( ) ( ). Dann heißt die Zahl
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- Walther Burgstaller
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1 Der Euklidische Abstand Seite 1 von 6 Der Euklidische Abstand Der Abstand zweier Punkte P und Q in der Modellebene ist eine Zahl, die von den Koordinaten der Punkte abhängt. Der Term, mit dem die Berechnung erfolgt, wird in der Anschauungsebene mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gewonnen. y Definition: ( ) ( ). Dann heißt die Zahl Gegeben seien zwei Punkte P = x 1 ; y 1 und Q = x ; y ( ) = ( x x 1 ) + ( y y 1 ) d P,Q Euklidischer Abstand von P und Q. Bei der Definition des Abstandsausdrucks werden außerdem folgende algebraischen Tatsachen benutzt: (1) Die Entfernung zweier Zahlen a und b auf der reellen Zahlengeraden ist unabhängig von deren Größe und Vorzeichen immer durch den Term b a gegeben. () Für je zwei reellen Zahlen a und b gilt b a = a b. () Für jede reelle Zahl z gilt z = z. y y 1 x 1 x P = (x 1 ;y 1 ) x x 1 Q = ( x ; y ) x y y 1 Der Euklidische Abstand besitzt vier grundlegende Eigenschaften, in denen das Wesen der Abstandsmessung zum Ausdruck kommt: Theorem (1) Für je zwei Punkte P und Q ist ihr Abstand d(p,q) nicht negativ, d.h. d(p,q) 0. () Der Abstand zweier Punkte P und Q ist genau dann 0, wenn die beiden Punkte identisch sind. () Der Abstand zweier Punkte P und Q ist unabhängig von der Reihenfolge, in der die Punkte betrachtet werden, d.h. d(p,q) = d(q,p). (4) Werden drei Punkte P, Q und R betrachtet, so ist die Summe zweier Abstände immer mindestens so groß wie der dritte, d.h. d(p,q) + d(q,r) d(p,r) (Dreiecksungleichung). Übungen zu Aufgabe.1 Gegeben ist das Viereck ABCD mit A = ( 5; 4), B = (7; ), C = (5; 6) und D = ( ; 5). (a) Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und miss die Abstände, die die Eckpunkte paarweise voneinander haben (sechs Werte). (b) Berechne die Abstände mit der Euklidischen Abstandsformel. Aufgabe. Gegeben ist für eine reelle Zahl t das Dreieck ABC mit A = ( t; t), B = (t; t), C = (0; t). (a) Berechne den Umfang des Dreiecks in Abhängigkeit von t. (b) Welche Werte ergeben sich aus der Umfangsformel für t = und t =? Den nachfolgenden Aufgaben. und.4 ist eine häufig wiederkehrende Fragestellung gemeinsam:
2 Der Euklidische Abstand Seite von 6 Welche Punkte P = (x; y) erfüllen gleichzeitig zwei vorgegebene Bedingungen? Das folgende Beispiel verdeutlicht, wie bei der Beantwortung einer solchen Frage vorzugehen ist: Beispiel Welche Punkte auf der Gitterlinie h: y = haben vom Punkt Z = ( 1; 4) den Abstand 10? Lösung: Für einen beliebigen Punkt P = (x; y) der Modellebene ist zu klären, wann er gleichzeitig die Bedingung P h und die Bedingung d(p;z) = 10 erfüllt. (1) P h y = () d(p;z) = 10 (x ( 1)) + (y 4) = 10 (x ( 1)) + (y 4) = 100 (1) () (x +1) + ( 4) = 100 (x +1) = 64 [ x +1 = 8] [ x +1 = 8 ] [ x = 9 ] [ x = 7] Die einzigen Punkte auf h, die vom Punkt Z den Abstand 10 haben, sind ( 9; ) und (7; ). Aufgabe. Gegeben sind die Punkte A = ( ; 4), B = B = ( 1; ), C = (0; 5) und D = ( 1; 4 ). (a) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und miss ihre Abstände vom Ursprung. (b) Bestätige rechnerisch, dass alle vier Punkte den Abstand 5 vom Ursprung (0; 0) haben. (c) Zeige, dass die Koordinaten der vier Punkte die Bedingung x + y = 5 erfüllen. (d) Zeige, dass die Koordinaten eines jeden Punktes P = (x; y) die Bedingung x + y = 5 erfüllt, wenn dieser den Abstand 5 vom Ursprung O = (0; 0) hat. [Hinweis: Zeige, dass die Bedingung aus der Gleichung d(p; O) = 5 hergeleitet werden kann.] (e) Ermittle zeichnerisch alle Punkte P = (x; y) auf der Gitterlinie v : x =, die den Abstand 5 vom Ursprung haben. Berechne dann die Koordinaten dieser Punkte. [Hinweis: Die Koordinaten von P müssen gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen!] (f) Ermittle zeichnerisch alle Punkte P = (x; y) auf der Gitterlinie h : y = 8, die den Abstand 5 vom Ursprung haben. Berechne dann die Koordinaten dieser Punkte. [Hinweis: Die Koordinaten von P müssen gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen!] (g) Der Punkt P habe die Koordinaten (a; a). Bestimme alle Werte von a, für die P den Abstand 5 vom Ursprung hat. Aufagbe.4 Gegeben ist der Punkt M = ( ; 1). (a) Ermittle zeichnerisch alle Punkte auf der Abszisse, die von M den Abstand 6 haben. Berechne die Koordinaten dieser Punkte. (b) Ermittle zeichnerisch alle Punkte auf der Ordinate, die von M den Abstand 7 haben. Berechne die Koordinaten dieser Punkte. (c) Der Punkt P habe die Koordinaten (a; a). Für welche Werte von a hat P den Abstand 4 von M? Aufgabe.5 (a) Erläutere allgemein unter Verwendung der Abstandsformel, weshalb der Euklidische Abstand die ersten drei der in dem Theorem genannten Eigenschaften hat. (b) Erläutere am Beispiel der Ergebnisse der Aufgabe.1 die Gültigkeit der Dreiecksungleichung.
3 Der Euklidische Abstand Seite von 6 Anhang zu : Quadratische Gleichungen Im Rahmen der Übungen zu sind eine Reihe von quadratischen Gleichungen zu lösen. Da auch die Übungen zu den folgenden Paragraphen immer wieder auf quadratische Gleichungen führen, werden in diesem Anhang die wichtigsten Lösungsverfahren zusammengestellt. Definition Seien a, b, c reelle Zahlen, wobei a von 0 verschieden ist. Eine Gleichung der Form ax + bx + c = 0 heißt quadratische Gleichung in der Variablen x mit den Koeffizienten a, b und c. Der Koeffizient a, der zum quadratischen Term x gehört, heißt Leitkoeffizient. Reelle Zahlen x, die die Gleichung erfüllen, heißen (reelle) Lösungen der Gleichung. Die meisten Verfahren zum Lösen von (auch nicht-quadratischen) Gleichungen basieren im Wesentlichen auf zwei Prinzipien: I Isolieren Vereinfache die Ausgangsgleichung (evtl. Kehrwertbilden, Ausmultiplizieren etc.) = Trenne Variablenterme von Konstanten x + x + x = Klammere die Variable aus ( ) x = x = Isoliere die Variable durch Division = II Faktorisieren Erzeuge eine Nullstellengleichung = 0 Faktorisiere den Nullstellenterm ( ) ( ) = 0 Wende das Prinzip der Nullteilerfreiheit an = 0 = 0 Durch Faktorisieren wird eine komplizierte Gleichung in mehrere einfache Gleichungen überführt, die eventuell durch Isolieren gelöst werden können. = Die Nullteilerfreiheit ist eine Eigenschaft der Multiplikation der reellen Zahlen, die hier ohne weitere Begründung als gültig vorausgesetzt wird: Theorem Das Produkt r s zweier reeller Zahlen r und s ist dann und nur dann gleich 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren r oder s gleich 0 ist. Wir behandeln nun auf dieser Grundlage die wichtigsten Typen quadratischer Gleichungen..0 Der entartete Typ (a = 0) bx + c = 0 Ist der Leitkoeffizient gleich 0, so entartet die quadratische Gleichung zu einer linearen Gleichung; es wird als bekannt vorausgesetzt, wie diese Gleichung durch Isolieren gelöst werden kann. Wir werden daher im Folgenden immer stillschweigend davon ausgehen, dass der Leitkoeffizient a von 0 verschieden ist..1 Der erste direkt faktorisierbare Typ (b 0 und c = 0): ax + bx = o Der quadratische Term wird durch Ausklammern von x faktorisiert:
4 Der Euklidische Abstand Seite 4 von 6 5x 7x = 0 x(5x 7) = 0 [x = 0] [5x 7 = 0] [x = 0] [ x = 7 5 ] ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 [x = 0] [ax + b = 0] [x = 0] [x = b a ]. Der rein-quadratische Typ (b = 0 und c 0): ax + c = 0 (1) x +11 = 0 ax + c = 0 x 11 = 0 x + c a = 0 x 0 11 x = 11 x = 11 x = c a x = c a x = c a () 6x + 15 = 0 x + 5 = 0 x = 5 [keine Lösung] Die Gleichung ax + c = 0 ist nur lösbar, wenn die Koeffizienten a und c verschiedene Vorzeichen haben; denn dann ist der Term c a positiv.. Der allgemeine Typ (b 0 und c 0): ax + bx + c = 0 Die Gleichung wird durch Divison durch den Leitkoeffizienten normiert. Anschließend werden die ersten beiden Summanden quadratisch ergänzt, so dass mit Hilfe der ersten binomische Formel ein Quadrat gebildet werden kann. Dann kann, wie im rein-quadratischen Fall, das Prinzip z = q z = q z = angewandt werden. (1) x + 1x 7 = 0 x + 1 x 7 = 0 x x ( ) = 7 ( ) = x x ( ) = ( ) x = 85 4 x + 1 x = = x = 4 b 4ac 0 ax + bx + c = 0 x + b a x + c a = 0 x + b x + ( b ) = c a + b (x + b ) = b 4a 4ac 4a (x + b ) = b 4ac 4a x + b a = b 4ac x + b = x = b ± b 4ac b 4ac 4a q
5 Der Euklidische Abstand Seite 5 von 6.4 Die Diskriminantenformel Das unter. dargestellten Verfahren (quadratische Ergänzung) ist etwas aufwendig; es kann jedoch durch Anwendung der rechts hergeleiteten Formel abgekürzt werden. Die Lösungsformel darf jedoch nur benutzt werden, wenn die Diskriminante b 4ac nicht negativ ist. Offenbar ist es vorteilhaft, immer zunächst die Diskriminante zu untersuchen. Ist sie nicht negativ, wird ihr Wert in der Lösungsformel direkt weiterverarbeitet. Theorem Sei := b 4ac die Diskriminante der Gleichung ax + bx + c = 0. Dann gibt es im Fall < 0: Keine Lösung = 0: Genau eine Lösung: b. [Beachte: b = b Δ > 0: Genau zwei Lösungen: b und b+. = b+ Δ, falls Δ = 0 ].5 Der zweite direkt faktorisierbare Typ In vielen speziellen Fällen kann die Lösung drastisch abgekürzt werden, weil der quadratische Term mit etwas Geschick direkt faktorisiert werden kann. Dazu betrachten wir die folgende Umformung, die, rückwärts gelesen anzeigt, wie vorzugehen ist: (x + p)(x + q) = x + px + qx + pq = x + (p + q)x + pq Beispiele: (1) x + 5x + 6 = 0 (x + )(x + ) = 0 x = () x 5x + 6 = 0 (x )(x ) = 0 x = () x 5x 6 = 0 (x 6)(x +1) = 0 x = 6 (4) x + 5x 6 = 0 (x + 6)(x 1) = 0 x = 6 Zusammenfassung [ ] [ x = ] { +6 = pq; p + q = +5} [ ] [ x = ] { +6 = pq; p + q = 5} [ ] [ x = 1] { 6 = pq; p + q = 5} [ ] [ x = 1] { 6 = pq; p + q = +5} Gegeben sei eine quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 [mit a 0]. * Ist ein Koeffizient gleich 0, so wird die Gleichung gemäß.0,.1 oder. gelöst. * Andernfalls wird geprüft, ob der quadratische Term gemäß.5 faktorisiert werden kann. * Ist direktes Faktorisieren nicht möglich, werden die Diskriminante untersucht und, falls sie nicht negativ ist, die Lösungen gemäß.4 berechnet. Für dieses Verfahren ist es günstig, die Gleichung so umzuformen, dass in den Koeffizienten keine Brüche vorkommen. Beispiele: (1) 5 7 x x = 0 15x + 14x = ( ) = = 176 > 0 Daher hat die Gleichung zwei Lösungen. x 1 := x := ,0 1,09 () 4,15x 11, 78x + 6, = 0 Die Diskriminate der Gleichung ist: ( 11,78) 4 4,15 6, = 0, 0058 < 0 Die Gleichung hat keine Lösung.
6 Der Euklidische Abstand Seite 6 von 6 Übungen zum Anhang von Übung.6 Zeige durch Anwendung des jeweils passenden Verfahrens, dass die quadratischen Gleichungen die gegebenen Lösungsmengen haben. (a) x + x +10 = 0 Ø (n) a + 11a = 0 { 11 ; 0} (b) t + t = 8 { 7; 4} (o) 14m 100 = m Ø (c) 4y = 8 { 7 ; 7 } (p) h + 60 = 17h {5; 1} (d) 100v + 4 = 80v { 5 ; + } (q) 5 4z = { 5 ; + } (e) (p +1) = p(5 4p) { 9 } (r) y +18 = y {8} (f) x + 5 = x 5 { 5 } (s) x 7x +1 = 0 {; 4} (g) (k )k + 6 = ( k) {0} (t) 9c + c + 6 = 5(1 c) { 1 } (h) x 19 1 x 7 4 = 0 { 4 ; 7 } (u) (b 4)( 9b) = 6(b ) {0; 1 9 } (i) 56g = 7g {0; 8} (v) z =1 + z {1 ; 1 + } (j) (u + 5) = 5(u + ) Ø (w) (1s 1)(s + 5) = ( 6s) { 1 9 } (k) d = d 8d { ; } (x) 7x + 6x 8 = 0 { 4; 7 } (l) 6r +1 = r 5 Ø (y) (a 1)(a + 5) = ( + a) Ø (m) (q + 4)( 4 q + 9) = (6 + q) {0} (z) x 48 = 0 { 4; 4} Übung.7 Bestimme die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung. Die Gleichungsvariable ist in den eckigen Klammern [ ] angebenen. (a) [y] y + ty + 5t + 1 = 0 Δ = 11t 4 (0 Lösungen) (b) [a] a(k + a) = k(a k) = 0 (1 Lösung) (c) [z] az + (6a +1)z +1 = 0 Δ = 6a +1 ( Lösungen) (d) [x] mx x + m(1 m) = (m 1)x Δ = 4(m 1 ) (abhängig von m) Übung.8 Für welche Parameterwerte hat die Gleichung die angegebene Zahl von Lösungen? Die Gleichungsvariable ist in den eckigen Klammern [ ] angebenen. (a) [x] x 1x +18m = 0 Lösungen (m < ) (b) [y] y ky + = 0 1 Lösung ( k { 4 ; 4 }) (c) [t] t + q = qt 1 Lösung (q { ;6}) (d) [r] a(r(r ) +1) = (r + )(r ) 0 Lösungen (a > )
} Symmetrieachse von A und B.
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