3. Das Prüfen von Hypothesen. Hypothese?! Stichprobe Signifikanztests in der Wirtschaft

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1 3. Das Prüfen von Hypothesen Hypothese?! Stichprobe 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft Prüfung, ob eine (theoretische) Hypothese über die Verteilung eines Merkmals X und ihre Parameter mit einer (empirischen) Stichprobe verträglich ist III. 1

2 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (II) Theorie Vermutung Wunsch Befürchtung Hypothese aufstellen Zufallsstichprobe Hypothese prüfen III. 2

3 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (III) Ablehnung, wenn Stichprobe signifikant, d.h. mehr als zufällig, von der Hypothese abweicht Nichtablehnung, bei kleineren Abweichungen, d.h. Zufall wird unterstellt Nichtablehnung heißt nicht Annahme der Hypothese III. 3

4 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (IV) Beispiel: Bierabfüllanlage a) Füllmenge X Verdacht: nicht korrekt Wahrer Mittelwert µ unbekannt, aber Nennfüllmenge µ 0 = 500 ml Hypothesenpaar Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 (hier Forderung) Alternativhyp. H 1 : µ µ 0 (hier Verdacht) III. 4

5 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (V) noch Beispiel: Überprüfung mit Zufallsstichprobe: Durchschnitt x aus Zufallsstichprobe Ablehnung von H 0 z.b., wenn x µ 0 zu groß Was heißt "zu"? (= signifikant ) III. 5

6 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (VI) Vorgabe des Signifikanzniveaus α. Bei Ablehnung der Nullhypothese Irrtum höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α zulässig, d.h. Alternativhypothese mit Sicherheit von mindestens 1- α wahr III. 6

7 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte Einstichproben-Gauß-Test Hypothese über den Mittelwert eines Merkmals X anhand einer Zufallsstichprobe (X 1,...,X n ) bei bekannter Streuung σ. Nullhypothese H 0 : µ=µ 0 Alternativhypothese H 1 : µ µ 0 Vorläufige Forderung: X ~ N(µ,σ 2 ) III. 7

8 Hypothesen über Durchschnitte (II) Aus Schätztheorie bekannt: Konfidenzintervall: gleichbedeutend: α σ µ α = z X P = + < n z X n z X P σ µ σ α α III. Z

9 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (III) Wenn H 0 stimmt, dann ist µ = µ 0, und Testvariable Z = X µ 0 σ n standardnormalverteilt III. 9

10 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IV) und dann müsste sein: P Z z 1 α = 1 α 2 Andernfalls stimmt vielleicht H 0 nicht. "/2 1-" "/2 -z 1-"/2 0 Z z 1-"/2 Also: H 0 ablehnen, wenn z >z... (Ablehnungsbereich) III. 10

11 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (V) Beispiel a) (Fortsetzung): Abfüllmenge normalverteilt mit σ = 1,5 ml, H 0 : µ=µ 0 H 1 : µ µ 0 (Verdacht falscher Abfüllung) α = 0,01 (vorher festlegen) Tafel: z 1-1/2 = 2,58 Zufallsstichprobe: n = 25 ergibt x = 499,28ml III. 11

12 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VI) noch Beispiel noch a) z x µ 0 = n = 2,4 σ z = 2,4 < 2,58... Ablehnung von H... Interpretation! Gründe? III. 12

13 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VII) Vielleicht Frage H 0 : µ µ 0 Aber unhandlich, warum? interessanter Also weiter: H 0 : µ = µ 0 Jedoch jetzt H 1 : µ > µ 0 rechtsseitiger Test Testvariable wieder Z = X µ σ 0 n III. 13

14 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VIII) Wenn H 0 stimmt, müsste gelten: ( Z z ) = 1 α P 1 α 1-" " z 1-" Z Also H 0 ablehnen, wenn Z > z 1-α d. h. bei großem. x x Ein kleines stört H o nicht. III. 14

15 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IX) Beispiel b) Produzent will nachweisen, dass nicht zu wenig in den Flaschen ist: H 0 : µ = µ 0 (Eigentlich µ # µ 0 ) H 1 : µ > µ 0 (Behauptung) α = 1 % III. 15

16 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (X) noch Beispiel b) Stichprobe wie a) (darf man eigentlich nicht nehmen): x = 499,28 ml z = -2,4 Tafel: z 1-α = 2,326...Ablehnung von H 0 : µ µ 0 Interpretation? III. 16

17 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XI) Dritte Möglichkeit: H 0 : µ µ 0 Praktisch gleichbedeutend: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 linksseitiger Test Wenn H 0 stimmt, dann gilt: Hilfe: z α = -z 1-α P X 0 µ σ n z α = α warum? III. 17

18 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XII) 99% Umgekehrt H 0 ablehnen, wenn Testvariable Z X µ σ also bei kleinem ( Z > z ) = 1 α P 1 α 0 = n z1 α x 1% " 1-" -z 1-" z 1-" Z III. 18

19 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIII) Beispiel c) Verbraucherverband will nachweisen, dass zu wenig in den Flaschen ist. H 0 : µ = µ 0 (eigentlich µ µ 0 ) H 1 : µ < µ 0 (Behauptung) Stichprobe wie im Beispiel a): x = 499,28 ml ; z = -2,4 ; 1- α = 0,99 ; z 1-α = 2,326 ; z α = -2, < H 0.?. abzulehnen Was sagt Verbraucherverband?? Übung: bei α = 5%? III. 19

20 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIV) Gaußtest kurz: Große Stichprobe oder Normalverteilung, Varianz bekannt. Nullhypothese H 0 : µ=µ 0 1. Alternativhypothese H 1 :... a) Zweiseitig: µ µ 0 b) einseitig µ > µ 0 H 0?? c) µ < µ 0 III. 20

21 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XV) 2. α z 1-α/2 bzw. z 1- α x 3. Stichprobe Testvariablenwert z 4. Ablehnung von H 0, wenn a) z > z 1-α /2 b) z > z 1-α c) z < -z 1-α III. 21

22 Analyse der Nichtablehnung Beispiel a) Mögliche Ursachen?? 1. Nullhypothese stimmt 2. Nullhypothese stimmt nicht, aber?? 3. (Achtung: Wenn α = 0,05 z 1-α /2 = 1,96 z > 1,96 Ablehnung) Beispiel b) Nichtablehnung trivial Lösung ohne Tafelwert möglich III. 22

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