Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche

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1 Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche Tone Arnold Universität des Saarlandes 11. Dezember 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

2 Kostenminimierung Man kann das Gewinnmaximierungsproblem in zwei Schritte zerlegen: 1 Für jedes Outputniveau ȳ werden diejenigen Faktormengen ermittelt, bei denen die Kosten der Produktion von ȳ minimiert werden. 2 Dann wird dasjenige Outputniveau bestimmt, bei dem die Differenz zwischen Erlös und minimalen Kosten am grössten ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

3 Kostenminimierung Das Problem der Kostenminimierung der Firma ist analog zu dem der Ausgabenminimierung des Konsumenten. Ein vorgegebenes Outputniveau ȳ soll mit den geringstmöglichen Kosten hergestellt werden. Formal: Vorgegeben ist die Isoquante zum Outputniveau ȳ. Gesucht ist die niedrigste Isokostengerade, mit der dieses Outputniveau erreicht werden kann. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

4 Kostenminimierung Entlang einer Isokostengerade sind die Kosten konstant: w 1 x 1 + w 2 x 2 = k. Auflösen nach x 2 ergibt die Gleichung für eine Isokostengerade: x 2 = k w 2 w 1 w 2 x 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

5 Kostenminimierung x 2 k w 2 x 2 x 1 k w 1 x 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

6 Kostenminimierung Das Kostenminimierungsproblem lautet min x 1,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2 unter der Nebenbedingung ȳ = f(x 1, x 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

7 Kostenminimierung Die Lagrangefunktion lautet L(x 1, x 2, λ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + λ (ȳ f(x 1, x 2 )). Bedingungen 1.Ordnung: L x 1 L x 2 L λ = ȳ f(x 1, x 2 ) = 0 = w 1 λ f x 1 = 0 w 1 = λgp 1 = w 2 λ f x 2 = 0 w 2 = λgp 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

8 Kostenminimierung Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt w 1 w 2 = GP 1 GP 2. Das bedeutet: Im Kostenminimum gilt GRTS = Verhältnis der Faktorpreise, genau wie im Gewinnmaximum! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

9 Bedingte Faktornachfrage Die Lösung des Kostenminimierungsproblems sind diejenigen Mengen x 1 und x 2 der beiden Inputs, die das Unternehmen nachfragen muss, um die Kosten der Produktion des Outputniveaus ȳ zu minimieren. Dies sind die bedingten Faktornachfragefunktionen x 1 (w 1, w 2, y) und x 2 (w 1, w 2, y). Sie sind äquivalent zu den kompensierten Nachfragefunktionen aus der Haushaltstheorie. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

10 Bedingte Faktornachfrage Beispiel: f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2. Die Lagrangefunktion lautet B.1.O. L(x 1, x 2, λ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + λ (ȳ x 1 x 2 ). L x 1 = w 1 λx 2 = 0, L x 2 = w 2 λx 1 = 0, L λ = ȳ x 1x 2 = 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

11 Bedingte Faktornachfrage Aus den ersten beiden Gleichungen folgt w 1 = λx 2 und w 2 = λx 2. Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt w 1 w 2 = x 2 x 1 x 2 = w 1 w 2 x 1. Einsetzen in die NB ergibt w ȳ = x 1 1 x 1 = x 2 w 1 1. w 2 w 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

12 Bedingte Faktornachfrage ȳ = x 2 1 w 1 w 2. Auflösen nach x 1 ergibt die bedingte Faktornachfrage nach Fakktor 1: (ȳw2 ) 0.5 x 1 (w 1, w 2, ȳ) =. Analog: w 1 x 2 (w 1, w 2, ȳ) = (ȳw1 ) 0.5. w 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

13 Bedingte Faktornachfrage Eigenschaften der bedingten Faktornachfragefunktionen Die bedingte Faktornachfragefunktion x i (w 1, w 2, ȳ) ist abnehmend (nichtzunehmend) im Faktorpreis w i : x i (w 1, w 2, y) w i 0, zunehmend (nichtabnehmend) im Outputniveau ȳ: x i (w 1, w 2, y) y 0, homogen vom Grade null (w 1, w 2 ): x(w 1, w 2, y) = x(λw 1, λw 2, y). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

14 Bedingte Faktornachfrage Beispiel: Analog: x 1 (w 1, w 2, ȳ) = x 2 (w 1, w 2, ȳ) = (ȳw2 ) 0.5. w 1 (ȳw1 ) 0.5. w 2 x i nimmt in w i ab (Faktorpreis steht im Nenner). x i nimmt in y zu (steht im Zähler). Null Homogenität in Faktorpreisen: t > 1 (ȳtw2 ) 0.5 x 1 (tw 1, tw 2, ȳ) = = x 1 (w 1, w 2, ȳ). tw 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

15 Kostenfunktion Frage: Wie hoch sind die minimalen Kosten, die für die Produktion des Outputniveaus ȳ aufgewendet werden müssen? Die Antwort gibt die Kostenfunktion des Unternehmens. Wir erhalten sie durch Einsetzen der bedingten Faktornachfragefunktionen in die Zielfunktion w 1 x 1 + w 2 x 2 : C (w 1, w 2, y) = w 1 x 1 (w 1, w 2, y) + w 2 x 2 (w 1, w 2, y). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

16 Kostenfunktion Kostenfunktion Die Kostenfunktion gibt für jedes Outputniveau y die minimalen Kosten an, die aufgewendet werden müssen, um dieses Outputniveau zu produzieren. Da die Kostenfunktion in der Produktionstheorie der Ausgabenfunktion in der Haushaltstheorie entspricht, sind auch die Eigenschaften die gleichen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

17 Kostenfunktion Unser Beispiel: C (w 1, w 2, y) = w 1 ( yw2 w 1 ) w 2 ( yw1 w 2 ) 0.5 = 2 yw 1 w 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

18 Eigenschaften der Kostenfunktion C (w 1, w 2, y) = 2 yw 1 w 2. Eine Kostenfunktion C (w 1, w 2, y) hat folgende Eigenschaften: Zunehmend (nichtabnehmend) in w i : C(w 1, w 2, y) w i 0. Homogen vom Grade 1 in (w 1, w 2 ): C(λw 1, λw 2, y) = λw 1 x 1 (λw 1, λw 2, y) + λw 2 x 2 (λw 1, λw 2, y) = λw 1 x 1 (w 1, w 2, y) + λw 2 x 2 (w 1, w 2, y) (x i null homogen) = λc(w 1, w 2, y). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

19 Eigenschaften der Kostenfunktion Unser Beispiel: C (w 1, w 2, y) = 2 yw 1 w 2 C (λw 1, λw 2, y) = 2 yλw 1 λw 2 = 2λ yw 1 w 2 = λc (w 1, w 2, y). Die Funktion ist linear homogen in den Faktorpreisen. Das bedeutet: Werden die Faktorpreise beispielsweise verdoppelt, dann verdoppeln sich auch die minimalen Kosten der Produktion einer bestimmten Menge. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

20 Shephard s Lemma Shephard s Lemma C(w 1, w 2, y) w i = x i (w 1, w 2, y). Die partielle Ableitung der Kostenfunktion nach dem Faktorpreis w i ergibt die bedingte Faktornachfrage nach Faktor i. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

21 Shephard s Lemma Unser Besipiel: C (w 1, w 2, y) = 2 yw 1 w 2. Ableiten nach w 1 ergibt C = 2 yw2 w 1 2 = w 1 ( ) 0.5 yw2. w 1 Dies ist die bedingte Faktornachfrage nach Inputfaktor 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

22 Fixe und variable Kosten Fixe Kosten sind von der Produktionsmenge unabhängig. Die Unterscheidung von fixen und variablen Kosten hängt vom betrachteten Zeitraum ab, z.b. Miete für ein Gebäude, Gehälter der Angestellten etc. Kurzfristig sid manche Kosten fix, aber langfristig können alle Faktoren variiert werden. Beispiel: C(y) = 3y 2 + F mit dem Fixkostenterm F > 0. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

23 Grenzkosten Frage: Um wieviel steigen die minimalen Kosten, wenn der Output marginal erhöht wird? Die Antwort ist gegeben durch die Grenzkosten. Grenzkosten (Marginal Cost), MC sind gegeben durch die Ableitung der Kostenfunktion nach dem Output y: MC(y) = C(y) y. Die Grenkostenfunktion ist durch die Steigung des Grafen der Kostenfunktion bestimmt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

24 Zusammenhang zwischen Kosten und Grenzkosten C C (y) MC y MC(y) = C (y) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84 y

25 Durchschnittskosten Frage: Wie hoch sind die minimalen Stückkosten? Die Durchschnittskosten (Average Cost) AC sind die Kosten pro Stück, i.e. AC(y) = C(y) y. Die Durchschnittskostenfunktion ist durch die Steigung des Fahrstrahls (einer Geraden aus dem Ursprung) an den Grafen der Kostenfunktion bestimmt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

26 Durchschnittskosten C C (y) AC y AC(y) = C(y) y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84 y

27 Zusammenhang zwischen Grenz und Durchschnittskosten Die Durchschnittskosten sind AC(y) = C(y) y. Die Ableitung der AC ergibt dac dy = C (y)y C(y) y 2 = 1 y [ C (y) C(y) ] y = 1 y [MC(y) AC(y)]. Der Ausdruck in eckigen Klammern stellt die Differenz zwischen Grenz und Durchschnittskosten dar. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

28 Zusammenhang zwischen Grenz und Durchschnittskosten dac dy = 1 [MC(y) AC(y)]. y Wenn die Grenzkosten kleiner sind als die Durchschnittskosten, dann ist MC(y) AC(y) negativ. D.h. die AC nehmen ab. Wenn die Grenzkosten grösser sind als die Durchschnittskosten, dann ist MC(y) AC(y) positiv. D.h. die AC nehmen zu. Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann ist MC(y) AC(y) gleich null. D.h. die AC sind konstant. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

29 Zusammenhang zwischen Grenz und Durchschnittskosten Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann ist die Änderung der AC ist gleich null. Bezeichne diesen Punkt mit ŷ. D.h. es gilt AC(ŷ) = MC(ŷ). Das bedeutet: Die Steigung der AC Kurve im Punkt ŷ ist gleich null. Die AC Kurve hat ihr Minimum im Punkt ŷ. Die MC Kurve schneidet die AC Kurve im Minimum der AC. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

30 Grenz und Durchschnittskosten AC MC ŷ y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

31 Grenz und Durchschnittskosten Beispiel 1: C(y) = y Die Durchschnittskosten sind AC(y) = y + 100/y und die Grenzkosten sind MC(y) = 2y. Minimierung der AC: Es gilt dac dy = y 2 = 0 y 2 = 100 ŷ = 10. AC(10) = = 20, MC(10) = 2 10 = 20. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

32 Grenz und Durchschnittskosten AC MC y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

33 Grenz und Durchschnittskosten Beispiel 2: C(y) = 2y Die Durchschnittskosten sind AC(y) = /y und die Grenzkosten sind MC(y) = 2 und somit konstant. Ableitung der AC: dac dy = 100 y 2 < 0, d.h. die AC nehmen überall ab. AC und MC treffen sich für y. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

34 Grenz und Durchschnittskosten AC MC y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

35 Grenz und Durchschnittskosten Beispiel 3: C(y) = y 2 + 2y. Die Durchschnittskosten sind AC(y) = y + 2 und die Grenzkosten sind MC(y) = 2y + 2. Die MC liegen überall oberhalb der AC. Die AC steigen überall. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

36 Grenz und Durchschnittskosten AC MC 2 y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

37 Kostenfunktion und Skalenerträge Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Durchschnittskosten und den Skalenerträgen eines Produktionsprozesses. Beispiel: Konstante SE, Faktorpreise w 1 = w 2 = 1. x 1 x 2 y C(y) AC(y) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

38 Kostenfunktion und Skalenerträge Beispiel: Abnehmende SE, Faktorpreise w 1 = w 2 = 1. x 1 x 2 y C(y) AC(y) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

39 Kostenfunktion und Skalenerträge Beispiel: Zunehmende SE, Faktorpreise w 1 = w 2 = 1. x 1 x 2 y C(y) AC(y) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

40 Kostenfunktion und Skalenerträge Wir definieren die Einheitskostenfunktion als die minimalen Kosten, die aufgewandt werden müssen, um eine Einheit des Outputs herzustellen: C(w 1, w 2, 1). Bei konstanten Skalenerträgen der Produktionsfunktion gilt: Zur Herstellung des doppelten Outputs ist die doppelte Menge an Inputs erforderlich. Die Gesamtkosten zur Herstellung des doppelten Outputs sind dann C(w 1, w 2, 1) 2. Für die Produktionsmenge y betragen die Gesamtkosten C(w 1, w 2, 1) y. D.h., die Gesamtkosten sind linear in y. Die AC sind konstant, z.b. C(y) = y. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

41 Kostenfunktion und konstante Skalenerträge y C f(x) C (w 1, w 2, 1) y (a) Produktionsfunktion x (b) Kostenfunktion y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

42 Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge Bei zunehmenden Skalenerträgen muss zur Herstellung des doppelten Outputs weniger als die doppelte Inputmenge eingesetzt werden. Die Kosten steigen unterproportional: C(w 1, w 2, 2) < C(w 1, w 2, 1) 2. Allgemein gilt für Output y: C(w 1, w 2, y) < C(w 1, w 2, 1) y y > 1. Die AC nehmen ab, z.b. C(y) = 2y + F. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

43 Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge y C f(x) C (w 1, w 2, y) (c) Produktionsfunktion x (d) Kostenfunktion y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

44 Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge Bei zunehmenden Skalenerträgen besteht die Tendenz zur Entstehung einer konzentrierten Industrie, d.h. einer Marktstruktur mit nur wenigen oder nur einem Anbieter. Wieso? Wir vergleichen die Herstellung eines bestimmten Outputs ȳ in einer Firma mit der Herstellung des Output ȳ je zur Hälfte in zwei Firmen. ( C w 1, w 2, y ) ( + C w 1, w 2, y ) 2 2 ( = 2 C w 1, w 2, y ) > C (w 1, w 2, y). 2 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

45 Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge Beobachtung 1 Bei zunehmenden SE können grössere Unternehmen mit geringeren Stückkosten produzieren, so dass sie ihre Konkurrenten unterbieten und letztlich vom Markt verdrängen können. Es liegt ein natürliches Monopol vor. Beispiel: C(y) = 2 y. Die Einheitskosten sind C(1) = 2 1 = 2. Die Kosten für 2 Einheiten sind C(2) = 2 2 < 2 C(1). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

46 Kostenfunktion und abnehmende Skalenerträge Bei abnehmenden Skalenerträgen muss bei einer Verdoppelung des Outputs mehr als die doppelte Inputmenge eingesetzt werden. Kosten steigen überproportional: C(w 1, w 2, 2) > C(w 1, w 2, 1) 2 bzw. C(w 1, w 2, y) > C(w 1, w 2, 1) y y > 1. Die AC nehmen zu, z.b. C(y) = y 2 + 2y. In diesem Fall produzieren mehrere kleine Unternehmen günstiger als ein grosses. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

47 Kostenfunktion und abnehmende Skalenerträge y C f(x) C (y; w 1, w 2 ) (e) Produktionsfunktion x (f) Kostenfunktion y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

48 Kostenfunktion und Skalenerträge Über die SE besteht ein Zusammenhang zwischen Produktions und Kostenfunktion: Die eine Funktion ist das Spiegelbild der anderen. Diese Dualität erlaubt einen Rückschluss aus der Kostenfunktion auf die Technologie und umgekehrt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

49 Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion y f(x) C C (y; w 1, w 2 ) (g) Produktionsfunktion x (h) Kostenfunktion y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

50 Kurz und langfristige Kostenfunktion Kurze Frist: Mindestens ein Input kann in einem bestimmten Zeitraum nicht variiert werden. Lange Frist: Alle Produktionsfaktoren können beliebig variiert werden. Die kurzfristige Kostenfunktion ist C s (y, x 1, x 2 ) = w 1 x 1 (y) }{{} + w }{{} 2 x 2. variable Kosten fixe Kosten Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

51 Kurzfristige Durchschnitts und Grenzkosten SAC SAC SMC SAVC SAC: Short run average cost, kurzfristige Durchschnittskosten. SMC: Short run marginal cost, kurzfristige Grenzkosten. SAVC: Short run average variable cost, kurzfristige variable Durchschnittskosten. y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

52 Kurz- und langfristige Kosten Beziehung zwischen kurz- und langfristigen Kosten und Durchschnittskosten Ein Unternehmen hat kurzfristig einen bestimmten festen Kapitalbestand x 2. Für eine bestimmte Outputmenge y ist dieser Kapitalbestand optimal. Für höhere oder geringere Outputniveaus wäre dieser Kapitalbestand allerdings nicht optimal. Nur beim Outputniveau y stimmen kurz und langfristige Kapitalbestände überein. Langfristig gibt es keine Fixkosten, daher entspring die langfristige Kostenfunktion aus dem Ursprung (kein Output, keine Kosten). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

53 Kurz- und langfristige Kosten SC LC y 1 y 2 y 3 y 4 y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

54 Kurz- und langfristige Kosten An den Punkten y i Für alle anderen Outputmengen gilt: sind kurz und langfristige Kosten gleich. Die kurzfristigen Kosten sind für jedes Outputniveau mindestens so hoch wie die langfristigen. Die langfristige Kosten liegen immer unterhalb der kurzfristigen Kosten. Bei einem bestimmten Output y ist der kurzfristige Kapitalbestand optimal, d.h. an diesem Punkt sind kurz und langfristige Kosten gleich. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

55 Kurz- und langfristige Kosten Die langfristige Kostenfunktion besteht aus den besten Punkten der kurzfristigen Kostenfunktionen. Langfristige Kostenfunktion Die langfristige Kostenfunktion ist die untere Hüllkurve (engl.: lower envelope) der kurzfristigen Kostenfunktionen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

56 Kurz- und langfristige Kosten Beispiel: Kostenfunktion einer Cobb Douglas Technologie mit konstanten Skalenerträgen SC 1 C LC SC 2 SC 3 y 1 y 2 y 3 y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

57 Kurzfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände Frage: Wie sieht die langfristige Durchschnittskostenkurve aus, wenn das Kapital nicht stetig veränderbar ist, sondern es nur diskrete Kapitalniveaus gibt? Beispiele Ein Taxi Unternehmen kann entweder 1, 2, 3,... Autos einsetzen, aber nicht 2.7 Autos. Ein Unternehmen kauft eine ganzzahlige Anzahl von Maschinen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

58 Langfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände SAC LAC k 1 k 2 k 3 LAC y Abbildung: Langfristige Durchschnittskosten für diskrete Kapitalniveaus Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

59 Langfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände SAC LAC k 1 k 2 k 3 y 1 y 2 y Für Outputniveaus kleiner als y 1 ist der Kapitalbestand k 1 optimal. Für Outputniveaus zwischen y 1 und y 2 ist k 2 optimal. Für y > y 2 ist k 3 optimal. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

60 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Bisher: Für jeden möglichen Output sind die geringstmöglichen Kosten ermittelt worden. Jetzt: Ermittlung desjenigen Outputniveaus, das den Gewinn als Differenz zwischen Erlös und Kosten maximiert. Kostenminimierung ist notwendige Voraussetzung für Gewinnmaximierung! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

61 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Das Gewinnmaximierungsproblem der Firma lautet max π(y) = py C(y). y Erster Term: Erlös (Preis mal Menge). Zweiter Term: Kostenfunktion. Wähle die Outputmenge so, dass die Differenz zwischen Erlös und Kosten maximiert wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

62 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Gewinnmaximierung max π(y) = py C(y). y Die B.1.O. ist p C (y) = 0 bzw. p = MC(y). Interpretation: Der Output soll so gewählt werden, dass gilt: Grenzerlös = Grenzkosten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

63 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Lägen die Grenzkosten über dem Grenzerlös, dann würde es sich nicht lohnen, die letzte Einheit zu produzieren. Lägen die Grenzkosten unter dem Grenzerlös, dann könnte der Gewinn gesteigert werden, indem der Output erhöht wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

64 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion e C(y) p y π y y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

65 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Der Preis des Produktes ist gegeben, daher ist der Erlös py eine lineare Funktion der Outputmenge y. Der Verlauf der Kostenkurve hängt von der Technologie ab. Hier: Abnehmende Skalenerträge, d.h. die Kostenfunktion ist konvex (Kosten steigen überproportional zum Output). Der Gewinn ist der Abstand zwischen den beiden Kurven. Er ist maximal beim Output y. Bei der Menge y ist die Steigung der Kostenkurve (Grenzerlös) gleich der Steigung der Erlöskurve (Preis). Im Gewinnmaximum gilt Grenzerlös gleich Grenzkosten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

66 Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion Zunehmende Skalenerträge e p y C(y) y y Im Punkt y gilt p = C (y), aber es liegt kein Gewinnmaximum vor, sondern Gewinnminimum! Bei zunehmenden Skalenerträgen existiert kein Gewinnmaximum, wenn das Unternehmen keiner Kapazitätsbeschränkung unterliegt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

67 Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion e p y C(y) y 1 y 2 y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

68 Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion Bei y 1 macht das Unternehmen einen Verlust (Bedingung 2. Ordnung ist nicht erfüllt!) Bei y 2 ist der Erlös grösser als die Kosten, der Gewinn ist positiv und y 2 wäre ein Punkt auf der Angebotsfunktion des Unternehmens. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

69 Bedingung 2. Ordnung Um ein Gewinnmaximum zu garantieren, muss die Kostenfunktion konvex in y sein, i.e. C (y) > 0, C (y) > 0. Ist diese Bedingung 2. Ordnung erfüllt, so gilt im Gewinnmaximum p = C (y). Aus dieser B.1.O. wird die Angebotsfunktion des Unternehmens hergeleitet. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

70 Angebotsfunktion Angebotsfunktion Das Unternehmen bietet bei jedem Preis diejenige Menge an, bei der die Grenzkosten diesem Preis entsprechen. Dies ist die gewinnmaximale Outputmenge. Beispiel: C(y) = y Die Grenzkosten sind MC(y) = 2y. Im Gewinnmaximum gilt p = MC, also p = 2y. Auflösen nach y ergibt die Angebotsfunktion y(p) = p/2. Die Angebotsfunktion ist die inverse MC Funktion, bzw. die inverse Angebotsfunktion entspricht der MC Funktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

71 Unterschiede zwischen kurz und langfristigem Angebot e SMC SAC SAVC p y1 y2 y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

72 Unterschiede zwischen kurz und langfristigem Angebot Die B.1.O. ist sowohl bei y 1 als auch bei y 2 erfüllt. Würde ein Unternehmen beim Preis p die Menge y 1 anbieten? Im Punkt y 1 führt eine Outputerhöhung zu einer Senkung der Grenzkosten, d.h. der Gewinn nimmt zu. Daher gehört y 1 nicht zur Angebotsfunktion des Unternehmens. Nur der ansteigende Ast der Grenzkostenfunktion ist Teil der Angebotsfunktion. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

73 Unterschiede zwischen kurz und langfristigem Angebot Aber: Ein Angebot wird erst dann erfolgen, wenn das Unternehmen seine Kosten decken kann. Beim Preis p wird die Menge y 2 zwar kurzfristig angeboten, nicht jedoch langfristig. Beim Preis p und der Menge y 2 wird kurzfristig ein Teil der Fixkosten gedeckt. Aber: Unternehmen arbeitet mit Verlust. Wenn der Preis langfristig nicht steigt, könnte es für das Unternehmen besser sein, aus dem Markt auszuscheiden. Langfristig muss der Preis oberhalb der Stückkosten liegen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

74 Kostendeckung Langfristig müssen die Durchschnittskosten (DK) gedeckt sein. Kurzfristig kann es jedoch lohnen, auch dann zu produzieren, wenn dies nicht der Fall ist, i.e. wenn π(y) = py C(y) F < 0. Dies ist dann der Fall, wenn der Verlust bei Produktion geringer ist als der Verlust ohne Produktion, wenn zwar die Fixkosten getragen werden müssen aber kein Erlös erwirtschaftet wird: F < py C(y) F. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist es für die Firma auch kurzfristig optimal, den Markt zu verlassen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

75 Kostendeckung Beispiel: p = 10, C(y) = 0.5y 2 und F = 100. Der Gewinn ist π(y) = 10y 0.5y B.1.O. für Gewinnmaximierung: 10 y = 0 y = 10. Der maximale Gewinn ist π(10) = = 50 i.e. die Firma macht einen Verlust von 50 GE. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

76 Kostendeckung Frage: Sollte diese Firma die Produktion einstellen? Kurzfristig nicht, denn die Fixkosten müssten trotzdem getragen werden. Der Gewinn wäre dann π(0) = F = 100. D.h., die Firma würde einen Verlust von 100 GE machen. Dieser Verlust ist grösser als der bei Produktion von 10 Outputeinheiten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

77 Shut Down Condition Falls gilt F > py C(y) F, dann ist der Verlust bei Produktion (y > 0) grösser als bei Einstellung der Produktion (y = 0). Dies ist der Fall, wenn py C(y) < 0, i.e. wenn p < AVC(y). Shut Down Condition Wenn die durchschnittlichen variablen Kosten nicht gedeckt sind, sollte das Unternehmen den Markt verlassen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

78 Gewinn und Produzentenrente Konsumentenrente in der Haushaltstheorie: p p = p (y ) Konsumentenrente p(y) y y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

79 Produzentenrente Die Produzentenrente ist definiert als Erlös minus variable Kosten. In der Abwesenheit von Fixkosten entspricht dies dem Gewinn. Grafisch werden die variablen Kosten dargestellt als Fläche unter der MC Kurve. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

80 Grenzkosten als Kosten einer zusätzlichen Einheit MC MC Abbildung: Grenzkosten als Kosten einer zusätzlichen Einheit y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

81 Variable Kosten als Fläche unter der Grenzkostenfunktion MC MC C(y) y y Abbildung: Variable Kosten als Fläche unter der Grenzkostenfunktion Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

82 Angebotsfunktion und Erlös beim Preis p e MC(y) p = p (y ) Produzentenrente C(y ) y y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

83 Angebotsfunktion und Erlös beim Preis p Der Erlös entspricht dem Rechteck p y. Kosten entsprechen der Fläche unter der Angebotsfunktion. Differenz zwischen Erlös und Kosten ist die Produzentenrente. Langfristig ist die Produzentenrente gleich dem Gewinn. Kurzfristig ist die Produzentenrente gleich Gewinn plus Fixkosten. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

84 Produzentenrente e MC p AC Gewinn Produzentenrente = + Fixkosten AVC y y Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Mikroökonomik 8. Vorlesungswoche 11. Dezember / 84

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