Einführung in die Fehlerrechnung

Transkript

1 1 Einführung in die Fehlerrechnung

2 liederung 1. Motivation. Fehlerarten 1. robe Fehler. Systematische Fehler 3. Zufällige Fehler 3. Rechnerische Erfassung der Messabweichungen 1. Fehlerabschätzung einmaliges Messen. Mittelwert einer Messreihe 3. Standardabweichung 4. Vertrauensbereich 4. Fehlerfortpflanzung 1. außsche Fehlerfortpflanzung. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) 5. rafische Auswertung von Messdaten 6. Darstellung des Messergebnisses

3 3 1. Motivation Was bedeutet das Wort Fehler? Fehler hat nicht die übliche Bedeutung von Falschheit von Ergebnissen oder von Fehlverhalten des Messenden Nach DIN 1319 Abweichungen bei den Messwerten Unsicherheiten bei den Messergebnissen

4 1. Motivation Jede Messung, egal wie sorgfältig, ist grundsätzlich fehlerbehaftet. In der üblichen Konvention wird ein Messergebnis für eine röße wie folgt beschieben: W ± Dabei ist: W : der "wahrscheinlichste" oder "beste" Schätzwert für das Messergebnis : die Messunsicherheit 4 Was bedeutet die Angabe? W W +

5 5. Fehlerarten emäß ihres Ursprungs unterscheidet man prinzipiell drei Arten von Messfehlern: robe Fehler Systematische Fehler Zufällige Fehler

6 6.1 robe Fehler robe Fehler sind eigentlich "unerlaubte Fehler" und sollten durch Sorgfalt kritisches Überprüfen Kontrollieren der Ergebnisse vermieden werden.

7 .1 robe Fehler Ursache für robe Fehler: Unachtsamkeit Versehen des Beobachters bei der Bedienung der Messapparatur Falsches Ablesen der Messinstrumente Messverfahren sind ungeeignet Irrtum des Beobachters bei der Protokollierung bzw. bei der Auswertung der Messwerte Messungen oder Auswertungen sind falsch und müssen wiederholt werden. 7 robe Fehler können offensichtlich nicht durch eine Fehlertheorie erfasst werden und werden hier nicht weiter diskutiert werden.

8 8. Systematische Fehler sind häufig sehr schwer zu erkennen verfälschen den Messwert immer in eine Richtung (entweder immer zu große oder zu kleine Werte) durch eine Wiederholung der Messung können sie weder erkannt noch vermieden werden lassen sich nicht durch statistische Verfahren eliminieren

9 9. Systematische Fehler Ursachen für Systematische Fehler Verwendung falscher Messinstrumente falsche elektrische Schaltung Alterung der Messgeräte Überschreitung der ültigkeitsgrenze physikalischer esetze (z.b. Elastizitätsgrenze) äußere Einflüsse (Luftauftrieb, Temperatur, äußere Störfehler) Durch Berücksichtigung der Einflüsse können Systematische Fehler teilweisen korrigiert bzw. ausgeschaltet werden. Bsp.: Durch Variation der Messmethoden oder der Messbedingungen oder durch Kalibrierung Dies erfordert jedoch großen Aufwand und sind daher unter Praktikumsbedingungen kaum möglich

10 10.3 Zufällige Fehler sind trotz Ausschalten aller systematischen Fehler vorhanden die Messwerte streuen um den wahren Wert diese Abweichungen bezeichnet man als zufällige Fehler und gehorchen den esetzen der Statistik d.h. lassen sich durch Anwendung statistischer Verfahren (wie Fehlerrechnung) ermitteln

11 11.3 Zufällige Fehler Ursachen für zufällige Fehler: Die Messgröße selber besitzt einen stochastischen Charakter z.b. der radioaktive Zerfall von Atomkernen Zufällige und unvorhersehbare äußere Einflüsse z.b. kurzzeitige Temperaturschwankungen Die Reibung in einem Messinstrument Ableseabweichungen (Parallae) zufällige Fehler sind prinzipiell nicht vermeidbar, lassen sich jedoch durch wiederholte Messungen und geeignete Auswertungsmethoden verringern

12 1 3. Rechnerische Erfassung der Messabweichungen Die Fehlerrechnung beantwortet folgende Fragen: Wie schätzt man den Fehler, wenn die Messgröße nur einmal direkt gemessen wird? Wie weit entfernt sich der einzelne Messwert durchschnittlich vom Mittelwert? (Ein Maß hierfür ist der mittlere Fehler der Einzelmessung oder die Standartabweichung) Wie weit entfernt sich der gemessene Mittelwert vom wahren Wert? (d.h. wie groß ist der mittlere Fehler des Mittelwerts oder Vertrauensbereich des Mittelwerts) Wie weit entfernt sich ein Funktionswert vom wahren Wert, wenn er nicht selbst gemessen, sondern aus fehlerbehafteten rößen errechnet wurde? (d.h. wie groß ist der mittlere und maimale Fehler eines Funktionswerts)

13 Fehlerabschätzung einmaliges Messen Eine Messgröße wird nur einmal direkt gemessen Fehlerabschätzung (rößtfehler) Ablesegenauigkeit auf der benutzten Skala enauigkeitsklasse der Messgeräte

14 Fehlerabschätzung einmaliges Messen Beispiel: 1) ±0,5 mm für Lineale mit Millimeterskala T ±0,1 C für Thermometer mit 0, C Teilung ) L ±0,05 mm für Schieblehren mit 1/0 mm Teilung 3) enauigkeitsklassen von Analogmessgeräten z.b. 1,5 bedeutet, dass 1,5% vom Messbereichsendwert zu nehmen ist

15 15 3. Mittelwert einer Messreihe Führt man mit einer bestimmten Messanordnung und unter konstant gehaltenen Messbedingungen sehr viele Messungen n (im Idealfall unendlich viele) der röße durch: Messwerte liegen in einem bestimmten Bereich Der am häufigsten vorkommende Messwert liegt etwa in der Mitte dieses Bereichs Dabei sind große Abweichungen von der Mitte des Bereichs selten, kleine Abweichungen häufiger

16 16 3. Mittelwert einer Messreihe Trägt man die Häufigkeit h(), mit der ein Messwert vorkommt, über den Messwerten auf. Es entsteht (im renzfall für n ) eine Verteilung, die man außsche Normalverteilung nennt.

17 17 3. Mittelwert einer Messreihe Die außsche Normalverteilung wird durch die Funktion h() dargestellt: h ( ) σ 1 e π ( µ ) σ

18 18 3. Mittelwert einer Messreihe Eigenschaften von h(): Nimmt für µ ihren maimalen Wert an d.h. µ stellt den wahrscheinlichsten Wert der Messreihe dar µ wird auch Erfahrungswert genannt Die Wendepunkte liegen bei den Werten µ±σ Charakteristisch für diese Kurve ist die Breite σ zwischen den Wendepunkten

19 19 3. Mittelwert einer Messreihe Man nennt σ (halbe Breite) die Standartabweichung Die röße σ wird als Varianz bezeichnet Die Standartabweichung σ ist ein Maß für die Breite der Verteilung also für die durchschnittliche Abweichung der einzelnen Messwerte vom wahrscheinlichsten Wert der Messreihe 68,3% der Messwerte liegen im Intervall µ ± σ, d.h. die Wahrscheinlichkeit einen Messwert in diesem Intervall anzutreffen beträgt 68,3%, 31,7% liegen außerhalb Mit ihr rechnet man oft bei physikalischen Messungen

20 0 3. Mittelwert einer Messreihe In der Prais können keine unendlich langen Messreihen durchgeführt werden. ( 1,,..., n ) Die Werte µ und σ können in diesem Fall nur näherungsweise bestimmt werden. Der Erwartungswert µ wird dabei angenähert durch den arithmetischen Mittelwert. µ lim n

21 1 3. Mittelwert einer Messreihe Der arithmetische Mittelwert wird folgendermaßen gebildet: n 1 n i i 1 wobei i : Messwert n : Anzahl der Messungen

22 3.3 Standartabweichung Als Schätzung für die Standartabweichung σ verwendet man bei einer endlichen Zahl von Messungen die Streuung s d.h. σ lim s n

23 3 3.3 Standartabweichung Es gilt: wobei s n 1 n 1 i 1 ( ) i s: Streuung i : Messwert : Mittelwert der Messreihe n: Anzahl der Messungen Bem: Häufig wird die Streuung s als mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung bezeichnet.

24 4 3.4 Vertrauensbereich Bem: Für die Analyse der Messdaten ist der mittlere Fehler der Einzelmessung im allgemeinen nicht von Bedeutung. Interessant ist es zu wissen, in welchem Intervall um den Mittelwert herum man den wahren Wert der röße erwarten kann. Dieses Intervall heißt Vertrauensbereich Es bestimmt den Bereich innerhalb dessen der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

25 5 3.4 Vertrauensbereich Für eine endliche Anzahl von Messungen erhält man: t s n t n n 1 ( ) ( n 1) i i 1 wobei der sogenannte t Faktor eine Korrektur für Messreihen mit kleinem n darstellt Bem: Der Faktor t ergibt sich aus der gewählten praktischen Sicherheit P und der Anzahl der Messungen n.

26 3.4 Vertrauensbereich 6 Anzahl n der Einzelwerte P 68,6% t P 95% t P 99% t P 99,5% t 1,84 1,71 63,66 17,3 3 1,3 4,30 9,93 14,09 4 1,0 3,18 5,84 7,45 5 1,15,78 4,60 5,60 6 1,11,57 4,03 4,77 7 1,09,45 3,71 4,3 8 1,08,37 3,50 4,03 9 1,07,31 3,36 3, ,06,6 3,5 3, ,05,18 3,05 3, ,04,15,98 3,33 0 1,03,09,86 3, ,0,05,76 3,04 3 1,0,04,74 3,0 50 1,01,01,68, ,00 1,99,64,89

27 7 4. Fehlerfortpflanzung In den meisten Fällen ist die gesuchte röße nicht direkt messbar, sondern muss mit Hilfe von zugänglichen rößen individuell bestimmt werden. Sei die im Eperiment zu bestimmende röße und, y, z, usw. die unmittelbar gemessenen rößen, die alle mit einem Fehler behaftet sind (, y, z,...). (,y,z) Frage Wie beeinflussen die Fehler der unmittelbar gemessenen rößen, y, z,... den Fehler der röße? Antwort Die Messfehler der direkt gemessenen rößen, y, z,... pflanzen sich in das Ergebnis fort.

28 4.1 außsche Fehlerfortpflanzung Sind die Messgrößen, y, z,... unabhängig voneinander mit zufälligen Messabweichungen, y, z,..., so ergibt sich die wahrscheinlichere Messunsicherheit aus der sog. quadratischen Addition (außsche Fehlerfortpflanzung) 8, y, z,,,, + y y z z + Vertrauensbereich des Mittelwertes der einzelnen Messgrößen y z partielle Ableitung der Funktion (,y,z,...) nach den rößen,y,z,... Bem.: Sie ist anzuwenden, wenn die einzelnen Messgrößen unabhängig voneinander sind. +

29 9 4.1 außsche Fehlerfortpflanzung Sei (,y,z) a y b z c a z y a c b 1 a y b z y b y c 1 b a z c z y c z 1 c b a z z c y y b a + + z z c y y b a + + z z c y y b a z z y y

30 30 4. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) Unter der Vorraussetzung <<, y<<y, z<<z, usw. kann man auf rund des Taylorschen Satzes den esamtfehler wie folgt berechnen: + y y + z z + wobei, y,, Maimalfehler (rößtfehler) z, Vertrauensbereich des Mittelwertes oder geschätzter Fehler der Messgröße partielle Ableitung nach den gemessenen rößen,y,z,...

31 31 4. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) Bem.: Die Betragstriche bewirken, dass alle Summanden positiv werden, wodurch eine mögliche gegenseitige Kompensation von Einzelfehlern vermieden wird. So erhält man stets den größtmöglichen Fehler der röße rößtfehler ist anzuwenden, wenn die einzelnen Messgrößen nicht unabhängig voneinander sind.

32 3 4. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) Bsp.: Betrachten wir wieder die Funktion (,y,z) a y b z c Für den rößtfehler erhält man: oder: z z c y y b a z z y y z z c y y b a + +

33 33 4. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) Bsp.1): Bestimmung des Volumens V einer Kugel aus der Messung deren Radius r mit Unsicherheit r ( ) 3 r 3 4 r V π ( ) ( ) r r 3V(r) r r 4 r r 3 4 r r r V r r V 3 π π r r 3 V V

34 34 4. Lineare Fehlerfortpflanzung (rößtfehler) Bsp. ): Bestimmung der eschwindigkeit v aus Messung von Strecke s mit Unsicherheit s und Zeit t mit Unsicherheit t ( s, t) v v s t v s t ( s, t) s + v( s, t) t v 1 t s + s t s t v v + s t t

35 35 5. rafische Auswertung vom Messdaten Die grafische Darstellung (eradenanpassung) einer Messreihe dient dazu: Eine Veranschaulichung des funktionellen Zusammenhangs zweier rößen zu vermitteln Quantitative Auswertung

36 36 5. rafische Auswertung vom Messdaten Beachte: Beim Zeichnen der grafischen Darstellung beachte man folgendes: Verwendung von Millimeterpapier Wahl einer geeigneten Skalierung, die den gesamten Wertebereich ausnützt Beschriftung der Achsen und Einfügen eines Titels Eintragung der Messpunkte als kleine Kreutze Bei bekannter Messabweichung werden die Messpunkte mit Fehlerbalken versehen

37 5. rafische Auswertung vom Messdaten Beispiel: a a 1 + a a1 a R a,1ω R 0,4 Ω R (,1± 0,4)Ω 37 eradenanpassung

38 38 6. Darstellung des Messergebnisses In den üblichen Konventionen wird ein Messergebnis für eine röße wie folgt eingegeben: w + w :"wahrscheinlichste " Wert : Messunsicherheit - "bester" Wert

39 39 6. Darstellung des Messergebnisses Bem: In dieser Form wird die die absolute Messunsicherheit genannt hat die gleiche Dimension wie das Messergebnis g 9,81± 0,0 m s Beispiel: ( )

40 40 6. Darstellung des Messergebnisses Aussagekräftiger ist die Darstellung als relativer Fehler : w wobei w 1 w 1± 100% w Beispiel: g 9,811± ( 0,3% ) m s