Der Begriff der leeren Menge ist nicht strikt nötig, anstelle von M = könnte man genauso gut Die Menge M besitze keine Elemente sagen. Bevor das Wort leere Menge definiert wurde gab es keine leere Menge, Planeten dagegen gibt es völlig egal ob man eine Definition von Planet hat oder nicht. Mathematische Definitionen führen also immer einen neuen Begriff in Termen bereits vorhandener Begriffe ein. Die Cantorsche Mengendefinition ist nicht von dieser Art, da sie ihrerseits auf weitere noch nicht definierte Begriffe, wie Objekte unserer Anschauung, Zusammenfassung und so weiter, verweist. So etwas ist leider auch nötig, mit mathematischen Definitionen alleine kommt man nicht aus. Wenn jeder neue Begriff nur in Termen bereits vorhandener Begriffe eingeführt werden kann, so braucht man irgendetwas mit dem alles anfangen kann. Hierfür verwendet man sogenannte Grundbegriffe, diese denken wir uns als vorgegeben und nicht weiter hinterfragbar. Für diese Grundbegriffe gibt man dann üblicherweise eine Beschreibung an, die erklären soll was man sich unter dem Grundbegriff vorzustellen hat. Der Mengenbegriff ist solch ein Grundbegriff und die Cantorsche Mengendefinition ist seine Erklärung. Welche Begriffe als Grundbegriffe verwendet werden und welche definiert werden, ist letzten Endes eine rein willkürliche Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich den Begriff einer Funktion als Grundbegriff zu verwenden, und Mengen dann in Termen 3-1

2 von Funktionen zu definieren. Es hat sich aber ein üblicher Satz an Grundbegriffen durchgesetzt, zu denen unter anderem die Mengen gehören. Man kann mit erstaunlich wenigen Grundbegriffen auskommen, es reichen der Mengenbegriff und ausreichend viele logische und mathematische Begriffe um eine axiomatische Mengenlehre in Gang zu bringen. Auf der Basis dieser Begriffe können dann kompliziertere Objekte wie die reellen Zahlen definiert werden und ihre Axiome bewiesen werden. Als Startpunkt im ersten Semester ist dies allerdings nicht geeignet, da man einfach zu weit unten anfangen müsste, nicht einmal Dinge wie = 4 wären bekannt, schlimmer noch es wäre noch nicht einmal definiert was 2, 4 und + überhaupt sein sollen. Daher starten wir mit einem viel größeren Satz an Grundbegriffen, zu dem unter anderem die reellen Zahlen gehören. Da eine mathematische Definition letztlich nur eine Abkürzung ist, beschreibt sie das definierte Objekt vollständig, die Definition und die sich aus ihr ergebenden Folgerungen sind alles was über die definierten Objekte zu sagen ist. Dies unterscheidet mathematische Definitionen von Definitionen in anderen Gebieten, wo die definierten Objekte letztlich reale Gegenstände sind und durchaus weitere über eine Definition hinausgehende Eigenschaften haben können. Insbesondere sind Fragen nach dem Status nicht definierter Konzepte keine mathematische Fragen, sondern bestenfalls Fragen über Mathematik. Ein übliches Beispiel für die Verwirrungen die bei Fehlinterpretationen des Definitionsbegriffs entstehen ist die Frage was denn 0/0 ist. Wir haben den Bruch a/b := ab 1 nur definiert wenn a, b R und b 0 sind, dem Symbol 0/0 ist damit keine Bedeutung zugewiesen und die Frage nach seinem Wert ist sinnlos. In diesem Skript werden die meisten Definitionen explizit als solche ausgewiesen und numeriert. Gelegentlich werden wir aber auch Ausnahmen zulassen, einige besonders einfache Definitionen die eher Synonyme oder Notation sind werden einfach im laufenden Text aufgeführt, so hatten wir zum Beispiel in der ersten Sitzung die Definitionen der Subtraktion und der Division behandelt. Wir wollen auch noch eine Anmerkung zur Vergabe des Namens machen. Während die Physik sehr großzügig mit fest vergebenen Namen ist, beispielsweise ist v fest für die Geschwindigkeit reserviert, gibt es in der Mathematik nur sehr wenige reservierte Namen, selbst ein Symbol wie π steht nicht immer für die Kreiszahl, sondern kann je nach Kontext auch was ganz anderes bedeuten. Einer dieser vergebenen Namen ist das Symbol für die leere Menge, ein anderer ist N für die Menge der natürlichen Zahlen. Dass soll an Kommentaren zu dieser Definition erst einmal reichen, und wir kommen zu einer weiteren wichtigen Definition. Definition 1.2 (Teilmengen einer Menge) Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. In diesem Fall schreiben wir M N. Ist eine Menge M keine Teilmenge einer Menge N, so wird dies mit dem Symbol M N notiert. Die Schreibweise M N für die Teilmengenbeziehung wird leider nicht einheitlich von allen Autoren verwendet, oftmals finden Sie auch M N anstelle von M N. Einige Beispiele von Teilmengen sind: 3-2

3 1. Es ist {1, 2} {1, 2, 3} denn die beiden Elemente 1 und 2 der linken Menge sind auch Elemente der rechten Menge. 2. Es ist auch {1, 2, 3} {1, 2, 3}. Allgemein ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Will man dies nicht haben, so spricht man von einer echten Teilmenge, d.h. eine Menge M ist eine echte Teilmenge der Menge N wenn M N und M N ist, und wir schreiben M N für M ist eine echte Teilmenge von N. Oftmals wird anstelle von M N aber auch die alternative Schreibweise M N verwendet, was etwas unglücklich ist da dies von anderen wieder als die normale Teilmengenbeziehung interpretiert wird. Die beiden Symbole und sind unmißverständlich, während je nach Autor Teilmenge oder echte Teilmenge bedeuten kann. Das ist verwirrend, aber es ist leider so. 3. Dagegen ist {1, {2}} {1, 2, 3}, denn die einelementige Menge {2} ist zwar ein Element der linken aber kein Element der rechten Menge. 4. Das letzte Beispiel ist jetzt etwas verwirrend, wir behaupten das {1, 2, 3} gilt. Erinnern wir uns an die Teilmengendefinition, so bedeutet {1, 2, 3} das jedes Element der leeren Menge auch ein Element von {1, 2, 3} ist, und so merkwürdig es einem auch vorkommt, dies ist wahr. Es gibt ja kein Element der leeren Menge für das das falsch sein könnte. Mit derselben Begründung ist auch M für überhaupt jede Menge M. Insbesondere. Der Teilmengenbegriff wird häufig beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, es gilt für je zwei Mengen M und N (F12) Genau dann M = N wenn M N und N M gelten. In der Tat, dass M und N gleich sind bedeutet das diese beiden Mengen dieselben Elemente haben, das also aus x M auch x N folgt und umgekehrt x N auch x M impliziert. Letzteres sind aber gerade die beiden Inklusionen M N und N M. 3-3

4 Mit Mengen kann man rechnen, es gibt eine Vielzahl von Operationen die aus zwei gegebenen Mengen eine neue Menge machen. Die drei wichtigsten dieser Rechenoperationen wollen wir nun einführen: Definition 1.3: Seien M, N zwei Mengen. 1. Die Vereinigung von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M oder von N sind. 2. Der Durchschnitt von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M und von N sind. 3. Die Differenzmenge von M und N, geschrieben als M\N, ist die Menge aller Elemente von M, die nicht zugleich Element von N sind. Alternativ nennen wir dies auch das Komplement von N in M oder das relative Komplement von N in M. Vereinigung M N Alle x in M oder N Durchschnitt M N Alle x in M und N Komplement M\N Alle x in M nicht in N Anstelle der Schreibweise M\N für die Differenzmenge wird von einigen Autoren auch das Symbol M N verwendet. Da wir diese Begriffe nicht sofort brauchen, werden Beispiele hierzu in den Übungsaufgaben behandelt. Wir wollen an dieser Stelle nur noch einige Rechenregeln für die obigen Operationen einführen. Lemma 1.1 (Grundeigenschaften der Mengenoperationen) Seien A, B, C drei Mengen. (a) Es sind A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C). (b) Es gelten die beiden demorganschen Regeln A\(B C) = (A\B) (A\C) und A\(B C) = (A\B) (A\C). Beweis: (a) Wir beginnen mit dem Nachweis der ersten Formel. Nach (F12) müssen wir einsehen das die beiden Inklusionen A (B C) (A B) (A C) und (A B) (A C) A (B C), beziehungsweise A (B C) (A B) (A C), bestehen, und diese werden wir beide nachweisen. 3-4

5 Sei x A (B C). Dann ist x A und x B C, und es treten zwei mögliche Fälle auf. Im ersten Fall ist x B und dann haben wir x A B, also auch x (A B) (A C). Im zweiten Fall ist dagegen x C und wir haben x A C, also wieder x (A B) (A C). Damit haben wir in beiden Fällen x (A B) (A C) und die behauptete Inklusion ist bewiesen. Sei nun umgekehrt x (A B) (A C). Dann treten wieder zwei Fälle auf. Im ersten Fall ist x A B, also wegen x B auch x B C und mit x A folgt x A (B C). Im zweiten Fall haben wir dagegen x A C, also wegen x C auch x B C und mit x A folgt erneut x A (B C). Damit haben wir in beiden Fällen x A (B C) gezeigt und auch diese Inklusion ist bewiesen. Der Beweis der zweiten Formel ist analog. (b) Dies ist eine Übungsaufgabe. Da dies die erste Aussage ist die wir hervorheben und als Lemma bezeichnen, wollen wir an dieser Stelle noch kurz auf die hier verwendete Terminologie eingehen. Die Aussagen der Mathematik werden als sogenannte Sätze formuliert und in einem aufgeschriebenen Text werden sie dann oftmals numeriert und in irgendeiner Form hervorgehoben dargestellt. Dabei ist der Name Satz hier ein Oberbegriff, je nach Bedeutung der Aussage werden verschiedene Namen verwendet. In der Literatur finden Sie die folgenden Bezeichnungen: Satz Aussage mit einer mitteilenswerten, eigenständigen Bedeutung. Hauptsatz Ein besonders wichtiger Satz. Theorem Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Hauptsatz. Lemma Wie ein Satz aber mit Bedeutung hauptsächlich innerhalb der Theorie. Proposition Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Lemma. Hilfssatz Ein sehr spezifisches Lemma das nur für den Beweis einer oder sehr weniger anderer Aussagen gedacht ist. Korollar Eine unmittelbare Folgerung aus einem Satz oder Lemma, oftmals ein besonders hervorgehobener Spezialfall. Wir werden die Namen Satz, Lemma und Korollar verwenden. Einfache Aussagen werden oftmals nicht extra als Satz formuliert sondern nur im laufenden Text erwähnt und später ohne weiteren Verweis verwendet, dies trifft beispielsweise auf all unsere Feststellungen (F1) und so weiter zu. Besonders selbstverständliche Aussagen werden sogar nirgends festgehalten, beispielsweise werden wir so etwas wie A B = B A für Mengen A, B verwenden auch ohne es irgendwo explizit zu benennen. Wir führen jetzt eine weitere Schreibweise für mathematische Aussagen ein. Diese haben sehr oft die Form Für alle Elemente x eine gegebenen Menge M gilt eine 3-5

6 Aussage A(x), eine sogenannte Allaussage, oder Es gibt ein Element x der Menge M für das A(x) gilt, eine sogenannte Existenzaussage. Man schreibt (x M) : A(x) für Für alle x M gilt A(x). Das Symbol ist ein sogenannter Allquantor. Entsprechend schreibt sich eine Existenzaussage als (x M) : A(x) für Es existiert ein x M mit A(x), und hier nennt man einen Existenzquantor. Beispielsweise übersetzt sich die Aussage Für jede reelle Zahl x existiert eine natürliche Zahl n, die echt größer als x ist als Formel in (x R) (n N) : n > x. Ein solcher Ausdruck mit mehreren Quantoren ist dabei immer von links nach rechts zu lesen, ein Ändern der Quantorenreihenfolge ändert auch die Bedeutung der Aussage. Beispielsweise bedeutet (n N) (x R) : n > x, dass es eine natürliche Zahl n gibt, die echt größer als überhaupt alle reellen Zahlen ist, was natürlich falsch ist. Quantoren desselben Typs kann man vertauschen, und daher werden sie meist in zusammengefasster Form notiert, man schreibt beispielsweise (x, y R) : y > x > 0 y 2 > x 2 für (x R) (y R) : y > x > 0 y 2 > x 2. Wir haben jetzt Allaussagen (x M) : A(x) und Existenzaussagen (x M) : A(x) eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x M der zugrundeliegenden Menge M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für einzelne x M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal M = N\{0, 1} = {2, 3, 4,...} und A(n) = ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1 letzteres für jedes n N. Probieren wir etwa n = 2 so sind n 5 5 = 27 und (n+1) 5 5 = 238 und wir haben ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1. Verwenden wir dann einen Computer, so kann man leicht etwa alle Werte 2 n durchprobieren und die beiden Zahlen n 5 5 und (n + 1) 5 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis der Aussage (n M) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa n = , so ist ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = >

7 Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man nur ein einziges x M finden für welches die Aussage A(x) gilt. Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen kann, ohne die geringste Idee zu haben wie man ein solches x konkret beschaffen kann. Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen. Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage (x M) : A(x) falsch ist. Wie im obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x M aus so, dass A(x) falsch ist. In anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Entsprechend ist eine Existenzaussage (x M) : A(x) falsch, wenn wir eben kein Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird damit eine Allaussage (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Bei Verneinung drehen sich also All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x M und y N, so wird (x M) (y N) : A(x, y) = (x M) : (y N) : A(x, y) = (x M) (y N) : A(x, y). Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint. 1.3 Die Anordnung der reellen Zahlen Nachdem wir im vorigen Abschnitt alle zunächst für uns relevanten Grundlagen behandelt haben, wollen wir nun unsere im ersten Abschnitt begonnene Diskussion der reellen Zahlen fortsetzen. Wir haben bereits die neun arithmetischen Axiome kennengelernt die das Verhalten der Grundrechenarten kontrollieren. Jetzt kommen wir zur nächsten Gruppe von Axiomen für die reellen Zahlen, diese beschäftigen sich nicht mehr nur mit Addition und Multiplikation sondern auch mit der Kleiner-Gleich Beziehung zwischen reellen Zahlen. Neben der Addition und der Multiplikation sei auf den reellen Zahlen noch eine Anordnung gegeben, d.h. für je zwei reelle Zahlen x, y ist festgelegt ob x y gilt oder nicht. Diese Anordnung ist für uns ein Grundbegriff, der die folgenden Axiome erfüllen soll: Die Ordnungsaxiome: (R) Das Reflexivitätsgesetz: Für jedes x R ist x x. 3-7

8 (T) Das Transitivitätsgesetz: Für alle x, y, z R gilt x y y z = x z. (A) Die Antisymmetrie: Für alle x, y R gilt x y y x = x = y. (L) Die Ordnung ist total oder linear, d.h. für alle x, y R ist stets x y oder y x. Die Transitivitätseigenschaft (T) wird dabei oft in der folgenden Form verwendet: Ist a = x 1 x 2 x 3 x n = b eine Kette von Ungleichungen, so ist auch a b. Die Symbole x 1, x 2,... und so weiter sind dabei als reelle Variable gedacht, da es sich um eine unbestimmte Anzahl n solcher handelt kann man diese schlecht c, d, e, f,... nennen und numeriert sie anstelle dessen einfach durch. Dass obige kettenaussage gilt is leicht zu sehen. Zunächst haben wir a x 1 und x 1 x 2, also liefert die Transitivität (T) auch a x 2. Da x 2 x 3 gilt liefert eine weitere Anwendung von (T) dann a x 3. So fortfahrend erhalten wir schließlich a x n und dann a b. Eine weitere wichtige Folgerung aus (T) und der Antisymmetrie (A) ist die folgende Aussage: Haben wir eine Kette von Ungleichungen a = x 1 x 2 x 3 x n = a, die bei einer reellen Zahl a R startet und endet, so sind überhaupt alle Elemente der Kette gleich a, d.h. es ist x 1 = = x n = a. In der Tat, ist 1 i n gegeben, so folgen aus a = x 1 x i und x i x i+1 x n = a mit der obigen Transitivitätsaussage auch a x i und x i a, d.h. wir haben x i = a. Neben der Kleiner-Gleich Relation definiert man die Echt-Kleiner Relation für x, y R durch x < y : x y x y. Mit den vier Anordnungsaxiomen ergeben sich dann schnell entsprechende Aussagen für Echt-Kleiner. Zunächst haben wir das sogenannte Trichotomieprinzip, dieses besagt das für x, y R stets genau eine der drei Möglichkeiten x < y, y < x oder x = y gilt. Dies folgt sofort aus den beiden Anordnungsaxiomen (A) und (L). Weiter hat man auch eine erweiterte Transitivitätseigenschaft, die besagt das für alle x, y, z R mit x < y z oder x y < z stets auch x < z gilt. In der Tat, nach dem Transitivitätsaxiom (T) ist zumindest x z und wäre x = z, so hätten wir x = y = z im Widerspruch zu x y oder y z. Hieraus folgt weiter, das im Fall einer Ungleichungskette a = x 1 x i < x i+1 x i+2 x n = b in der mindestens ein Echt-Kleiner vorkommt, letztlich stets auch a < b gilt. 3-8

9 Schließlich kann man für x, y R dann auch noch die umgedrehten Ordnungssymbole einführen, also x y : y x und x > y : y < x. Die Anordnung kann man dann zur Definition der sogenannten beschränkten Intervalle verwenden: Definition 1.4: Seien a, b R. Dann heißt die Menge [a, b] := {x R a x b} ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall, (a, b) := {x R a < x < b} ein beschränktes, offenes Intervall, [a, b) := {x R a x < b} ein beschränktes, rechts halboffenes Intervall, (a, b] := {x R a < x b} ein beschränktes, links halboffenes Intervall. Später in diesem Kapitel werden wir auch noch die unbeschränkten Intervalle definieren. Beachte das wie formal auch zulassen das linke und rechte Grenze falsch herum sind, dann ist das entsprechende Intervall die leere Menge, zum Beispiel [2, 1] = oder (1, 1) =. Weiter ist für jedes a R auch [a, a] = {a}. In der Literatur finden sie gelegentlich auch alternative Schreibweisen für die offenen beziehungsweise halboffenen Intervalle, die Übersetzungstabelle ist Standardschreibweise Alternative Schreibweise (a, b) ]a, b[ [a, b) [a, b[ (a, b] ]a, b] ob der Randpunkt zum Intervall gehören soll oder nicht wird also durch eine sich richtig herum schließende eckige Klammer beziehungsweise durch eine sich falsch herum schließende eckige Klammer angedeutet. So weit haben wir nur die Anordnungsaxiome verwendet. In den reellen Zahlen sind die arithmetische Struktur, also Plus und Mal, und die Anordnungsstruktur natürlich nicht unabhängig voneinander, sondern es gibt viele Rechenregeln die den Zusammenhang zwischen den beiden beschreiben. Zum Beispiel ist genau dann x y wenn y x ist, das Produkt negativer Zahlen ist positiv, und vieles mehr. Genau wie bei den Rechenregeln für die Grundrechenarten, lassen sich all diese vielen Regeln auf einige wenige Axiome zurückführen. Diese Axiome sind die sogenannten Axiome eines angeordneten Körpers, sie umfassen zum einen die neun Körperaxiome dann die vier Anordnungsaxiome und zusätzlich die folgenden beiden neuen Axiome: Axiome eines angeordneten Körpers: (O1) Für alle x, y, z R gilt y z = x + y x + z. 3-9

10 (O2) Für alle x, y, z R gilt x 0 y z = xy xz. Wir definieren hier dabei nicht was ein angeordneter Körper ist, für uns ist die Bezeichnung Axiome eines angeordneten Körpers nur ein Name für die angegebene Gruppe von Axiomen, genauso wie die Körperaxiome ein Name für die Gruppe der neun arithmetischen Axiome ist. Aus den Axiomen eines angeordneten Körpers folgen alle üblichen Regeln für den Umgang mit der Kleiner-Gleich Relation. Wie für die arithmetischen Regeln im letzten Abschnitt wollen wir dies nicht systematisch für alle denkbaren Regeln vorführen, sondern es nur examplarisch an einigen Beispielen demonstrieren. 1. Sind x, y, x, y R mit x x und y y, so ist auch x + y x + y. Dies ergibt sich durch zweimaliges Anwendung des Axioms (O1) x + y x + y = y + x y + x = x + y, und anschließende Anwendung der Transitivität (T). Außerdem ist hier natürlich noch die Kommutativität der Addition, also das Axiom (A2), verwendet worden, aber die benutzten Körperaxiome wollen wir jetzt nicht mehr einzeln auflisten. 2. Sind x, y, z R mit y < z, so ist auch x + y < x + z. Denn nach Axiom (O1) ist zumindest x + y x + z und wegen y z ist auch x + y x + z, also x + y < x + z. Analog zum Beweis der obigen Aussage folgt weiter, dass für alle x, y, x, y R mit x < x und y y beziehungsweise x x und y < y stets auch x + y < x + y gilt. 3. Sind x, y R mit x y, so ist y x. Dies ergibt sich direkt aus Axiom (O1). Addieren wir beide Seiten von x y mit x, so wird 0 = ( x) + x ( x) + y, und addieren wir dann auch noch y, so ergibt sich y ( x) + y + ( y) = x. Weiter können wir auch auf y x die schon bewiesene Aussage anwenden und erhalten x = ( x) ( y) = y, d.h. wir haben Ebenso ergibt sich auch (x, y R) : x y y x. (x, y R) : x < y y < x. 3-10

11 4. Sind x, y, z R mit x < y und z > 0, so ist auch xz < yz. Denn nach Axiom (O2) ist zumindest xz yz und wäre xz = yz, so hätten wir auch (x y)z = 0 also x = y oder z = 0 im Widerspruch zu x y und z Sind x, y, z R mit x y und z 0, so ist yz xz. Denn zunächst ist nach Schritt (3) auch z 0 und Axiom (O2) ergibt xz yz, also yz xz wieder nach (3). Ebenso folgt aus x < y und z < 0 dann auch yz < xz. 6. Für jedes x R ist x 2 0. Denn ist x 0, so folgt mit Axiom (O2) sofort x 2 = x x 0 x = 0 und ist x 0, so ergibt (5) auch x 2 = x x 0 x = 0. Insbesondere ist somit 1 = 1 2 > 0 und mit (3) auch 1 < 0. Das soll an Beispielen für derartige Überlegungen wieder reichen. Wir führen in diesem Abschnitt noch einen letzten wichtigen Begriff ein, den sogenannten Betrag einer reellen Zahl. Dieser hat eine rein praktische Funktion, wir möchten eine bequeme Möglichkeit haben davon zu sprechen, dass eine reelle Zahl x klein ist. Wir könnten beispielsweise versuchen die Zahl x klein zu nennen wenn x 10 4 gilt. Dies erfüllt aber nicht ganz den intendierten Zweck, den es ist ja zum Beispiel auch , aber 400 wollen wir meist nicht als klein betrachten. Wir müssten unsere Bedingung also beispielsweise in x 10 4 und x 10 4 umschreiben. Um diese zwei Bedingungen durch eine einzige zu ersetzen, wird nun der erwähnte Betrag der reellen Zahl x eingeführt. Definition 1.5 (Betrag und Vorzeichen reeller Zahlen) Ist x R eine reelle Zahl, so heissen 1, x > 0, sign(x) := 0, x = 0, das Vorzeichen und x := sign(x) x = 1, x < 0 der Betrag von x. { x, x 0, x, x 0 Beispielsweise sind 4 = 4, 2 = 2 und 0 = 0. Als Funktion von x hat der Betrag die nebenstehende Gestalt. In anderen Worten ist x der nichtnegative Wert unter den beiden Zahlen x und x. In unserem obigen Beispiel können wir die beiden Bedingungen x 10 4 und x 10 4 dann durch die eine Bedingung x 10 4 ersetzen, und allgemein ist für jedes a R mit a 0 y x x [ a, a] = {x R : x a} und ( a, a) = {x R : x < a}. Entsprechendes gilt auch für nicht bei Null zentrierte Intervalle, sind reelle Zahlen a, ɛ R mit ɛ > 0 gegeben, so haben wir {x R : x a ɛ} = [a ɛ, a + ɛ]. 3-11

12 In der Tat, ist x a, so ist x a 0 und x a = x a, d.h. x a ɛ bedeutet x a + ɛ. Ist dagegen x a, so haben wir x a 0 also x a = (x a) = a x und genau dann ist a x ɛ wenn ɛ x a also x a ɛ gilt. Dass also die reelle Zahl x um höchstens ɛ von der reellen Zahl a abweicht kann damit kurz als x a ɛ notiert werden. 3-12