Tragwerksentwurf II. Kursübersicht. 6. Material und Dimensionierung. 2. Gleichgewicht & grafische Statik. 18. Biegung

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2 Tragwerksentwurf I+II 2 Tragwerksentwurf I Tragwerksentwurf II 2. Gleichgewicht & grafische Statik 6. Material und Dimensionierung 18. Biegung 1. Einführung Seile 7. Bögen 10. Bogen-Seil- Tragwerke Fachwerke Balken und Rahmen 19. Stützen 5. Seilnetze und Membrane Gewölbe, Kuppeln, Schalen 11. Räumliche Bogen-Seil-Tragwerke 14. Räumliche Fachwerke 17. Räumliche Balken Kursübersicht

3 Motivation / Einführung 3 Bisher: Wie gross sind die Kräfte? 8.0 m A 4.0 m 4.0 m B B 2 Q tot m 1 A G = 5 k Q tot= 25.0 k + 5 k = 30k 1 =B =25 k =A =25 k 2 Q = 25 k Heute: Wie gross müssen die Seilquerschnitte sein, damit sich das Tragwerk vernünftig verhält und nicht versagt?

4 4 Material und Dimensionierung Innere Kräfte und Verformung im Tragelement Steifigkeit eines Tragelements Innere Kräfte im Material Verformungen und Steifigkeit des Materials Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen Materialverhalten verschiedener Baustoffe Bemessung für Grenzzustände Ermüdung

5 Innere Kräfte und Verformung im Tragelement 5 l [mm] l [mm]

6 Innere Kräfte und Verformung im Tragelement 6 30 [k] 20 l 10 1 S = [k] l [mm] l [mm] = S * l

8 Steifigkeit eines Tragelements 8 30 [k] 20 l 10 1 S = [k] l [mm] l [mm] = S * l

9 Steifigkeit eines Tragelements 9 30 [k] l [mm]

10 Steifigkeit eines Tragelements [k] l [mm]

11 Steifigkeit eines Tragelements 11 S = llll = E A llll

13 Innere Kräfte im Material 13 G A

14 Innere Kräfte im Material 14 σ A σ σ = A

15 Innere Kräfte im Material 15 A A G A G G

16 Innere Kräfte im Material 16 σ σ A σ = A

18 Verformungen und Steifigkeit des Materials 18 Steifigkeit S = llll = E A llll A = E llll llll Spannung σ = A ε = llll llll Dehnung σ = E ε

19 Verformungen und Steifigkeit des Materials 19 Ceiiinosssttuv Ut tensio sic vis

20 Verformungen und Steifigkeit des Materials 20 [k] σ [/mm2] S A E σ 1 σ 1 1 l [mm] ε [-]

22 Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen 22 ε = llll llll = α T T Für Stahl und Beton gilt: α T = [ C -1 ] = [% / C] = 0.01 [ / C]

23 Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen 23

24 Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen 24 Fahrbahnübergang

25 Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen 25 Rudolf Steiner: Goetheanum, Dornach, 1928

26 Durch Temperaturänderungen bedingte Verformungen 26 Dilatationsfuge

28 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 28

29 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 29 f g1,u + = Zugfestigkeit = 40 /mm 2 f g1,u - = Druckfestigkeit = 40 /mm 2 f g1+ σ [/mm2] Bruch Schlagartiger Bruch = Sprödheit E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 1 E σ f g1,u+ ε [-] Bruch σ f g1,u+ Bruch f g1 - Materialverhalten des Glases

30 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 30 σ σ [/mm2] f s1 + 2 E ε [-] σ σ 2 f s1 - σ Materialverhalten des Stahls

31 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 31 1 f s1 + σ [/mm2] 2 E F ε [-] 2 3 f s1 - Materialverhalten des Stahls

32 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 32 σ σ [/mm2] f s E ε [-] σ σ f s1 - σ Materialverhalten des Stahls

33 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 33 1 F 2 2 f s1 + σ [/mm2] F E F 4 = F ε [-] F 5 = F f s1-6 Materialverhalten des Stahls

34 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 34 f s1 + = Fliessgrenze/Fliessspannung = /mm 2 f s1,u = Zugfestigkeit /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient=0.001 %/C 0 f s1 + σ [/mm2] ε [-] f + s1 Materialverhalten des Stahls

35 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 35 Q = 0 A B A A B B G G B G G A P P Fliesskraft Fliesskraft 1 1 w w Materialverhalten des Stahls

36 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 36 Q < P A G B A A G B B Q G B Q G A P G A G A B P Q B Q P Fliesskraft Fliesskraft w w Materialverhalten des Stahls

37 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 37 Q = P A G B A A G B B Q G B Q G A P G Q A B Seil schlaff G Q A B P P = 0 Fliesskraft 3 G A Fliesskraft G A 2 Q B Q B P = 0 1 w gleiche Traglast w w (ohne) aber unterschiedliches Verformungsverhalten w (ohne Vorspannung) >> w (mit Vorspannung) w (mit) Materialverhalten des Stahls

38 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 38 f + s1 = σ [/mm2] Stahl für Drähte, Litzen und Seile f s1+ = Fliessgrenze/Fliessspannung = 235 /mm 2 f s1,u = Zugfestigkeit = 360 /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 ε s1,u = Bruchdehnung = [-] f s1 + f s1 + f + s1 = 500 = 335 = 235 S 500 S 335 S 235 ε [-] Materialverhalten des S235

39 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 39 f s1 + = σ [/mm2] Stahl für Drähte, Litzen und Seile f s1 + = Fliessgrenze/Fliessspannung = 355 /mm 2 f s1,u = Zugfestigkeit = 510 /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T =Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 ε s1,u = Bruchdehnung = 0.17 [-] f s1 + f s1 + s1 + f = 500 = 335 = 235 S 500 S 335 S 235 ε [-] Materialverhalten des S355

40 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 40 σ [/mm2] f s1 + = Stahl für Drähte, Litzen und Seile f s1 + = Fliessgrenze/Fliessspannung = 500 /mm 2 f s1,u = Zugfestigkeit = 580 /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 ε s1,u = Bruchdehnung = 0.14 [-] S 500 S 335 S 235 f s1 + f s1 + f s1 + = 500 = 335 = 235 ε [-] Materialverhalten des Bewehrungs-Stahls S500

41 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 41 σ [/mm2] f s1 + = Stahl für Drähte, Litzen und Seile f s1+ = Fliessgrenze/Fliessspannung= /mm 2 f s1,u = Zugfestigkeit = /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 ε s1,u = Bruchdehnung = 0.05 [-] S 500 S 335 S 235 f + s1 f s1 + f s1 + = 500 = 335 = 235 ε [-] Materialverhalten von Spannstahl und Seilen

42 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 42 f a1 + = Fliessgrenze/Fliessspannung = /mm 2 f a1,u = Zugfestigkeit /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient = %/C 0 f a1 + σ [/mm2] Druck Zug ε [-] f a1 - Materialverhalten des Aluminiums

43 Materialverhalten verschiedener Baustoffe σ [/mm2] 43 f + c1 Druck C12/15 f + f c1 c1 + Zug ε [-] f c1 - C35/45 zum Bsp. Beton C35/45: f c1+ = Zugfestigkeit = /mm 2 f c1 - = Druckfestigkeit = 35 /mm 2 E = Elastizitätsmodul= /mm 2 α T = Temp. -Ausdehnungskoeffizient=0.001 %/C 0 C55/65 f c1 - f c1 - Materialverhalten des Betons

44 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 44 Materialverhalten des Betons

45 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 45 Stahl S500 Beton C20/25 Verhältnis Stahl / Beton Elastizitätsmodul /mm 2 ~ /mm 2 ~6:1 Zugfestigkeit 580 /mm 2 ~2.2 /mm 2 ~300:1 Bruchdehnung 140mm/m 0.06mm/m ~2 000:1 Rohdichte kg/m kg/m 3 ~3:1 Stahl und Beton im Vergleich

46 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 46 zum Bsp. Buche: f tii + = Zugfestigkeit, parallel zur Faser = 17 /mm 2 f tii - = Druckfestigkeit, parallel zur Faser = 22 /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T =Temp. -Ausdehnungskoeffizient= %/C 0 f t ll + σ [/mm2] E 1 Druck Zug ε [-] f t ll - Materialverhalten des Holzes

47 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 47 Materialverhalten des Holzes

50 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 50 zum Beispiel Granit: f mx + = Zugfestigkeit, senkrecht zur Fuge = 2-15 /mm 2 f mx - = Druckfestigkeit, senkrecht zur Fuge = /mm 2 E = Elastizitätsmodul = /mm 2 α T =Temp. -Ausdehnungskoeffizient=0.003 %/C 0 Druck f f r1+ r1 + σ [/mm2] Zug ε [-] Kalkstein f r1 - Granit spröder Bruch f r1 - Materialverhalten des Steins

51 Materialverhalten verschiedener Baustoffe 51

53 Bemessung für Grenzzustände 53 Das Bemessungskonzept, Beanspruchung S d < Widerstand R d,... gilt sowohl für den Grenzzustand der Tragfähigkeit, um ein Versagen des Tragwerks zu verhindern, als auch... für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, um die Funktionstauglichkeit des Tragwerks sicher zu stellen.

54 Bemessung für Grenzzustände 54

55 Bemessung für Grenzzustände 55

56 Bemessung für Grenzzustände Beanspruchung S d < Widerstand R d, S d = S k * γ s < R d = R k / γ R 56 Sicherheitsbeiwerte für den Grenzzustand der Tragfähigkeit: ständige Einwirkungen Stahl Beton γ G = 1.35 γ m,stahl = γ m,beton = 1.5 veränderliche Einwirkungen Holz Betonstahl γ Q = 1.5 γ m,holz = 1.3 γ m,betonstahl = 1.15 Mauerwerk γ m,mauerwerk = 2.0 Sicherheitsbeiwerte für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit: sämtliche Einwirkungen sämtliche Materialien γ = 1.0 γ = 1.0

57 Bemessung für Grenzzustände 57 σ [/mm2] S235 f s1 + f s1,d + ε [-] f s1 + A = 1 A d= 1.05

58 Bemessung für Grenzzustände 58 σ [/mm2] f c1 + ε [-] f c1,d - A = 1 A = 1.5 d C35/45 f c1 -

59 Bemessung für Grenzzustände 59 σ [/mm2] f t ll + f t ll,d+ ε [-] A = 1 A = 1.3 d f t ll,d - f t ll -

60 Bemessung für Grenzzustände 60 Stahl (Zug) Beton (Druck) Holz (Zug) A = 1 A = 1.05 A = 1 A d= 1.5 A = 1 d A = 1.3 d

61 w= 5.5 mm Bemessung bzw. achweis für Grenzzustände: Gebrauchstauglichkeit m A 4.0 m 4.0 m B B 2 Q k m A 1 G = 5 k Q = 25 k F 2 k = 1.0* G +1.0* Q Q k = 1.0* 25.0 k + 1.0* 5 k = 30k 1 =B =25 k =A =25 k F k = 1.0* 25 k +1.0* 5 k = 30 k 1 = A = 25 k (aus Cremonaplan) 2 = B = 25 k (aus Cremonaplan) 1 2 l = l = 1 2 * l i A * E i i = * 5000 mm mm * /mm = 3.3 mm 2 l = 3.3 mm l = 3.3 mm 1 l i = i * l i A i * E *5000 mm l 1 = l 2 = = 3.36 mm 177 mm 2 * /mm 2

62 Bemessung bzw. achweis für Grenzzustände: Tragsicherheit m A 4.0 m 4.0 m B B m Q d A 1 G = 6.7 k d Q = 37.5 k d F d = 1.35* G +1.5* Q Q d = 1.35* 25.0 k + 1.5* 5 k = 44.2 k 1,d =B =36.9 k 2,d=A =36.9 k F d = 1.35* 25 k +1.5* 5 k = 44.2 k 1 = A = 36.9 k (aus Cremonaplan) A erf d = /mm / = B = 36.9 k (aus Cremonaplan) + f s1,d = 165 mm 2 d A erf = = = 165 mm 2 + f s1,d 235 /mm 2 /1.05

64 Ermüdung 64 Rheinbrücke Eglisau, 1897