Kapitel 3: Geometrische Transformationen

Transkript

1 [ Computeranimation ] Kapitel 3: Geometrische Transformationen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.1/76

2 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.2/76

3 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.3/76

4 Translation Translation eines Punktes P = x y um d x Einheiten parallel zur x-achse d y Einheiten parallel zur y-achse P = x y = x + d x y + d y oder P = P + T mit T = d x d y 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.4/76

5 Skalierung Skalierung um Faktor s x entlang x-achse s y entlang y-achse x y = s x x s y y Matrixschreibweise: x y = s x 0 0 s y x y oder P = S P Bemerkung: Falls s x = s y : gleichmäßige / uniforme Skalierung. Skalierung kann Entfernung vom Ursprung verändern! 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.5/76

6 Rotation Rotation gegen der Uhrzeigersinn mit Winkel θ um Koordinatenursprung x y = cosθ sinθ sinθ x oder P = R P cosθ y Für Drehung im Uhrzeigersinn benutze cos( θ) = cosθ und sin( θ) = sinθ 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.6/76

7 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.7/76

8 Homogene Koordinaten Matrixdarstellung Translation P = T + P Skalierung P = S P Rotation P = R P Unpraktisch: Darstellung der Translation. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.8/76

9 Homogene Koordinaten Abhilfe: Verwende homogene Koordinaten. Jeder Vektor in (x, y) T R 2 wird als Punkt der affinen Standardebene betrachtet: x x y y 1 Homogenisierung x y ˆ= x y falls α x y = x y w w w w für ein α R. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.9/76

10 Matrixdarstellung Translation Translation x y 1 = 1 0 d x 0 1 d y x y 1 oder P = T(d x, d y ) P Bemerkung Wir hier: Multiplikation Matrix mal Spaltenvektor Andernorts manchmal: Zeilenvektor mal Matrix Benutze in diesem Fall (P M) T = M T P T 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.10/76

11 Konkatenation von Translationen Hintereinanderausführung von Translationen. Verschiebe Punkt P mit T(d x1, d y1 ) und dann mit T(d x2, d y2 ). Also ist P = T(d x1, d y1 ) P P = T(d x2, d y2 ) P P = T(d x2, d y2 )T(d x1, d y1 ) P = T(d x1 + d x2, d y1 + d y2 ) P Hintereinanderausführung von Transformationen durch Multiplikation der entsprechenden Matrizen. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.11/76

12 Skalierung und Rotation Skalierung P = S(s x, s y )P mit S(s x, s y ) = s x s y Es gilt: S(s x1, s y1 ) S(s x2, s y2 ) = S(s x1 s x2, s y1 s y2 ) Rotation P = R(θ)P mit R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ Es gilt: R(θ 1 ) R(θ 2 ) = R(θ 1 + θ 2 ) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.12/76

13 Rotationsmatrix R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ Die 2 2 Teilmatrix links oben hat folgende Eigenschaften: Zeilen und Spaltenvektoren sind Einheitsvektoren Zeilenvektoren sind orthogonal zueinander Spaltenvektoren sind orthogonal zueinander Determinante ist 1 Sie gehört zur speziellen orthogonalen Gruppe 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.13/76

14 Starrkörper-Transformation Allgemeiner: Starrkörper-Transformationen (rigid-body transformation): Transformationsmatrix r 11 r 12 t x r 21 r 22 t y bei der obere 2 2 Teilmatrix ist orthogonal ist. Eigenschaft: Transformation erhält Winkel und Längen (Transformation eines Quadrats ergibt Quadrat) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.14/76

15 Affine Transformation Beliebige Hintereinanderausführung von Skalierungen, Rotationen und Translationen ergibt affine Transformation. Längen und Winkel werden nicht erhalten Parallelität von Linien bleibt erhalten 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.15/76

16 Scherung Auch eine affine Transformation Scherung entlang der x-achse: SH x = Scherung entlang der x-achse: SH y = 1 a b Wirkung: SH x x y 1 = x + ay y 1 x wird proportional zu y verändert. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.16/76

17 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.17/76

18 Komposition von 2D-Transformationen Benutze Rotationen, Skalierungen und Transformationsmatrizen um eine bestimmte Transformation zu erzeugen Komposition der Matrizen bedeutet Effizienzgewinn bei Transformation vieler Punkte Beispiel: Bestimme Transformationsmatrix um Objekte um einen beliebigen Punkt P 1 = Idee: x 1 y 1 mit dem Winkel θ zu rotieren. Translation, so dass P 1 im Ursprung liegt Rotation Translation, so dass Ursprung zu P 1 verschoben wird Ergibt: T(x 1, y 1 ) R(θ) T( x 1, y 1 ) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.18/76

19 Translation und Kommutativität Im allgemeinen gilt für fundamentale Transformationen Skalierung, Rotation, Translationen M 1, M 2 M 1 M 2 M 2 M 1 Spezialfälle: M 1 M 2 = M 2 M 1 falls M 1 M 2 Translation Skalierung Rotation Uniforme Skalierung Translation Skalierung Rotation Rotation 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.19/76

20 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.20/76

21 Welt- und Gerätekoordinatensystem Welt-Koordinatensystem (world coordinate system) Koordinatensystem, das die Welt repräsentiert, die dargestellt werden soll. Einheiten: Meter, Meilen, Lichtjahre,... Geräte-Koordinatensystem (device coordinate sytem) Koordinatensystem des Ausgabegeräts Einheiten: Pixel, dpi, Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.21/76

22 Window und Viewport Weltkoordinaten-Fenster (world coordinate window) kurz: window Rechteckiger Ausschnitt des Weltkoordinatensystems Viewport Rechteckiger Ausschnitt des Gerätekoordinatensystems Ziel: Bilde Window of Viewport ab. Beachte dabei: Ungleiche Seitenverhältnisse Verschiedene Positionen im entsprechenden Koordinatensystem von Window und Viewport. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.22/76

23 Window-Viewport Transformation Window in Weltkoordinaten gegeben durch die Punkte (x min, y min ) und (x max, y max ) Viewport in Gerätekoordinaten gegeben durch die Punkte (u min, v min ) und (u max, v max ). Transformation Window - Viewport: T(u min, v min ) S( u max u min x max x min, v max v min y max y min ) T( x min, y min ) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.23/76

24 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.24/76

25 Effizienz Affine Transformation M = r 11 r 12 t x r 21 r 22 t y Aufwand: Multiplikation Matrix-Vektor: 9 Multiplikationen, 6 Additionen Nutze spezielle Struktur von M: x =r 11 x + r 12 y + t x y =r 21 x + r 22 y + t y Aufwand: 4 Multiplikationen, 3 Additionen. Praktische Umsetzung Repräsentation von affinen Transformationen in Matrixform Spezielle Routinen für Matrix-Vektor Multiplikation 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.25/76

26 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.26/76

27 Matrix-Darstellung von 3D Transformationen Verwende homogene Koordinaten. Jeder Vektor in (x, y, z) T R 3 wird als Punkt der affinen Standardraums in R 4 betrachtet: x y z x y z 1 Homogenisierung x y z w ˆ= x y z w falls α x y z w = x y z w für ein α R. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.27/76

28 Rechts- und linkshändiges Koordinatensystem Daumen x-achse, Zeigefinger y-achse, Mittelfinger z-achse Rechtshändig: z-achse aus der Bildebene heraus Linkshändig: z-achse in die Bildebene hinein. Achtung: Wir verwenden hier rechtshändige Koordinatensysteme! Konvention für Rotationen Blicke von positiver Achse zum Koordinatenursprung 90 Rotation gegen den Uhrzeigersinn dreht eine positive Achse in eine andere: Rotationsachse x y z Richtung der pos. Rotation ist y zu z z zu x x zu y 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.28/76

29 Fehlerquelle Achtung! Immer darauf achten: Ob rechts- oder linkshändiges Koordinatensystem zugrunde liegt Wie positive Rotation definiert ist Bei linkshändigem Koordinatensystem: Rotation oft im Uhrzeigersinn definiert! 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.29/76

30 Translation T(d x, d y, d z ) = d x d y d z Also T(d x, d y, d z ) x y z 1 = x + d x y + d y z + d z 1 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.30/76

31 Skalierung S(s x, s y, s z ) = s x s y s z Also S(s x, s y, s z ) x y z 1 = s x x s y y s z z 1 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.31/76

32 Rotation Rotation um z-achse: R z (θ) = Rotation um x-achse: R x (θ) = Rotation um y-achse: R y (θ) = cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ cos θ sinθ 0 0 sin θ cosθ cosθ 0 sin θ sin θ 0 cosθ Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.32/76

33 Spezielle orthogonale Gruppe Wie bei Rotationen in 2D: Obere 3 3-Matrix gehören zur speziellen orthogonalen Gruppe Zeilen sind orthogonale Einheitsvektoren Spalten sind orthogonale Einheitsvektoren Determinante ist 1 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.33/76

34 Inverse T(d x, d y, d z ) 1 = T( d x, d y, d z ) S(s x, s y, s z ) 1 = S( 1, 1, 1 ) s x s y s z R a (θ) 1 = R a ( θ) = R a (θ) T für a = x, y, z 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.34/76

35 Allgemeine Form M = r 11 r 12 r 13 t x r 21 r 22 r 23 t y r 31 r 32 r 33 t z = R T 0 1 Also x y z = R x y z + T 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.35/76

36 Scherung SH x (sh x, sh y ) = 1 0 sh x sh y Also SH x (sh x, sh y ) x y z 1 = x + sh x z y + sh x z z 1 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.36/76

37 Komposition von Transformationen Transformation von Punkten: Wende Transformationsmatrix auf Punkt an von Geraden oder Strecken: Wähle zwei Punkte auf Gerade, transformiere die Punkte von Ebene:? 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.37/76

38 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.38/76

39 Skalarprodukt in R n Sei x = x 1. x n, y = x 1. x n Rn. Dann ist das Skalarprodukt (inneres Produkt, dot product) von x und y definiert als < x, y >:= x 1 y x n y n = n x i y i i=1 Alternative Schreibweisen: x T y x y 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.39/76

40 Länge von Vektoren Sei v R n. Die Länge (Norm) v von v ist definiert als v := < v, v > = n v i v i i=1 Es gilt: αv = α v für α R v + w v + w (Dreiecksungleichung) v = 0 v = 0 Distanz zwischen zwei Punkten P, Q eines affinen Raumes: PQ. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.40/76

41 Eigenschaften des Skalarprodukts Symmetrie: < v, w > = < w, v > Nichtdegeneriertheit: < v, v > = 0 v = 0 Bilinear: < v, u + αw > = < v, u > +α < v, w > Normalisierung eines Vektors v 0: Damit ist v = 1. v = v v Vektoren mit Länge 1 heißen Einheitsvektoren. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.41/76

42 Winkel zwischen Vektoren Sei v, w R n, v, w 0. Dann ist der Winkel zwischen v und w definiert als cos 1 ( < v, w > v w ) Zwei Vektoren v, w sind orthogonal zueinander, falls < v, w >= Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.42/76

43 Skalarprodukt und Projektion Sei v ein Einheitsvektor, w ein beliebiger Vektor und u die Projektion von w auf v. Dann ist u = w cos θ = w < v, w > v w =< v, w > da v = 1 Das Skalarprodukt von v und w ist die Länge der Projektion von w auf v (falls v = 1). 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.43/76

44 Ebenengleichung im affinen Standard-Raum Punkt P 0 = x 0 y 0 z 0 1 Normalenvektor v = P und v 1 v 2 v 3 R3, v 0. Ebene E ist gegeben als E = {Q P :< P 0 Q, v >= 0} 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.44/76

45 Ebenengleichung im affinen Standard-Raum Für Q = (x, y, z, 1) T E gilt: < P 0 Q, v >= 0 (x x 0 )v x + (y y 0 )v y + (z z 0 )v z = 0 v x x + v y y + v z z = v x x 0 + v y y 0 + v z z 0 }{{} =: D Also E = x y z 1 P : v x x + v y y + v z z + D = 0 }{{} Ebenengleichung 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.45/76

46 Ebenen-Transformation Sei Ebene E durch Punkt P 0 P und Normalenvektor v R 3 gegeben. Sei A eine affine Transformation. Transformation von E ergibt E = {AX : X E} Gesucht: Normalenvektor w zu E, so dass für alle Y E gilt: < (AP 0 )Y, w >= 0 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.46/76

47 Herleitung Normalenvektor Für alle X E soll gelten < (AP 0 )(AX), w >= 0 (AX AP 0 ) T w = 0 (X P 0 ) A T w = 0 Da < X P 0, v >= 0, ist obige Gleichung erfüllt wenn A T w = v. Also w = (A T ) 1 v Falls A orthogonal ist, ist (A T ) 1 = A und dann w = A v. Beachte: Für allgemeine affine Transformationen muss (A T ) 1 nicht existieren! 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.47/76

48 Inhalt 3.1 2D Transformationen 3.2 Homogene Koordinaten und Matrixdarstellung von 2D Transformationen 3.3 Komposition von 2D Transformationen 3.4 Window zu Viewport Transformation 3.5 Effizienz 3.6 Matrixdarstellung von 3D Transformationen 3.7 Skalarprodukt, Norm und Ebenengleichung 3.8 Komposition von 3D Transformationen 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.48/76

49 Komposition von 3D-Transformationen Beispiel: Gegeben drei Punkte P 1, P 2 undp 3 in R 3. Transformiere das gerichtete Liniensegmente P 1 P 2 und P 1 P 3 von ihrer Startposition zu ihrer Endposition, so dass P 1 im Ursprung P 1 P 2 auf der positiven z-achse P 1 P 3 in der positiven Quadranten der (y, z)-eben liegt. Die Längen der Liniensegmente sollen sich dabei nicht verändern. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.49/76

50 Erster Lösungsansatz Zerlege die Gesamttransformation in primitve Transformationen (Rotionen, Translationen). Transformationsschritte 1. Schritt: Verschiebe P 1 zum Ursprung 2. Schritt: Rotiere um die y-achse, so dass P 1 P 2 in der (yz)-ebene liegt 3. Schritt: Rotiere um die x-achse, so dass P 1 P 2 auf der z-achse liegt 4. Schritt: Rotiere um z-achse, so dass P 1 P 3 in der (yz)-ebene liegt 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.50/76

51 Schritt 1: Translation von P 1 in den Ursprung T( x 1, y 1, z 1 ) = T(d x, d y, d z ) = x y z Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.51/76

52 Schritt 1: Translation von P 1 in den Ursprung T angewandt auf P 1, P 2, P 3 ergibt. P 1 = T( x 1, y 1, z 1 ) P 1 = P 2 = T( x 1, y 1, z 1 ) P 2 = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 1 P 3 = T( x 1, y 1, z 1 ) P 3 = x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.52/76

53 Schritt 2: Rotation um y-achse so dass P 1 P 2 in der (y, z)-ebene liegt. Bemerkung: Rotation um y-achse um 90 : z-achse wird auf x-achse gedreht. Mit Rotationswinkel ψ = (90 θ) = θ 90 ist cos(θ 90) = sinθ = z 2 D 1 = z 2 z 1 D 1 sin(θ 90) = cosθ = x 2 = x 2 x 1 D 1 D 1 D 1 = (z 2 )2 + (x 2 )2 = (z 2 z 1 ) 2 + (x 2 x 1 ) 2 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.53/76

54 Schritt 2: Rotation um y-achse Damit ist P 2 := R y (θ 90) P 2 = 0 y 2 y 1 D Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.54/76

55 Schritt 3: Rotation um x-achse so dass P 1 P 2 in der z-achse liegt. Bemerkung: Rotation um x-achse um 90 : y-achse wird auf z-achse gedreht. Rotationswinkel φ und cos φ = z 2 und sinφ = y 2 D 2 D 2 = P 1 P 2 = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) + (z 2 z 1 ) 2 D 2 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.55/76

56 Schritt 3: Rotation um y-achse Damit P 2 = R x (φ) P 2 = R x (φ) R y (θ 90) P 2 = R x (φ) R y (θ 90) T P 2 0 y 2 y 1 = P 1 P Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.56/76

57 Schritt 4: Rotation um z-achse so dass P 1 P 2 in der (y, z)-ebene liegt. Bemerkung: Rotation um z-achse um 90 : x-achse wird auf y-achse gedreht. Rotationswinkel α und cosα = y 2 und sinα = x 3 D 3 D 3 = (x 3 )2 + (y 3 )2 D 3 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.57/76

58 Ergebnis: Die Gesamtmatrix ist R z (α)r x (φ) R y (θ 90) T( x 1, y 1, z 1 ) = R T 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.58/76

59 Intermezzo: Das Kreuzprodukt Seien u, v R 3. Das Kreuzprodukt (cross product) von u und v (in dieser Reihenfolge) ist der eindeutig bestimmte Vektor u v R 3 mit u v := u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Es gilt: u v = v u (Antikommutativität) (αu + βw) v = αu v + βw v (Linearität) u v = 0 genau dann, wenn u und v linear abhängig sind < u v, u >= 0 und < u v, v >= 0 Bemerkung: Das Kreuzprodukt u v ist normal zu der durch u und v aufgespannten Ebene. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.59/76

60 Intermezzo: Das Kreuzprodukt Es gilt: < u v, w >= det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms: A = u v = u v sinα = u v 1 cos 2 α = u v 1 < u, v > 2 wobei α Winkel zwischen u und v. Achtung: Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ! 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.60/76

61 Zweiter Lösungsansatz Benutze Eigenschaften von orthogonalen Matrizen R = det r 1x r 2x r 3x r 1y r 2y r 3y = r T x r T y r 1z r 2z r 3z r T z Es gilt R r x = 1 0, R r y = 0 1, R r z = 0 0, und r x = r y = r z = 1 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.61/76

62 Konstruktion der Rotationsmatrix z-rotation: Drehe P 1 P 2 in positive z-achse. r z : Einheitsvektor entlang P 1 P 2 : r z := r 1z r 2z r 3z = P 1P 2 P 1 P 2 x-rotation: Drehe Eben dir durch P 1, P 2 und P 3 aufgespannt ist so, dass r x dann in Richtung positiver x-achse zeigt: r x := P 1P 3 P 1 P 2 P 1 P 3 P 1 P 2 y-rotation: r y muss orthogonal zu r x und r z sein: r y := r z r x 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.62/76

63 Transformation als Wechsel des Koordinatensystems Bisher: Transformation von Punkten eines Objekts in ein andere Punktmenge Originalpunktmenge und Ergebnis im selben Koordinatensystem Koordinatensystem bleibt unverändert Objekt wird transformiert bzgl Ursprung des Koordinatensystems Alternative Sichtweise: Transformation des Koordinatensystesm Praktikabel falls: viele Objekte in unterschiedlichen Koordinatensystem gegeben sind und alle Objekte in einem einzigen globalen Koordinatesystem dargestellt werden sollen. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.63/76

64 Notation M i j Transformation die die Darstellung eines Punktes im Koordinatensystem j auf die Darstellung im Koordinatensystem i abbildet. P (i) P (j) Darstellung eines Punktes im Koordinatensystem i Darstellung eines Punktes im Koordinatensystem j P (i) Es gilt: Damit Darstellung eines Punktes im Koordinatensystem k P (i) = M i j P (j) und P (i) = M j k P (k) P (i) = M i j P (j) = M i j M j k P (k) = M i k P (k) also M i j M j k = M i k 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.64/76

65 Beispiel M 1 2 = T(4, 2) M 2 3 = S(2, 2) T(2, 3) M 3 4 = R( 45 ) T(6.7, 1.8) Insgesamt: M 1 3 = M 1 2 M 2 3 = T(4, 2) S(2, 2) T(2, 3) und P (1) = 10 8, P (2) = 6 6, P (3) = 8 6, P (4) = Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.65/76

66 Koordinatensystemwechsel Allgemein gilt: M i j = M 1 j i Im Beispiel: M 2 1 = M = T( 4, 2) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.66/76

67 Links- und rechtshändiges Koordinatensystem Matrix die Punkte von links- auf rechtshändiges Koordinatensystem transformiert: M R L = M L R = Insbesondere gilt also: M 1 R L = M R L 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.67/76

68 Warum unterschiedliche Sichtweisen? Unpraktisch: Alle Objekte liegen im selben Weltkoordinatensystem. Besser: Jedes Objekt wird in eigenem Koordinatensystem definiert und dort skaliert, rotiert, Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.68/76

69 Koordinaten- vs. Objekttransformation Regel: Transformation die Punkte in einem einzigen gemeinsamen Koordinatensystem transformiert ist gleich Inverse der korrespondieren Transformation, die das Koordinatensystem transformiert, in denen die Punkte dargestellt werden. Beispiel: Transformation die einen Punkt P = x y zum Ursprung verschiebt: T( x, y) Transformation des Koordinatensystems: M 2 1 = T(x, y) = T( x, y) Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.69/76

70 Beispiel Transformation von Punkten in einem Koordinatensystem T(x 2, y 2 ) R(θ) S(s x, s y ) T( x 1, y 1 ) wird zur Transformation des ursprünglichen Koordinatensystems Damit ist M 5 1 = M 5 4 M 4 3 M 3 2 M 2 1 ( = T(x 2, y 2 ) R(θ) S(s x, s y ) T( x 1, y 1 ) ) 1 = T(x 1, y 1 ) S(s 1 x, s 1 y ) R( θ) T( x 2, y 2 ) P (5) = M 5 1 P (1) = T(x 1, y 1 ) S(s 1 x, s 1 y ) R( θ) T( x 2, y 2 ) P (1) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.70/76

71 Transformation und Wechsel des Koordinatensystems Sei Q (j) Transformationsmatrix im Koordinatensystem j. Gesucht: Transformation Q (i) im Koordinatensystem i so dass Q (i) angewandt auf Punkt P (i) im Koordinatensystem i das gleiche Ergebnis liefert wie Q (j) angewandt auf Punkt P (j) im Koordinatensystem j Es soll also gelten: Q (i) P (i) = M i j Q (j) P (j) Mit P (i) = M i j P (j) folgt: Q (i) = M i j Q (j) M j i 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.71/76

72 Beispiel: 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.72/76

73 Beispiel Aufgabe: Beschreibe Bewegung von P wenn Dreirad fährt. Dreirad- und Vorderrad: Anfangsposition im Weltkoordinatensystem Vorwärtsbewegung: Vorderrad dreht um z vo -Achse Vereinfachung: Vorderrad- und Dreirad-Koordinatensystem parallel zum Weltkoordinatensystem Bewegung Vorderrad: Linie parallel x-achse Weltkoordinatensystem 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.73/76

74 Beispiel Punkt P auf Felge, Abstand zur Nabe r Rad dreht sich um Winkel α, dann bewegt sich P um αr Einheiten Vorderrad auf Boden: Gesamtes Dreirad wird um αr nach vorn bewegt. Neue Koordinate von P im originalen Vorderrad-Koordinatensystem vo: P (vo) = T(αr, 0, 0) R z (α) P (vo) und im neuen verschobenen Vorderrad-Koordinatensystem vo : P (vo ) = R z (α) P (vo) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.74/76

75 Beispiel Gesucht: P (wo) und P (wo) im Weltkoordinatensystem P (wo) = M wo dr P (dr) = M wo dr M dr vo P (vo) Dabei sind M wo dr, M dr vo Translationen, gegeben durch Anfangsposition von Dreirad und Vorderrad. 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.75/76

76 Beispiel Somit P (wo) = M wo vo P dr = M wo vo T(αr, 0, 0) R z (α) P (vo) Alternativ: P (wo) = M wo vo P vo = (M wo vo M vo vo ) R z (α) P (vo) 3. Geometrische Transformationen [Computeranimation] p.76/76