Kurzeinführung in die Fehlerrechnung für das Physik-Praktikum

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1 Mathematsch-Naturwssenschaftlche Fakultät Insttut für Physk Kurzenführung n de Fehlerrechnung für das Physk-Praktkum Julen Kluge Januar 2017 Inhaltsverzechns 1 Mttelwerte Arthmetscher Mttelwert Gewchteter Mttelwert Phytagoresche Addton 3 3 Standardabwechung 4 4 Vertrauensberech Student T-Wert Größtfehlerabschätzung Runden und sgnfkante Stellen DIN Angabe von Naturkonstanten Kochrezept: Messwert berechnen 9 7 Gaußsche Fehlerfortpflanzung Exkurs: Korrelaton unkorrelerte Varablen korrelerte Varablen Regressonen Ft-Modell (Lneartät) Gewchtete Regresson R 2 -Test χ 2 /dof-test Kovaranzmatrx Korrelatonsmatrx Korrelaton lnearer Funktonen

2 1 MITTELWERTE 1 Mttelwerte 1.1 Arthmetscher Mttelwert Der normale, arthmetsche Mttelwert x sollte ja noch aus der Schule bekannt sen. Man addert enfach alle Werte x zusammen, und telt durch de Anzahl n aller Werte. x = x 1 + x x n 1 + x n n (1) Mt Summenschrebwese (de wr als Physker natürlch bevorzugen wel se kompakter st) ergbt sch de Standardmäßge Defnton: Defnton 1: Arthmetscher Mttelwert x = 1 n n x (2) x n x Mttelwert Anzahl aller (Mess)Werte -ter (Mess)Wert 1.2 Gewchteter Mttelwert Man stelle sch folgende Stuaton vor: man hat de Werte x und möchte aus denen en Mttelwert blden. Jetzt weß man aber, dass enge deser Werte vel genauer und/oder wenger Unscher snd als andere. Da hätte man es doch leber, dese Werte stärker n den Mttelwert engehen zu lassen. Dafür exstert der gewchtete Mttelwert. In mathematschen Worten also folgendes: man habe de Werte x mt den Unscherheten u und führe enen Gewchtungsfaktor p en, der von der Unscherhet abhängt: p = p (u ). Jetzt st uns klar, das wenn de Unscherhet u klen st, dann wollen wr den wert stärker gewchten, andersrum wollen wr ene klene Gewchtung für größere Unscherheten. Des weteren glt, de statstsche Streuung enes Wert mt Unscherhet u st enfach mt dem Quadrat gegeben, es glt also: p 1 u 2 (3) Unter Enführung ener Proportonaltätskonstante C bekommen wr p = C u 2 (4) Wenn man desen Gewchtungsfaktor n de Formel (8) ensetzt, bemerkt man dass der Proportonaltätsfaktor fast fre gewählt werden darf mt: C R\{0} (5) Humboldt-Unverstät zu Berln 1 Kurzenführung Fehlerrechnung

3 1.2 Gewchteter Mttelwert 1 MITTELWERTE Für alle de mt enem CAS-System we Mathematca, Matlab, etc. arbeten, kann der Faktor demnach der Enfachhet halber zu ens gesetzt werden: Defnton 2: Instrumenteller Gewchtungsfaktor p = 1 u 2 (6) p Gewchtungsfaktor für den Wert (x ± u ) u Unscherhet des Wertes x Für alle anderen de per Hand mt Taschenrechner, Excel, Verenfachung gemacht werden ndem man setzt: o.ä. rechnen, kann ene C = u 2 1 (7) Damt wrd p 1 = 1 und alle anderen Gewchtungsfaktoren snd relatve Quotenten zu p 1. Das st aber natürlch ncht unbedngt notwendg. Jetzt kann das gewchtete Mttel defnert werden mt: Defnton 3: Gewchteter Mttelwert x = n p x n p (8) x n x p Mttelwert Anzahl aller Werte -ter Wert -ter Gewchtungsfaktor Natürlch st auch de Unscherhet des Mttelwertes damt betroffen: u = ± n (p u ) 2 n p (9) Durch ensetzen des nstrumentellen Gewchtungsfaktors und Verenfachung erhält man: Defnton 4: Gewchtete mttlere Unscherhet C u = ± n p ( n ) 1/2 C=1 == u = ± p (10) u p C Mttlere Unscherhet -ter Gewchtungsfaktor fre wählbare Proportonaltätskonstante Humboldt-Unverstät zu Berln 2 Kurzenführung Fehlerrechnung

4 2 PHYTAGOREISCHE ADDITION Bespel 1: Berechnung enes gewchteten Mttels Folgende Werte der Erdbeschleungung g mt Unscherhet u wurden gemessen: Es berechnet sch mt C = 1: g [ m /s 2 ] ±u [ m /s 2 ] p = 1/u 2 p g Σ Es folgt das Ergebns: Und damt: g = p g p = (11) u = ± 1 p = ± (12) g = (9.81 ± 0.03) m /s 2 (13) Wchtge Anmerkung 1 Das gewchtete Mttel darf nur n Fällen gebldet werden, ndem sch alle Unscherhetsntervalle überschneden. 2 Phytagoresche Addton Wenn man bespelswese mehre Unscherheten für enen Wert zusammenführen wll, muss das geometrsch geschehen. Dafür benutzt man de phytagoresche Addton. Se st folgendermaßen defnert: x = x x x 2 n 1 + x 2 n (14) Mt Summenschrebwese führt das auf: Humboldt-Unverstät zu Berln 3 Kurzenführung Fehlerrechnung

5 3 STANDARDABWEICHUNG Defnton 5: Phytagoresche Addton x = n x 2 (15) x n x Phytagoresch adderter Wert Anzahl aller Werte -ter Wert 3 Standardabwechung Ist en Messwert mt enem zufällgen Fehler belegt, so streuen dese um enen gemensamen Punkt (ohne Systematsche Abwechungen st deser Punkt der Wahrhetswert). Dabe nmmt dese Streuung de Form ener Gaußschen Normalvertelung P N (x, µ, σ) (auch Glockenkurve genannt) an. De Form ener Glocke erklärt sch lecht, wenn man annmmt, dass Streuungen mt stegendem Abstand vom Mttelwert µ zunehmend unwahrschenlcher werden. De Wahrschenlchket selbst st de Fläche unter der Kurve. Es glt also: 0-3σ -2σ -σ μ σ 2σ 3σ Abbldung 1: Normalvertelung mt Mttelwert µ und Standardabwechung σ P N (x, µ, σ)dx = 1 (16) Man seht lecht, dass dese symmetrsch um den Mttelwert µ st. Damt können nun symmetrsche Intervalle festgelegt werden n denen ene bekannte Wahrschenlchket exstert, dass ene Messung dort landet. Dese Intervalle nennt man Standardabwechung σ und snd selbst Parameter für de Normalvertelung. Für de ersten Intervalle glt: Intervall statstsche Scherhet µ ± 1σ 68.3% µ ± 2σ 95.4% µ ± 3σ 99.7% µ ± 4σ % µ ± 5σ % Humboldt-Unverstät zu Berln 4 Kurzenführung Fehlerrechnung

6 3 STANDARDABWEICHUNG Wr rechnen n der Physk für gewöhnlch mt ener statstschen Unscherhet von ener Standardabwechung (en Sgma). Hat man ene Messrehe gemacht, kann de Standardabwechung davon berechnet werden mt: Defnton 6: Standardabwechung σ = 1 n 1 n (x µ) 2 (17) σ Standardabwechung (auch häufg s) n Anzahl aller Messwerte -ter Messwert µ Mttelwert x der Messwerte x Bespel 2: Berechnung der Standardabwechung wurden aufge- Folgende zehn Messwerte (n = 10) für de Erdbeschleungung g m /s 2 nommen: , , , , , , , , Der Mttelwert s g = µ = (18) Wr berechnen (g µ) Σ Und somt ergbt sch de Standardabwechung zu: 1 s = σ = (19) (20) Humboldt-Unverstät zu Berln 5 Kurzenführung Fehlerrechnung

7 4 VERTRAUENSBEREICH Wchtge Anmerkung 2 De mesten Programme beten enen fertgen Befehl um de Standardabwechung zu berechnen. Bespele snd: Programm Mathematca Matlab Excel (eng.) Excel (deu.) R Befehl/Funkton StandardDevaton std STDEV STABW sd 4 Vertrauensberech Mthlfe der Standardabwechung lässt sch, n ener bestmmten statstschen Wahrschenlchket, de zufällge Messunscherhet abschätzen. Dese Abschätzung nennt sch Vertrauensberech und st folgendermaßen defnert: Defnton 7: Vertrauensberech s = ±t s n (21) s s n t Vertrauensberech Standardabwechung Anzahl aller Messwerte Student T-Wert 4.1 Student T-Wert Der Student-Faktor (benannt nach Wllam Sealy Gosset der unter dem Pseudonym Student gearbetet hat) kann auf komplzerter Wese, von der Student T-Vertelung berechnet werden. Dese Vertelung bestzt nur de Anzahl der Messwerte n (egentlch Frehetsgrade: ν = n 1) als Parameter und st um null symmetrsch. In den Enführungspraktka und Grundpraktkum I & II st es erlaubt de Näherung t 1 für n 6 zu machen. Wll man dese Näherung ncht engehen, kann man n folgende Tabelle gucken und den Wert ablesen. Humboldt-Unverstät zu Berln 6 Kurzenführung Fehlerrechnung

8 4.1 Student T-Wert 4 VERTRAUENSBEREICH n 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ Wr sehen, dass de m Praktkum verwendete Näherung be n 6 wllkürlch und den Versuchen zweckmäßg gewählt worden st. Humboldt-Unverstät zu Berln 7 Kurzenführung Fehlerrechnung

9 4.2 Größtfehlerabschätzung 5 RUNDEN UND SIGNIFIKANTE STELLEN 4.2 Größtfehlerabschätzung Es stellt sch de Frage, was man benutzt wenn n < 6 und de Näherung des Student T-Wertes ncht mehr gemacht werden kann. In desem Fall kann man ene Größtfehlerabschätzung machen. In enfachen Worten nmmt man de Größtmöglchen Abwechungen der Messrehe an, ndem man sch anguckt welcher Wert am wetesten vom Mttelwert entfernt st und nmmt das als Unscherhet. Es glt also: Defnton 8: Größtfehlerabschätzung als Vertrauensberech s = ± max x x (22) s x x Vertrauensberech -ter Messwert Mttelwert Bespel 3: Vertrauensberech mt Standardabwechung Wr nehmen de Werte des vorhergen Bespels: s n = 10 Es ergbt sch ohne Student T-Wert: s = ± ± (23) Mt Student T-Wert (t(n = 10) ): s = ± ± (24) Mt Größtfehlerabschätzung (auch wenn se her wrklch nutzlos st): s = ± max(0.0243, , , , , , , , , ) s = ± Runden und sgnfkante Stellen Ergebnsse auf 20 Stellen genau zu berechnen st zwar ene tolle Lestung aber ncht sehr snnvoll. Es macht kenen Snn, Werte jensets von hren Fehlergrenzen genau anzugeben, deswegen müssen wr auf rchtge Stellen runden. Im Allgemenen runden wr so, dass de erste Stelle des Fehlers unglech null, glechzetg de letzte Zffer von rechts st. Dabe wrd der Messwert kaufmännsch gerundet, während Humboldt-Unverstät zu Berln 8 Kurzenführung Fehlerrechnung

10 5.1 DIN 6 KOCHREZEPT: MESSWERT BERECHNEN der Fehler stets aufgerundet wrd. Dabe müssen nachgehende Nullen vom Wert zwngend mtgeschreben werden. De so noch erhaltenen Stellen werden als sgnfkant bezechnet. Bespel 4: Runden ( ± 0.057) (6.33 ± 0.06) (25) (36.03 ± 0.41) (36.0 ± 0.5) (26) 5.1 DIN We für alles, exstert ene egene DIN-Norm mt ener Egenhet. Es glt, wenn de Unscherhet mt der ersten Stelle auf ens oder zwe geht, dann muss de Sgnfkanz auf ene wetere Stelle ausgedehnt werden. Nachgehende Nullen de herbe durch Runden entstehen können, müssen deses mal auch bem Fehler mtgenommen werden. Bespel 5: Runden nach DIN ( ± 0.134) (6.33 ± 0.14) (27) ( ± 0.148) (36.00 ± 0.15) (28) ( ± 0.297) (15.44 ± 0.30) (29) 5.2 Angabe von Naturkonstanten Be der Angabe von Naturkonstanten kann man telwese ene andere Notaton zur Angabe von Unscherheten beobachten. Her wrd hnter dem Wert de Unscherhet engeklammert welche mt sgnfkanter Stellenzahl von rechts gesehen geht. Bespel 6: Notaton von Naturkonstanten Das plancksche, reduzerte Wrkungsquantum wrd angegeben mt: = (13) Js (30) = ( ± ) Js (31) Der Vortel deser Notaton st offenschtlch. Mt den vorhergehenden Bespelen: (6.33 ± 0.06) 6.33(6) (32) (36.0 ± 0.5) 36.0(5) (33) 6 Kochrezept: Messwert berechnen Hat man nun sukzessv de erste Messrehe für enen Wert durchgeführt, gbt es en Kochrezept we wr desen sowe senen Fehler ordentlch berechnen können: Humboldt-Unverstät zu Berln 9 Kurzenführung Fehlerrechnung

11 7 GAUSSSCHE FEHLERFORTPFLANZUNG Defnton 9: Messwertberechnung 1. Mttelwert berechnen x = 1 n n x 2. bekannte systematsche Fehler korrgeren: x k = x + u sys. 3. Vertrauensberech berechnen { s 1 s = ± n = n n(n 1) (x µ) 2 n 6 max x x n < 6 4. Messunscherhet durch phytagoresches Adderen aller Unscherheten berechnen u = s 2 + u 2 gerät + u2 ablese + u2 rest 5. Ergebns auf sgnfkante Stellen runden, mt Enhet (und Zehnerpotenz oder SI-Präfx) angeben. (x k ± u) 10 m [SI-Präfx-Enhet] Wchtge Anmerkung 3 Be Angabe von Enheten muss stets darauf geachtet werden, dass dese ncht kursv geschreben snd. 7 Gaußsche Fehlerfortpflanzung Wenn man ene Funkton y = f (a, b, c,...) mt den Werten a, b, c,... und den dazugehörgen Unscherheten u a, u b, u c,... hat, kann man y = f(a, b, c,...) ausrechnen. Doch we rechnet man de Unscherhet für y aus? Dafür exstert de Gaußsche Fehlerfortpflanzung. 7.1 Exkurs: Korrelaton Ohne vel Hntergrundwssen glt allgemen: zwe Größen snd mtenander Korrelert, wenn man de ene ncht ohne de andere wählen kann. Man kann sch deses Prnzp sehr lecht an ener lnearen Funkton erklären: Humboldt-Unverstät zu Berln 10 Kurzenführung Fehlerrechnung

12 7.2 unkorrelerte Varablen 7 GAUSSSCHE FEHLERFORTPFLANZUNG In der nebenstehenden Abbldung wurde ene lneare Funkton f(x) = a x + b möglchst passend durch de vorhanden Punkte gelegt (durchgezogene Lne; wr werden das m nächsten Kaptel unter Regresson kennenlernen). Wenn man sch nun vorstellt, dass man den Ansteg a deser Gerade nach oben zwngt (gepunktete Lne), dann muss der Achsenschnttpunkt b snken damt de Gerade weder relatv gut n den Punkten legt (gestrchelte Lne). Das gleche glt auch andersherum, zwngt man den Ansteg nach unten, stegt der Achsenabschntt. Natürlch glt das auch n vertauschten Rollen, also zwngt man den Achsenabschntt zu snken, muss der Ansteg stegen und andersrum. Man merkt damt, dass man de beden Parameter der lnearen Funkton ncht unabhängg vonenander wählen kann. Se snd also korrelert. Deses Konzept wrd für Fehlerfortpflanzung wchtg da man für jede Korrelaton enen weteren Term bekommt der berechnet werden muss. 7.2 unkorrelerte Varablen Wenn de enzelnen Werte x mt den Unscherheten u ncht mtenander korrelert snd und de Funkton f(x 1, x 2,..., x n ) ausgerechnet werden soll, dann kann man de Gaußsche Fehlerfortpflanzung darstellen mt: Defnton 10: Unkorrelerte Gaußsche Fehlerfortpflanzung u f = n ( ) 2 f (x1, x 2,..., x n ) u (34) x u f fortgeplanzter Fehler der berechneten Funkton f(x 1, x 2,...) n Anzahl aller Werte x -te(r) Varable/Wert -te Unscherhet u Man kann sch dese Formel anschaulch darstellen. De partelle Abletung f am x Punkt (x 1, x 2,..., x n ) zegt den Ansteg nach x und damt, we empfndlch de Formel auf Änderung deser Varable reagert. Es fungert somt als Gewchtung zur Unscherhet u welche Schlussendlch phytagoresch mt allen anderen addert wrd. Humboldt-Unverstät zu Berln 11 Kurzenführung Fehlerrechnung

13 7.3 korrelerte Varablen 7 GAUSSSCHE FEHLERFORTPFLANZUNG Bespel 7: Unkorrelerte Fehlerfortpflanzung Nach ohmschen Gesetz glt folgender Zusammenhang zwschen Spannung U, Stromstärke I und elektrscher Wderstand R: R = U I (35) Man nehme jetzt folgende Werte (ungerundet) an: Durch schnelle Rechnung ergbt sch: U = ( ± 7.34) V (36) I = ( ± ) A (37) R = Ω (38) De Unscherhet von R bestmmt sch (unter Vernachlässgung der Korrelaton) durch Fehlerfortpflanzung: ( R ) 2 ( ) 2 R u R = U u U + I u I (39) (1 ) 2 ( = I u U + U 2 I) I u (40) 2 ( ) 2 ( ) = (0.9239) (41) u R = (42) Damt st das Ergebns (gerundet): R = (258 ± 9) Ω (43) 7.3 korrelerte Varablen Für jede Korrelaton der beden Varablen x und x j mt der zugehörgen Kovaranz u,j (wrd n enem späteren Kaptel erklärt), addert sch en weterer Term der Form 2 f(x 1, x 2,..., x n ) x f(x 1, x 2,..., x n ) x j u,j (44) mt unter de Wurzel der unkorrelerten Fortpflanzung. Man kann also allgemen schreben: Humboldt-Unverstät zu Berln 12 Kurzenführung Fehlerrechnung

14 8 REGRESSIONEN Defnton 11: Korrelerte Gaußsche Fehlerfortpflanzung u f = n ( ) 2 f (x1,...) u + 2 x n n j=+1 f (x 1,...) x f (x 1...) x j u,j (45) u f fortgeplanzter Fehler der berechneten Funkton f(x 1, x 2,...) n Anzahl aller Werte x -te(r) Varable/Wert u -te Unscherhet Kovaranz der Werte x und x j u,j Bespel 8: Korrelerte Fehlerfortpflanzung Gleches Bespel we zuvor mt den selben Werten und enem Kovaranzfaktor von Es folgt mt Korrelatonsterm: (1 u R = I u U (1 = I u U u U,I = (46) ) 2 ( + U ) 2 I u 2 I + 2 R ) 2 + ( U I 2 u I U R I u U,I (47) ) 2 2 U I u 3 U,I (48) u R = (49) Und somt das Ergebns (gerundet): R = (258 ± 12) Ω (50) Wchtge Anmerkung 4 Korrelatonsterme können (anders als unkorrelerte) de Unscherhet sowohl n postve als auch negatve Rchtung verändern. 8 Regressonen Es gbt vele Wege we man de Regresson (auch: Ausglechsrechnung oder Ft) fachlch und mathematsch rchtg enführen kann. De enfachste Form st aber zu sagen: Wr haben n vele Wertepaare (x, y ) mt den dazugehörgen Unscherheten (u x,, u y, ) und ene Glechung y = f(x, α, β, γ,...) de den Verlauf deser Punkte beschreben sollte. We müssen wr jetzt de Parameter α, β, γ,... deser Glechung wählen, dass se am besten zu unseren Daten passt? Humboldt-Unverstät zu Berln 13 Kurzenführung Fehlerrechnung

15 8.1 Ft-Modell (Lneartät) 8 REGRESSIONEN Mathematsch basert das auf enem Verfahren das den Abstand zwschen Funktonswerten y = f(x ) zu gemessenen Werten y mnmert. [ n ] α, β, γ,... = mn (f(x, α, β, γ,...) y ) 2 (51) α,β,γ,... Deses Verfahren st (besonders für nchtlneare Fts) recht komplzert und soll ken Gegenstand deser Enführung her werden. Ergebnsse von Regressonen können auch vsuell dargestellt werden: Ampltude y(t) Zet t y(t)=a sn(t ω + ϕ) χ 2 /dof= A=(9.990±0.013)10-1 m ϕ=(1.008±0.006) rad ω=(9.96±0.04)10-1 s -1 y(t)=a sn(t ω + ϕ) χ 2 /dof= A=(1.994±0.012) m ϕ=(2.004±0.007) rad ω=(1.0652±0.0022) s -1 y(t)=a sn(t ω + ϕ) χ 2 /dof= A=(2.970±0.012) m ϕ=(3.0287±0.0017) rad ω=(1.1229±0.0015) s -1 Abbldung 2: Bespel dreer Regressonen nach der Funkton y(t) = A sn (ω t + Φ) Aufgrund der komplzerten Natur deser Verfahren werden dafür ausschleßlch Programme benutzt. Wchtge Anmerkung 5 De mesten Programme beten enen fertgen Befehl um Regressonen zu berechnen. Bespele snd: Programm lnearer Ft nchtlnearer Ft Mathematca LnearModelFt NonlnearModelFt Matlab polyft (engeschränkt) lsqcurveft Excel über Menü über Menü R lm nls QTI-Plot Menü: Ft Lnear (lneare Funkton) Menü: Ft Wzard 8.1 Ft-Modell (Lneartät) Ene lneare Regresson muss ncht zwngend ene lneare Funkton erzeugen. Ene Regresson st dann lnear, wenn de Funkton nach der se gemacht wrd, nur lnear engehende Regressonskoeffzenten α, β, γ,... bestzt. y = f(x) = α f 1 (x) + β f 2 (x) + γ f 3 (x) +... (52) Humboldt-Unverstät zu Berln 14 Kurzenführung Fehlerrechnung

16 8.2 Gewchtete Regresson 8 REGRESSIONEN Dabe snd f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),... belebge Funktonen fre von den verwendeten Parametern α, β, γ,... Bespel 9: Lnear / Nchtlneare Regressonsmodelle Funkton Parameter Lnear/Nchtlnear f(x) = a x + b a, b lnear f(x) = a exp (x) a lnear f(x) = a 2 x a nchtlnear f(x) = sn (a x) a nchtlnear f(x) = a x 2 + b exp (π x) a, b lnear f(x) = a x a nchtlnear 8.2 Gewchtete Regresson We auch bem gewchteten Mttel haben wr n der Regresson de Opton genauere/präzsere Messpunkte stärker n das Ergebns enfleßen zu lassen. Auch her glt de berets bekannte Instrumentelle Gewchtung, d.h. zu jedem Datenpunkt (x, y ) mt der Unscherhet (u x,, u y, ) exstert de Gewchtung p mt p = C u 2 y, C=1 p = 1 u 2 y, (53) Herbe fällt auf, das nur de Unscherhet von y ene Rolle spelt. Des macht man mt der Näherung, dass u x, u y,. Sollte dese Näherung umgekehrt gegeben sen, d.h. u x, u y,, kann man be y = f(x) de Umkehrfunkton blden x = f 1 (y) und nach (y, x ) mt den Gewchtungen p = 1 ftten. u 2 x, 8.3 R 2 -Test Der R 2 -Test oder auch Bestmmthetsmaß genannt, gbt an we vel Prozent der Abwechung von dem Ftmodell erklärt werden kann. Es st defnert mt: R 2 = 1 n (f(x ) y ) 2 n (y y ) 2 (54) und kann Werte von null bs ens annehmen. Dabe glt: Je näher der Wert an ens st, desto mehr passt das Modell zu den Daten. Üblche/gute Werte m Grundpraktkum kommen auf 0.99 und mehr. Bem normalen R 2 -Test gbt es aber en Problem. Stegt de Anzahl der Datenpunkte glecher Güte, dann stegt zwangsläufg auch der R 2 -Test mt. Um den entgegen zu wrken, kann en korrgerter Test angegeben werden mt: R 2 = R 2 ( 1 R 2) wobe p de Anzahl der Parameter m Ftmodell st. p n p 1 (55) Humboldt-Unverstät zu Berln 15 Kurzenführung Fehlerrechnung

17 8.4 χ 2 /dof-test 8 REGRESSIONEN Wchtge Anmerkung 6 Der R 2 -Test gbt ncht an, we gut en Ft an de Daten angepasst st oder ob das Ftmodell zu den Daten passt. Der Test kann auch nur be enem lnearen Ftmodell angewendet werden. 8.4 χ 2 /dof-test Der χ 2 /dof-test (dof steht für Frehetsgrade [degrees of freedom] und kann berechnet werden mt dof = n p wobe p de Anzahl an Ftparameter angbt) gbt begrenzte Auskunft darüber we gut der Ft nnerhalb der Unscherheten an de Daten angepasst st. Er kann Werte von null bs unendlch annehmen wobe en Wert von ungefähr ens als en guter Test glt. Abwechungen von desem Nomnalwert können mehrere Gründe haben: χ 2 /dof 1: Entweder zu große Unscherheten oder relatv zu den Unscherheten überdurchschnttlch gute Anpassung des Fts an de Daten. χ 2 /dof 1: Entweder zu klene Unscherheten oder relatv zu den Unscherheten unterdurchschnttlch schlechte Anpassung des Fts an de Daten. Defnert st der Test über de engangs erwähnten Abstandsquadrate der Messpunkte (x, y ) mt der Ftfunkton y = f(x) und den zu den Messpunkten gehörenden Messunscherheten (u x,, u y, ): χ 2 dof = 1 n p n (f(x ) y ) 2 u 2 y, (56) 8.5 Kovaranzmatrx Aus dem Kaptel zur korrelerten Gaußschen Fehlerfortpflanzung wssen wr, dass wr dazu enen Kovaranzfaktor u,j brauchen. Abgesehen von ener Abschätzung per Hand durch r,j u u j (sehe nächstes Unterkaptel), können dese Werte aus ener Regresson n Form ener Kovaranzmatrx gewonnen werden. Dese hat auf den Dagonalen de Quadrate der Unscherheten der Parameter und außerhalb de jewelg, gesuchten Kovaranzen. Se hat demnach folgende Form: Defnton 12: Kovaranzmatrx Mt den Ftparametern α, β, γ,...: u 2 α u α,β u α,γ... u β,α u 2 β u β,γ... cov (α, β, γ,...) = u γ,α u γ,β u 2 γ Dese quadratsche Matrx st ebenfalls symmetrsch, da glt u,j = u j,. (57) Humboldt-Unverstät zu Berln 16 Kurzenführung Fehlerrechnung

18 8.6 Korrelatonsmatrx 8 REGRESSIONEN 8.6 Korrelatonsmatrx Um de Stärke ener Korrelaton anzugeben, bedent man sch dem Korrelatonskoeffzent. Deser kann de Werte von mnus ens (stark ant-korrelert), durch null (ncht korrelert) bs ens (stark korrelert) annehmen und st defnert mt: Defnton 13: Korrelatonskoeffzent r α,β = u α,β u α u β (58) r α,β u α,β u α u β Korrelatonskoeffzent zwschen α und β Kovaranz zwschen α und β Unscherhet von α Unscherhet von β Mthlfe deses Wertes kann man Kovaranzen abschätzen. Hat man bespelswese folgende Unglechung: α 2 < β < α (59) Kann auf ene starke Korrelaton zwschen α und β geschlossen werden also r α,β 1 und damt folgt dann u α,β 1 u α u β als de Kovaranz. Enge Regressonsprogramme (z.b. QTI-Plot) können nur de Korrelatonsmatrx ausgeben aus denen dann de Kovaranz berechnet werden muss: 1 r α,β r α,γ... r β,α 1 r β,γ... corr (α, β, γ,...) = r γ,α r γ,β 1... (60) Herbe snd de Werte auf der Hauptdagonale ens, da u, = u 2 glt. 8.7 Korrelaton lnearer Funktonen Führt man ene Regresson über ene lneare Funkton der Form f(x) = a x + b durch und benutzt bede Parameter a und b später um den Bruch b a oder a zu berechnen, muss b man das unter voller Beachtung der Korrelaton tun. Es gbt aber enen Trck um sch de gesamte korrelerte Gaußsche Fehlerfortpflanzung zu sparen. Wenn man ene Varable aus der Glechung ausklammert: ( f(x) = a x + b ) ( a ) oder f(x) = b a b x + 1 (61) und den nneren Bruch-Term mt enem Parameter substtuert f(x) = a (x + c) oder f(x) = b (d x + 1) (62) erhält man mt c = b a oder d = a de Brüche mt kompletter korrelerter Fehlerabschätzung dessen Funktonen nur noch nchtlnear gefttet werden b müssen. Humboldt-Unverstät zu Berln 17 Kurzenführung Fehlerrechnung