Einführung Grundbegriffe

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1 Einführung Grundbegriffe 1.1 Der Modellbegriff Broy: Informatik 1, Springer 1998 (2) Die Modellbildung der Informatik zielt auf die Darstellung der unter dem Gesichtspunkt einer gegebenen Aufgabenstellung wesentlichen Strukturen, Zusammenhänge und Vorgänge eines Anwendungsgebiets. Dies erfolgt durch formale Mittel wie etwa Datenstrukturen, Programmiersprachen, Graphiken oder logische Formeln. Es ist Aufgabe der Informatik, Eigenschaften dieser formalen Modelle zu untersuchen und diese weiterzuentwickeln, zu realisieren und nicht zuletzt eine Verbindung zwischen formalen Modellen und der realen Welt des Anwendungsgebietes im Sinne der Aufgabenstellung herzustellen. Definition (Information und Repräsentation): Information nennen wir den abstrakten Gehalt ("Bedeutungsinhalt", "Semantik") eines Dokumentes, einer Aussage, Beschreibung, Anweisung, Nachricht oder Mitteilung. Die äußere Form der Darstellung nennen wir Repräsentation (konkrete Form der Nachricht). Definition (Interpretation): Den Übergang von der Repräsentation zur zur abstrakten Information, die Deutung der Repräsentation, nennen wir Interpretation. Syntax und Semantik Mit Syntax bezeichnen wir die Form und Struktur einer Repräsentationssystems (Programmiersprache, Diagrammtyp, Grammatik - also nicht bezogen auf den konkreten Einzelfall sondern die allgemeine, generische Form). Die Syntax eines Repräsentationssystems wird typischerweise durch Regeln - etwa Grammatikregeln beschreiben. Beachte: Auch die Schreibweise von Grammatikregeln (etwa EBNF: "Extended Backus-Naur Form") unterliegt einer bestimmten Syntax.

2 Zusammen mit einer Syntaxdefinition kann (nicht notwendig!) Interpretation in Form eienr Semantikfunktion angegeben werden, die jedem syntaktisch korrekten Ausdruck einen Informationsgehalt zuordnet. Solche Semantikfunktionen sind häufig als Kalküle (formale Operationen) oder abstrakte Maschinen definiert. Die Interpretation selbst kann sich auf statische Eigenschaften (z.b. Wahrheitswerte) aber auch auf dynamische Eigenschaften oder Prozesse beziehen (ein syntaktisch korrekter Programmtext beschreibt u.u. einen Ablauf auf einer abstrakten Maschine). Beachte: Nicht jeder syntaktisch korrekte Ausdruck hat eine "sinnvolle" Interpretation. Auch in natürlichen Sprachen lassen sich grammatikalisch korrekte aber unsinnige Sätze bilden (z.b. "Langes Warten schimmert laut"). a. Allgemeiner Modellbegriff Modell als abstrahiertes, meist auch reduziertes Abbild eines (komplexen) Realitätsbereichs oder Sachverhaltes - struktur- /verhaltenstreu in allen wesentlichen Eigenschaften des zu modellierenden Sachverhalts. I. Repräsentation des Originals: Ersatzfunktion (z.b. Atommodelle in der Chemie) Strukturmodell: statisch, deskriptiv Verhaltensmodell: dynamisch operational II. Abbildungseigenschaft des Modells: Original O wird durch ϕ abgebildet auf Modell M. M kann als homomorphes Bild des Originals angesehen werden. b. Modell im Sinne der Mathematik: Modell als ein Konstrukt, das den Bedingungen eines abstrakt (typischerweise axiomatisch) formulierten Sachverhalts genügt. Mit anderen Worten: Wenn man ein Konstrukt (z.b. ein Programm) angeben kann, das die Eigenschaften eines Axiomsystems realisiert, dann hat man ein Modell im mathematischen Sinne. Beispiele für Axiomsysteme aus der Mathematik: Gruppen-Axiome Peano-Axiome 1.2 Repräsentationssysteme (R-Systeme): Klassisches Thema der KI: "Wissensrepräsentation" Weitere Beispiele: Semantische Netze Conceptual graphs (Sowa 1984, 2000)

3 Schachbrett-Parkettierung: Die Frage bei diesem Problem ist, ob man nach Herausschneiden der beiden Randfelder die verbleibenden 62 Felder mit Dominosteinen auslegen kann. Dies ist nicht der Fall, denn die beiden Randfelder sind entweder beide weiß oder beide schwarz. Daher verbleiben entweder 30 weiße / 32 schwarze oder 32 weiße / 30 schwarze Felder. Diese kann man nicht vollständig mit Dominosteinen (1 weiß / 1 schwarz) bedecken. a. Tic-Tac-Toe / Number Scrabble "Magisches Quadrat" b. Missionare-Kannibalen-Problem: Nachfolgend ist das Missionare-Kannibalen-Problem gezeigt. Zwei Missionare (M) und zwei Kannibalen (K) befinden sich am linken Ufer eines Flusses. Ziel ist es, Missionare und Kannibalen mit einem Ruderboot, in welchem zwei Personen sitzen können, vom linken ans rechte Ufer zu transportieren, wobei allerdings nur die Missionare rudern können. Dabei dürfen die Missionare zu keiner Zeit in Unterzahl sein, da sie sonst von den Kannibalen gefressen werden. 1.3 Repräsentation und Interpretation:

4 Die Unterscheidung zwischen Repräsentation und Information kann am Beispiel der "Booleschen Terme" verdeutlicht werden. Bei der nachfolgenden Definition des Begriffs "Boolescher Term" wird von einer Menge atomarer Terme A 1, A 2,... A n ausgegangen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Elementaraussagen. Def. "Boolescher Term" i. Jeder atomare Term A i ist ein Boolescher Term. ii. Ist B ein Boolescher Term, so auch B iii.sind A, B Boolesche Terme, so auch (A B) und (A B) Nachfolgend werden wir uns mit Wahrheitswerten beschäftigen. Zunächst eine Definition: Def. "Wahrheitswerte": Wir bezeichnen B={0,1} als Menge der Wahrheitswerte (0:"falsch" / 1: "wahr"). Eine Abbildung β : A B (wobei A={A 1, A 2,..., A n } "Basis" von Elementaraussagen) heißt (Wahrheitswerte-) Belegung von A. Mit Wahrheitswerten kann man auch rechnen. Die Rechenregeln lauten wie folgt:

5 Eine geeignete Darstellung für Wahrheitswerte ist die Wahrheitswerte-Tabelle: x y x y x+ y Def: Wahrheitswert-Interpretation "Boolescher Terme" A: Basis von Elementaraussagen T A : Menge der aus A bildbaren Booleschen Terme β : A B Belegung Wir definieren eine (zu β gehörige) Interpretation wie folgt: : T A B i. (A):=β (A) falls A A ii. I B :=I B falls B T A

6 iii. iv. (B C):= (B) (C) falls B,C T A (B C):= (B) + (C) falls B,C T A Diese Definition ist vollständig im Sinne der "Induktion über den Termaufbau". Nun zu einem Beispiel Die Rechenregeln für Boolesche Werte lassen sich auf Boolesche Terme übertragen. Dies sei an einem Beispiel gezeigt: x y x y Die Übertragung auf Boolesche Terme ergibt sich aus nachfolgend gezeigter Tabelle: (B) (C) (B C) Auch abgeleitete Term-Konstruktoren lassen sich interpretieren. Wiederum ein Beispiel: (A B):=( A B) (A) (B) ( A) ( A B) Rechenregel: I A B =I B I B Nun zu einem neuen Begriff, der semantischen Äquivalenz. Hier zunächst die Definition:

7 Def.: "Semantische Äquivalenz" Zwei Boolesche Terme B, C über einer Basis A heißen "semantisch äquivalent", falls für jede Belegung β :A B gilt: (B) = (C). Wir schreiben dann B C. Beispiel: (A B) (B A) Semantische Äquivalenz kann man immer durch Wahrheitstafeln mit allen möglichen Kombinationen von Belegungen nachweisen. Man spricht dann von einem "semantischen Beweis", da der Nachweis nur auf der semantischen Ebene erfolgt. Auch hierzu ein Beispiel: Beispiel: de Morgansche Regeln: (M1) (A B) ( A B) (M2) (A B) ( A B) (A) (B) ( (A B)) ( A B) (M2) läßt sich entsprechend beweisen. Unter Verwendung von syntaktischen Definitionen und bekannter Äquivalenzen können Äquivalenzbeweise auch rein syntaktisch geführt werden. Zunächst eine Übersicht über die wichtigsten Äquivalenzen: Semantische Äquivalenzen zwischen Booleschen Termen Idempotenzgesetze: ( B B ) B ( B B ) B Kommutativgesetze: ( B C ) ( C B ) ( B C ) ( C B ) Assoziativgesetze: ( A ( B C )) ( ( A B ) C ) ( A ( B C )) ( ( A B ) C ) Distributivgesetze: ( A ( B C )) ( ( A B ) ( A C ) ) ( A ( B C )) ( ( A B ) ( A C ) ) Absorption: ( B ( B C )) ( B ( B C )) B Doppelnegation: B B De Morgansche Gesetze: ( B C ) ( B C ) ( B C ) ( B C )

8 Beispiel für einen syntaktischen Beweis: "Kontraposition" (A B) ( B A) ( A B) wegen syntaktischer Definition ( A B) wegen Doppelnegation ( B A) wegen Kommutativgesetz ( B A) wegen syntaktischer Definition

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