KAPITEL 8. Rekorde Satz von Rényi Der folgende Satz beschreibt die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen ξ 1, ξ 2,...

Transkript

1 KAPITEL 8 Rekore Seen X, X 2,... unabhängge un entsch vertelte Zufallsvarablen mt stetger Vertelungsfunkton F. Wr setzen M n = max{x,..., X n }. Defnton Wr sagen, ass zum Zetpunkt n N en Rekor aufgestellt wr, wenn er Wert X n größer als alle vorhergen Werte X,..., X n st. Der zum Zetpunkunkt n = beobachtete Wert glt per Defnton mmer als en Rekor. Wr efneren eshalb e Rekor Inkatoren ξ, ξ 2,... urch ξ = un ξ n = Xn>M n, n = 2, 3,.... Somt st ξ n e Inkatorvarable es Eregnsses, ass zum Zetpunkt n en neuer Rekor aufgestellt wr. 8.. Satz von Rény Der folgene Satz beschrebt e gemensame Vertelung er Zufallsvarablen ξ, ξ 2,.... Satz 8.. (Rény, 962, un Dwass, 960). Es glt P[ξ n = ] = n Außerem sn e Zufallsvarablen ξ,..., ξ n, M n unabhängg. für alle n N. Bewes. Schrtt. Wr zegen, ass P[ξ n = ] =. Aus er Stetgket er Vertelungsfunkton F folgt, ass P[X = X j ] = 0 für j. Somt sn alle Werte X, X 2,... unterschelch n mt Wahrschenlchket. Es glt = P[M n = X ] + P[M n = X 2 ] P[M n = X n ] = np[m n = X n ] = np[ξ n = ], wobe e erste Glechhet wegen er Dsjunkthet er Eregnsse glt un e zwete Glechhet aus Symmetregrünen Bestan hat. (Jee er Beobachtungen X,..., X n st mt glecher Wahrschenlchket n as Maxmum). Es folgt, ass P[ξ n = ] = n. Schrtt 2. Wr zegen e Unabhänggket von ξ,..., ξ n, M n. Seen azu α() < α(2) <... < α(s) n un x R belebg. Es recht zu zegen, ass P[ξ α() =,..., ξ α(s) =, M n < x] = P[ξ α() = ]... P[ξ α(s) = ] P[M n < x]. Es se zuerst s =. Schrebe M k,l = max{x k,..., X l } mt k l. Um e Notaton zu verenfachen, schreben wr α anstelle von α(). Es glt P[ξ α =, M n < x] = P[M α < X α < x, M α+,n < x] = P[M α < X α < x](f (x)) n α,

2 Abblung. Rekore. Rote Punkte: Rekorzeten L(n). Grüne Punkte: Rekorwerte X(n). wobe n er letzten Glechhet e Unabhänggket benutzt wure. Inem man nun auf X α = u (, x) bengt un e Formel er totalen Wahrschenlchket unter Berückschtgung von P[M α < u] = (F (u)) α verwenet, kann man as we folgt umschreben: P[ξ α =, M n < x] = (F (x)) n α Setzt man nun w = F (u), so erhält man, ass P[ξ α =, M n < x] = (F (x)) n α was e Aussage m Fall s = bewest. Se nun s N belebg. Es glt F (x) 0 x w α w = (F (u)) α F (u). (F (x))n α = P[M n < x] P[ξ α = ], P[ξ α() =,..., ξ α(s) =, M n < x] = P[M α() < X α() < x, M α(),...,α(2) < X α(2) < x,..., M α(s ),...,α(s) < X α(s) < x, M α(s)+,n < x]. Inem man nun auf X α() = u,..., X α(s) = u s bengt, kann man en obgen Ausruck ähnlch we m Fall s = schreben als (F (x)) n α(s) (F (u )) α()... (F (u s )) α(s) α(s ) F (u )... F (u s ). u <u 2 <...<u s<x Setzt man F (u ) = w,..., F (u s ) = w s, so erhält man (F (x)) n α(s) w α()... ws α(s) α(s ) w... w s. 0<w <w 2 <...<w s<f (x) Als Übungsaufgabe blebt zu zegen, ass sch obges Integral zu Folgenem errechnen lässt: F n (x) α()... α(s) = P[M n < x] P[ξ α()= ]... P[ξ α(s)= ]. 2

3 (Man kann z.b. Inukton nach s verwenen). Bemerkung Nach em Satz von Rény hängt e gemensame Vertelung von ξ, ξ 2,... ncht von er Vertelungsfunkton F ab Anzahl er Rekore Es se N(n) e Anzahl er Rekore m Intervall,..., n,.h. N(n) = ξ k. Nach em Satz von Rény glt EN(n) = Eξ k = = log n + γ + o(), k ( Var N(n) = Var ξ k = k ) = log n + γ π2 k o(), für n. Dabe st γ e Euler Mascheron Konstante: ( ) γ = lm k log n = 0, Es weren also unter en ersten n Beobachtungen leglch ungefähr log n Rekore (was sehr weng st!) erwartet. Im nächsten Satz weren wr e komplette Vertelung von N(n) mt Hlfe von Strlng Zahlen erster Art beschreben. Defnton De Strlng Zahlen erster Art sn efnert als Koeffzenten n er Formel [ ] n x(x + )... (x + n ) = x k. k Der nächste Satz beschrebt e Vertelung er Anzahl er Rekore N(n). Satz Für e Vertelung er Anzahl er Rekore glt P[N(n) = k] = [ ] n, k =,..., n. n! k Bemerkung Setzt man x = n e Defnton er Strlng Zahlen en, so erhält man [ ] n = n!. k 3

4 Abblung 2. Zählchte er Zufallsvarable N(n) für n = Also summeren sch e Wahrschenlchketen zu. Bewes. De Zufallsvarablen ξ,..., ξ n sn nach em Satz von Rény unabhängg un Bernoull vertelt mt P[ξ k = ] = k, P[ξ k = 0] = k. De erzeugene Funkton ener Zufallsvarable Z mt Werten n {0,,...} st efnert urch g Z (t) = E[t Z ] = P[Z = k]t k, t <. k=0 Im Folgenen weren wr e erzeugene Funkton von N(n) angeben. De erzeugene Funkton von ξ k st ( g ξk (t) = ) + t k k. Es glt N(n) = ξ ξ n (mt unabhänggen Summanen) un eshalb st n k + t t(t + )... (t + n ) g N(n) (t) = g ξ (t)... g ξn (t) = = = [ ] n t k, k n! n! k wobe m letzten Schrtt e Defnton er Strlng Zahlen verwenet wure. Auf er aneren Sete glt efntonsgemäß g N(n) (t) = t k P[N(n) = k]. Durch Verglech er Koeffzenten erhalten wr e gewünschte Formel. Aufgabe Zegen Se, ass e Strlng Zahlen erster Art e folgene Rekursonsformel erfüllen: [ ] [ ] [ ] n + n n = n +. k k k 4

5 Zum Verglech: Für Bnomalkoeffzenten glt ene ähnlche Formel ohne en Faktor n: ( ) ( ) ( ) n + n n = +. k k k Aufgabe Bewesen Se für e Strlng Zahl erster Art e Formel [ ] n + =, n! k +... k wobe über alle ganzzahlgen < 2 <... < k n summert wr Rekorzeten Wr efneren nun e Rekorzeten L() < L(2) <... urch: L() =, L(2) = mn{j > : ξ j = } un allgemen L(n + ) = mn{j > L(n) : ξ j = }, n = 2, 3,.... Somt st L(n) er Zetpunkt, zu em er n-te Rekor aufgestellt wr. Im nächsten Satz beschreben wr e gemensame Vertelung es Vektors (L(),..., L(n)). Satz Für belebge natürlche Zahlen = j() < j(2) <... < j(n) glt P[L() = j(), L(2) = j(2),..., L(n) = j(n)] = j(n)(j(2) )... (j(n) ). Bewes. Es glt: P[L() = j(),..., L(n) = j(n)] = P[ξ 2 = ξ 3 =... = ξ j(2) = 0, ξ j(2) =, ξ j(2)+ =... = ξ j(3) = 0, ξ j(3) =,..., ξ j(n) = ]. Wegen er sch aus Satz 8.. ergebenen Unabhänggket kann man es n folgenen Ausruck umschreben: P[ξ 2 = 0]... P[ξ j(n) = 0] P[ξ j(2) = ] P[ξ j(2) = 0]... P[ξ j(n) = ] P[ξ j(n) = 0], was sch ebenfalls, wegen es Satzes von Rény, we folgt arstellen lässt: ( ) ( ) (... ) /j(2) 2 3 j(n) /j(2)... /j(n) /j(n). Durch geschcktes Umformen lässt sch as we folgt arstellen: j(n) j(n) j(2)... j(n) = j(n) j(2)... j(n), wobe sch e Glechhet ergbt, a e ersten j(n) Faktoren en Teleskopproukt blen. Bemerkung De gemensame Vertelung er Rekorzeten L(), L(2),... st (abgesehen von er Stetgketsannahme an e Vertelungsfunkton F ) unabhängg von er Vertelung er Zufallsvarablen X, X 2,.... 5

6 Bemerkung De Vertelung von L(2) seht somt folgenermaßen aus: P[L(2) = j] =, j = 2, 3,.... j(j ) Insbesonere glt EL(2) = j= = +. De mttlere Wartezet auf en zweten Rekor j st somt unenlch. (Was erstaunlch st!) Auf er aneren Sete st e Wartezet auf en zweten Rekor fast scher enlch. Satz Für e Vertelung er Rekorzet L(n) glt P [L(n) = k] = [ ] n, k = n, n +,.... k! k Bewes. Übung: Benutzen Se Satz Im nächsten Satz weren wr zegen, ass e Rekorzeten L(), L(2),... ene Markov Kette blen. Satz De Folge L(), L(2),... st ene Markov Kette mt Anfangszustan L() = un Übergangswahrschenlchketen p j = j(j ) für =, 2,... un j = +, + 2,.... Bewes. Zu zegen st, ass für alle = j() < j(2) <... < j(n) glt P[L() = j(), L(2) = j(2),..., L(n) = j(n)] = p j()j(2) p j(2)j(3)... p j(n )j(n). Mt er Formel aus Satz 8.3. glt was e gewünschte Formel ergbt. P[L() = j(), L(2) = j(2),..., L(n) = j(n)] = j(n)(j(2) )... (j(n) ) j() = j(2)(j(2) ) j(2) j(3)(j(3) )... j(n ) j(n)(j(n) ), Angenommen, e ersten n Rekorzeten sn bekannt: L() =, L(2) = (2),..., L(n) = (n). Wo legt nun e nächste Rekorzet L(n + )? Wegen er Markov Egenschaft er Folge L(), L(2),... stellt es sch heraus, ass man für e Bestmmung von L(n+) leglch en Wert L(n) = (n) benötgt, e Werte von L(),..., L(n ) sn hngegen rrelevant. 6

7 Satz Für alle = () < (2) <... < (n) = < j glt e Markov Egenschaft er Rekorzeten: P[L(n+) = j L(n) = ] = P[L(n+) = j L(n) =, L(n ) = (n ),..., L(2) = (2)]. Außerem glt: P[L(n + ) = j L(n) = ] = j(j ). Bewes. Folgt aus Satz Der obge Satz zegt, we man e Folge er Rekorzeten am Rechner smuleren kann, ohne afür e Varablen X, X 2,... erzeugen zu müssen. Man startet mt L() = un geht nuktv vor. Sn e Werte L(),..., L(n) mt L(n) = bekannt, so erzeugt man ene j ( ) Zufallsvarable auf { +, + 2,...}, nem man en Wert j mt Wahrschenlchket auswählt. Deser Wert st ann er Wert von L(n + ). Danach weerholt man as Ganze. Der nächste Satz gbt enen vel enfacheren Algorthmus zur Smulaton er Rekorzeten. Defnere e Gauß Klammer urch x = max{n Z : n x}, x R. Satz (Wllams, 973). Seen U, U 2,... unabhängg un glechvertelt auf em Intervall [0, ]. Defnere R() = un R(n + ) = R(n) U n + für n N. Dann glt e Glechhet er Vertelungen: (L(), L(2),..., L(n)) = (R(), R(2),..., R(n)). Bewes. Wegen er Markov Egenschaft recht es zu zegen, ass für alle N un j { +, + 2,...} glt P[L(n + ) = j L(n) = ] = P[R(n + ) = j R(n) = ]. De Wahrschenlchket auf er lnken Sete st glech nach Satz Wr berechnen j(j ) e Wahrschenlchket auf er rechten Sete. Es st [ ] [ ] R(n) P[R(n + ) = j R(n) = ] = P + = j R(n) = = P + = j R(n) =. U n U n De Zufallsvarable R(n) hängt nur von U,..., U n ab. De Eregnsse { U n + = j} un {R(n) = } sn also unabhängg un somt verenfacht sch as Ganze zu folgenem Ausruck: [ P[R(n + ) = j R(n) = ] = P a U n glechvertelt auf [0, ] st. U n ] [ ] = j = P [j, j) = U n j(j ), 7

8 Satz (Tata, 969). Se x > ene natürlche Zahl, ann glt: [ ] L(n + ) P > x = L(n) x. Se x > ene belebge reelle Zahl, ann glt: [ L(n + ) lm P L(n) ] > x = x. Bemerkung Man seht her noch enmal, ass Rekore mt n mmer seltener auftreten. Zum Bespel st mt Wahrschenlchket /2 er Abstan zwschen er (n + )-ten un er n-ten Rekorzet größer als e n-te Rekorzet selbst. Mt Wahrschenlchket /3 st er Abstan zwschen er (n + )-ten un er n-ten Rekorzet mnestens oppelt so groß we e n-te Rekorzet selbst, usw. De Tatsache, ass Rekore mmer seltener auftreten st zemlch natürlch: e Rekorwerte stegen nämlch mt er Zet un es wr mmer schwerger neue Rekore aufzustellen. Bewes. Se x >. Dann glt wegen es Gesetzes er totalen Wahrschenlchket: P[L(n + ) > xl(n)] = P[L(n + ) > x L(n) = ] P[L(n) = ] = P[L(n + ) > [x] L(n) = ] P[L(n) = ], enn L(n + ) st ganzzahlg un somt st L(n + ) > x zu L(n + ) > [x] äquvalent. Im Bewes von Satz wure e Wahrschenlchket P[L(n + ) > x L(n) = ] berets berechnet. Wr wollen as Ergebns her verwenen. So lässt sch obger Ausruck zu folgenem verenfachen: (8.3.) P[L(n + ) > xl(n)] = Se zuerst x N. Man seht: [x] P[L(n) = ] = x P[L(n) = ]. [x] P[L(n) = ] = x. Se nun x > belebg reell. Aus er Defnton er Gauß Klammer folgt, ass [x] x < [x] +. Durch lechte Umformungen folgt: x [x] < x + [x]x. Deshalb kann man (8.3.) we folgt nach unten abschätzen: [x] P[L(n) = ] P[L(n) = ] = x x. 8

9 Außerem kann man aher (8.3.) we folgt nach oben abschätzen: [x] P[L(n) = ] < ( x + ) P[L(n) = ] [x]x x + x [xn], a [x] [xn] für n. Insgesamt folgt mt em Sanwch Prnzp e Behauptung. Korollar Se U glechvertelt auf [0, ], ann glt L(n + ) L(n) U. Bewes. De Zufallsvarable st Pareto vertelt mt Talfunkton, x >. De Behauptung U x folgt nun aus Satz Bemerkung Shorrock, 972, hat gezegt, ass für belebges k N un für unabhängge, auf [0, ] glechvertelte Zufallsvarablen U,..., U k, glt ( ) ( ) L(n + ) L(n + 2), L(n) L(n + ),..., L(n + k),,...,. L(n + k ) U U Zentrale Grenzwertsätze Nun zegen wr, ass für großes n e Anzahl er Rekore N(n) approxmatv normalvertelt st, sehe Abblung 2. Mt N (0, ) bezechnen wr e Starnarnormalvertelung mt Vertelungsfunkton Φ(t) = t e 2 z2 z. 2π U k Satz 8.4. (Zentraler Grenzwertsatz für e Anzahl er Rekore). Es glt N(n) log n log n N (0, ) für n. Der Bewes basert auf ener Verallgemenerung es zentralen Grenzwertsatzes, e wr ohne Bewes angegeben. Satz (Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunow). Für jees n N seen Z n,..., Z nn unabhängge Zufallsvarablen mt EZ nk = 0, σ 2 nk := Var Z nk (0, ) für k =,..., n 9

10 un n σ2 nk Dann glt: =. Außerem gelte e folgene Ljapunow Bengung: Für en δ > 0 E Z nk 2+δ 0. lm Z n Z nn N (0, ). Bemerkung De entsche Vertelthet er Zufallsvarablen wr m zentralen Grenzwertsatz von Ljapunow ncht vorausgesetzt. Bewes von Satz Es st N(n) = ξ ξ n, wobe e ξ,..., ξ n nach em Satz von Rény unabhängg aber ncht entsch vertelt sn. Setze mt σ 2 n = Var N(n) = Z nk = ξ k k σ n, k =,..., n, Var ξ k = enn n log n un k <. Defntonsgemäß glt k 2 EZ nk = 0, EZnk 2 =. k log n, n, k2 Wr zegen, ass e Ljapunow Bengung mt δ = glt. De Zufallsvarable ξ k /k σ n nmmt nur zwe Werte an, un zwar /k σ n mt Wahrschenlchket /k un k σ n mt Wahrschenlchket. Es folgt k E ξ k 3 k σ n a σn 3 (log n) 3/2 un n für en zentralen Grenzwertsatz von Ljapunow gegeben un amt folgt: ( ) 3 ( ) 3 + kσ n σ n k = ( σ 3 n k + ) 0 für n, 3 k ( + k k) log n für n. Es sn also alle Voraussetzungen 3 N(n) n k = σ n Z nk N (0, ) für n. Unter Beachtung es berets gezegten Zusammenhangs σ 2 n log n führt as zur behaupteten Grenzaussage: N(n) log n log n (Man kann z.b. as Lemma von Chntschn verwenen). N (0, ) für n. Aufgabe Zegen Se, ass für e Anzahl er Rekore auch as Gesetz er großen Zahlen glt: N(n) lm log n = f.s. 0

11 Nun benutzen wr en obgen Satz um auch enen zentralen Grenzwertsatz für e Rekorzeten herzuleten. Satz (Zentraler Grenzwertsatz für Rekorzeten). Es glt log L(n) n n N (0, ). Bewes. Se x R fest. Mt n(x) = e n+x n glt [ ] log L(n) n P x = P[L(n) n(x)] = P[N(n(x)) n]. n Zur Verenfachung se n(x) Z, abe verlert er Bewes ncht an Allgemengültgket, a für n(x) / Z enfach [n(x)] betrachtet weren kann. Nach Satz 8.4. glt N(n(x)) log n(x) log n(x) N (0, ). Es folgt, ass [ ] lm P[N(n(x)) n] = lm P N(n(x)) log n(x) n (n + x n) = Φ( x) = Φ(x), log n(x) n + x n n (n+x a lm n) n+x = x. Dabe bezechnet Φ(x) e Vertelungsfunkton von N (0, ) un n e Behauptung folgt. Aufgabe Zegen Se, ass für e Rekorzeten auch as Gesetz er großen Zahlen glt: log L(n) lm = f.s. n Aufgabe Ist es rchtg, ass L(n) lm e n = f.s.? 8.5. Rekorwerte Defnton De Rekorwerte sn efnert als X(n) = M L(n) = X L(n). Aners als be Rekornkatoren oer Rekorzeten, hängt e Vertelung er Rekorwerte von er Vertelungsfunkton er Zufallsvarablen X ab. Im Spezalfall er exponentalvertelten Zufallsvarablen bestzen e Rekorwerte ene schöne Darstellung.

12 Satz (Tata, 969). Seen X, X 2,... unabhängg un exponentalvertelt mt Parameter. Dann glt: (X(), X(2),..., X(n)) = (ν, ν + ν 2,..., ν ν n ), wobe ν, ν 2,... unabhängg unabhängg un exponentalvertelt mt Parameter sn. Bemerkung Mt aneren Worten, e Folge X(), X(2),... st en Posson Prozess mt Intenstät. Bewesee. Der Bewes basert auf er Geächtnslosgket er Exponentalvertelung. Ist nämlch X Exp(), so st für jees t > 0 e bengte Vertelung von X t gegeben, ass X > t, ebenfalls ene Exponentalvertelung mt Parameter. Nach Voraussetzung st X() = X Exp(). Wr halten nun X = a fest un warten auf en zweten Rekorwert X(2). Der Exzess X(2) a hat e gleche Vertelung we X a gegeben, ass X > a, also e Exponentalvertelung mt Parameter. Nun halten wr X(2) = a 2 fest un warten auf en rtten Rekorwert X(3). Der Exzess X(3) a 2 hat e gleche Vertelung, we X a 2 gegeben, ass X > a 2, also weer e Exponentalvertelung mt Parameter, usw. Somt sn e Zuwächse X(), X(2) X(), X(3) X(2),... stanar exponentalvertelt un unabhängg. Korollar Seen X, X 2,... unabhängg un exponentalvertelt mt Parameter. Dann glt X(n) n n N (0, ) für n. Bewes. Aus Satz wssen wr, ass X(n) = ν ν n. Dabe st Eν = Var ν =. Der zentrale Grenzwertsatz ergbt, ass Daraus folgt e Behauptung. ν ν n n n N (0, ) für n. Bemerkung In Satz?? haben wr nachgewesen, ass m Fall er stanar exponentalvertelten Zufallsvarablen, e Zufallsvarable M n log n gegen e Gumbel Vertelung Λ konvergert. Es glt also M n log n Λ un M L(n) n n N (0, ). De Grenzvertelung wr also offenbar urch en Umstan, ass L(n) zufällg st, völlg veränert. 2

13 Aufgabe Seen X, X 2,... unabhängge entsch vertelte Zufallsvarablen mt stetger Vertelungsfunkton F. Es se X(n) er n-te Rekorwert. () Zegen Se, ass P[X(n) < x] = Q n (F (x)), x R, wobe Q n (s) = Es L(n) e erzeugene Funkton von L(n) se. (2) Zegen Se, ass Q n (s) = (n )! log( s) 0 t n e t t. Hnwes: Zu Tel (2): Tel () glt auch für exponentalvertelte Zufallsvarablen. 3