BRUCHRECHNEN. Erweitern und Kürzen:

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1 BRUCHRECHNEN Jede Bruchzahl läßt sich als Dezimalzahl darstellen 5 5: endlicher Dezimalbruch 8 0,6 unendlicher Dezimalbruch Nachfolgend werden die wesentlichen Zusammenhänge der Bruchrechnung angeführt. Der Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen. Es gilt: Erweitern und Kürzen: Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit der gleichen von 0 verschiedenen Zahl multipliziert oder dividiert Erweitern: 6 / * / * 4 1 Kürzen: / : / : 9 7 Addition und Subtraktion Addition: Summand plus Summand Summe Subtraktion: Minuend minus Subtrahend Differenz Merksatz: Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und die Nenner unverändert läßt.. Bsp.: Z1 Z + n n Z1 Z n Z1 Z Z1 Z - n n n Merksatz: Ungleichnamige Brüche werden vor dem addieren bzw. subtrahieren gleichnamig gemacht, indem man sie auf den Hauptnenner (KGV) aller Nenner erweitert. Seite 1 von

2 Addition: Z 1 Z + n1 n Z1n Zn1 n1n Subtraktion: Z1 Z - n1 n Z1n Z n1 n1n Seite von

3 Multiplikation Multiplikation: Faktor mal Faktor Produkt Merksatz: Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Multiplikation: Z 1 Z * n1 n Z1Z n1n 8 *8 16 * 5 9 5*9 45 Merksatz: Ein Bruch wird mit einer Ganze Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit dem Zähler multipliziert und den Nenner beibehält. 4a 5* 4a *1 4a 1 5 * 1 a 15 15* 4 9 * * 7 *1 *1 (5a + 6b 7c) * (a 4c) 15a + 18ab 1ac 0ac 4bc + 8c 15a +18ab 41ac 4bc +8c Merksatz: Ein Klammerausdruck wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. ( + 5) * (10-7) 8 * 4 Bei Zahlen können auch erst die Klammerausdrücke berechnet und danach hieraus das Produkt gebildet werden. Seite von

4 Division Division: Dividend durch Divisor Quotient Merksatz: Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den 1. Bruch mit dem Kehrwert des. Bruches multipliziert Division: Z 1 Z : n1 n Z1* n Z * n1 8 1 : *5 : 5 1 * Merksatz: Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert und den Zähler beibehält. :4 5 5* 4 0 Doppelbruch 1 : Merksatz: Ein Doppelbruch wird aufgelöst, indem man das Produkt der beiden Außenglieder durch das Produkt der Innenglieder dividiert. Auch, wenn Brüche dividiert werden, kann natürlich das "Geteilt-Zeichen" durch einen Bruchstrich ersetzt werden: Seite 4 von

5 Teilbarkeitsregeln 0 ist durch jede Zahl teilbar. Eine natürliche Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar. Durch bzw. 5 wenn ihr einstelliges Ende durch bzw. 5 teilbar ist. Durch 4 bzw. 5 wenn ihrzweistelliges Ende durch 4 bzw. 5 teilbar ist. Durch 8 bzw. 15 wenn ihr dreistelliges Ende durch 8 bzw. 15 teilbar ist. Durch bzw. 9 wenn Ihre Ziffernsumme durch bzw. 9 teilbar ist. Eine Zahl die nur durch 1 oder sich selbst teilbar ist, nennt man Primzahl. KGV Kleinstes gemeinsames Vielfaches Zwei oder mehrere Zahlen haben unendlich viele gemeinsame Vielfache. Das kleinste gemeinsame Vielfache (KgV) ist die kleinste Zahl, die durch beide gegebener Zahlen geteilt werden kann. Bsp.: KgV von 16 und ) Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren 6 0 ) Unterstreiche alle Primfaktoren der größeren Zahl 1 15 ) hake alle Primfaktoren in der kleinen Zahl ab, die bereits in der größeren Zahl vorkommt ) Unterstreiche die übrigen Primfaktoren der kleineren Zahl und multipliziere alle unterstrichenen Primfaktoren. KgV (60, 16) ***7** GGT Größter gemeinsamer Teiler Haben zwei oder mehr Zahlen gleiche Teiler, so nennt man diesen gemeinsamen Teiler. Der größte gemeinsame Teiler (ggt) von zwei oder mehr Zahlen ist d größte natürliche Zahl, die beide gegebenen Zahlen teilen kann. Bsp: ggt der Zahl 48 und ) Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren 4 0 ) Unterstreiche alle Primfaktoren, die in beiden 1 15 Zerlegungen vorkommen ) Multipliziere die unterschiedlichen 1 Primfaktoren einer Zahl miteinander 1 ggt (48,60) **1 Seite 5 von

6 Relativzahlen Wir bezeichnen Zahlen die mit einem Vorzeichen versehen sind als relative Zahlen Vorzeichenregel + (+a) +a - (-a) +a + (-a) -a - (+a) -a (+a) *(+b) ab (-a) * (+b) -ab ( +a) * (-b) -ab (-a) * (-b) ab (+a) : (+b) +(a:b) (+a) : (-b) - (a : b) (-a) : (+b) - (a:b) (-a) : (-b) + (a:b) (-) + (+8) +5 (-) (-11) 8 7 (+) 7 + (-) 4 (-5) * (-6) +0 (+) * (-9) -7 (+60) : (-5) -1 (+50) : (+5) ( a + b) a + ab + b Wichtige Formeln: ( a - b ) a - ab + b ( a + b ) a + a b + ab + b ( a - b ) a - a b + ab - b a b * a b a - b Seite 6 von

7 Allgemeine Zahlen Eine allg. Zahl ist ein Zeichen an dessen Stelle jede beliebige Zahl gesetzt werden darf. Innerhalb einer Rechnung muß man für gleiche Zeichen gleiche Zahlen einsetzen Addition und Subtraktion Größen mit gleichen allgemeinen Teilen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizientensumme (bzw. Koeffizientendifferenz) mit der gemeinsamen Variablen multipliziert. 7a + a 4a 5a a s s s s s + 9s + s 6s 15 9s s 15 5 Es können nur Größen mit gleicher Benennung addiert bzw. subtrahiert werden. a + b + a + 9b 4a a + 10b 4x x 0,5x + 8, 5x,5x + 6, 5x Seite 7 von

8 Multiplikation A*b b * a ab ba a * b * c * g abcg 6e * b 18eb 1b * ab 6 ab Division 4a : 6 4a 4a 6 Mehrglieder Ausdruck a * (b + c d ) ab + ac ad a * (-b + 4c - a ) -ab + 4ac (ab + a ) : a ab a a a + b (-4 a bx 18a b cx) : 6abx -4a bcx Herausheben eines gemeinsamen Faktors Aus einem mehrgliedrigen Ausdruck kann ein Faktor der in allen Gliedern enthalten ist, herausgenommen und als gemeinsamer Faktor vor dem in Klammer gesetzten Ausdruck geschrieben werden. -a 5 x 4 a x - a x a x(-a x ax -1) Seite 8 von

9 Gleichungen Eine Gleichung bleibt dann richtig, wenn man: 1.) auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl, addiertbzw. subtrahiert..) beide Seiten der Gleichung mit der gleichen mit 0 verschiedenen Zahlen multipliziert bzw. dividiert..) Beide Seiten der Gleichung vertauscht ( x a a x) Formelumstellungen Aus einer vorgegebenen Gleichung ist eine bestimmte Größe herauszuheben. Geg. Trapez A h * (a + c) / c? h * (a + c) A / * :h A a + c h / -a A c - a h Seite 9 von

10 Potenzrechnung Begriff: Potenzieren heißt eine Zahl n als Faktor setzen 4 * * * 16 n a a n a * a * a ( n mal als Faktor) Grundzahl (Basis) Hochzahl (Exponent) n 0 0 n 1 1 a a a Merksatz: Addition und Subtraktion sind nur bei gleichen Grundzahlen und Hochzahlen möglich. h a + h a a h * 4 - * a - a a * 4 Merksatz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. addiert, indem man ihre Exponenten addiert bzw. subtrahiert n a * m a mn a * 5 Eine Potenz mit positiven Exponenten im Zähler eines Bruches stehend, kann mit negativen Exponenten in den Nenner gesetzt werden, das gilt ebenso umgekehrt. n a a 1 n 1 a 1 bzw.. n n n a a a Eine Potenz wird positiv indem man die Exponenten multipliziert. m h mh a a 4 * Merke Merksatz: Ist Basis negativ u. Hochzahl gerade ergibt + Ist Basis negativ u. Hochzahl ungerade ergibt Seite 10 von

11 Zehnerpotenzen Ein positives Exponent gibt die Anzahl der Nullen an, die nach der Ziffer 1 stehen * * 00000,6* 10 * * , * 9 10 Ein negatives Exponent gibt die Stellung der Ziffer 1 rechts vom Dezimalpunkt an , ,001 Seite 11 von

12 Schriftliches Wurzelziehen aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Der Radikand wird zunächst von rechts in Gruppen zu je zwei Stellen unterteilt. Die vorderste (einoder zweistellige) Gruppe liefert die erste Stelle des Ergebnisses, indem die größte einstellige Zahl gesucht wird, deren Quadrat nicht größer als diese Zahl ist. Das Quadrat wird von der vordersten Gruppe subtrahiert, die Differenz in die nächste Zeile geschrieben und mit der nächsten Zweiergruppe des Radikanden ergänzt. Die oben ermittelte Zahl wird also durch a dividiert, das Ergebnis ist b, der Rest darf allerdings nicht kleiner als b² sein. Nach Subtraktion von ab und b² wird die nächste Zweiergruppe des Radikanden hinzugezogen und der nächste Rechenschritt in gleicher Weise ausgeführt. Beendet ist das Verfahren entweder, wenn der Radikand durch die wiederholten Subtraktionen auf Null reduziert werden konnte (dann ist der Radikand eine Quadratzahl) oder das Ergebnis eine ausreichende Genauigkeit aufweist (als Nachkommastellen des Radikanden können beliebig viele Nullen angehängt werden). Darstellung mittels eines konkreten Beispiels Es soll die Wurzel aus 916 bestimmt werden: 9 16? 1) 916 von rechts ausgehend in Gruppen zu je zwei Stellen unterteilen Die größte Quadratzahl, die in 9 passt, ist 5 (5 * 55). Die erste Stelle des Ergebnisses ist also 5.: ) von 9 die Quadratzahl vom Ergebniss abziehen (9 5 4) ) Zu der Zahl 4 fügt man die hinteren beiden Ziffern 16 und erhält also Um die zweite Ergebnisziffer zu erhalten, muss man durch das 0 fache der 1. Zahl teilen (in diesem Falle also * ), wobei ein ausreichender Rest bleiben muss: Seite 1 von

13 Auflösen von Klammern Steht vor der Klammer ein + Zeichen, so kann die Klammer weggelassen werden. a + (b + c) a + b + c Steht vor der Klammer ein Zeichen, so kann die Klammer weggelassen werden, wenn man sämtliche Vorzeichen der Glieder in der Klammer umkehrt. a (b + c) a- b c Kommen mehrere Klammern vor, so kann man erst die inneren Klammern auflösen und dann die äußeren, oder umgekehrt. Um Vorzeichenfehler zu vermeiden ist es besser zuerst mit den inneren Klammern zu beginnen. 8m [( 7m 4n) - ( 14m + n) ] 8m [ 7m 4n 14m n] 8m 7m + 4n + 14m + n 15m + 7n Seite 1 von

14 Textgleichungen Kessel wird durch Pumpe 1 in 7 Stunden gefüllt in 5 Stunden gefüllt Wann ist der Kessel gefüllt, wenn alle Pumpen laufen 1 1 x x * 1 5 1x x 1 Eine Pumpe füllt einen Kessel in 8 Stunden, hilft eine. Ist er in Stunden voll Wie lange braucht die. Pumpe alleine 1 1 * + 8 x 1 Ein Arbeiter macht eine Arbeit in 1,5 Stunden Ein zweiter macht die gleiche Arbeit in 10,5 Stunden Wie lange brauchen alle, wenn aber der 1. Arbeiter 45 min zum Arzt geht x 0,75 x + 1,5 10,5 10,5x 7,88 1,5x + 11,5 11,5 1 11,5 x 19,1 x 6,0 Stunden Seite 14 von

15 660 Werkstücke werden durch 5 Maschinen in 4 Tagen hergestellt. In welcher Zeit können 1 Werkstücke gleicher Art von 9 Maschinen angefertigt werden? 5 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in 4 Tagen 1 Maschine fertigt 660 Werkstücke in 4 * 5 Tagen 9 Maschinen fertigen 660 Werkstücke in 4*5 9 Tagen 9 Maschinen fertigen 1Werkstück in 4*5 9 * 660 Tagen 9 Maschinen fertigen 1Werkstücke in 4 *5*1 9 * 660 6, Tagen Seite 15 von

16 !"#$ % & '( )'*! +, -'*./'*01#$ *-'*.'4$.1#$ *5'4$.1#$ *5'1.6 *'1$5 '*1$5*1$$ (,$5$$ )!")!)!$78)!78)!" )!768)! %9 ( ( )!,' ( )!,'47 ()!,/' ,'4/'4704/' $7 *'4'474'474761$7 *'4-:1$7 *'1 *'1$$ '471$$ (,)!$$8")!58)!6-8 ;+! "< " ( +!(.:> %+ /,0+! ( +,& '( <,/$?0' (,/?@0' (,.:> +,'1/$?0'4/?@0'4.:> *'1/$#?750'4.:> */#?750'1.:> *'1$7::> (,+! ($7::> Seite 16 von

17 (.:+ "A ) 68 9 " % < AB Nennen wir die unbekannte Zahl x, das ist das Alter des ältesten Bruders Jetzt muß nur noch der Text in einer Gleichung formuliert werden. x + x/ + x/+6 50 * x + x + x x 88 : 4 x ( ältester Bruder) x/ 11 (jüngster Sohn) x/ (Tochter) < B Nennen wir die erste unbekannte Zahl x, da die Zahlen um 1 auseinanderliegen, ist die zweite unbekannte Zahl also x + 1. Jetzt muß nur noch der Text in einer Gleichung formuliert werden. ( x + 1)² - x² 840 x² +4x x² x 696 :4 x 9 x+1 41 ) D 6.8 & $:8 D 5' < B Nennen wir die erste unbekannte Zahl (das Alter des Sohnes vor 10 Jahren ) x. Jetzt muß nur noch der Text in einer Gleichung formuliert werden. Der Sohn ist heute x+10, die Mutter 4x +10 x+10+4x Für den Sohn und die Mutter müssen 10 Jahre dazu addiert werden 5x x 45 : 5 x9 Alter des Sohnes : x Alter der Mutter : x* Seite 17 von

18 Rechnen mit mehreren unbekannten Einsetzverfahren Aus I I) x + y 8 II) 4x 5y x y 19 -x In II einsetzen: 4x 5 (19 x) -110 / -5(19-x) 4x 95 +5x x -15 x -1,67 y 19 (-1,67) y 0,67 Seite 18 von

19 I) 4x + y + z 100 II) x + y + z 00 III) x 4y z Aus I) z 100 4x y In II) -x + y + (100 4x y) 00 In III) x 4y (100 4x y) x + y x 6y 00 x -. 4y x + 9y x y 0 /*1,66 14x + 5y x 5y 0 14x + 5y 00 -x 00 x -00-9(-00) y 0 -y y 600 Seite 19 von

20 Gleichsetzungsverfahren I) x + 4y 105 II) x + 7y Aus I x y Aus II + x 7 y 105 x Gleichgesetzt 4 + x 7 x 9,9 y,8 Additions- oder Subtraktionsverfahren x + 18y 100 5x y 0 /* x + 18y 100 0x 18y x 0 x 6,88 y 4,79 Seite 0 von

21 Determinantenmethode a b c d Der Wert einer Determinante ist das Produkt einer Hauptdiagonale (a * d) - dem Produkt der Nebendiagonale (b * c) Dx Dy x y D D x + y 16 -x +4y 8 D -1 4 Dx Dy * 4 (-1) * * 4 * 8-0 * 8 (-1) * 16 7 Determinantenmethode mit Unbekannten a1 b1 c1 a1 b1 a b c a b a b c a b positive Zahlen negative Zahlen D a1bc + b1ca + c1ab c1ba a1cb b1ac Seite 1 von

22 Quadratische Gleichungen, Gleichungen. Grades Rein quadratische Gleichung x x 4 x 1 / 4 + Verkürzt quadratische Gleichung x + 5 x 0 x*(x+5) 0 x Bei dieser Gleichung ist eine Lösung immer 0 x 1 0 x 5 a) Verfollständigung zu einem Quadranten Gemischt quadratische Gleichung Wurzelgleichungen 4 x x x x x +11 5x - 5 x x x x 7 / +5 x 5 / Seite von