Aufgaben Kreisprozesse. 1. Ein ideales Gas durchläuft den im V(T)- Diagramm dargestellten Kreisprozess. Es ist bekannt:
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- Gitta Scholz
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1 Aufgaben Kreisrozesse. Ein ideales Gas durchläuft den im ()- Diagramm dargestellten Kreisrozess. Es ist bekannt: 8 cm 6 cm 00 K 8MPa MPa a) Geben Sie die fehlenden Zustandsgrößen, und für die Zustände (), (), () und () an. b) Skizzieren Sie das zugehörige ()-Diagramm und markieren Sie die Zustände () bis (). c) Begründen Sie, dass während der Zustandsänderung von () nach () Wärme zugeführt werden muss.. Ein einatomiges ideales Gas der Stoffmenge, mol durchläuft einen -stufigen Kreisrozess aus isobaren und isochoren Zustandsänderungen. Zu Beginn hat das Gas sein kleinstes olumen mit 70 cm³ und seinen größten Druck mit 6,6 0 Pa. Die erste Zustandsänderung ist eine isobare Exansion auf das doelte olumen. Es schließt sich eine isochore Abkühlung auf die Ausgangstemeratur an. a) Benennen Sie die fehlende Zustandsänderung. b) Ermitteln Sie für alle vier Zustände Druck, olumen und emeratur und stellen Sie diese in einer abelle dar. c) Zeichnen Sie das ()-Diagramm des Kreisrozesses. d) Berechnen Sie für jede Zustandsänderung die dabei verrichtete olumenarbeit W und die zugeführte bzw. abgegebene Wärme Q. Stellen Sie die Ergebnisse in einer abelle dar. e) Zeichnen Sie in das ()-Diagramm die Isotherme für die emeratur ein. Geben Sie dazu mindestens Werteaare an. f) Durch die Isotherme ergeben sich zwei Kreisrozesse: Prozess A: Prozess B: ergleichen sie die Nutzarbeiten und berechnen Sie die Wirkungsgrade beider Prozesse. Hinweis: Für einatomige Gase gilt: isobare Zustandsänderung: Q CP n R isochore Zustandsänderung: Q CP n R
2 Lösungen. geg.: Lösungen : 8 cm ges.: 6 cm 00 K 8MPa MPa a) Die Zustandsänderungen () -> () isotherm () -> () isochor () -> () isobar () -> () isochor * Punkt () MPa 6 cm 00 K Punkt () 8 cm 00 K Der Druck im Punkt () muss berechnet werden. MPa 6 cm 8 cm MPa * Punkt () 8MPa 8 cm 8MPa 00 K MPa 0 K
3 * Punkt () Die Kurve verläuft vom Punkt () zum Punkt () auf einer Geraden, die durch den Ursrung des Koordinatensystems geht. Die beiden Größen olumen und emeratur sind zueinander roortional, der Proortionalitätsfaktor ist und damit für beide Punkte gleich groß. 8MPa 6 cm Damit kann die emeratur im Punkt () berechnet werden: 6MPa 0 K 8 cm 80K Antwort: b) Die Kurve verläuft von Punkt () zum Punkt () als Isotherme. Der Druck und das olumen sind zueinander umgekehrt roortional. c) om Zustand () zum Zustand () bleibt die emeratur konstant, das olumen wird größer und der Druck kleiner. Es muss die olumenarbeit berechnet werden. Für den Fall, dass die emeratur konstant bleibt, gilt: W ln W MPa 6 cm W 0 6 N m cm ln 6 cm 6 m ln W 79Nm Die olumenarbeit ist negativ, das heißt, das System verrichtet nach außen Arbeit. Das bedeutet aber, es muss nach dem. Hautsatz der Wärmelehre dem System Wärme zugeführt werden.
4 . a) Der Kreisrozess mit einer Skizze in einem ()-Diagramm darzustellen. Dabei erkennt man die fehlenden Zustandsänderungen. -> isobare Exansion -> isochore Abkühlung -> isobare Komression -> isochore Erwärmung b) In der abelle werden die bekannten Größen für alle vier Zustände blau eingetragen. Zustand 6,6 0 Pa 70cm³ 00K 6,6 0 Pa 00 cm³ 600K,8 0 Pa 00 cm³ 00 K,8 0 Pa 70 cm³ 0 K Nun werden die fehlenden Größen berechnet und grün eingetragen.. emeratur für Zustand Es gilt: n R n R n ist die Stoffmenge in mol und R die universelle Gaskonstante. 6 6,6 0 Pa 70 0 m,mol 8, J K mol 00K. emeratur für Zustand on nach findet eine isochore Exansion statt, der Druck bleibt konstant. Nach der Zustandsgleichung für das ideale Gas ist bei konstantem Druck die emeratur roortional zum olumen. Da das olumen verdoelt wird, steigt die emeratur ebenfalls auf das Doelte, also 600 K.. Die emeratur fällt auf die Ausgangstemeratur, also auf 00 K. Da die Zustandänderung isochor verläuft, also bei konstantem olumen, ist nach der Zustandsgleichung der Druck roortional zur emeratur. die emeratur halbiert sich, also auch der Druck.. Das Gas gelangt in den. Zustand durch eine isobare Komression, der Druck bleibt konstant, das olumen sinkt auf die Hälfte. olumen und emeratur sind roortional zueinander, also sinkt die emeratur auf die Hälfte des Wertes vom Zustand, 0 K. c)
5 0 0 in 0^ Pa in cm³ d) olumenarbeit wird nur bei den beiden isobaren Zustandsänderungen verrichtet, da dies ja immer mit einer olumenänderung verbunden ist. -> olumenarbeit: W ( ) ( ) W 6,6 0 Pa 00 0 m 70 0 m 6 6 W,9kJ Das System gibt diese Arbeit ab. Wärme: Die Wärme ist allgemein Q m c Bei Gasen muss man aber die sezifische Wärmekaazität bei konstanten Druck c und bei konstantem olumen c unterscheiden. Für die isobare Zustandsänderung gilt: Q n R Q n R ( ) Q,mol 8, J K mol (600K 00K) Q 8,7kJ -> W 0 Für die isochore Zustandsänderung gilt jetzt: Q n R Q n R ( ) Q,kJ Da das Gas bei konstantem olumen zusammengeresst wird und die emeratur sinkt, muss Wärme abgegeben werden.
6 -> W,7kJ Q -> W 0 Q,6kJ,6kJ Zusammenfassung organg Arbeit Wärme -> -,9 kj 8,7 kj -> 0 -, kj ->,7 kj,6 kj -> 0,6 kj Gesamt -,7 kj, kj In dem Prozess werden ro Durchlauf,7 kj an Arbeit abgegeben. Dazu ist eine Wärme von, kj notwendig. e) Die Isotherme verbindet im Diagramm die Zustände und, denn da ist ja die emeratur gleich. Damit sind schon zwei Punkte für die gesuchte Kurve gegeben. Für die geforderten zwei weiteren Punkte müssen Werteaare Druck-olumen berechnet werden. Bei einer isothermen Zustandsänderung gilt: Der erste Quotient enthält z.b. die Werte für den Zustand. Nun gibt man sich einen Druck im gewünschten Bereich vor und berechnet daraus das olumen. Der gewünschte Druckbereich liegt zwischen und 0,. Damit sind möglich: 0,9, 0,8, 0,8... Ich wähle 0,8 und 0,6. 6,6 0 Pa 70cm 0,8 6,6 0 Pa 70cm 0,8 97, cm
7 0 0 in 0^ Pa in cm³ f) Der Wirkungsgrad ist allgemein das erhältnis aus der abgegebenen Arbeit und der zugeführten Wärme. Dabei muss beachtet werden, dass während des Kreisrozesses auch Arbeit in das System gesteckt und Wärme wieder abgegeben werden kann. Es muss also sehr genau untersucht werden, was bei den einzelnen eilrozessen mit der Arbeit und der Wärme assiert. Der erste Kreisrozess verläuft -> -> ->. -> : isobar (Druck konstant) Die Arbeit und die Wärme wurde in eilaufgabe d) berechnet: und eingesetzt: W,9kJ Q 8,7kJ -> : isochor (olumen konstant) Die Arbeit ist Null und die Wärme kommt wieder aus d): Q,kJ -> Das ist eine isotherme Komression, das Gas wird zusammengedrückt, wobei die emeratur gleich bleibt. Dafür muss aber Wärme abgegeben werden, die genau so groß ist wie die Arbeit, die am System verrichtet wird. (. Hautsatz) Es gilt:
8 W W W W W,mol 8,J K mol 00K ln W d n R d n R d n R ln,kj Dem Gas werden also bei diesem Prozess, kj Energie zugeführt, die es als Wärme wieder abgeben muss. Die abgegebene Wärme sielt beim Wirkungsgrad aber keine Rolle, da sie nicht nutzbar ist. Der Wirkungsgrad ist die Summe aller bei diesem Prozess verrichteten Arbeiten durch die zugeführte Wärme: Wges η Qzu Es wird nur im eilrozess -> Wärme zugeführt. Also kann man schreiben: W + W + W η Q η η,9kj + 0 +,kj 8,7kJ,07kJ 8,7kJ η 0, η,% Der zweite Kreisrozess verläuft -> -> ->. -> Das ist aus dem ersten eil der Aufgabe der gleiche Betrag wie ->, nur diesmal Arbeit abgegeben wird: W,kJ Damit die emeratur konstant bleibt, muss der gleiche Betrag als Wärme zugeführt werden: Q,kJ -> Die Arbeit wurde in eil d) berechnet W,7kJ Bei diesem eil wird Wärme abgegeben, die nicht beachtet werden muss.
9 -> In eil d) wurde die Arbeit mit 0 berechnet. Es wird Wärme zugeführt, also Q,6kJ Der Wirkungsgrad berechnet sich also mit: W + W η Q + Q η 0,,kJ +,7kJ η,kj +,6kJ η,% Nutzarbeit: Der erste Prozess liefert,07 kj, der zweite nur 0,67 kj. Wirkungsgrad: Der zweite Prozess hat einen größeren Wirkungsgrad.
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