HYPOTHESENTESTS. Die Hypothesentests, die in der Kursstufe behandelt werden, basieren alle auf Wahrscheinlichkeitsexperimenten,

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1 HYPOTHESENTESTS F. LEMMERMEYER Die Hypothesentests, die in der Kursstufe behandelt werden, basieren alle auf Wahrscheinlichkeitsexperimenten, die binomialverteilt sind. Betrachten wir einen idealen Würfel, also einen, bei dem jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1 6 hat, und schauen wir, wieviele 6en er produziert. Sei X die Anzahl der 6en, also p = 1 6 ; bei n = 60 Versuchen erwarten wir 10 mal die 6, und es ist p(x = 10) = binompdf(60, 1/6, 10) = Die Wahrscheinlichkeit, dass die erwartete Anzahl von 6en kommt, ist also mit 13,7 % relativ klein. Wenn bei einem Experiment 11 mal die 6 kommt, werden wir auch noch glauben, dass der Würfel nicht gezinkt ist, denn dies wird mit p(x = 11) passieren. Wenn aber zu oft die 6 kommt, werden wir misstrauisch. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 15 mal die 6 kommt ist p(x > 15) = p(x 16) = 1 p(x 15) = 1 binomcdf(60, 1/6, 15) 0.034, also etwas mehr als 3 %. Wenn wir bei einem Test 16 mal oder mehr eine 6 Würfeln und dann behaupten, der Würfel wäre gezinkt, dann kann es trotzdem sein, dass wir Unrecht haben: allerdings wird das nur in 3,4% aller Fälle so sein (d.h. wenn wir 100 Würfel testen und jedesmal, wenn bei 60 Würfen mehr als 15 mal die 6 kommt, behaupten, der Würfel sei gezinkt, dann liegen wir erwartungsgemäß in 3 oder 4 Fällen daneben. Bei den Hypothesentests wird aber andersherum gefragt. Man beginnt mit einer Nullhypothese, z.b. H 0 : p 1 6. Die Alternative ist dann H 1 : p > 1 6. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn zu viele 6en fallen. Entsprechend kann man die Nullhypothese p 1 6 testen; diese wird verworfen, wenn zu wenige 6en fallen. Wenn man also behauptet, der Würfel sei gezinkt, weil zu viele 6en kommen, dann wählt man H 0 : p 1 6, damit der Test zur Ablehnung der Nullhypothese führt. Im Buch (S. 356) wird die Sache übrigens falsch erklärt: dort ist die Nullhypothese beidesmal p = 1 6, womit der Lambacher-Schweizer allein auf weiter Flur steht. Nullhypothese und Alternative sind nämlich immer Gegenereignisse voneinander. Die Frage ist nun: ab wieviel 6en bei 60mal Würfeln glauben wir nicht mehr, dass der Würfel in Ordnung ist, wenn wir ein Signifikanzniveau von 5 % ansetzen? Damit ist gemeint, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit (also die Wahrscheinlichkeit, mit der wir daneben liegen) kleiner als 5 % sein soll. Wir müssen also k so festlegen, dass p(x k) < 0.05 ist. Aus 1 p(x k 1) <

2 2 F. LEMMERMEYER folgt (table) k 1 = 15, also k = 16. Der Ablehnungsbereich (alle k, bei denen wir die Annahme p = 1 6 ablehnen, ist daher [16, 60] (alle Zahlen zwischen 16 und 60, einschließlich). Zu bemerken ist, dass in diesem Beispiel ein einseitiger Test (also zu viele 6en, oder auch zu wenig 6en) nicht sehr sinnvoll ist, weil nicht gezinkte Würfel weder zu wenig, noch zu viel 6er produzieren sollten.

3 HYPOTHESENTESTS 3 1a) A = [0; 72]; p(x > 72) = ; 1. Lambacher-Schweizer, S b) A = [53; 125]; p(x 52) = ; 1c) A = [0; 75]; p(x 76) = ; 1d) A = [75; 125]; p(x 74) = a) A = [0; 92]; Nullhypothese beibehalten; 2b) A = [50; 125]; Nullhypothese beibehalten; 2c) A = [0; 143]; Nullhypothese verworfen; 2d) A = [268; 500]; Nullhypothese verworfen. 3a) A = [136; 300]; 3b) A = [133; 167]; 3c) A = [0; 164]. 4) Sei X die Anzahl der angeschnallten Fahrer; der Autoclub behauptet, es wäre p > 0.7 und wählt daher als Nullhypothese p 0.7 und als Alternative H 1 : p > 0.7. Dies ist ein rechtsseitiger Test mit Annahmebereich [0; 102]. Da 104 Fahrer angegurtet sind, verwirft der Autoclub die Nullhypothese. Die Polzei behauptet, es wäre p < 0.7 und wählt als Nullhypothese H 0 : p 0.7 und als Alternative H 1 : p > 0.7. Als Annahmebereich findet man [85; 134], d.h. die Polzei kann die Nullhypothese nicht verwerfen. Das Ergebnis hätte man (ohne Berücksichtigung des Signifikanzniveaus) schon daran ablesen können, dass aller Fahrer angeschnallt waren, also deutlich mehr als 70 %. 5) Sei X die Anzahl der Kugelschreiber, die in Ordnung sind. Die Behauptung des Herstellers ist p > Also wählt er H 0 : p 0.96 (wo man das Gleichheitszeichen hinmacht, ist egal) und als Alternative p > Als Ablehnungsbereich ergibt sich [235; 250]: falls also mindestens 235 der getesteten Kugelschreiber in Ordnung sind (das sind 94 %), wird die Nullhypothese verworfen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist p(x 234) =

4 4 F. LEMMERMEYER 2. Bayern 2011 Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg besteht, eine Windkraftanlage zu errichten. 1. Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die Windkraftanlage aus. a) Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von Oberberg. Aus allen Befragten wird zufällig eine Person ausgewählt. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit p 1 dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt und sich gegen die Windkraftanlage aussprach. die Wahrscheinlichkeit p 2 dafür, dass die ausgewählte Person in Oberberg wohnt, wenn bekannt ist, dass sie sich gegen die Windkraftanlage aussprach. c) Begründen Sie, dass kein Ergebnis der Umfrage denkbar ist, bei dem p 1 > p 2 ist. 2. Die Windkraftgegner schließen sich zu einer Bürgerinitiative zusammen. Zur Aufbesserung ihrer finanziellen Mittel hat die Bürgerinitiative auf dem Gemeindefest ein Glücksrad mit zehn gleich großen Sektoren aufgebaut (eine 1, zweimal die 2, dreimal die 3, viermal die 4). Ein Spiel besteht aus dem einmaligen Drehen des Glücksrads; die erzielte Zahl gibt die Kategorie des Preises an, den der Spieler erhält. a) Ein Preis der Kategorie 1 ist für die Bürgerinitiative mit Unkosten in Höhe von 10 Euro, ein Preis der Kategorie 2 mit Unkosten in Höhe von 5 Euro verbunden. Preise der Kategorien 3 und 4 werden von Sponsoren gestellt und verursachen keine Kosten. Bestimmen Sie den im Mittel zu erwartenden Gewinn der Bürgerinitiative, wenn der Einsatz für ein Spiel 2,50 Euro beträgt und keine weiteren Unkosten anfallen. b) Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt. A: Nur die ersten 5 Preise entfallen auf die Kategorie 4. B: Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4. C: Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1 und Die Bürgerinitiative veranstaltet am viel besuchten Basesee der Gemeinde eine Unterschriftenaktion gegen die geplante Windkraftanlage.

5 HYPOTHESENTESTS 5 Berechnen Sie, wie hoch der Anteil p der Gegner der Windkraftanlage mindestens sein muss, damit sich unter 10 zufällig ausgesuchten Badegästen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens ein Gegenber der Windkraftanlage befindet. 4. Aufgrund der vielfältigen Aktivitäten der Bürgerinitiative vermutet der Gemeinderat, dass inzwischen mindestens 55 % der Wahlberechtigten der Gemeinde gegen die Errichtung einer Windkraftanlage sind. Um diese Vermutung zu testen, werden 200 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte der Gemeinde befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung des Gemeinderats mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt werden soll?

6 6 F. LEMMERMEYER Aufgabe 1, S. 358 Beim rechtsseitigen Test ist die Nullhypothese von der Form H 0 : p p 0, die Alternative H 1 : p > p 0. In a) geht es um einen rechtsseitigen Test mit p 0 =.5, n = 125 und Signifikanzniveau α. Damit die Sache klarer wird, kleiden wir die Zahlen in ein Beispiel ein. Wir nehmen also einen Würfel und testen, mit welcher Wahrscheinlichkeit gerade Zahlen kommen. Als Nullhypothese nehmen wir die Behauptung, diese Wahrscheinlichkeit sei H o : p 0.5. Um diese zu testen, würfeln wir 125 mal. Bei welchen Ergebnissen lehnen wir die Nullhypothese ab? Erwarten würden wir ca n p = 62,5 gerade Zahlen. Die Nullhypothese behauptet, dass es weniger sein werden. Wir lehnen sie also ab, wenn es zu viele gerade Zahlen sind. Dazu geben wir binomcdf(125, 0.5, X) ein und finden erst einmal, dass die Wahrscheinlichkeiten für kleine n winzig sind (die Wahrscheinlichket, bei 125maligen Würfeln nur 10 gerade Zahlen zu bekommen kann ja auch nicht sehr groß sein). Interessant wird es erst oberhalb des Erwartungswerts: X Y Zwischen diesen beiden Werten überspringt die Wahrscheinlichkeit die 95%-Grenze. Das bedeutet: (1) Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 71 mal eine gerade Zahl zu würfeln, ist binomcdf(125, 0.5, 71) = (2) Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 72 mal eine gerade Zahl zu würfeln, ist binomcdf(125, 0.5, 72) = Wenn ich daher sage, dass ich ab 73 geraden Zahlen die Nullhypothese ablehne, so liege ich meistens richtig. Falsch liege ich nur in den Fällen, in denen die Nullhypothese richtig ist, aber der unwahrscheinliche Fall eintritt, dass es 73mal oder öfter eine gerade Zahl gibt. Dies passiert mit einer Wahrscheinlichkeit von = , und das ist kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau α. Ergebnis: Als Annahmebereich ergibt sich [0; 72]; die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt p(x > 72) = 1 p(x 72) = = , also ca 3,7 %. Der Ablehnungsbereich ist [73; 125]. Machen wir dagegen einen linksseitigen Test mit Nullhypothese H 0 : p 0.5, dann werden wir die Nullhypothese ablehnen, wenn es zu wenige gerade Zahlen gibt. Wir finden wir oben als Ablehnungsbereich [0; 52] und als Annahmebereich [53; 125]; in der Tabelle liegt das Signifikanzniveau genau zwischen diesen beiden Intervallen.

7 HYPOTHESENTESTS 7 Zusammenfassend können wir folgendes sagen: bei linksseitigen Signifikanztests mit Nullhypothese H 0 : p p 0 wird diese abgelehnt, wenn das Ereignis zu selten eintrifft. Der Ablehnungsbereich hat also die Form [0; N] und ist so zu wählen, dass p(x N) < α wird, wo α das Signifikanzniveau bezeichnet. Für einen einseitigen Test bei einem Experiment, das n mal gemacht wird, haben wir also folgendes Schema: linksseitiger Test rechtsseitiger Test Nullhypothese p p 0 p p 0 Ablehungsbereich [0; N] [N; n] Bedingung für N p(x N) α p(x N) α Bei Klassenarbeiten ist es natürlich wichtig, für solche Aufgaben keine halbe Stunde zu verbraten. Was ihr macht, ist folgendes. (1) Bei einem linksseitigen Test H 0 : p p 0 wird abgelehnt, wenn das Ereignis zu selten ist. Springt die Wahrscheinlichkeit zwischen N und N +1 über das Signifikanzniveau (oben 5 %, aber manchmal nimmt man weniger), dann ist der Ablehnungsbereich [0; N] und der Annahmebereich [N + 1; n], wo n die Anzahl der Versuche bezeichnet. (2) Bei einem rechtsseitigen Test H 0 : p p 0 wird abgelehnt, wenn das Ereignis zu häufig ist. Aus p(x N) < α folgt 1 p(x N 1) < α; gibt man Y 1 = 1 binomcdf(n, p, X 1) ein, muss man wieder das kleinste X nehmen, ab dem die Wahrscheinlichkeit über das Signifikanzniveau springt.

8 8 F. LEMMERMEYER (1) Ein Losbudenbesitzer wirbt damit, dass 70 % seiner Lose gewinnen. Ein Besucher kauft 20 Lose. Bei welcher Anzahl von Gewinnlosen kann er den Losbudenbesitzer beschuldigen 1, eine falsche Behauptung verbreitet zu haben, wenn er sich höchtstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % irren will? Antwort: er fängt an zu stänkern, wenn er maximal 10 Gewinne einstreicht. (2) Ein Händler behauptet von seiner Ware, dass höchstens 3 % fehlerhaft sind. Es soll der Verdacht überprüft werden, dass diese Angabe zu niedrig ist und setzt fest 2 dabei eine Irrtumswährscheinlichkeit 3 von 5 % bei einem Stichprobenumfang von 50 an. Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich. 4 Antwort: Ablehnungsbereich [5; 50]. (3) Ein Schütze behauptet eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens 95 %. 5 Mit einer Serie von 200 Schüssen wurde das getestet. Dabei erreichte der Schütze nur 184 Treffer. Wegen dieses Resultats wird seine Behauptung als falsch eingeschätzt. Wie groß ist die Wahrtscheinlichkeit, dass man sich dabei irrt? Antwort: mit p = p(x 184) (4) Bei der Produktion einer speziellen Fliesenart treten bei 5 % der Fliesen feine Haarrisse auf. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 300 gekauften Fliesen weniger als 20 mangelhafte Fliesen befinden. (b) Für eine Wandfläche werden 230 Fliesen benötigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen 240 gekaufte Fliesen aus, wenn man nur einwandfreie Fliesen verarbeiten will? (c) Das Werk lässt die betreffende Maschine von einem Handwerksbetrieb technisch überholen. Danach soll getestet werden, ob der Mangelanteil noch 5 % beträgt oder auf 1 % gesunken ist, wie der Handwerksbetrieb versprochen hat 6 Er 7 will die Hypothese p = genau dann verwerfen, wenn sich in seiner Stichprobe vom Umfang n = 200 mindestens 6 mangelhafte Fliesen befinden. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er diese Hypothese verwirft, obwohl sie wahr ist. Antwort: a) p 0.881; b) p 0.342; c) p Ich möchte mich für die Dämlichkeit der Aufgabe entschuldigen. 2 Das Deutsch stammt von Klett, nicht von mir. Wer setzt hier fest Es? 3 Klett meint Signifikanzniveau ihr werdet euch davon doch nicht verwirren lassen? 4 Kürzer: n = 50, H0 : p 0.03, α = 0.05; der Rest der Aufgabe besteht aus Distraktoren. 5 Klett-Deutsch. Als Service am Kunden will ich es ins Deutsche übersetzen: Ein Schütze behauptet, eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens 95 % zu haben. 6 Man kann natürlich nicht beides tun. Die 5 % dienen nur der Verwirrung; die Nullhypothese ist p Gemeint ist es, nämlich das Werk. 8 Die Nullhypothese nochmal für die, die sich verwirren lassen haben; dass hier p = 0.01 steht statt p 0.01 liegt daran, dass die Aufgabensteller auch nicht recht wissen, was sie da eigentlich machen.