Kapitel 5: Schließende Statistik

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1 Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische Mittelwert =,45 N ud die emp. Std.abweichug s =,47 N. Jede adere Stichprobe vom gleiche Umfag würde sicher etwas adere Werte liefer. ud s sid also ur Näheruge für Erwartugswert µ ud Stadardabweichug σ der etsprechede Grudgesamtheit. Wie gut sid diese Näheruge? Bzw. wie erhält ma Aussage über die Güte dieser Näheruge? Beispiel führt auf das Problem der Parameterschätzug (Puktschätzug) ud der Kofidezitervalle (Vertrauesitervalle) Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer

2 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Zur Überprüfug der Symmetrie eies Würfels wird der Würfel 6. mal geworfe. Das Ergebis dieser Würfeltests wird i eier Häufigkeitstabelle zusammegefasst: i ( i ) Ma sieht: hohe Augezahle 5 ud 6 trete selteer auf als iedrige Augezahle ud. Mittelwert: = 3,485. Wie ist diese Asymmetrie ud die Abweichug des Mittelwerts vom Erwartugswert µ = 3,5 zu erkläre? Hadelt es sich um eie zufällige Abweichug bei eiem ideale Würfel oder besteht auf Grud der beobachtete Häufigkeite Alass zu eiem Zweifel a der Symmetrie des Würfels? Beispiel ist typisch für das Teste vo Hypothese Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 3 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug Diese beide Beispiele verdeutliche das Grudproblem der beurteilede Statistik: Welche Schlüsse ka ma vo eier Stichprobe auf die zugehörige Grudgesamtheit ziehe, ud wie zuverlässig sid derartige Schlüsse? Statistische Schätzverfahre: Die Aufgabestellug vo Schätzverfahre ist die Schätzug ubekater Parameter oder der ubekate Verteilug eier Grudgesamtheit aus de Werte eier Stichprobe. Im Folgede wird ur auf die Parameterschätzug eigegage. Ma uterscheidet zwische Puktschätzuge: Hierbei wird für de zu schätzede Parameter ei eizeler Wert bestimmt ud Itervallschätzuge: Dabei wird ei Itervall bestimmt, das de wahre, ubekate Wert des Parameters mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit überdeckt (Kofidezitervall/Vertrauesbereich) Hypothesetests: Ma stellt eie Vermutug (Hypothese) über gewisse Größe der Grudgesamtheit auf. Diese Hypothese wird ahad der Ergebisse aus eier Stichprobe überprüft. Dabei wird die Hypothese verworfe oder abgeleht, we das Stichprobeergebis i sigifikatem Gegesatz zu ihr steht (sich icht mit der Hypothese verträgt). Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 4

3 5. Schließede Statistik I der schließede oder beurteilede Statistik wird aus eier edliche oder uedliche Grudgesamtheit eie Stichprobe vom Umfag etomme. A dieser Stichprobe werde bestimmte Merkmale beobachtet. Die Iformatioe, die ma über die Merkmale i der Grudgesamtheit habe möchte, werde über die Auspräguge i der Stichprobe geschätzt. Grudgesamtheit (z.b. Gesamtbevölkerug Deutschlads) Ziehe eier Stichprobe Rückschluss auf Grudgesamtheit Stichprobe (z.b. zufällig ausgewählte Persoe) Dabei gibt es verschiedee Vorgehesweise: Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5 5. Puktschätzuge Berechug eies Zahlewertes aus der Stichprobe zur Schätzug des Erwartugswertes µ, der Stadardabweichug σ oder eier Wahrscheilichkeit p. Ubekater Parameter Wahrscheilichkeit p Erwartugswert µ Stadardabweichug σ Variaz σ Beutzter Puktschätzer bei eier Stichprobe vom Umfag k p ˆ = (relative Häufigkeit, d.h. bei eier Stichprobe vom Umfag trat das gesuchte Ereigis k -mal auf) µˆ = (arithmetische Mittel der Stichprobe) σˆ = s (empirische Stadardabweichug der Stichprobe) ˆ σ = s (empirische Variaz der Stichprobe) Nach dem Gesetz der große Zahle liegt bei eiem große Stichprobeumfag der aus der Stichprobe geschätzte Wert i der Nähe des echte (ubekate) Parameters der Grudgesamtheit. Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 6

4 5. Puktschätzuge Für die Überprüfug der Abweichug zwische geschätztem Wert ud tatsächlichem Wert der Grudgesamtheit gibt es zwei Möglichkeite. Typische Frage sid: ) Ka ma bestimmte Werte vo µ, σ oder p ausschließe? Z. B. ka ma ausschließe, dass p,5 gilt? ) Ka ma eie Bereich agebe, i dem µ, σ oder p liege köe, etwa i der Form p liegt im Itervall [,63 ;,67]? Es gibt keie Atworte, die mit %-iger Sicherheit richtig sid. Aber die Statistik gibt us Verfahre, die mit großer Wkt. richtige Atworte liefer: ) Die Durchführug eies Hypothesetests, um bestimmte Werte für µ, σ oder p mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit (z. B. 95 %) auszuschließe. ) Die Bildug vo Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle d.h. ei Itervall, idem µ, σ oder p mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit z. B. 95 % liegt. Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 7 5. Hypothesetests Verfahre zur Gewiug vo Iformatio über eie Grudgesamtheit aus eier Stichprobe. Dazu müsse folgede Schritte durchgeführt werde. a) Formulierug der Nullhypothese H ud Alterativhypothese H H beihaltet de zu widerlegede Wert (bzw. die zu widerlegede Werte) H beihaltet de zu bestätigede Wert (bzw. die zu bestätigede Werte) b) Wahl des Sigifikaziveaus z.b. = 5%, = %, =,%: ist eie kleie Irrtumswahrscheilichkeit dafür, dass die Nullhypothese icht zutrifft ud trotzdem ageomme wird. c) Berechug des Zufallsstreubereiches: We H zutrifft, da liegt der zu testede Wert mit großer Wahrscheilichkeit (also mit Wahrscheilichkeit -) im etsprechede Zufallsstreubereich. d) Testetscheidug: We der aus der Stichprobe berechete Wert im Zufallsstreubereich liegt, da wird H beibehalte, We der aus der Stichprobe berechete Wert icht im Zufallsstreubereich liegt, da wird H zuguste vo H abgeleht. Ma sagt auch: H ist sigifikat (bei Sigifikaziveau ). e) Atwortsatz bzw. Formulierug der Testetscheidug: Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 8

5 5. Hypothesetests Fehlerarte: Bei eiem Hypothesetest spricht ma vo eiem Fehler. Art (oder -Fehler), we H irrtümlich abgeleht wird, obwohl H wahr ist. Fehler. Art (oder β -Fehler), we H irrtümlich beibehalte wird, obwohl H falsch ist. Die Wahrscheilichkeit für eie Fehler. Art wird zu Begi des Hypothesetests durch Vorgabe vo ach obe beschräkt. Dieser Fehler ist also uter Kotrolle. Die Wahrscheilichkeit β für eie Fehler. Art ist i der Regel icht vorgegebe. Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 9 5. Hypothesetests Fehlerarte: Übersicht H wird verworfe H wird icht verworfe H trifft zu Richtige Etscheidug Fehler. Art (β -Fehler) Wahrscheilichkeit: β oder -β (je ach Bez.) H trifft zu Fehler. Art (-Fehler) Wahrscheilichkeit: höchstes (klei) Richtige Etscheidug Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer

6 5.. Gauß-Test Test zum Sigifikaziveau für de ubekate Erwartugswert µ bei bekater Stadardabweichug σ ud eier Stichprobe vom Umfag H H Zufallsstreubereich, falls H zutrifft H verwerfe falls µ = µ µ µ σ µ z µ + z ; σ µ µ µ < µ µ z σ ; µ µ µ > µ ; µ + z σ Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5.. t-test Test zum Sigifikaziveau für de ubekate Erwartugswert µ bei ubekater Stadardabweichug σ ud eier Stichprobe vom Umfag H H Zufallsstreubereich, falls H zutrifft H verwerfe falls µ = µ µ µ µ t s ; µ + t ; ; s µ µ µ < µ µ t ; s ; µ µ µ > µ ; + µ t ; s Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer

7 5.. t-test: die t-verteilug t-verteilug (auch: Studet-t-Verteilug) mit Freiheitsgrade Stichprobe vom Umfag X µ T = hat eie t-verteilug mit - Freiheitsgrade s Dichtefuktio der t-verteilug: symmetrische Glockekurve zum Erwartugswert (wie Stadardormalverteilug) aber: Dichte der t-verteilug ist flacher als Dichte der Std.ormalvert. (d. h. gerigere Höhe ud größere Streuug) für kovergiert die Dichte der t-verteilug gege die Dichte der Std.ormalvert. Ab 3 ka die t-verteilug i guter Näherug durch die Std.orm.vert. approimiert werde. Quatile der t-verteilug Tabelle Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer Zweistichprobe t-test Test zum Sigifikaziveau über die Differez zweier Erwartugswerte µ - µ zweier Grudgesamtheite bei ubekater aber gleicher Stadardabweichug σ. Zum Test werde zwei Stichprobe vom Umfag ud m mit de arithmetische Mittel ud ud mit de empirische Stadardabweichuge s ud s gezoge H H Zufallsstreubereich, falls H zutrifft H verwerfe falls µ -µ = µ -µ [ t sd t sd ] ; m+ ; m+ ; ZSB µ -µ µ -µ < [ t s ; ) m+ ; d ZSB µ -µ µ -µ > ( ; t s ] m+ ; d ZSB wobei s d = ( ) s + ( m ) s + m m ( + m ) Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 4

8 5..4 Test über eie ubekate Wahrscheilichkeit p Test zum Sigifikaziveau über der ubekate Wahrscheilichkeit p bei eier Stichprobe vom Umfag H H Zufallsstreubereich, falls H zutrifft H verwerfe falls p = p p p p z p p) ; p p ( p o ( o ) + z k ZSB p p p < p p p ( p) z ; k ZSB p p p > p ; p p p + z ( o ) k ZSB Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle Uter eiem Vertrauesbereich oder eiem Kofidezitervall versteht ma ei Itervall, das mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit (z.b. 9 %, 95 %, 99 %) de wahre Wert für µ, σ oder p überdeckt Vertrauesbereich für de Erwartugswert µ eier Normalverteilug bei bekater Variaz σ zum Kofideziveau - Art des Vertrauesbereichs Berechug des Vertrauesbereichs zweiseitig z σ ; + z σ eiseitig ach ute begrezt z σ ; eiseitig ach obe begrezt ; + z σ Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 6

9 5.3 Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle 5.3. Vertrauesbereich für de Erwartugswert µ eier Normalverteilug bei ubekater Variaz zum Kofideziveau Art des Vertrauesbereichs Berechug des Vertrauesbereichs zweiseitig t s + t ; ; ; s eiseitig ach ute begrezt t ; s ; eiseitig ach obe begrezt ; + t ; s Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle Vertrauesbereich für die Differez µ - µ der Erwartugswerte zweier Normalverteiluge bei gleicher aber ubekater Variaz σ zum Kofideziveau Zum Test werde zwei Stichprobe vom Umfag ud m mit de arithmetische Mittel, ud mit de empirische Stadardabweichuge s ud s gezoge Art des Vertrauesbereichs zweiseitig eiseitig ach ute begrezt eiseitig ach obe begrezt Berechug des Vertrauesbereichs [ y t sd ; y + t sd ] m+ ; m+ ; [ y t s ; ) + m ; d ( ; y + t s ] + m ; d wobei s d = ( ) s + ( m ) s + m m ( + m ) Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 8

10 5.3 Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle Vertrauesbereich für eie Wahrscheilichkeit p zum Kofideziveau We bei eier Stichprobe vom Umfag, das gesuchte Ereigis k-mal aufgetrete ist, wird als Puktschätzer der Wert k p ˆ = verwedet. Der Vertrauesbereich zum Kofideziveau - berechet sich da als Art des Vertrauesbereichs zweiseitig eiseitig ach ute begrezt eiseitig ach obe begrezt Berechug des Vertrauesbereichs ( ) ( ) z ; + z ( ) z ; ( ) ; + z Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 9