Känguru der Mathematik 2005 Gruppe Kadett (7. und 8. Schulstufe) Österreich

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1 Känguru der Mthemtik 005 Gruppe Kdett (7. und 8. Schulstufe) Österreich Punkte Beispiele - ) In den Feldern einer Tbelle befinden sich wie bgebildet 8 Kängurus. Jedes dieser Kängurus knn von seinem Qudrt in ein leer stehendes Qudrt springen. Bestimme die kleinste Anzhl der Kängurus, die springen müssen, sodss sich in jeder Zeile und jeder Splte der Tbelle genu zwei Kängurus befinden. A) 0 B) C) D) 3 E) 4 Antwort: B ) Wie viele Stunden gibt es in der Hälfte von einem Drittel eines Vierteltges? A) 3 B) C) D) E) 3 Die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel. Ein Sechstel von einem Viertel ist ein Vierundzwnzigstel von einem Tg. Stunde 3) ) Eine Ameise krbbelt längs der eingezeichneten Route uf der Oberfläche eines Würfels vom Punkt A zum Punkt B. Die Kntenlänge des Würfels beträgt cm. Wie viele cm krbbelt die Ameise? A A) 40 cm B) 48 cm C) 50 cm D) 60 cm E) Es knn us diesen Angben nicht eindeutig berechnet werden. B Weg: Ingesmt 3 senkrechte, wgrechte und eine nch hinten gehende Knte: 5 = 60 cm. 4) Zwei Mädchen und drei Burschen essen zusmmen 6 Kugeln Eis. Jeder Bursche isst doppelt so viele Kugeln wie jedes Mädchen. Wie viele Kugeln Eis essen drei Mädchen und zwei Burschen, wenn wir nnehmen, dss Mädchen immer gleich viele Kugeln essen, und Burschen uch immer gleich viele Kugeln essen? A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 7 Ein Mädchen isst x Kugeln Eis, ein Bursche x Kugeln. Dmit gilt für zwei Mädchen und drei Burschen: x + 3 x = 6 8 x = 6 x =. Dmit essen drei Mädchen und zwei Burschen: = 4 Kugeln. 5) An der Gödelschule hben 50% der Schüler Fhrräder. Von den Schülern, die Fhrräder hben, besitzen uch 30% Rollerbldes. Welcher Prozentstz der Gödelschüler ht Fhrräder und Rollerbldes? A) 5 B) 0 C) 5 D) 40 E) 80

2 Antwort: A F ist die Anzhl Fhrrdfhrer der Schule. 30% von F, ds sind F = R besitzen Rollerbldes. S ist die Anzhl ller Schüler, 50% sind Rdfhrer, lso F = S. Dmit ergibt sich für die Schüler, die Fhrräder und Rollerbldes besitzen: R = S = 5 00 S, d.h. 5 % ller Schüler besitzen beides. 6) Im Dreieck ABC ist der Winkel in A dreiml so groß wie der Winkel in B und hlb so groß wie der Winkel in C. Wie groß ist der Winkel in A? A) 30 B) 36 C) 54 D) 60 E) 7 α, β, γ sind die Winkeln in A, B, C. Es gilt α = 3 β, d.h. β = 3 α und γ = α. Die Winkelsumme im Dreieck ist 80, lso α + β + γ = 80. Durch Einsetzen der zuvor ermittelten Bedingungen ergibt sich: α + 3α + α = α = 80 α = 54. 7) In der nebenstehenden Figur sehen wir den Grundriss eines Zimmers mit den Mßen und b. Angrenzende Wände stehen immer rechtwinkelig zueinnder. Wie groß ist die Grundfläche des Zimmers? A) b+(b-) B) 3(+b)-² C) 3²b D) 3(b-)+² E) 3b Antwort: E Trennt mn ds gru gefärbte Qudrt von der Figur b und setzt es n der gelb mrkierten Stelle ein, so ergibt sich ein Rechteck mit der Länge 3 und der Breite b. b b 8) Krin nimmt ein Stück Ppier und schneidet es in 0 Stücke. Dnn nimmt sie eines dieser Stücke und schneidet es wiederum in 0 Stücke. Sie wiederholt diesen Prozess noch dreiml. Wie viele Stücke ht sie schließlich vor sich liegen? A) 36 B) 40 C) 46 D) 50 E) 56 Durch zerschneiden eines Stückes entstehen us einem Stück 0 Stücke, d.h. es kommen 9 weitere Stücke dzu. Dmit ergibt sich bei viermliger Anwendung dieses Prozesses: = 46. 9) Einige Krähen sitzen uf einigen Bäumen im Grten. Auf jedem Bum sitzt genu eine Krähe, ber für eine Krähe gibt es keinen Bum. Etws später sitzen dieselben Krähen wieder uf denselben Bäumen. Diesml sitzen jeweils zwei Krähen uf jedem Bum, wobei llerdings ein Bum frei bleibt. Wie viele Bäume befinden sich im Grten? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Antwort: B Sei n die Anzhl der Bäume im Grten. Die Anzhl der Krähen beträgt dnn einerseits n + ( Krähe mehr ls die Anzhl der Bäume) und ndererseits (n ) ( Bum bleibt bei doppelter Besetzung durch die Krähen unbesetzt). Dmit ergibt sich die Gleichung: n + = (n ) n = 3. 0) Die Buchstben AGKNORU stehen für jeweils verschiedene Ziffern. Wie lutet die größte Zhl, die mn in der Gestlt KANGOUROU schreiben knn? A) B) C) D) E)

3 Antwort: B Der 5. bzw. 6. Buchstbe ist gleich dem 8. und 9. Buchstben. Antwort A fällt dmit weg ber B erfüllt diese Bedingung. Alle nderen Antworten sind zu klein. - 4 Punkte Beispiele - ) Wir spielen uf einem Drtbrett wie in der Figur bgebildet. Die Punktezhl, die mn für einen Treffer in jedem Feld bekommt, ist indirekt proportionl zur Fläche des Feldes. Wenn ein Treffer in B 0 Punkte zählt, dnn zählt ein Treffer in C A) 5 Punkte B) 8 Punkte C) 6 Punkte D) 0 Punkte E) 4 Punkte D C B A Die Fläche von C ist hlb so groß (8 Qudrte) wie die Fläche von B (6 Qudrte). Dmit muss die Punktezhl doppelt so groß wie die von B sein 0 Punkte. ) Eine Gruppe von Schülerinnen plnt einen Ausflug. Wenn jede von ihnen 4 Euro für die Unkosten zhlt, ht die Gruppe um 4 Euro zu wenig zur Verfügung. Wenn jede Schülerin 6 Euro zhlt, so ht die Gruppe um 6 Euro mehr ls sie brucht. Wie viel Geld sollte jede Schülerin bezhlen, dmit die Unkosten genu gedeckt sind? A) 4,40 B) 4,60 C) 4,80 D) 5,00 E) 5,0 Lösungsweg : Sei x die Anzhl der Schülerinnen. Dnn gilt: 4 x + 4 = 6 x 6. Drus errechnet sich die Anzhl x = 5. Insgesmt hben die 5 Schülerinnen um 4 Euro zu wenig gezhlt. Dmit muss eine jede um 4 : 5 = 0,80 mehr zhlen. Lösungsweg : Ds Verhältnis zwischen dem zuwenig eingezhlten zu dem zu viel eingezhlten Betrg verhält sich wie 4 : 6 = : 3. Teilt mn nun den Differenzbetrg von Euro zwischen den 4 und den 6 im gleichen Verhältnis uf, ergibt sich 0,80 :,0. Die Schülerinnen müssen lso 4,80 bezhlen. 3) In nebenstehender Figur hben lle fünf berührenden Kreise denselben Rdius. Ds Qudrt, dessen Eckpunkte in den Kreismittelpunkten liegen, zerlegt die Kreise in Bereiche die innerhlb (gru) oder ußerhlb (weiß) des Qudrtes liegen. In welchem Verhältnis stehen diese Flächen zueinnder? A) :3 B) :4 C) :5 D) :3 E) 5:4 Die weißen Flächen ergeben insgesmt 3 gnze Kreise (4 Dreiviertelkreise). Es gibt insgesmt gnze grue Kreise ( gnzer Kreis + 4 Viertelkreise). Dher gilt: Gru : Weiß = : 3. 4) Ein Wchmnn rbeitet jeweils 4 Tge hintereinnder und ht m fünften Tg frei. Er htte m Sonntg frei und rbeitete wieder m Montg. Nch wie vielen Tgen ht er wieder einen freien Sonntg? A) 30 B) 36 C) D) 34 E) 7 Die Woche duert für den Wchmnn 5 Tge (4-ml rbeiten, -ml frei). Nch sieben solchen Wochen gibt es wieder ein Zusmmentreffen des freien Tges mit dem Sonntg. 34 Tge gibt es lso kein Zusmmentreffen der Sonntge mit dem freien Tg. Erst m 35. Tg ist es so weit.

4 5) Welchen der folgenden Würfel knn mn us dem bgebildeten Netz flten? A) B) C) D) E) Antwort: E Die gefärbten Würfelseiten liegen einnder gegenüber und dmit kommen Antwort A, B, D nicht in Frge. C knn es nicht sein, d dnn im Netz die Würfelseiten mit den ngehängten kleinen gefärbten Qudrten benchbrt liegen müssten. 6) Von Mittg bis Mitterncht schläft Schnrchiktz im Schtten des Trumbums und von Mitterncht bis Mittg erzählt er Geschichten. Auf dem Bum hängt eine Tfel, uf der folgender Text steht: Vor zwei Stunden ht Schnrchiktz genu ds gemcht, ws er uch in einer Stunde mchen wird. Wie viele Stunden m Tg stimmt die Aussge uf der Tfel? A) 6 B) C) 8 D) 3 E) Die Aussge umfsst eine Zeitspnne von 3 Stunden. Dmit gilt sie bei einer Zeitspnne von Stunden (Mittg Mitterncht, Mitterncht Mittg) für 9 Stunden 9 =8 Stunden 7) In nebenstehender Figur sehen wir ein gleichseitiges Dreieck und ein regelmäßiges Fünfeck. Wie groß ist der Winkel x? A) 4 B) 8 C) 3 D) 36 E) 40 x Alle Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks hben 60, lle Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks 08. Aus der nebenstehenden Skizze folgt die Lösung. 8) Michi wählt eine dreistellige Zhl und ein zweistellige Zhl mit der Differenz 989. Wie groß ist die Summe der beiden Zhlen? A) 000 B) 00 C) 009 D) 00 E) 005 Die kleinste dreistellige Zhl ist 0. Addiert mn diese zu 989 erhält mn 999, die größte dreistellige Zhl. Dmit sind dies die beiden gesuchten Zhlen. Ihre Summe ist ) Wie groß ist die Länge l der Schnur, die wie bgebildet um die Kreise gelegt werden knn? l A) dn B) πdn C) πdn π D) d E) πd Die Schnur beschreibt luter Hlbkreisbögen. Die Länge eines Hlbkreisbogen beträgt r π. Die Summe ller dieser Hlbkreisbögen beträgt dher n r π. d ist die Summe ller Kreisdurchmesser lso n r = d n r = d. Dmit beträgt die Summe ller Hlbkreisbögen d π = d 3 n - n d

5 0) Jede positive gnze Zhl n ist ls Produkt von Primfktoren drstellbr. Die Anzhl der Fktoren in dieser Zerlegung bezeichnen wir ls die Länge von n. So ist etw die Länge von 90 = gleich 4. Wie viele ungerde Zhlen kleiner ls 00 hben die Länge 3? A) B) 3 C) 5 D) 7 E) Eine ndere Anzhl. Es sind dies 7 (3 3 3), 45 (3 3 5), 63 (3 3 7), 8 (3 3 9), 75 (3 5 5). - 5 Punkte Beispiele - F ) Zwei Rechtecke ABCD und DBEF sind wie in der Figur gegeben. Ws ist der Flächeninhlt von DBEF? A) 0 cm² B) cm² C) 3 cm² D) 4 cm² E) 6 cm² Antwort: B Die Fläche von DBC beträgt die Hälfte der Fläche des Rechtecks ABCD. Die Höhe von C uf DB des Dreiecks DBC ht genu die Länge der Seite BE des Rechtecks DBEF. Dmit ist die Fläche von DBC uch hlb so groß wie die Fläche von DBEF A ABCD = A DBEF = 3 4 = cm. ) Dniel ht ein Kombintionsschloss mit drei Stellen. Er knn sich n die Ziffernkombintion nicht erinnern, ber er weiß, dss lle drei Ziffern verschieden sind und dss die erste Ziffer gleich dem Qudrt des Quotienten us der zweiten und der dritten Ziffer ist. Wie viele Einstellungen muss er höchstens usprobieren, um ds Schloss zu öffnen? A) B) C) 3 D) 4 E) 6 Folgende Kombintionen für die zweite und dritte Zhl sind nur möglich: (6 ), (6 3), ( ), (3 ). (4 ), (9 3), (8 4) sind nicht möglich, d die erste Stelle dnn 4 bzw. 9 bzw. 4 sein müsste im Widerspruch zur Annhme, dss lle Zhlen verschieden sind! 3) Wie viele zweistellige Zhlen gibt es, die mehr ls verdreifcht werden, wenn mn ihre Ziffern vertuscht? A) 6 B) 0 C) 5 D) E) 33 Antwort: A Es sind dies 5 (5), 6 (6), 7 (7), 8 (8), 9 (9) und 9 (9). 4) Wie groß ist die Summe der 0 mrkierten Winkel? A) 300 B) 450 C) 360 D) 600 E) 70 D 3 cm A 4 cm C B E Antwort: E Jeder Winkel im gemeinsmen Eckpunkt C ller Dreiecke tritt zweifch in der Figur uf. So ist z.b. der Winkel γ = B CA = B 3 CA 4, d die Seite B 3 C uf der Verlängerung der Seite A C und A 4 C uf der Verlängerung der Seite B C liegt. Anloges gilt ntürlich uch für lle nderen Winkel im gemeinsmen Eckpunkt C. Dmit gilt γ + γ + γ 3 + γ 4 + γ 5 = 360 und dher γ + γ + γ 3 + γ 4 + γ 5 = 80. Die Summe der Winkel ller Dreiecke beträgt 5 80 = 900. Rechnet mn nun lle Winkel, die n der gemeinsmen Ecke liegen, dvon b, so ergibt sich = 70. B5 A A5 B C B4 A A4 B3 A3 B

6 5) In einem Fss befinden sich 64 Liter Wein. Es werden 6 Liter Wein durch Wsser ersetzt und ds Gemisch wird gleichmäßig durchmischt. Nun werden 6 Liter des Gemisches entfernt und durch Wsser ersetzt. Ds Gemisch wird wieder verrührt und noch einml werden 6 Liter dvon durch 6 Liter Wsser ersetzt. Wie viel Liter des ursprünglichen Weines befinden sich noch im Fss? A) 7 B) 4 C) 6 D) 30 E) 48 Antwort: A Bei jedem Vorgng wird ein Viertel der Flüssigkeit entfernt und durch Wsser ersetzt. Nch dem ersten Herusnehmen befinden sich 48 Liter Wein und 6 Liter Wsser im Fss. Beim zweiten Ml Herusnehmen nimmt mn deshlb Liter (48 : 4 = ) Wein und 4 Liter Wsser us dem Fss und ersetzt dies wieder durch Wsser. Jetzt befinden sich noch 36 Liter Wein im Fss. Beim neuerlichen Herusnehmen holt mn deswegen 9 Liter (36 : 4 = 9) Wein und 7 Liter Wsser herus. Dmit verbleiben 7 Liter Wein im Fss. 6) Es seien und b die Kthetenlängen im bgebildeten rechtwinkeligen Dreieck. Ferner sei d der Durchmesser des Inkreises und D der Durchmesser des Umkreises. Dnn ist d+d gleich A) +b B) (+b) C) ( + b) Antwort: A D) b E) + b b Lösungsweg : Beknntlich gilt für den Inkreisrdius ρ: ρ =. Dmit ergibt sich für d + D: + b + c b b + c + bc + c d + D = + c =. Durch Anwenden des Stzes von Pythgors + b + c + b + c erhält mn b + c + bc + + b ( + b + b ) + c + bc ( + b) + ( + b) c d + D = = = + b + c + b + c + b + c. Durch Herusheben und nschließendes Kürzen folgt ( + b)(( + b) + c) d + D = = + b. ( + b + c) Lösungsweg : Aus der Skizze lässt sich der Umfng berechnen: ρ + y + x = + b + c d = ρ = + b + c ( x + y) = + b + c c = + b c. D D = c d + D = ( + b c) + c = + b c = + b 7) Ds rithmetische Mittel von 0 ntürlichen Zhlen ist 0. Wie groß knn die größte der 0 Zhlen höchstens sein? A) 0 B) 45 C) 50 D) 55 E) 9 Antwort: E Ds rithmetische Mittel von 0 Zhlen,, 3,, 0 lutet: µ =. 0 9 ist die größte Zhl, sodss mn noch 9 weitere ntürliche Zhlen, nämlich = 3 = = 0 =, finden knn, sodss die Summe der 0 Zhlen 00 nicht übersteigt.

7 8) Ein Teilchen bewegt sich im Koordintensystem wie bgebildet. In der ersten Minute bewegt es sich vom Ursprung zum Punkt (/0). Auch dnch bewegt es sich mit der konstnten Geschwindigkeit von einer Einheit pro Minute längs der ngedeuteten Bhn. Auf welchem Punkt befindet sich ds Teilchen nch genu Stunden? A) (0/0) B) (/) C) (0/) D) (/0) E) (/) x Antwort: A Unterteilen wir den Gesmtweg in Teilbschnitte: Weg: rechts; Weglänge ; Punkt uf der x-achse ( 0) Weg: ruf links ruf; Weglänge (+) + = 3; Punkt uf der y-achse (0 ) Weg3: rechts runter rechts, Weglänge (+)+ = 5; Punkt uf der x-achse (3 0). Weg4: 3 ruf 3 links ruf, Weglänge (3+3) + = 7; Punkt uf der y-achse (0 4) usw. Mn erreicht (5 0), (0 6), (7 0). Gerde Punkte liegen uf y-achse, ungerde uf der x-achse. Ds letzte Teilstück vor Erreichen des Punktes ht jeweils eine Länge von und liegt uf der y-achse für Punkte, die uf der y-achse liegen und uf der x-achse für Punkte, die uf der x-achse liegen. Messen wir nun die zurückgelegten Gesmtstrecken zu den einzelnen Punkten, erhlten wir folgende Zhlenfolge: bis ( 0) Länge ; bis (0 ) Länge + 3 = 4; bis (3 0) Länge = 9; bis (4 0) Länge = 6 usw. Die jeweiligen Gesmtstrecken sind genu ds Qudrt der Koordinte des ngesteuerten Punktes, die ungleich Null ist lso ( 0) = ; (0 ) = 4; (3 0) 3 = 9 usw. Dmit ist bei Punkt ( 0) eine Strecke von = Einheiten zurückgelegt worden. Nch 0 Einheiten befindet mn sich lso in (0 0). 9) Stefn sgt jeden zweiten Tg nur die Whrheit. An den nderen Tgen lügt er immer. Er spricht heute genu vier der folgenden Sätze us. Welchen Stz ht er heute sicher nicht usgesprochen? A) Die Anzhl meiner Freunde ist eine Primzhl. B) Ich hbe gleich viele männliche und weibliche Freunde. C) Ich heiße Stefn. D) Ich sge immer die Whrheit. E) Drei meiner Freunde sind älter ls ich es bin. Stefn lügt mindestens zweiml. Dmit spricht er n dem Tg nie die Whrheit. Erste Lüge: Aussge D. Zweite Lüge: Wenn Stefn drei Freunde oder mehr ht und die Anzhl gleichzeitig eine Primzhl ist, dnn knn Aussge B nicht richtig sein, d er sonst eine gerde Anzhl von Freunden hben müsste. Wäre A und B richtig, dnn hätte er genu Freunde und dnn stimmt E nicht. Somit knn er C n diesem Tg nicht gesgt hben, denn ds ist eine whre Aussge! 30) Wie viele Mengen hben folgende Eigenschften: i) Die Elemente der Menge sind positive uf einnder folgende gnze Zhlen. ii) Die Summe der Zhlen in der Menge ist 00. iii) Die Menge enthält mindestens zwei Elemente. A) B) C) 3 D) 4 E) 0 Antwort: B Es gibt genu zwei Möglichkeiten. Ht die Menge eine gerde Anzhl von Elementen, nehmen wir n n Elemente, dnn knn mn n Pre bilden, deren Summen gleich groß sein müssen. Die Pre bestehen dbei us dem ersten und letzen bzw. zweiten und vorletzten bzw. dritten und vorvorletzten Element usw. Diese Summen müssen ußerdem ungerde sein, d die mittlere Prung us benchbrten Zhlen bestehen muss. Die Teilsummen müssen ußerdem Teiler von 00 sein. Dmit kommt nur 5 = 00 : 4 ls solche Teilsumme in Frge. Es y 4 3

8 gibt 4 Pre. Die mittlere Prung muss ( 3) sein, dnn kommt ( 4) usw. Die Menge lutet A = {9,0,,,3,4,5,6}. Ht die Menge eine ungerde Anzhl von Elementen, und bildet mn wieder Zhlenpre wie oben beschrieben, dnn bleibt in der Mitte ein Element über, dss genu den hlben Wert einer dieser Teilsummen hben muss, wie z.b.: mittlerer Wert µ = 3 ( 4), ( 5) usw. Wie mn sofort einsieht ist der mittlere Wert ds rithmetische Mittel ller Zhlen und muss dher ebenflls ein Teiler von 00 sein. Dfür kommt ber nur 0 = 00 : 5 in Frge. Die zweite Menge lutet dher B = {8,9,0,,}.