Vorlesung Zahlentheorie - Wintersemester 1996/97

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1 Wolfgag Frauholz Zahletheore 0. Vorbemerkuge Wtersemester 996/ Fragestelluge der Zahletheore De addtve Struktur der Mege der gaze Zahle st verhältsmäßg efach, da ( ZZ, + ) ee Gruppe darstellt. De multplkatve Struktur st komplzerter, da ( ZZ,. ) ur ee Halbgruppe st. Ma ka also de Dvso cht mmer ausführe. Des führt zu dem Begrff der Telbarket ud der Prmelemete. Als Prmzahle seht ma de atürlche Zahle a, de der Mege IN geau zwe Teler habe. Bespele: Ameste m Gefägs, multplkatve Zerlegug vo Zahle, Zahletabelle. Vele Frage küpfe sch set alte Zete a de Begrff der Prmzahl a, zum Bespel: Wevele Prmzahle gbt es? Scho Eukld (ca v.chr.) gab de Atwort: uedlch vele. Aber de Prmzahle werde hrer Folge doch mmer weger? Gbt es ee Regelmäßgket? Gbt es e Gesetz der Prmzahle? Ee Formel, mt der ma de -te Prmzahl ausreche ka? Etwa [ 7 2 α ] 7 2. [ 7 2 α ] Ma weß, es gbt e solches reelles α, aber ma ka deses α ur ausreche, we ma scho de Prmzahle ket. Bespel für ee Exstezbewes, der cht kostruktv st. Gbt es wegstes ee Formel, de ur Prmzahle lefert? p = =,..., 39 Prmzahle; = 40 ud = 4 cht F = Fermatsche Zahle (P. Fermat ) Euler ( ) zegte 732, daß für = 5 F 5 = = kee Prmzahl st. Für > 5 hat ma och kee Prmzahl gefude. Ma weß auch cht, ob es ur für edlch vele Prmzahle ergbt oder für uedlch vele. Wevele Prmzahle gbt es uterhalb eer vorgegebee Zahl? Für klee ka ma de Atwort aus Prmzahltafel etehme. Bezeche π() de Azahl der Prmzahle uterhalb vo. π() = 0; π(0) = 4; π(00) = 25; π(000) = 68; π(0 0 ) = We ka ma be eer gegebee Zahl etschede, ob ee Prmzahl st? Legt ee große Zahl vor, so st des sehr schwerg. Theoretsch läßt zwar bespelswese zege, daß ee Prmzahl st, we (( )! + glt. So st 7 e Prmzahl, da 7 6! +, ämlch 7 72; 6 kee Prmzahl, da 6 ke Teler vo 5! + = 2. Doch we soll ma deses Verfahre etwa auf awede? We ka ma Prmzahle fde? E altes Verfahre st das Seb des Eratosthees (um 200 v. Chr.). Sete 3

2 Prmzahlzwllge Ebefalls aus dem Altertum stammt de Frage ach de Prmzahlzwllge. Zwe Prmzahle, dere Dfferez 2 st, heße Prmzahlzwllge. Se trete sehr uregelmäßg auf ud - we es schet - mmer weder. Zum Bespel sd ud Prmzahlzwllge. De Frage, ob es uedlch vele Prmzahlzwllge gbt, st och cht geklärt. De Goldbachsche Vermutug De Goldbachsche Vermutug (Goldbach ) sagt aus, daß jede gerade Zahl > 2 de Summe zweer Prmzahle st (zwe gleche Prmzahle sd zulässg). Zum Bespel glt 4 = = = = = = E Bewes steht och aus. J. Che zegte m Jahre 973, daß jede geüged große gerade Zahl als Summe eer Prmzahl ud eer Zahl dargestellt werde ka, dedas Produkt vo höchstes zwe Prmzahle st. Chessches Prmzahlkrterum vo 500 v. Chr. 500 Jahre vor Chrstus hatte de Chese e hrer Ascht ach ufehlbares Krterum für Prmzahle: st geau da ee Prmzahl, we e Teler vo 2 2 st. Bespele: = = = = 26 Gegebespele: 8 telt cht = telt cht = 022 Für große wrd de Rechug aber schell sehr komplzert; de Chese habe scher cht sehr vele Rechuge durchgeführt. De Formel wurde bs zum 6. Jhdt. bs = 300 durchgerechet. Aber für = 34 stmmt se cht mehr: Ma ka zege, daß , aber 34 =. 3 kee Prmzahl st st ee Zahl mt 03 Zffer! Dophatsche Glechuge De Zahletheore beschäftgt sch auch mt der Frage ach gazzahlge Lösuge vo Glechuge (sog. Dophatsche Glechuge; Dophat 3. Jhdt. v. Chr.). Zum Bespel ka ma sehr schell erkee, daß de Glechug x 2 = 62 y 2 + de Lösuge x =, y = 0 hat. Doch gbt es darüberhaus Lösuge mt atürlche Zahle? Ascheed cht, de we ma alle Zahle uterhalb eer Trllo durchprobert, kommt ma zu keer Lösug. Trotzdem weß ma heute, daß de Glechug uedlch vele atürlche Lösugspaare bestzt, allerdgs hat das kleste y mt der verlagte Egeschaft 75 Zffer. Dagege wrd x 2 = 620 y 2 + berets durch das Paar ( 6, 4 ) gelöst. Auch adere addtve Fragestelluge der Zahletheore habe de Mathematker des Altertums berets beschäftgt. So z. B. de Frage ach de pythagoräsche Zahletrpel, für de x 2 + y 2 = z 2 glt. Aus dem alte Babylo exstert och ee Kelschrfttafel, auf der 5 grudsätzlch verschedee pythagoräsche Zahletrpel aufgeführt sd. Ees davo st ( 3500, 2709, 854 ). Vermutlch war e Verfahre zum Auffde solcher Trpel vorhade. (vgl. Vorlesug Geschchte der Mathematk ) Sucht ma u gazzahlge Lösuge der aaloge Glechug x + y = z für > 2, so stößt ma auf große Schwergkete. (Fermatsches Problem; Fermat ). Erst de letzte Jahre wurde e Bewes für dese sogeate große Fermatsche Satz gegebe. Ee Vermutug Eulers aus dem Jahre 778 war, daß ma ee -te Potez eer atürlche Zahl ( 3) cht als Summe vo weger als -te Poteze atürlcher Zahle erhalte ka. (zum Bespel: 9 3 = oder 6 3 = ). Dese Vermutug wurde bs 966 für rchtg gehalte, da fade L. J. Ladau ud T. R. Parker das Bespel 44 5 = Für Prmzahle, de be der Dvso durch 4 de Rest lasse, st de Glechug p = x 2 + y 2 gaze Zahle x ud y lösbar. De übrge ugerade Egeschafte habe dese Egeschaft cht. (Bespele: 5 = ; 3 = ; 7 = ; 29 = ) Sete 4

3 0. Voraussetzuge aus Mathematk I Begrff der Mege, Operatoe mt Mege, Telmege, Produktmege (cartessches Produkt), geordete Mege, Wohlordug vo Mege Relatoe, sbesodere Ordugsrelatoe, Äquvalezrelatoe De atürlche Zahle IN, Operatoe mt atürlche Zahle, Aordug der atürlche Zahle, axomatsche Begrüdug der atürlche Zahle, der atürlche Zahle IN* als Größeberech mt Iduktosegeschaft, Lösbarket vo Glechuge IN Bewesmethode: drekter Bewes, drekter Bewes, Bewes durch vollstädge Idukto Mathematsch-logsche Schrebwese (logsche Verküpfuge, Quatore) 0.2 Voraussetzuge aus Mathematk II De gaze Zahle ZZ, Operatoe mt gaze Zahle, Aordug der gaze Zahle, Kostrukto der gaze Zahle aus de atürlche Zahle, Ebettug der atürlche Zahle de gaze Zahle Der Begrff der Gruppe, Gruppeaxome, Utergruppe, Utergruppekrtere, Ordug eer Gruppe, erzeugede Elemete eer Gruppe, zyklsche Gruppe, Satz vo Lagrage 0.3 Lteratur zur Zahletheore Behke, H.: Vorlesuge über Zahletheore, Müster 966 Bolker, E. D.: Elemetary Number Theory, New York 970 Chadrasekhara, K.: Eführug de aalytsche Zahletheore, Lecture Notes Mathematcs Bd. 29, Berl 966 Dckso, Leoard E.: Hstory of the theory of Numbers, New York 952 Dckso, Leoard E.: Moder Elemetary Theory of Numbers, Lodo 965 Dudley, U.: Elemetary Number Theory, Sa Fracsco 969 Eukld: De Elemete (übersetzt vo Cl. Thaer), Darmstadt 962 Grosswald, E.: Topcs from the Theory of Numbers, New York 966 Gudlach, K.-B.: Eführug de Zahletheore, Mahem 972 Hardy, G. H. / Wrght, E. M.: Eführug de Zahletheore, Müche 958 Hasse, Helmut: Vorlesuge über Zahletheore, Berl 965 Holzer, L.: Zahletheore I, II, III, Lepzg 958ff. Idlekofer, H.-K.: Zahletheore - Ee Eführug, Basel ud Stuttgart 978 Leveque, W. J.: Elemetary Theory of Numbers, Readg-Lodo 962 Oglvy, C. Staley / Aderso, Joh T.: Zahletheore, Müche 970 Ore, O.: Number Theory ad ts Hstory, New York 948 Padberg, Fredhelm: Elemetare Zahletheore, Freburg 972 Sched, Harald: Eführug de Zahletheore, Stuttgart 972 Sched, Harald: Zahletheore, Mahem 996 Scholz, A. / Schoeeberg, B.: Eführug de Zahletheore, Berl 966 Schräder, Wlhelm: Eführug de Zahletheore, Düsseldorf 973 Trost, E.: Prmzahle, Basel 968 Wogradow, I. M.: Elemete der Zahletheore, Müche Wspler, M.: Elemete der Zahletheore, Grudkurs Mathematk, Studebref I,4 des DIFF, Tübge 97 Sete 5

4 . De Telbarket gazer Zahle Im folgede bedeute klee latesche Buchstabe a, b, c,..., x, y, z Varable für gaze Zahle, sowet chts aderes agegebe st.. Begrff der Telbarket Defto.. : ( a heßt Teler vo b bzw. b heßt Velfaches vo a ab, Z a. c = b ) c Z Zeche: ( a b ab, Z a. c = b ) c Z bzw. ab Z, ( a / b c Z a. c = b ) Bespele: 5 5, de es gbt de Zahl 3 mt 5. 3 = 5 2 4, de es gbt de Zahl 2 mt 2. 2 = 4 3 / 4, de es gbt kee gaze Zahl c mt 3. c = 4 Regel für de Telbarket () a a, de a. = a abc,, Z (2) a a, de ( a). ( ) = a (3) a, de. a = a (4) a, de ( ). ( a) = a (5) a a = a =, de a. c = a = a =, wel ZZ ur ud verse Elemete bezüglch der Multplkato bestze. (6) a 0, de a. 0 = 0 (7) 0 a a = 0, de 0. c = a a = 0 (8) a b b a a = b a = b, de für a 0 glt a. c = b b. d = a a. c. d = a c. d = c = d = c = d = a = b a = b für a = 0 glt a = b = 0 wege Regel (7) (9) a b b a ab > 0 a = b (folgt aus Regel (8)) (0) a b b c a c, de a b b c a. d = b b. d 2 = c d, d 2 Z a. d. d 2 = c a c d d2 Z () a b b 0 a b, de a. c = b b 0 c 0 a = b c b Sete 6

5 Spezell gelte für atürlche Zahle auf Grud der obe ageführte Regel de folgede: (I) a a (II) a b b a a = b (III) a b b c a c das heßt Satz.. : Bewes: De Telerrelato a b st der Mege der atürlche Zahle ee Ordugsrelato. ergbt sch aus de obe ageführte Regel, de ee Ordugsrelato st gerade durch de dre Egeschafte der Reflexvtät, der Atsymmetre ud der Trastvtät bestmmt. (Vgl. bzw. als Ordugsrelato) Beachte Se: I ZZ stellt de Telerrelato a b kee Ordugsrelato dar, de de Atsymmetre st cht gegebe, z. B , aber 4 4. Satz.. 2 : d a d a 2... d a d r r Z Bewes: durch vollstädge Idukto Id.Af.: k = d a d. c = a d. c. r = a. r c Z d a. r a Id.Vor.: Id.Beh. Id.Schrtt: Defto.. 2 : Für k = se de Formel rchtg. De Formel st rchtg für k = +. d r r a d a +, Z das heßt es gbt e c mt d. c = r a ud es gbt e c 2 mt d. c 2 = r + a + (wege Id.Af.). Addert ma dese Glechuge, so erhält ma + d ( c + c 2 ) = r a c= c + c Z 2, IN* a (, r r a heßt ee Velfachsumme vo a, a 2,..., a ) Z spezell st ra + sb für r,s IN* ee Velfachsumme vo a ud b. Der Satz.. 2 sagt, daß jeder Teler der gaze Zahle a ud b auch jede Velfachsumme vo a ud b telt. Bespel: 55 ud 99, also = 363. Sete 7

6 Folgeruge aus Satz.. 2 : () d a d b d a + b E Teler vo zwe Zahle st auch Teler der Summe deser bede Zahle. Folgt aus Satz.. 2 mt = 2 ud r = r 2 =.. (2) d a d a + b d b E Teler eer Summe vo zwe Zahle, der de ee Summade telt, telt auch de adere Summade. Folgt aus Satz.. 2 mt = 2 ud r = r 2 = (3) [ d a d ca ] c Z Jeder Teler eer Zahl telt auch jedes Velfache deser Zahl. Folgt aus Satz.. 2 mt = ud r = c. Satz.. 3 : a b a 2 b 2... a b Bewes: durch vollstädge Idukto a b Folgeruge aus Satz.. 3 : () [ a b ac bc ] c Z folgt aus Satz.. 3 für = 2, a = a, b = b, a 2 = b 2 = c de [ c c ] c Z (2) [ ac bc a b ] c Z* de aus a c d = b c folgt für c 0 wege der Kürzugsregel a d = b..2 Telermege ud Telerdagramme (Hasse-Dagramme) Defto.2. : Für a ZZ se T a de Mege aller postve Teler vo a, also T a = { x IN* x a }. T a heßt de Telermege vo a. Folgeruge über Telermege auf Grud der Sätze ud Regel aus.: () T 0 = IN*, folgt aus Regel 6 für de Telbarket. (2) a Z* [ T a st ee edlche Mege ], folgt aus Regel für de Telbarket. (3) a Z [ T a ], folgt aus Regel 3 für de Telbarket. (4) T = { }, folgt aus Regel 3, 7 ud für de Telbarket. (5) a Z\ {} [ Ta 2 ], folgt aus Regel ud 2 für de Telbarket. (6) a Z [ T a = T a T a = T a ] wege Folgerug 3 aus Satz.. 2 für c =. Sete 8

7 Ma ka sch be der Utersuchug vo Telermege auf a IN beschräke. Defto.2. 2 : E Dagramm, dem alle Teler eer Zahl a IN* dargestellt sd ud das ach der ute agegebee Wese kostruert st, heßt Telerdagramm oder Hassedagramm für de Telermege T a. Kostruktosvorschrft: Sd u, v T a mt u v ud u v ud gbt es ke x T a mt x u, x v ud u x, x v, so schrebt ma v höher als u ud verbdet u ud v mt eem Strch. Bespele für Hassedagramme.3 Komplemetärteler Defto.3. : [ De gaze Zahl c = a d heßt Komplemetärteler vo d acd,, Z bezüglch a. : d a ] Sprechwese: De Teler d ud a d vo a sd zueader komplermetär. Zwe Teler c ud d vo a sd also geau da komplemetäre Teler bezüglch a, we c. d = a st. Be der Bestmmug der Telermege vo a muß ma also ur de Hälfte der Teler ermttel ud erhält de restlche Teler als Komplemetärteler. Wa st ma be der Ermttlug aller Teler be der Hälfte agekomme? Das st offebar da der Fall, we der Komplemetärteler des ermttelte Telers d cht mehr größer als d st. Des präzsert der Sete 9

8 Satz.3. : glechbedeuted st Bewes: [ d a d 2 a ( a d )2 a ] ad, IN* [ d a d a ad, IN* drekt Ageomme [ d a d > a a d a ] a d a ] a d > a a = d. a d > a. a > a Wderspruch! Be der Bestmmug der Telermege vo a ka ma sch auf de Bestmmug der Teler d mt d a beschräke, de adere Teler ergebe sch als Komplemetärteler. Bespel: Be der Bestmmug der Teler vo 368 ka ma sch auf de Bestmmug der Teler beschräke, de kleer oder glech 368 9,8 sd. Für größere Zahle st aber auch de Wurzel u. U. sehr groß, so daß de Bestmmug der Telermege sehr mühsam se ka. CAS erlaube ee bequeme Bestmmug. Aber auch mt Hlfe der Prmfaktorzerlegug lasse sd Telermege efacher bestmme. 2. Prmzahle 2. Begrff der Prmzahl ud des Prmtelers Defto 2.. : [ p heßt Prmzahl : p T p = {, p } ] p IN Ee atürlche Zahl mt geau zwe Teler heßt ee Prmzahl. Beachte Se, daß cht zu de Prmzahle gerechet wrd. Des hat u. a. hstorsche Grüde, da de be de Greche des klasssche Altertums überhaupt cht zu de Zahle gezählt wurde (Zahl etsteht durch Vervelfachug der Ehet). Aber auch für de Formulerug vo Sätze wrd sch der Ausschluß der vo de Prmzahle als güstg erwese. Bezechug: Ist IN* \ ( P U { } ), so heßt ee zusammegesetzte Zahl. De Mege der Prmzahle werde mt P bezechet. P = { 2, 3, 5, 7,, 3, 7,... } vgl. m Ahag de Lste der erste taused 3 Prmzahle (erstellt mt MAPLE). { } De Mege IN besteht also m Se deser Bezechuge aus dre Klasse, der Mege der Prmzahle P, der Mege der zusammegesetzte Zahle IN \ ( P U { } ) ud der Mege { } ). I der Zahlefolge trete Prmzahle mmer P IN \ (P {}) weder, aber fortlaufed selteer auf. Hört de Folge der prmzahle emal gaz auf oder gbt es uedlch vele Prmzahle? Dese Frage hat berets de Greche des klasssche Altertums beschäftgt. Be Eukld (ca. 300 v.chr.) fdet sch e Bewes dafür, daß es uedlch vele Prmzahle gbt. Sete 0

9 Zusammegesetzte Zahle heße so, wel ma se sch aus adere Zahle multplkatv zusammegesetzt vorstelle ka, zum Bespel 4 = 2. 2, 60 = oder 60 = I der zuletzt geschrebee Darstellug st 60 als Produkt vo Prmzahle dargestellt. Es wrd sch zege, daß ma jede Zahl als Produkt vo Prmzahle darstelle ka, sogar bs auf de Rehefolge der Faktore edeutg. Dese Sätze werde desem Kaptel bewese werde. Defto : [ p heßt Prmteler vo. : p P p ] p, IN Satz 2.. : [ 2 p, IN p ] p P Worte: Jede atürlche Zahl 2 bestzt mdestes ee Prmteler. Bewes: durch vollstädge Idukto (Achtug: her wrd de Ordugsdukto oder Idukto 2. Art beötgt!) Id.Af. = 2 2 P hat de Prmteler 2 Id.Vor. 2 k p k Alle Zahle zwsche 2 ud p P bestze ee Prmteler. Id.Beh. = k+ p k+ p P k+ bestzt ee Prmteler. Id.Schrtt. Fall: k + st ee Prmzahl k P k+ k+ 2. Fall: k+ st kee Prmzahl, also ee zusammegesetzte Zahl, z. B. k+ = r. s mt r < k+ s < k+ Da st aber 2 r k 2 s k, also ach Id.Vor. bestzt r ee Prmteler q mt q r. (Aalog wäre des für s.) Wege der Trastvtät der Telerrelato glt da q r r k+ q k+, das heßt q k+ q P Damt st für jede Fall gezegt, daß k+ ee Prmfaktor bestzt; das heßt alle atürlche Zahle größer oder glech 2 bestze mdestes ee Prmfaktor. 2.2 Azahl der Prmzahle, das Seb des Eratosthees Satz 2.2. : Satz vo Eukld: Es gbt uedlch vele Prmzahle. Bewes: drekt Ageomme: Es gbt ur edlch vele Prmzahle. Da lasse sch dese edlch vele (zum Bespel r) Prmzahle auflste: p, p 2, p 3,..., p r sd dese edlch vele Prmzahle. Ma bldet de Zahl a = p. p. 2 p p r + Nach Satz 2.. bestzt de Zahl a ( a 2 ) ee Prmteler, er heße p. Da glt p a, d. h. p p. p. 2 p p r +. Da es ach Aahme ur edlch vele Prmzahle gbt, glt p p. p. 2 p p r. Nach Satz.. 2 Folgerug (2) glt p, da p a p p. p. 2 p p r. T = { }, also p = Wderspruch zur Tatsache, daß p prm st. Sete

10 Satz : IN\( P {}) I Worte: Ist ee zusammegesetzte Zahl, da exstert ee Prmzahl p mt p P [ p p ] p p. Bewes: zusammegesetzt d < d < d IN d d, de wäre < d < d =. < d. d = Wderspruch! ObdA d. d bestzt ach Satz 2.. ee Prmteler p d ud aus p d d folgt wege der Trastvtät der Telerrelato p. Um ee atürlche Zahl auf Prmzahlegeschaft zu prüfe, braucht ma also ur zu prüfe, ob de Zahl durch ee Prmzahl p telbar st. Bespel: Ist 97 Prmzahl? Fertg, de > st Prmzahl. Satz ka ma verwede, um de Prmzahle uterhalb eer bestmmte Zahl k zu ermttel. Des gescheht mt dem sogeate Seb des Eratosthees ( v. Chr., Leter der Bblothek vo Alexadra). Dazu schrebt ma de Zahle vo 2 bs k auf, otert de Zahl 2 als Prmzahl ud strecht alle Velfache vo 2. Da otert ma de Zahl 3 als Prmzahl ud strecht alle Velfache vo 3. So verfährt ma mt alle Prmzahle k. Da ka ma ach Satz scher se, alle zusammegesetzte Zahle gestrche zu habe. Wählt ma k = 20, so muß ma das Verfahre bs zur Prmzahl 7 durchführe, da berets > 20 st. Des seht zum Bespel, we ma de gerade Zahle glech wegläßt, so aus: Der Fudametalsatz der Zahletheore Aus der Schulmathematk st bekat, daß ma jede Zahl 2 e Produkt vo Prmfaktore zerlege ka. Zum Bespel : 360 = = = = = = Dese Zerleguge sd edeutg bs auf de Rehefolge, d. h. es gbt kee zwe verschedee Prmfaktorzerleguge für ee Zahl. Sete 2

11 Satz 2.3. : * { IN } [ bestzt ee bs auf de Rehefolge edeutg bestmmte Prmfaktorzerlegug. ] I desem Satz sd zwe Aussage formulert:. Jedes 2 bestzt ee Prmfaktorzerlegug. 2. Dese Prmfaktorzerlegug st edeutg bestmmt. Dese bede Tele werde getret bewese. Bewes: für de Exstez durch Ordugsdukto (Idukto 2. Art)! Id.Af.: = 2 2 = 2 st ee Prmfaktorzerlegug Id.Vor.: 2 k Jede Zahl k zwsche 2 ud (eschleßlch der Greze) bestzt ee Prmfaktorzerlegug. Id.Beh.: = k+ k+ bestzt ee Prmfaktorzerlegug Id.Schluß: mt Falluterschedug. Fall: k+ st ee Prmzahl k+ = k+ st de Prmfaktorzerlegug 2. Fall: k+ st zusammegesetzt ach Satz 2.. bestzt k+ da ee Prmteler, deser se p. k+ = p. r mt 2 r < k+, d. h. 2 r k Nach der Iduktosvoraussetzug bestzt also r ee Prmfaktorzerlegug; se se r = p. p. 2 p p ρ. Da st k+ = p. p. p. 2 p p ρ ee Prmfaktorzerlegug vo k+. Bewes: für de Edeutgket durch Ordugsdukto (Idukto 2. Art)! Id.Af.: = 2 2 = 2 st de edeutge Prmfaktorzerlegug Id.Vor.: 2 k Jede Zahl k zwsche 2 ud (eschleßlch der Greze) bestzt ee edeutge Prmfaktorzerlegug. Id.Beh.: = k+ k+ bestzt ee edeutge Prmfaktorzerlegug Id.Schluß: mt Falluterschedug. Fall: k+ st ee Prmzahl k+ = k+ st de edeutge Prmfaktorzerlegug 2. Fall: k+ st zusammegesetzt, also k+ = p. r mt p prm 2 r < k. Wege der Id.Vor. bestzt r ee edeutge Prmfaktorzerlegug; deshalb ka k+ kee adere Prmfaktorzerlegug mt dem Prmfaktor p bestze. I jeder adere Prmfaktorzerlegug vo k+ köe ur vo p verschedee Prmfaktore vorkomme. drekt: Ageomme es gäbe ee adere vo der obge verschedee Prmfaktorzerlegug k+ = q. q. q. 2 q q σ, da muß gelte q p q p { 2,,..., σ} Setzt ma s = q. q. 2 q q σ, da wrd k+ = q. s Da q p st, ka ma obda aehme q > p. Da glt a = k + p. s = q. s p. s = (q p) s < k + ud bestzt ach Id.Vor. ee edeutge Prmfaktorzerlegug. Es st aber auch a = p. r p. s = p (r s). Das heßt: I der Prmfaktorzerlegug vo a kommt der Faktor p vor. Da p aber cht der Prmfaktorzerlegug vo s vorkommt, muß er der Prmfaktorzerlegug vo q p vorkomme, d.h. p q p. Da p q p p p, muß (ach Satz.. 2 Folgerug 2) p q se. Da p ud q Prmzahle sd ud p < q glt, ergbt sch e Wderspruch. De Prmfaktorzerlegug vo k+ st also edeutg bestmmt. Sete 3

12 Deser Satz vo der edeutge Prmfaktorzerlegug schet zwar selbstverstädlch zu se, st aber cht trval, we ma sch a eer adere Zahlemege klar mache ka. Wählt ma cht de Mege IN*, soder de Mege H = { 4 + IN }, so seht ma, daß dese Mege multplkatv abgeschlosse st, wel (4 + ) (4 2 + ) = = 4 ( ) + glt. De erste Zahle vo H: H = {, 5, 9, 3, 7, 2, 25, 29, 33, 37, 4, 45, 49,... } I H werde Prmzahle we IN defert als de Zahle p mt geau zwe Teler p ud. Alle Prmzahle aus IN sd da auch Prmzahle H. Es gbt aber och wetere Prmzahle H, de cht Prmzahle IN sd, zum Bespel de Zahl 9, de H gbt es ur de bede Teler ud 9. De Zerlegug 9 = 3. 3 exstert H cht, da 3 H. Auch 2 st Prmzahl H, da 2 ur de bede Teler ud 2 H bestzt (3 ud 7 sd kee Elemete vo H). Aufgabe: Utersuche Se de erste 24 Zahle vo H auf Prmzahlegeschaft. I H gbt es Zahle, de auf verschedee Wese Prmfaktore (aus H) zerlegt werde köe, z. B: 44 = 2. 2 = = = = = = = Folgeruge aus dem Fudametalsatz Be der Zerlegug eer Zahl Prmfaktore ordet ma üblcherwese de Prmzahle der Größe ach, also p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 =,.... De Prmfaktore köe atürlch mehrfach de Prmzahlzerleguge auftrete. Da schrebt ma de Poteze der Prmfaktore mt de etsprechede Expoete. α Formal läßt sch ee Prmfaktorzerlegug der Zahl a schrebe als a = p. Deses Produkt hat atürlch cht uedlch vele Faktore, da alle Prmzahle, de dem Produkt cht auftrete, de Expoete 0 erhalte. Ee solche Darstellug et ma de kaosche Form der Prmfaktordarstellug. Defto 2.4. : a = α p heßt kaosche Prmfaktorzerlegug vo a. Satz 2.4. : ab, [ a = IN* α p b = β p ( a b α β ) ] IN Bewes: O a b c b = c. b a Z a = c = O α p. γ β = p p γ p α + γ = β α IN * β IN * ( α β γ = β α ) a. γ c = b mt c = p * IN Deser Satz lefert de Möglchket, alle Teler eer Zahl acheader zu bestmme. Es glt ämlch Sete 4

13 Satz : a [ a = Z α p T a = { δ p 0 δ α für alle IN* } Bewes: δ α. Jedes Produkt p st e Teler vo p. Des ergbt sch drekt aus de Überleguge zum Satz Es sd tatsächlch alle (postve) Teler erfaßt. Für δ < 0 ergebe sch kee atürlche Zahle, für α < δ köe kee Teler etstehe. Bespel: De Mege aller Teler vo 360 = st T 360 = = { δ p 0 δ α für alle IN* } α p = = { 2 γ. 3 γ 2. 5 γ 3 0 γ 3 0 γ γ 3 } = {, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0, 2, 5, 8, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 20, 80, 360 } Für γ 3 = 0 erhält ma aus der folgede Tabelle alle Teler, de de Prmzahl 5 cht ethalte. γ γ = = = = = = = = = 72 Es gbt och emal so vele Teler, de de Prmfaktor 5 ethalte, we ma sch lecht überlege ka. De Azahl der Teler ka ma sch auch so überlege: Der Prmfaktor 2 ka mal vorkomme. I jedem Fall ka der Prmfaktor mal vorkomme ud der Prmfaktor 5 jedem Fall zwemal. Isgesamt sd es also = 24 Teler. Aus desem Bespel läßt sch ee Vermutug ablete, wevele Teler ee atürlche Zahl a bestzt. Defto : a IN * [ τ(a) bezechet de Azahl der Teler vo a ud heßt Telerfukto. ] τ(a) gbt also de Azahl der Elemete vo T a a. τ(a) = T a Sete 5

14 Bespele: τ() = τ(p) = 2 für p prm τ(6) = 4 τ(2) = 2 τ(p 2 ) = 3 für p prm τ(360) = τ( ) = = 24 Satz : [ a = a IN * α p = p α. p α 2. 2 p α 3 3. p α τ(a) = ( α + ) = ( α + ) ( α 2 + ) ( α 3 + )... ] Bewes: Ist d δ IN* ud d = p de kaosche Prmfaktorzerlegug vo d, da st geau da d a, we δ α für alle IN*. Daher gbt es ( α + ) Möglchkete für δ ( α 2 + ) Möglchkete für δ 2 ( α 3 + ) Möglchkete für δ usw. also sgesamt ( α + ) ( α 2 + ) ( α 3 + ) ( α 4 + )... Möglchkete für de Expoetefolge δ, δ 2, δ 3, δ 4,.... Be desem Bewes wurde de Edeutgket der Prmfaktorzerlegug beutzt. Der Satz st daher ur de Zahlemege gültg, dee de Edeutgket der Prmfaktorzerlegug gegebe st, also zum Bespel cht der Zahlemege H = { 4 + IN }. Ma mußte ja scher se, daß zwe verschedee Expoetefolge δ, δ 2, δ 3, δ 4,... auch zwe verschedee Teler d etsprcht. Aus dem Fudametalsatz der Zahletheore lasse sch och adere Folgeruge zehe, zum Bespel über de Irratoaltät gewsser reeller Zahle. Satz : [ a b m m a IR \ Q ] abm,, IN* Bewes: drekt Ageomme m a wäre e Elemet vo Q, also ee ratoale Zahl, so wäre m r a = s mt r,s IN* ud ggt(r,s) =, da ma r s als vollstädg gekürzt aehme darf. Potezert ma de obge Glechug mt m, so erhält ma de Bezehug a = rm s m oder a. s m = r m. Ist u p e Prmteler vo s, so st p m a. s m ud auch p m r m, da st aber p r ud damt wäre r ud s cht telerfremd. Also ka s kee Prmteler bestze ud somt st s =. a = r m m Wderspruch zur Voraussetzug des Satzes a b b m. IN * De Zahl x = m a geügt der Glechug x m a = 0. Daher st der folgede Satz ee Verallgemeerug des Satzes Sete 6

15 Satz : m x IR c Z m [ IN* { 23,,,..., m} c x = 0 0 c m = x ZZ x IR \ Q ] I Worte: De Lösug eer algebrasche Glechug mt gazzahlge Koeffzete ud dem höchste Koeffzete st etweder gazzahlg oder rratoal. Bewes: Bespel: Ma zegt, daß aus der Aahme eer ratoale Lösug folgt, daß dese gazzahlg se muß. Es se x = r s mt r,s ZZ ud ggt(r,s) =. Dese Wert setzt ma de algebrasche Glechug e ud multplzert de Glechug mt s m. m 0 m 0 m 0 c ( r s ) = 0 c r s = 0 c r s m = 0 Außer dem Gled r m sd alle Gleder durch s telbar. Da 0 durch s telbar st, muß aber auch r m durch s telbar se. Also st jeder Prmteler p vo s auch Prmteler vo r. Da aber ggt(r,s) = vorausgesetzt wurde, ka b kee Prmteler habe, es muß b = se. Das heßt aber: We x ratoal st, da st x gazzahlg. De Zahl st rratoal st Lösug der Glechug x 4 0 x 2 + = 0, we ma durch Nachreche zege ka. Wege,4 < 2 <,5 ud,7 < 3 <,8 folgt 3, < < 3,3 st cht gaz; also muß wege Satz rratoal se. Satz : Bewes: m, [ IN* p ( p m p ) log m IR \ Q ] P drekt Ageomme log m Q, also log m = a b da st a b = m oder a = m b. Ist =, so st auch m = ud bestzt m Wderspruch zur Voraussetzug kee Prmteler. Also sd m ud bede vo verschede. [ Ist p e Prmteler vo m, so st p auch e Prmteler vo. ] p P Des steht m Wderspruch zur Voraussetzug, daß m ee Prmteler bestzt, de cht bestzt. Sete 7

16 3. Kogrueze ud Restklasse 3. Dvso vo a durch m mt Rest r Defto 3.. : Ist a ZZ ud m IN* ud st a = v. m + r, so heßt a dargestellt mt der Dvso durch m mt Rest r. Glt zusätzlch v. m a < v. (m+) bzw. glt 0 r < m, so heßt a dargestellt mt der Dvso durch m mt dem kleste cht egatve Rest r. Glt zusätzlch r m 2, so heßt a dargestellt mt der Dvso durch m mt dem absolut kleste Rest r. Amerkug: Im folgede wrd zuächst als Dvso mt Rest mmer de Darstellug mt klestem cht egatve Rest r verwedet. Es st r = a v. m. Ist r = 0, so st a durch m telbar. Bespele: 27 = = = = = = = = Begrff der Kogruez Defto 3.2. : m IN* a,b Z [ a heßt kogruet zu b modulo m : m a b ] I Zeche: m IN* a,b Z [ a b (mod m) : m a b ] Ist m / a b, so heßt a kogruet zu b modulo m. I Zeche: m IN* a,b Z [ a / b (mod m) : m / a b ] Bespele: 27 3 (mod 4) 72 7 (mod 3) 56 0 (mod 7) (mod 7) 22 (mod ) (mod 23) 526 (mod 25) (mod 46) Satz 3.2. : m IN* a,b Z [ a b (mod m) a = v. m + r b = v 2. m + r2 0 r, r 2 < m r = r 2 ] Bewes: Ο a = v. m + r b = v 2. m + r2 0 r, r 2 < m r = r 2 a b = v. m + r v 2. m r2 = ( v v 2 ). m Ο m a b a b (mod m) a b (mod m) Ist a = v. m + r b = v 2. m + r2 0 r, r 2 < m, so glt a b (mod m) m a b m v. m + r v 2. m r2 m ( v v 2 ). m + (r r 2 ) m (r r 2 ) Da r r 2 < m r r 2 = 0 r = r 2 Folgerug: Läßt a be Dvso durch m de Rest r, so st a r (mod m). Bewes aus Satz Sete 8

17 Satz : m IN* m IN* a,b Z [ a b (mod m) st ee Äquvalezrelato ZZ, das heßt () a a (mod m) Reflexvtät a,b Z (2) a b (mod m) b a (mod m) Symmetre (3) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Trastvtät Bewes: () m a a = 0 (2) m a b m (a b) = b a (3) m a b m b c m a b + b c = a c 3.3 Restklasse Defto 3.3. : m IN* R m (a) heßt de Restklasse a modulo m. a,b Z [ R m (a) = { x ZZ x a (mod m) } ] Bespele für Restklasse: Restklasse mod 7..., 2, 4, 7, 0, 7, 4, 2,... R 7 (0)..., 20, 3, 6,, 8, 5, 22,... R 7 ()..., 9, 2, 5, 2, 9, 6, 23,... R 7 (2)..., 8,, 4, 3, 7, 7, 24,... R 7 (3)..., 7, 0, 3, 4, 7, 8, 25,... R 7 (4)..., 6, 9, 2, 5, 7, 9, 26,... R 7 (5)..., 5, 8,, 6, 7, 20, 27,... R 7 (6) Restklasse mod 6..., 8, 2, 6, 0, 6, 2, 8,... R 6 (0)..., 7,, 5,, 7, 3, 9,... R 6 ()..., 6, 0, 4, 2, 8, 4, 20,... R 6 (2)..., 5, 9, 3, 3, 9, 5, 2,... R 6 (3)..., 4, 8, 2, 4, 0, 6, 22,... R 6 (4)..., 3, 7,, 5,, 7, 23,... R 6 (5) Restlklasse mod 2..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,... R 2 (0) (gerade Zahle)..., 5, 3,,, 3, 5, 7,... R 2 () (ugerade Zahle) Restlklasse mod..., 3, 2,, 0, 2, 2, 3,... R (0) = ZZ Satz 3.3. : m IN* [ ZZ = m U R m() R m () R m (j) = für j ( 0,j m ) ] 0 Bewes:. ZZ m U R m() 0 a ZZ a = k. m m + r mt 0 r < m a R m (r) a U R m() 0 Aderersets st jedes Elemet eer Restklasse e gaze Zahl, also Sete 9

18 m U R m() ZZ. Isgesamt also ZZ = 0 m U R m() Der zwete Tel des Satzes läßt sch we folgt bewese: Ageomme, es gäbe ee Zahl a mt a R m () R m (j) mt j. a R m () a R m (j) a (mod m) a j (mod m) j (mod m) wege der Trastvtät der Kogruez m j (zusamme mt j < m ) = j m Wderspruch zu j. Satz : m IN* [ R m (a) = R m (b) a b (mod m) ] a,b Z Bewes: Ο a b (mod m) x R m (a), also x a (mod m) x b (mod m) wege der Trastvtät der Kogruezrelato x R m (b) R m (a) R m (b) Aalog zegt ma R m (b) R m (a) R m (a) = R m (b) Ο R m (a) = R m (b), so st mt x a (mod m) auch x b (mod m) ud damt wege der Symmetre ud der Trastvtät der Kogruezrelato a b (mod m). Bespele: R 7 () = R 7 ( 6) = R 7 (8) = R 7 (5) = R 7 (22) = R 7 ( 3) R 6 ( 2) = R 6 ( 6) = R 6 (0) = R 6 (6) = R 6 (2) = R 6 (8) Mt Kogrueze ach demselbe Modul ka ma auch reche, das heßt Kogrueze addere ud subtrahere, multplzere ud potezere. Dabe muß ma atürlch achwese, daß de Kogruezrelato verträglch mt der Addto, Multplkato ud dem Potezere st. Des garatert der ächste Satz. Satz :. m IN* 2. m IN* 3. m IN* a, a, [ a b (mod m) a 2 b 2 (mod m) a + a 2 b + b 2 (mod m) ] a, 2 b, b 2 Z [ a b (mod m) a 2 b 2 (mod m) a. a 2 b. b 2 (mod m) ] a, 2 b, b 2 Z [ a b (mod m) a b (mod m) ] a,b Z Bewes:. m a b m a 2 b 2 m a b + a 2 b 2 ach Folgerug aus Satz.. 2 m ( a + a 2 ) ( b + b 2 ) a + a 2 b + b 2 (mod m) 2. m a b m a 2 b 2 m b 2 ( a b ) + a ( a 2 b 2 ) ach Satz.. 2 m a a 2 b b 2 a. a 2 b. b 2 (mod m) 3. durch vollstädge Idukto Id.Af.: = 2 a b (mod m) a 2 b 2 (mod m) folgt aus 2. für a = a 2 = a ud b = b 2 = b Id.Vor.: = k a b (mod m) a k b k (mod m) Id.Beh. = k+ a b (mod m) a k+ b k+ (mod m) Sete 20

19 Id.Schluß a b (mod m) a k b k (mod m) a k+ b k+ (mod m) folgt aus 2. für a = a a 2 = a k b = b b 2 = b k Ee Verallgemeerug deses Satzes ergbt: Satz :. m IN* 2. m IN* a, b, Z a, b, Z {,2,...,} [ a b (mod m) {,2,...,} [ a b (mod m) a b (mod m) ] a b (mod m) ] Bewes: durch vollstädge Idukto. Id.Af. = 2 st Satz bewese. Id.Vor. = k k k a b (mod m) a b (mod m) Id.Beh. = k+ k+ k+ a b (mod m) a b (mod m) k k Id.Schluß { a b (mod m) 2,,..., k} a b (mod m) a b (mod m) a k+ b k+ (mod m) { 2,,..., k} k k ( a k+ ( b k+ (mod m) ach Iduktosvoraussetzug ud ach Satz k+ k+ a b (mod m) 2. Id.Af. = 2 st Satz bewese. Id.Vor. = k k k a b (mod m) a b (mod m) Id.Beh. = k+ k + k + a b (mod m) a b (mod m) k k Id.Schluß { a b (mod m) 2,,..., k} a b (mod m) a b (mod m) a k+ b k+ (mod m) { 2,,..., k} k k ( a ) + a k+ ( b ) + b k+ (mod m) ach Iduktosvoraussetzug ud ach Satz k + a k + b (mod m) Sete 2

20 Folgeruge aus Satz :. m IN* Bewes: 2. m IN* a,b,c Z [ a b (mod m) a + c b + c (mod m) ] a,b,c Z [ a b (mod m) a. c b. c (mod m) ] Da c c (mod m) folgt des aus Satz bzw. 3. für a = a b = b a 2 = b 2 = c Ee Awedug: = (Fermatsche Zahl für =5) 64 = = daher (mod 64) (mod 64) mt 4 potezere ( ) 4 ( ) 4 (mod 64) (mod 64) ud (mod 64) wel (mod 64) (mod 64) 2 32 (mod 64). ( ) 2 32 (mod 64) (mod 64) (mod 64) Defto : a Z [ a = ab : Q(a) = a heßt Quersumme vo a ] Ist ee Zahl a m Stellewertsystem mt der Bass b dargestellt als so heßt Q(a) = a de Quersumme vo a bezüglch des Stellewertsystems mt der Bass b. ab, Satz : Ee m Zehersystem dargestellte Zahl st durch 9 telbar, we hre Quersumme durch 9 telbar st. Bewes: a = a 0 Es glt (mod 9) a. a (mod 9) 0 (mod 9) a. 2 0 a 2 (mod 9) 00 (mod 9) a a 3 (mod 9) 000 (mod 9) a a 4 (mod 9) (mod 9) a. 0 a (mod 9) a 0 a (mod 9) Allgeme: Ee m b-adsche System dargestellte Zahl st durch b telbar, we hre Quersumme durch b telbar st. Sete 22

21 Defto : a Z [ a = ab : Q (a) = ( ) a heßt altererede Quersumme vo a bezüglch der Bass b ] Ist ee Zahl a m Stellewertsystem mt der Bass b dargestellt als so heßt Q(a) = ( ) a de altererede Quersumme vo a bezüglch des Stellewertsystems mt der Bass b. ab, 3.4 Restsystem Defto 3.4. : m IN* a Z { a, a 2, a 3,..., a m } heßt e Restsystem modulo m ],j {,2,3,...,m} [ < j m a / a j (mod m) : E Restsystem (mod m) ethält also aus jeder Restklasse (mod m) geau ee Vertreter, da zwe verschedee Elemete des Restsystems zu verschedee Restklasse (mod m) gehöre ud das Restsystem m Elemete hat. Das Restsystem { 0,, 2,..., m } heßt auch klestes Restsystem (mod m). (geauer: Restsystem mt de kleste cht-egatve Reste). Um ee Mege { a, a 2, a 3,..., a m } auf Restsystemegeschaft (mod m) zu utersuche, ersetzt ma jedes a durch de kleste cht-egatve Zahl R m (a ), d. h. ma ersetzt a durch de Rest, de a be der Dvso durch m läßt (Redukto auf de kleste cht-egatve Rest). Bespele: m = 7 { 2, 5, 20, 35, 22, 0, 60 } geht über { 5, 2, 6, 0,, 3, 4 } also { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 } Es hadelt sch also um e Restsystem. 4. Der größte gemesame Teler 4. Defto des ggt Defto 4.4. : [ Sd de Zahle a, a 2, a 3,..., a ( ) cht alle glech 0, a Z {,2,3,...,} da heßt de größte Zahl der Mege Ta Ta 2 Ta 3... Ta der größte gemesame Teler der Zahle a, a 2, a 3,..., a. ] Bezechug: ggt ( a, a 2, a 3,..., a ) = ( a, a 2, a 3,..., a ) E solcher ggt exstert uter de gegebee Bedguge stets, da mdestes ee Telermege edlch st, also der Schtt aller Telermege ebefalls edlch, da jede Telermege de Zahl ethält ud ee edlche Mege atürlcher Zahle wege der leare Ordug der atürlche Zahle e größtes Elemet bestzt. Im Falle = st ggt(a) = a für a 0. Sete 23

22 Regel für de ggt () ( a, b ) = ( a, b ) = ( a, b ) = ( a, b ) de T a = T a ud T b = T b (2) ( a, 0 ) = (a) = a für a 0 de T 0 = IN ud Ta IN = Ta = T a (3) ( a, ) = de T = {} ud Ta {} = {} Wege der Regel st es für de Bestmmug vo ( a, b ) ausreched, sch auf a, b IN zu beschräke. Bespele: (2,42) T 2 = {, 2, 3, 4, 6, 2 } T 42 = {, 2, 3, 6, 7, 4, 2, 42 } T 2 T 42 = {, 2, 3, 6 } ggt ( 2, 42 ) = 6 ( 43962, ) T = {, 2, 3, 6, 7, 34, 5, 02, 43, 862, 293, 2586, 7327, 4654, 298, } T = {, 2, 3, 6, 9, 8, 97, 94, 29, 367, 582, 734, 873, 2, 746, 2202, 3303, 6606, 35599, 798, 06797, 23594, 32039, } T T = {, 2, 3, 6 } ggt( 43962, ) = 6 ( , ) T = {,, 2, , , } T = {, 23, 06 38, } T T = { } ggt( , ) = Darstellug des ggt m Hasse-Dagramm ggt( 30, 42 ) ggt( 50, 25 ) 30 = = = = Methode zur Bestmmug des ggt Prmfaktorzerlegug ggt ( 30, 42 ) 30 = = ( 30, 42 ) = 2. 3 = 6 ggt ( 36, 60 ) 36 = = ( 36, 60 ) = = 2 ggt( 43962, ) = = ( 43962, ) = 2. 3 = 6 ggt( , ) = = ( , ) = Sete 24

23 Eukldscher Algorthmus Ka ma ke CAS zu Hlfe ehme, sd de Berechuge der Telermege oder der Prmfaktorzerlegug, we se de obge Bespele durchgeführt wurde, kaum machbar. Zeht ma aber de Satz.. 2 hera, so ka ma aus desem folger [ d a d b d a d b ca ] abcd,,, Z Das bedeutet aber T a T b = T a T b ca ud daher ggt( a, b ) = ggt ( a, b ca ) Der Wert des größte gemesame Telers vo zwe Zahle ädert sch also cht, we ma e Velfaches der ee Zahl vo der adere Zahl abzeht. Des läßt sch auch für edlch vele Zahle verallgemeer. Zuächst ees der obge Bespele : ( , ) = ( , ) = ( 25 34, ) = ( 25 34, ) = ( 25 34, ) = ( , ) = ( 6666, ) = ( 6666, ) = ( 6666, 536 ) = ( , 536 ) = ( 350, 536 ) = ( 350, ) = ( 350, 266 ) = ( , 266 ) = ( 84, 266 ) = ( 84, ) = ( 84, 6 ) = ( , 6 ) = ( 0, 6 ) = 6 d. h. ( , ) = 6 Ma subtrahert also mmer e solches Velfache eer Zahl vo der adere, daß e möglchst kleer cht-egatver Rest blebt. Ma führt also Dvsoe mt Rest durch. Deses Verfahre et ma de Eukldsche Algorthmus, wel er sch berets be Eukld fdet. Defto 4.2. : [ Folgede Kette vo Dvsoe mt Rest heßt Eukldscher a,b,, r IN Algorthmus für a ud b : Bespel: a = b + r 0 < r < b 368 = b = r + r 0 < r < r 264 = r = 2 r + r 2 0 < r 2 < r 04 = r = 3 r 2 + r 3 0 < r 3 < r r k 2 = k r k + r k 0 < r k < r k 56 = r k = k+ r k + 0 r k+ = 0 48 = ] Sete 25

24 Da de Folge der Reste mooto abmmt, muß otwedgerwese emal der Rest 0 errecht werde, de alle auftretede Zahle sd Elemete vo IN ud IN hat als kleste Zahl 0. Daraus folgt der Satz 4.2. : Der Eukldsche Algorthmus, agewadt auf das Zahlepaar ( a, b ) mt b 0, lefert mt seem letzte vo Null verschedee Rest de ggt(a,b). oder aders ausgedrückt I de Bezechuge der Defto 4.2. st T rk = T a T b ud damt r k = ggt ( a, b ) Bewes: Ma lese de Kette vo Dvsoe m Eukldsche Algorthmus vo ute ach obe. Da glt wege Satz.. 2 r k r k r k r k 2 r k r k 3 usw. bs schleßlch r k r 2 r k r r k b r k a Es st also r k T a T b ud daher T rk T a T b Ist u d T a T b, so st wege Folgerug 2 aus Satz.. 2, we ma de Dvsoskette vo obe ach ute lest d r d r d r d r k. Daher st T a T b T rk, sgesamt also T rk = T a T b. Bemerkug: T rk = T a T b bedeutet: d a d b d ggt( a, b ) De Mege der gemesame postve Teler vo a ud b stmmt mt der Mege der postve Teler vo ggt(a,b) übere. Schema für de Eukldsche Algorthmus a b r r r 2... r k 2 r k r k k k k+ Bespelswese seht für de ggt(408,2585) deses Schema so aus: Also st ggt(408,2585) =. Rechet ma u dese Rechuge rückwärts, so ergbt sch = = ( ) = = 3. ( ) = =..... = Also st ggt(408,2585) = u v. 408 = Rechet ma de Eukldsche Algorthmus zurück, so zegt sch also der Sete 26

25 Satz : ab, Z [ ggt(a,b) = u a + v b ] uv, Z Bewes: OBdA a,b IN Ma schrebt de Glechuge des Eukldsche Algorthmus als r = a b r = b r r 2 = r 2 r r 3 = r 3 r r k = r k 2 k r k ud setzt e. Folgerug: [ { a x + b y x ZZ y ZZ } = { ggt(a,b). z z ZZ } ] ab, Z Bewes: Nach Satz.. 2 st [ ggt(a,b) a x + b y ] xy, Z also z Z [ a x + b y = ggt(a,b). z ] Aderersets folgt aus Satz z Z [ ggt(a,b). z = a x + b y ] xy, Z De Darstellug ggt(a,b) = u a + v b heßt ee Velfachsummedarstellug vo ggt(a,b). Dabe sd u ud v cht edeutg bestmmt. Zum Bespel st (85,65) = 5 = ( 3) Es st aber auch [ 5 = ( 3 + t ) ( 4 t ). 65 ], t Z da de hzugekomme Summade sch weder heraushebe. Möglche Zahlepaare für (u,v) sd demach ( 3,4), (62, 8), (27, 66), ( 68,89), ( 33,74),... Regel für de ggt () ggt(a,b) = ggt(b,a) wel T a T b = T b T a Kommutatvtät (2) ggt(ggt(a,b),c) = ggt(a, ggt(b,c)) = ggt(a,b,.c) Assozatvtät wel (T a T b ) T c = T a (T b T c ) (3) ggt(a, a 2, a 3,..., a ) = ggt( ggt(a, a 2 ), a 3,..., a ) allgemee Assozatvtät wel wel T a T a2 T a3... T a = (T a T a2 ) T a3... T a Bespel: ggt(8, 24, 48, 90) = ggt( ggt(8, 24), 48, 90) = ggt(6, 48, 90) = ggt( ggt(6, 48), 90) = ggt(6, 90) = 6 Satz : [ ggt(a,b) = b ac b c ] abc,, Z Worte: Ist e Teler ees Produktes zu dem ee Faktor telerfremd (Defto vo telerfremd sehe ute), so st er e Teler des adere Faktors. Bewes: ( = u a + v b ) ach Satz uv, Z c = c u a + c v b ach Satz.. 2 glt da b ac b bc b c Sete 27

26 Defto : a Z [ De Zahle a, a 2,..., a heße telerfremd zueader j, { 23,,,..., } : ggt(a, a 2,..., a ) = ] [ De Zahle a, a 2,..., a heße paarwese telerfremd : j [ j ggt(a, a j ) = ], { 23,,,..., } Sd de Zahle a, a 2,..., a paarwese telerfremd, da sd se auch telerfremd; das Umgekehrte muß cht gelte. Bespele: De Zahle 2, 3, 4, 0 sd telerfremd, aber cht paarwese telerfremd. De Zahle 4, 9,, 49 sd paarwese telerfremd, also auch telerfremd. 4.3 Egeschafte des ggt Satz 4.3. : [ I T a = T ggt(a, a 2,..., a ) ] { 2,,..., } a Z aders ausgedrückt: d a d a 2... d a d ggt(a, a 2,..., a ) Bewes: durch vollstädge Idukto Id.Af.: = Id.Af. = 2 = k Id.Beh.: = k+ Id.Schluß: I T a = T ggt(a ) Aussage trval 2 I T a = T ggt(a, a 2 ) glt ach Satz 4.2. k I T a = T ggt(a, a 2,..., a k ) k+ I T a = T ggt(a, a 2,..., a k+ ) I T a = T ggt(a, a 2,..., a k ) T k+ = T ggt(a, a 2,..., a k+ ) da rchtg für = 2 oder Id.Af.: = d a d ggt(a ) Aussage trval = 2 d a d a 2 d ggt(a, a 2,) glt ach Satz 4.2. Id.Vor.: = k d a d a 2... d a k d ggt(a, a 2,..., a k ) Id.Beh.: = k+ d a d a 2... d a k+ d ggt(a, a 2,..., a k+ ) Id.Schluß: d a d a 2... d a k d a k+ d ggt(a, a 2,..., a k ) d a k+ d ggt(a, a 2,..., a k+ ) ach Satz 4.2. Satz : [ {,2,...,} a Z u Z ggt(a, a 2,..., a ) = u a ] Sete 28

27 Bewes: durch vollstädge Idukto Id.Af.: = ggt(a ) = a =. a Aussage trval Z = 2 2 [ ggt(a, a 2 ) = u a ] wege Satz a,a2 Z u,u2 Z Id.Vor.: = k k [ ggt(a, a 2,..., a k ) = u a ] {,2,...,k} a Z u Z Id.Beh.: = k+ k+ [ ggt(a, a 2,..., a k+ ) = u a ] {,2,...,k +} a Z u Z Id.Schluß: ggt(a, a 2,..., a k+ ) = ggt(ggt(a, a 2,..., a k ), a k+ ) k k k+ = ggt ( u a, a k+) = v u a + v k+ a k+ = v a (mt v u = v ) Satz : [ ggt(a, m) = ggt(a 2, m) = ggt(a 3, m) =... = ggt(a, m) = {,2,...,} a Z m Z ggt ( a, m ) = ] Bewes: Nach Satz gbt es gaze Zahle u, u 2,..., u ZZ ud v, v 2,..., v ZZ mt = u a + v m = u 2 a 2 + v 2 m = u 3 a 3 + v 3 m = u a + v m Daraus folgt = (u a + v m) (u 2 a 2 + v 2 m) (u 3 a 3 + v 3 m)... (u a + v m) = u u 2 u 3...u. a a 2 a 3...a + v. m Satz : {,2,...,} a Z d [ d = ggt (a, a 2,..., a ) ggt ( a d, a 2 d,..., a d ) = ] IN* Bewes: Ο Ist d = ggt (a, a 2,..., a ) so st ach Satz d = u a mt u ZZ {,2,...,} = a u d = ggt ( a d, a 2 d,..., a d ) Ο d a = a u d t = ggt (a, a 2,..., a ) {,2,...,} d t ach Satz 4.3. t Da t a glt d ggt ( a d, a 2 d,..., a d ) = {,2,...,} t d = t = d Sete 29

28 De Bestmmug des ggt zweer Zahle a ud b durch Prmfaktorzerlegug beruht auf dem folgede Satz Satz : ab, [ a = pα IN* ud b = pβ ggt(a,b) = pm( αβ, ) ] Bewes: Es se d = pm( αβ, ). m(α,β ) α m(α,β ) β d a d b ach Satz 2.4. d ggt(a,b) Ist aderersets t a t b mt t = pτ [ τ α τ β ] IN * [ τ m(α,β ) ] IN * t d d st der größte Teler uter de gemesame Teler vo a ud b. De Satz ka ma efach erweter für mehr als zwe Zahle aus IN*, da glt m (r,s,t) = m (m(r,s),t) Das Recheverfahre für de ggt-bestmmug ka ma also auf atürlche Zahle erweter. Für de Satz vo der edeutge Prmfaktorzerlegug (Fudametalsatz der Zahletheore, Satz 2.3. ) mußte de Exstez der Prmfaktorzerlegug ud de Edeutgket der Prmfaktorzerlegug (bs auf de Rehefolge) bewese werde. Mt Hlfe des Satzes ka ma für de Edeutgket der Prmfaktorzerlegug ee adere Bewes formulere. Aus dem Satz letet ma erst ee Hlfssatz ab. Hlfssatz 4.3. A : [ p q. q 2. q q k p = q ] { 2,,..., k} pq, P { 2,,..., k} Bewes:. Fall ggt(p,q ) ggt(p,q ) = p (da T P = {, p } ) p q p = q (wel q ee Prmzahl st) 2. Fall ggt(p,q ) = p q. 2 q q k ach Satz Fall 2. ggt(p,q 2 ) ggt(p,q 2 ) = p (da T P = {, p } ) p q 2 p = q 2 (wel q 2 ee Prmzahl st) Fall 2.2 ggt(p,q ) = p q. 2 q q k Fall 2. usw. bs schleßlch p q k p = q k (wel q k ee Prmzahl st) Bewes für de Edeutgket der Prmfaktorzerlegug Ageomme bestzt zwe Prmfaktorzerleguge = p. p p r ud = q. q q s. p p q. q q s p = q { 2,,..., s} obda p = q da es auf de Rehefolge cht akommt. Sete 30

29 Aus p. p p r = q. q q s ergbt sch durch Kürze p. 2 p p r = q. 2 q q s We ebe glt: p 2 p 2 q. 2 q q s p 2 = q { 23,,..., s} obda p 2 = q 2 da es auf de Rehefolge cht akommt. Setzt ma dese Überlegug fort, so erhält ma schleßlch ach edlch vele Schrtte r = s p = q { 2,,..., r} Wll ma dese etwas aschaulche Formulerug mathematsch exakt aufschrebe, so verwedet ma weder das Iduktosprzp. 5. Das kleste gemesame Velfache 5. Defto des kgv - Methode zur Bestmmug des kgv Defto 5.. : [ V a = { x IN* a x } heßt Mege aller postve Velfache {,2,...,} a Z vo a oder kurz Velfachemege vo a. ] Bespele: V 0 =, de kee atürlche Zahl st durch 0 telbar. V = IN*, de jede atürlche Zahl st durch telbar. V 2 = { 2, 4, 6, 8,... }, de jede gerade Zahl st durch 2 telbar. V 2 = { 2, 24, 36, 48,... } = R 2 + *(0), ferer glt V a = V a = V a ach der Defto 5.. Defto : [ V a V a2... V a heßt Mege der gemesame {,2,...,} a Z postve Velfache der Zahle a, a 2,..., a. ] De Mege der gemesame postve Velfache vo a, a 2,..., a st cht leer, we ke a = 0 st. Da jede cht-leere Telmege vo IN* e klestes Elemet bestzt, ka ma das kleste gemesame Velfache vo Zahle a, a 2,..., a defere. Defto : [ De kleste Zahl der Mege V {,2,...,} a a V a2... V a Z * heßt das kleste gemesame Velfache der Zahle a, a 2,..., a. ] Schrebwese: kgv(a, a 2,..., a ) oder [a, a 2,..., a ]. Ist ee der Zahle a, a 2,..., a glech Null, so setzt ma [a, a 2,..., a ] = 0. I deser Defto st auch der (trvale) Fall = egeschlosse. Es glt ämlch Regel für das kgv:. [ kgv(a,b) = kgv( a,b) = kgv(a, b) = kgv( a, b) ] ab, Z de ach Satz 5.. st V a = V a V b = V b 2. kgv(a,) = kgv(a) = a de V = IN* V a IN* = V a = V a kgv(a) = a. a Z Sete 3

30 Nach der Defto st es für de Berechug des kleste gemesame Velfache ausreched, sch auf atürlche Zahle zu beschräke. Bespel: V 2 = { 2, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 08, 20, 32, 44, 56,.... } V 5 = { 5, 30, 45, 60, 75, 90, 05, 20, 35, 50,.... } V 2 V 5 = { 60, 20,.... } kgv(2,5) = 60 Ee Zusammehag zwsche dem ggt zweer Zahle ud dere kgv zegt der folgede Satz. Satz 5.. : ab, [ kgv(a,b) = IN* a b ggt(a,b) ] a b Bewes: De gaze Zahl v = ggt(a,b) = a. b ggt(a,b) = a ggt(a,b). b st e gemesames Velfaches vo a ud b. Ist u w ebefalls e gemesames Velfaches vo a ud b, so betrachtet ma de Bruch w v = w. ggt(a,b) a. b. Nach Satz gbt es zwe Zahle x ud y, so daß ggt(a,b) = x. a + y. b. Setzt ma des für ggt(a,b) e, so erhält ma w v = w. ggt(a,b) a. b = w v = w. (x a + y b ) a. b = w x b + w y a De Gleder deser Summe sd gaze Zahle, da a w ud b w. Also st auch w v ee gaze Zahl ud damt v w. Jedes gemesame Velfache vo a ud b st e Velfaches vo v. v st das kleste gemesame Velfache vo a ud b. Aus desem Bewes ergbt sch de Tatsache, daß jedes gemesame Velfache vo a ud b e Velfaches des kleste gemesame Velfache vo a ud b st. Daraus folgt: Satz : [ V a V b = V kgv(a,b). ] ab, IN* Aders ausgedrückt: [ abv,, Z a v b v kgv(a,b) v ] Bespele: V 2 V 5 = V 60 V 3 V = V 33 We 2 Teler vo 80 st ud 5 Teler vo 80, da st auch 60 Teler vo 80. We 3 Teler vo 330 st ud Teler vo 330 st, da st auch 33 Teler vo 330. Recheregel für das kgv:. kgv(a,b) = kgv(b,a) de V a V b = V b V a 2. kgv(kgv(a,b),c) = kgv(a,kgv(b,c)) de (V a V b ) V c ) = V a (V b V c ) 3. kgv(a, a 2,..., a ) = kgv(kgv(a, a 2,), a 3, a 4,..., a ) de V a V a2... V a = (V a V a2 ) V a3 V a4... V a Bespel: kgv(60, 5, 22, 0) = kgv(kgv(60,5), 22, 0) = kgv(60, 22, 0) = kgv (kgv(60,22), 0) = kgv(660, 0) = 660 Sete 32

31 5.2 Egeschafte des kgv Satz 5.2. [ V a V a2... V a = V kgv (a a Z, a 2,..., a ) ] { 2,,..., } bzw. [ a v kgv (a, a 2,..., a ) v ] a Z { 2,,..., } Bewes: duktv Id.Af.: = 2 glt ach Satz Id.Vor.: = k V a V a2... V ak = V kgv (a, a 2,..., a k ) Id.Beh.: = k+ V a V a2... V ak+ = V kgv (a, a 2,..., a k+ ) Id.Schluß: V a V a2... V ak+ = V a V a2... V ak V ak+ = (V a V a2... V ak ) V ak+ wege Ass. = V kgv (a, a 2,..., a k ) V ak+ wege Id.Vor. = V kgv (a, a 2,..., a k+ ) wege Id.Af. Satz : a Z v IN * [ ( ( a 0 a v ) ggt( v, v, v,..., v ) = ) a { 2,,..., } a 2 a 3 a kgv (a, a 2,..., a ) = v ] Bewes: O v = kgv (a, a 2,..., a ) ggt( v a, v a 2, v a 3,..., v a ) = d v a. ZZ a v für alle {, 2, 3,..., } d d v d V a V a2... V a = V v Wege v v muß daher d = se. d Satz : Bewes: O ggt( v a, v a 2, v a 3,..., v a ) = w = kgv (a, a 2,..., a ) Wege Satz 5.2. glt: w v k IN* v = w. k [ a Z A d = a. A d. a = ggt( v, v, v,..., v ) = ggt( w. k, w. k, w. k,..., w. k ) a a 2 a 3 a a a a a = k. ggt( w, w, w,..., w ) (vgl. Aufgabe 62) a a a a k = v = w. ( a 0 ) A = a. a a d = ggt( A, A, A,..., A ) a { 2,,..., } a 2 a 3 a kgv (a, a 2,..., a ) = A d ] A d. a ZZ für alle {, 2,..., } A d V a V a2... V a A ach Satz st ggt(, A, A,..., A ) = da da 2 da 3 a Sete 33

32 ach Satz st da A d = kgv (a, a 2,..., a ) Bespel: = 7200 ggt( , , , ) = ggt(200, 900, 720, 480) = 0 ggt(20, 90, 72, 48) = 0 ggt(24, 42, 24, 48) = 0 ggt(24, 8, 0, 0) = 0 ggt(6, 8, 0, 0) = = 0 ggt(6, 0, 0, 0) = 0. 6 = 60 Also kgv(6, 8, 0, 5) = = 20 Satz : Bewes: Mt de Bezechuge vo Satz glt: ggt( A, A, A,..., A ) = a a 2 a 3 a De a für {, 2,..., } sd paarwese telerfremd. durch vollstädge Idukto Id.Af.: = 2 ggt( A a, A a 2 ) = ggt(a 2, a ) = a, a 2 sd telerfremd Id.Vor.: = k ggt( A a, A a 2, A a 3,..., A a k ) = De a für {, 2,..., k } sd paarwese telerfremd. Id.Beh.: = k+ ggt( A, A, A A,..., ) = De a a a 2 a 3 a für {, 2,..., k+ } k+ sd paarwese telerfremd. Id.Schluß: Ma setze A = a. a a k. A a k+ ud A = a k+ O De a für {, 2,..., k+ } sd paarwese telerfremd. ggt( A, A, A A,..., ) = ggt ( a a a 2 a 3 a k+ ( A, A, A,..., A ), A ) k+ a a 2 a 3 a k+ wege der Assozatvtät = ggt( a k+, A ) = wege der Iduktosvoraussetzug ud der paarwese Telerfremdhet O ggt( A, A, A A,..., ) = a a 2 a 3 a k+ We obe folgt ggt( a k+, A ) = ggt( a k+, a ) = für {, 2,..., k+ } Durch Umumererug der k+ Zahle a, a 2,..., a k+ ka ma jede deser Zahle auf de (k+)-te Stelle brge, so daß ggt( a h, a ) = für h < k+ bewese st. Folgerug aus de Sätze ud a Z { 2,,..., } [ a, a 2,..., a sd paarwese telerfremd kgv(a, a 2,..., a ) = a. a a ] Satz : ab, [ a = IN* α p b = β p kgv(a,b) = max( α, β) p ] Sete 34

33 max( α, β) Bewes: Ma setzt zur Abkürzug v = p. Aus α max(α,β ) β max(α,β ) folgt ach Satz 2.4. a v b v kgv(a,b) v. η Ist aderersets w = p mt a w b w α η β η max(α,β ) η ach Satz 2.4. v w, also v das kleste gemesame Velfache vo a ud b. Bespel: Auf Grud des Satzes ka ma das kgv vo mehrere Zahle bereche. 84 = = = kgv(84,990,27000) = = Restklassegruppe ud Restklasserge 6. De addtve Restklassegruppe Nach der Defto 3.3. : m IN* a,b Z [ R m (a) = { x ZZ x a (mod m) } ] (R m (a) heßt de Restklasse a modulo m.) sd de Restklasse modulo m de Klasse R m (0), R m (), R m (2), R m (3),..., R m (m ). Im folgede wrd für de Restklasse ee kürzere Schrebwese beutzt: R m (0) = 0 oder, we der Modul mt geat werde soll R m (0) = 0 m R m () = R m () = m R m (2) = 2 R m (2) = 2 m R m (m ) = m R m (m ) = m m allgeme R m (a) = a R m (a) = a m De Mege der Restklasse modulo m soll mt R m bezechet werde. De Mege der Restklasse (zum Bespel) modulo 4 st da de Mege R 4 = { 0,, 2, 3 }, de Mege der Restklasse modulo 6 de Mege R 6 = { 0,, 2, 3, 4, 5 }, de Mege der Restklasse modulo 7 de Mege R 7 = { 0,, 2, 3, 4, 5, 6 }. Beachte Se: de Restklasse selbst sd Mege, ämlch Mege vo Zahle, de ach eem Modul kogruet zueader sd. De Mege der Restklasse st ee Mege vo Mege. Es wrd u e Reche mt de Restklasse egeführt, ud zwar ee Addto (ud m ächste Abschtt ee Multplkato ). Defto 6.. : [ a b = a+b ] Addto vo Restklasse a,b R m Da zur Bezechug eer Restklasse e belebger Vertreter aus deser Restklasse verwedet werde ka (zum Bespel st modulo 6: 2 = 8 ), muß geklärt werde, ob de Addto vo Restklasse ach der Defto 6.. wohldefert, das heßt uabhägg vom Repräsetate st. Sete 35