Schließende Statistik

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1 Schließende Statistik Die schließende Statistik befasst sich mit dem Rückschluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population). Die Stichprobe muss repräsentativ für die Grundgesamtheit sein. Grundlage der schließenden Statistik ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Typische Fragestellungen sind: Welche Zahnpasta ist für die Kariesprophylaxe zu empfehlen? Kann Mukoviszidose mit einem Schnelltest frühzeitig diagnostiziert werden? Welche Therapie wirkt bei Kindern mit Asthma am besten? Welche Faktoren beeinflussen die Heilungschancen von Karzinompatienten? Treten Mißbildungen bei Neugeborenen nach Tschernobyl häufiger auf? Die neue Therapie wirkt bei 85% aller Patienten.

2 Schließende Statistik Typische Aufgabenstellungen sind: das Schätzen von Parametern, Angabe von Konfidenzintervallen das Testen von Hypothesen Konfidenzintervalle dienen dem Zweck, die Genauigkeit von Zählungen und Messungen zu bestimmen. Testverfahren werden angewandt, um vermutete Sachverhalte (Hypothesen) anhand von Versuchen gegenüber täuschenden Zufallseffekten abzusichern.

3 Wahrscheinlichkeit Das Bestimmen der Auftrittswahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses: theoretische Überlegungen: alle Elementarereignisse (nicht weiter aufteilbare Ereignisse: z.b. Würfeln einer 1) sind gleichwahrscheinlich Würfel, Kartenspiel P = (Anzahl der günstigen Fälle) / (Anzahl der möglichen Fälle) Empirie relative Häufigkeiten: mit wachsender Anzahl von Versuchen d.h. einer langen Folge von unabhängigen Durchführungen des zugrundeliegenden Experiments nähert sich die relative Häufigkeit einem bestimmten Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit. Statistiker Münzwürfe (n) Wappen (k) k/n Buffon ,5080 Pearson ,5016 Pearson ,5005

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die verschiedenen Merkmalsausprägungen heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, kurz Verteilung Beispiel: Würfel Merkmalsausprägungen: x i = i; i = 1,2,...,6 Wahrscheinlichkeiten p i = 1/6 diskrete Gleichverteilung Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist das theoretische Gegenstück zur empirischen Häufigkeitsverteilung.

5 Wahrscheinlichkeitsverteilung Wie bei Häufigkeitsverteilungen kann die in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung enthaltene Information durch Kenngrößen (Parameter) beschrieben werden. Die Parameter der Grundgesamtheit werden meist mit griechischen Buchstaben bezeichnet: z.b. Populationsmittelwert (Erwartungswert) μ und Varianz σ 2. Die wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter den diskreten sind die Binomialverteilung und die Poissonverteilung, unter den stetigen Verteilungen ist es die Normalverteilung.

6 Normalverteilung Diese Verteilung hat in der Statistik eine zentrale Bedeutung: Eine Summe von vielen unabhängigen, beliebigen Zufallsvariablen ist angenähert normalverteilt; das bedeutet in der Praxis, dass viele Probleme unter Verwendung der Normalverteilungsannahme gelöst werden können - vorausgesetzt, die Stichprobe ist groß genug. Sie wird häufig verwendet um die Lage und Streuung von Meßwerten zu beschreiben. Die Standardnormalverteilung hat einen Mittelwert von μ=0 und eine Standardabweichung von σ=1.

7 Normalverteilung 0,5 0,4 Standardnormalverteilung y=f(x) 0,3 0,2 σ 0, μ 3σ μ 2σ μ σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ 68,2% aller Werte liegen zwischen μ ±σ 95,4% aller Werte liegen zwischen μ ±2σ 99,7% aller Werte liegen zwischen μ ±3σ 95% aller Werte liegen zwischen μ ±1,96σ 99% aller Werte liegen zwischen μ ±2,58σ

8 Schätzen von Parametern Da man nicht die gesamte Population erfasst, sondern so gut wie immer auf Stichproben von begrenzten Umfang angewiesen ist, muß man sogenannte Schätzungen für die Populationsparameter angeben. Die empirische Häufigkeitsverteilung ist eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Kennzahlen, die wir in der deskriptiven Statistik kennengelernt haben, stellen Schätzungen für die Populationsparameter dar. Im Falle der Normalverteilung (oder zumindest eingipfligen, symmetrischen Verteilung) sind das arithmetische Mittel und die Stichprobenvarianz s 2 gute Schätzer für Erwartungswert μ und Varianz σ 2 der Population.

9 Konfidenzintervall Die Punktschätzung liefert einen einzelnen Wert für den unbekannten Parameter. Mehr Information bietet ein Schätzintervall (Konfidenzintervall), in dem der unbekannte (wahre) Parameter mit entsprechend hoher Wahrscheinlichkeit (z.b. 95%) enthalten ist. Ein solches Schätzintervall ist deshalb von besonderer Bedeutung, weil seine Breite die Genauigkeit oder Ungenauigkeit der Schätzung repräsentiert. Die Grenzen werden aus der Stichprobe bestimmt.

10 Testverfahren Mit statistischen Testverfahren kann man prüfen, ob die erhobenen Daten für eine Hypothese sprechen oder ob sich die Daten auch durch zufallsbedingte Abweichungen erklären lassen Der Hypothesentest ermittelt die Wahrscheinlichkeit, mit der das Untersuchungsergebnis ein reines Zufallsergebnis ist. Wenn diese Wahrscheinlickeit genügend klein ist (α=0.05), zeigt uns das an, dass das Untersuchungsergebnis nicht zufallsbedingt ist, sondern ein systematischer Effekt vorliegt. In diesem Fall spricht man von einem statistisch signifikanten Ergebnis.

11 Statistischer Test Mit statistischen Testverfahren kann man überprüfen, ob sich die beobachteten Daten durch zufallsbedingte Abweichungen erklären lassen - weichen nur zufällig von Null ab - Nullhypothese (H 0 ) oder ob die erhobenen Daten für die Vermutung, dass es einen wahren Effekt gibt, sprechen - Alternativhypothese (H 1 ) objektive und nachvollziehbare Entscheidung

12 Einführungsbeispiel Ein Spieler hat den Verdacht, dass ein Würfel nicht in Ordnung ist. Er würfelt 12mal und zählt die Anzahl der 6er. Nullhypothese (Würfel ist ideal) H 0 : p = 1/6 Alternativhypothese (Würfel ist nicht ideal) H 1 : p 1/6 Unter der Nullhypothese Annahme der Würfel ist ideal Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl 6 bei 12 Würfen (Binomialverteilung)

13 Einführungsbeispiel k P (X = k) P (X k) ,11 0,27 0,30 0,20 0,09 0,11 0,38 0,68 0,87 0,96 Annahmebereich Entscheidung für die Nullhypothese 5 >5 0,03 <0,01 0,99 kritischer Bereich Entscheidung für die Alternativhypothese k: Anzahl gewürfelter 6er P(X = k): Wahrscheinlichkeit für k gewürfelte 6er

14 Einführungsbeispiel Entscheidungsregel: Falls 0 k 4, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt Falls k>4, entscheidet man sich für die Alternativhypothese Es wird angenommen, dass das Ergebnis nicht allein auf zufällige Abweichungen zurückgeführt werden kann Anmerkung: Falls die Nullhypothese richtig ist, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 96% eine richtige Entscheidung getroffen. Das Risiko einer Fehlentscheidung beträgt 4%.

15 Fehlentscheidungen beim Testen Fehler 1. Art (Signifikanzniveau): das unberechtigte Ablehnen der Nullhypothese P (Fehler 1. Art) = α Fehler 2. Art: das unberechtigte Beibehalten der Nullhypothese P (Fehler 2. Art) = β

16 Fehlentscheidungen beim Testen Fehler 1. Art (Produzentenrisiko): das unberechtigte Ablehnen der Nullhypothese P (Fehler 1. Art) = α Fehler 2. Art (Konsumentenrisiko): das unberechtigte Beibehalten der Nullhypothese P (Fehler 2. Art) = β Entscheidung des Tests H0 abgelehnt (HA angenommen) H0 wahr (HA falsch) Fehler 1. Art (α) Wirklichkeit H0 falsch (HA wahr) Richtige Entscheidung (Power) (1 - β) H0 beibehalten (HA abgelehnt) Richtige Entscheidung (1 - α) Fehler 2. Art (β)

17 p - Wert, signifikantes Ergebnis Der p-wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, die vorliegenden oder extremere Studienergebnisse zu beobachten, wenn die Nullhypothese zutrifft. Ein Testergebnis heißt statistisch signifikant, wenn der p-wert unterhalb des vorgegebenen Fehlers 1. Art α (meist 0,05) liegt (p α). Signifikant bedeutet also im statistischen Sinne, dass das betreffende Ergebnis nicht durch den Zufall allein erklärbar ist, allerdings unter dem Vorbehalt des Fehlers 1. Art.

18 Power der Studie Erkennen eines bedeutsamen Effektes d.h. Wahrscheinlichkeit für korrektes Verwerfen der Nullhypothese Geplante Studie: Fallzahlberechnung Ein Effekt vorgegebener Größe soll, wenn er vorhanden ist z.b. mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% als signifikant durch den Test beurteilt werden

19 Signifikanz Merke: Vorliegende Signifikanz heißt nicht klinische Relevanz: bei großen Stichprobenumfängen wird auch jeder irrelevante Effekt signifikant. Fehlende Signifikanz heißt nicht: kein Effekt. Bei kleinen Stichprobenumfängen kann auch der Nachweis eines tatsächlich vorhandenen relevanten Effektes misslingen. Die Signifikanz drückt lediglich das Vertrauen aus, dass man darin haben kann, dass ein Effekt nicht vom Zufall vorgegaukelt wird.

20 Testen von Hypothesen - statistische Signifikanztests Testablauf: Formulierung der Hypothesen Nullhypothese - Alternativhypothese Wahl des Signifikanzniveaus (Irrtumswahrscheinlichkeit) Wahl des Testverfahrens Anzahl der Stichproben, abhängige oder unabhängige Stichproben, parametrische oder nicht-parametrische Testverfahren Ausführung des Tests und Entscheidung

21 Auswahl der Testverfahren Merkmalsart: quantitativ / qualitativ Verteilungstyp: parametrisch (Normalverteilung) nicht-parametrisch Anzahl der Stichproben: eine, zwei, mehrere unabhängige oder abhängige (verbundene) Stichproben!!! Testverfahren haben Voraussetzungen!!!

22 Tests auf Lageunteschiede Anzahl und Art der Stichproben parametrische Testverfahren (Normalverteilung) quantitative Zielgröße nichtparametrische Testverfahren qualitative Zielgröße eine Stichprobe Einstichproben t-test Wilcoxon-Vorzeichen Rangsummentest 2 verbundene t-test für verbundene Wilcoxon-Vorzeichen- Stichproben Stichproben Rangsummentest Binomialtest Mc Nemar Test 2 unabhängige Stichproben > 2 verbundene Stichproben t-test für unabhängige Stichproben (Gleichheit der Varianzen), Welch-Test Varianzanalyse (randomisierte Blockanlage) Wilcoxon Rangsummentest (U-Test von Mann und Whitney) Friedman Test Chi-Quadrat Test Fishers Exakter Test für 2x2 Tafel >2 unabhängige Stichproben Varianzanalyse Kruskal-Wallis Test

23 Tests auf Lageunteschiede t-test für 2 unabhängige Stichproben: Hypothesen: H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 μ 2 Voraussetzungen: Die Beobachtungen der beiden Gruppen stammen aus unabhängigen normalverteilten Beobachtungen mit Mittelwerten µ 1 und µ 2 und die Standardabweichungen sind gleich σ 1 = σ 2, aber unbekannt. SPSS Ausgabe (Menü Statistik, Mittelwerte vergleichen, Unabhängige-Stichproben T-Test) Beschreibende Statistik der beiden Gruppen durch Anzahl, Mittelwert, Standardabweichung, Standardfehler und Differenz der Mittelwerte Test auf Gleichheit der Varianzen nach Levene H 0 : s 1 = s 2 Ergebnis des t-tests: Teststatistik, Freiheitsgrade, p-wert, Konfidenzintervall

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