Kapitel 4: Variable und Term

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1 1. Klammerregeln Steht ein Plus -Zeichen vor einer Klammer, so bleiben beim Auflösen der Klammern die Vorzeichen erhalten. Bei einem Minus -Zeichen werden die Vorzeichen gewechselt. a + ( b + c ) = a + b + c a ( b c ) = a b + c a + ( b c ) = a + b c a ( b + c ) = a b c Das Minus vor einer Klammer kann als Multiplikation mit (-1) aufgefasst werden. Man löst die Minusklammer auf, indem man jedes Glied der Klammer mit (-1) multipliziert. - (3x 5y) = (-1) (3x 5y) = -3x + 5y Mehrere ineinander verschachtelte Klammern müssen immer von innen nach aussen aufgelöst werden. 5a (10b (5a + 6b)) = 5a (10b 5a 6b) = 5a 10b + 5a + 6b = 30a 4b 3x y (x y + {3x y + 5}) = 10a {[3a (3a 5)] (a + 5)} =. Potenzregeln P1: Potenzgesetz für die Multiplikation und Division von Potenzen mit der gleichen Basis a m a n = a m+n x 3 x = x 5 (x x x x x) a m : a n = a m-n (auch als Bruch!) x 7 : x 4 = x 3 P: Potenzgesetz für das Potenzieren eines Produktes oder eines Quotienten (a b) n = a n b n ( x) 4 = 4 x 4 = 16x 4 (a/b) n = a n :b n (auch als Bruch!) (x/y) = x /y =4x /y P3: Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz (a m ) n = a m n (5x ) 3 = 5 3 x 6 = 15x 6 Und dann noch: a 0 = = 1 a - n = 1/a n 3 - = 1/3 = 1/9 (1:3:3) M. Kunz 1

2 3x 4 7x 6 5a 5 b (-a b) (-3x 3 y ) 3 x y 3 5a = = = = 5x 8 y 6 z 4 : (-5x 4 y 6 z 8 ) = (-) 4 (-1) 5 (-x ) 3 = 3. Produkte von Summen Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. Die Zeichen + und werden nach der Vorzeichenregel bestimmt. (3a b) (4a b) = 1a - 3ab - 8ab + b = 1a 11ab + b (a 10) (b 7) = (3a 4b) (5c 6d) = (a + b) (a ab + b ) = 4. Rechenhierarchie bei Termumformungen Beim Umformen von Termen gibt es eine klare Reihenfolge, wann welche Operationen ausgeführt werden dürfen: 1. Das Innere einer Klammer wird zuerst berechnet (so weit wie möglich).. Bei verschachtelten Klammern wird die innere Klammer zuerst berechnet. 3. Wo keine Klammer steht, geht Punktrechnung vor Strichrechnung! 4. Das Berechnen einer Potenz geht noch vor Punkt- und Strichrechnung! 5. Sonst wird von links nach rechts gerechnet. In Kürze: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich!!! -15 (5a (a )) = -15 (5a (a )) = -15 (5a (a + 1 4)) = -15 (5a a 1 + 4) = -15 5a + a = -3a -18 M. Kunz

3 : = : (-) = 3. 1 : = 5. Terme berechnen Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen, Variablen, Vorbzw. Operationszeichen und Klammern. Zahlenterme sind Terme ohne Variablen! Buchstabenterme sind Terme mit Variablen! Gegeben: Buchstabenterm: T(x) = -x 4 3x 3 + 4x 5 Zahlenwert der Variable x = - 3 Gesucht: Wert des gesamten Terms!? T(-3) = - (-3) 4-3 (-3) (-3) 5 = (-7) 1 5 = = T(a) = a 3 a + 3a 5 für a = 3 T(3)=. T(a,b) = a 3 -a b + ab - 4 für a = - 5 und b = 1 T(-5, 1) = 6: Die Binomischen Formeln Die Binomischen Formeln sind ein Grundlagenthema in der Algebra! 1. Binomische Formel: (a + b) = a + ab + b. Binomische Formel: (a b) = a ab + b 3. Binomische Formel: (a +b)(a b) = a b Die Auflösungen dieser drei Formeln sollte man auswendig können! Die Anwendungsbeispiele lösen wir mittels Einsetzungsmethode: (3x + ) = (3x) + 3x + = 9x + 1 x + 4 (4a 1) = (4a) - 4a 1 + (-1) = 16a 8a + 1 (y-5)(y+5) = y 5 = y - 5 M. Kunz 3

4 1. (r + s) =. (a + 3b) = 3. (9 + z) = 4. (a 10) = 5. (8x 5) = 6. (x y) = 7. (x + 7)(x 7) = 8. (a 5)(a + 5) = 9. (9y 1)(9y + 1) = 7. Trinome in Binome zerlegen Zerlegt man Trinome in Binome, so nennt man dies Faktorisieren (Lösung mit Schema). Vorgehen: 1. Klammern mit Variablen schreiben. Vorzeichen in den Klammern festlegen 3. Zahlenpaare notieren 4. Passendes Zahlenpaar korrekt in Klammer einsetzen Schritt 1 Schritt 3 Schritt x + 13x + 1 = (x+ )(x+ ) = (x + 1) (x + 1) Zahlenpaare: (1,1); (,6); (3,4) x + x 1 = (x+ )(x- ) = (x + 4) (x 3) ZP: (1,1); (,6); (3,4) x 4x 1= (x+ )(x- ) = (x 6) (x + ) ZP: (1,1); (,6); (3,4) x 8x + 1= (x- )(x- ) = (x 6) (x ) ZP: (1,1); (,6); (3,4) 1. x + 7x + 1 =. x + 7x + 10 = 3. x 4x + 3 = 4. x 9x + 0 = 5. x + 5x 4 = 6. x 4x 5 = M. Kunz 4

5 8. Faktorisieren ein Überblick Beim Faktorisieren wird ein Term von der.. in die verwandelt. Der Wert des Terms bleibt aber selbstverständlich gleich. Damit wir uns im Thema besser zu Recht finden, unterscheiden wir vier Faktorisierungsarten: a. Ausklammern Von der Produkteform in die Summenform: 5a ( 3a ) =... 3xy (4xy + 5x 4 ) =... Von der Summenform in die Produkteform: 7c + 1c =... 6rst 9r + 1rt =... b. Mehrmaliges Ausklammern Von der Produkteform in die Summenform: (a + b)( + x) =... (3a 5 b 3 )(a + b) =... Von der Summenform in die Produkteform: x 3x + 5yx 15y =... 3a+3b+3c-ay-by-cy =... c. Binomische Formeln anwenden Von der Produkteform in die Summenform: (a + 3b) =... (3x 4y 3 ) =... Von der Summenform in die Produkteform: 5x 16 =... 36a 4ab + 4b =... d. Verschiedene Binome anwenden (mit Schema!) Von der Produkteform in die Summenform: (a + 4)(a 3) =... (x )(x 5) =... Von der Summenform in die Produkteform: x + 7x + 10 =... a + a 8 =... M. Kunz 5

6 9. Anwendung des Faktorisierens: Quadratische Gleichungen lösen Bestimme die Lösungsmengen der folgenden quadratischen Gleichungen! Beachte dabei die Grundmenge! Die Lösung muss via Faktorisieren gefunden werden! Vorgehen: 1. Alle Teile auf die linke Seite verschieben: = 0!. Linke Seite der Gleichung faktorisieren! 3. Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist! Also: 5 = =. x 13 = 0, wenn Lösungsmenge bestimmen 1. (x + 15) x = 0. (x 5) (x + ) = 0 3. x 6x = 0 4. x 6x = x + 5 = 0 6. x = 4x + 5 M. Kunz 6

7 10. Anwendung des Faktorisierens: Bruchterme kürzen Will man Bruchterme kürzen, so muss man Zähler und Nenner zuerst faktorisieren. Sonst gibt s Ärger!!! Es gibt nämlich den Spruch : Summen kürzen nur die Dummen!!! Und zu denen gehören wir ja nicht, oder!? Deshalb gilt: Nur kürzen, wenn alle + und Zeichen in Klammern versorgt sind! Einige Beispiele dazu: 4( x + 1) a. = 0( x + 1) 3 5x y ( a 1) b. = 4 3 5x y x + x c. = x a d. = a + a 3 3a + 3b e. = 5a 5b x x f. = xz z x 36 g. = x + 1 ( x y) 5 h. = x xy + y x + x 15 i. = 3x + 18x + 15 M. Kunz 7

8 11. Das Pascalsche Dreieck Das Pascalsche Dreieck dient zur Ermittlung der Binomialkoeffizienten (= Zahlen vor Variablen). Theorie n = 0 1 n = n = 1 1 n = n = n = n = (a + b) n =? (a + b) 0 = (a + b) 1 = (a + b) = (a + b) 3 = (a + b) 4 = (a + b) 5 = Folgende Koeffizienten bilden das Pascalsche Dreieck für das Binom (a b) n! (a b) n =? n = 0 n = 1 n = n = 3 n = usw. Beispiele (x + 3) 4 = (a 5) 3 = M. Kunz 8

9 1. Polynomdivision Das Prinzip der Polynomdivision ist dem Verfahren der schriftlichen Division von Zahlen nachgebildet! Zahlenbeispiel : 5 =... Algorithmus Anwendungen 1. Divisor und Dividend nach Potenzen ordnen.. Erstes Glied des Dividenden durch erstes Glied des Divisors dividieren. 3. Produkt aus Quotient und Divisor bilden. 4. Das Produkt vom Dividenden subtrahieren. 5. Ist die Differenz 0, so ist das Verfahren beendet. Andernfalls kann auf die Differenz als neuem Dividenden das Verfahren von 1 bis 5 angewendet werden. 6. Ist die höchste Potenz der Differenz kleiner als die höchste Potenz des Divisors, so wird das Verfahren abgebrochen und ein Rest notiert. (6a + 7a + ) : (a + 1) =... (6x 3 + 5x 4x + 3) : (x + 3) =... (z ) : (z + 10) =... M. Kunz 9

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