10 Der statistische Test

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1 10 Der statistische Test 10.1 Was soll ein statistischer Test? 10.2 Nullhypothese und Alternativen 10.3 Fehler 1. und 2. Art 10.4 Parametrische und nichtparametrische Tests 10.1 Was soll ein statistischer Test? Das Ziel statistischer Tests ist das Prüfen von statistischen Hypothesen. Darunter versteht man Aussagen über die Verteilung einer Grundgesamtheit (eines Merkmals), etwa eine Aussage über einen Parameter einer Grundgesamtheit. StatBio 280

2 Beispiel einer Hypothese: Für zwei (verschiedene) Populationen gilt µ 1 = µ 2 (Gleichheit der Mittelwerte). Aufgrund einer Stichprobe soll entschieden werden, ob man an einer Hypothese festhält oder ob man sie verwirft. Die Grundfrage lautet: Sind die Beobachtungen mit einer bestimmten Hypothese, mit einem bestimmten Parameterwert vereinbar? Der Test ist eine Entscheidungsregel, die festlegt, wann diese Frage mit,,ja und wann mit,,nein beantwortet werden soll oder besser: wann mit,,plausibel und wann mit,,unplausibel. StatBio 281

3 Im Allgemeinen kann man nicht logisch beweisen, dass Beobachtungen einer Hypothese widersprechen. Mindestens subjektiv wird man dies aber annehmen, wenn ein Ereignis eingetreten ist, das nur mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit hätte eintreten können, falls die Hypothese wahr sein sollte! Um solche Schlussfolgerungen zu objektivieren bzw. zu legitimieren, hat man die Konvention des statistischen Tests eingeführt. Sie besagt, dass eine Hypothese abgelehnt werden soll, wenn ein bestimmtes Ereignis beobachtet wird, das unter der Gültigkeit(sannahme) der Hypothese nur eine genügend kleine Wahrscheinlichkeit besitzt (man sagt dazu seltenes oder auch extremes Ereignis). Üblicherweise wählt man dazu eine Wahrscheinlichkeit von 0.05 oder StatBio 282

4 10.2 Nullhypothese und Alternativen Die zu prüfende Hypothese wird Nullhypothese genannt. Bezeichnungsweise: H 0. Dies ist jene Hypothese, die (im obigen Sinne) widerlegt werden soll. Häufig behauptet diese Hypothese, dass das Vorliegen eines Effektes oder Unterschiedes, der in den Daten zu beobachten ist, nur auf Zufälligkeiten beruht (daher die Namensgebung Null hypothese). Beispiel: Vorher Nachher Vergleich H 0 : µ d = µ 1 µ 2 = 0 Daneben sollte man eine Vorstellung von anderen plausiblen und interessanten Hypothesen haben, sogenannten Alternativhypothesen, kurz Alternativen. Bezeichnungsweise: H 1. Die Alternativen behaupten das Vorhandensein eines StatBio 283

5 systematischen Effektes bzw. Unterschiedes (und sind häufig die Motivation einer Untersuchung). Beispiel: Vorher Nachher Vergleich H 1 : µ d = µ 1 µ 2 0 (Verschiedenheit der Mittelwerte). Wenn aufgrund eines Tests die Nullhypothese abgelehnt wird, soll die naheliegendste Interpretation sein, dass man sich für die Alternative entscheidet (Bestätigung der Alternative). Die Hypothesen H 0 und H 1 schließen sich gegenseitig aus, sie können nicht beide richtig sein. Die Gültigkeit von H 0 schließt die Gültigkeit von H 1 aus und umgekehrt. Welche Hypothese tatsächlich gilt ist nicht bekannt (sonst könnte man sich das Testen auch sparen). StatBio 284

6 10.3 Fehler 1. und 2. Art Wann immer aufgrund von Daten zwischen zwei Hypothesen entschieden werden soll, sind Fehlentscheidungen möglich. Bei einem Test sind zwei Arten von Fehlentscheidungen möglich: Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist (die Richtigkeit einer Alternative wird nicht erkannt). Wichtig zur Beurteilung der Güte eines Tests sind die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler 1. Art und 2. Art (Fehlerwahrscheinlichkeit 1. und 2. Art). StatBio 285

7 10.4 Parametrische und nichtparametrische Tests Statistische Tests verwenden zur Prüfung einer Hypothese eine Prüfgröße (auch Teststatistik genannt), z. B. bei einem Vorher Nachher Vergleich die studentisierte Mittelwertdifferenz d s d / n Die (Stichproben )Verteilung einer Prüfgröße muss mindestens unter der Nullhypothese bekannt sein, um eine Entscheidung mit einer gewissen Güte zu ermöglichen. Die Verteilung einer Prüfgröße kann nur unter gewissen Annahmen hergeleitet werden. StatBio 286

8 Es wird dabei zwischen zwei große Klassen von Tests unterschieden: die parametrischen Tests, die unter der Normalverteilungsannahme gelten, und die nichtparametrischen Tests, die unter weniger einschränkenden Annahmen gelten. Die wichtigsten nichtparametrischen Tests sind die Rangtests (Kap. 12). Die Teststatistiken beruhen auf den Rängen einer Stichprobe (Kap. 2). StatBio 287